Numero cullen

En matemáticas, a Cullen número es un miembro de la secuencia entero Cn=n⋅ ⋅ 2n+1{displaystyle C_{n}=ncdot 2^{n}+1} (donde) n{displaystyle n} es un número natural). Los números de Cullen fueron estudiados por primera vez por James Cullen en 1905. Los números son casos especiales de números Proth.

Propiedades

En 1976 Christopher Hooley mostró que la densidad natural de los enteros positivos n≤ ≤ x{displaystyle nleq x} para la cual C_n es una primera es de la orden o()xPara x→ → JUEGO JUEGO {displaystyle xto infty }. En ese sentido, casi todos los números Cullen son compuestos. La prueba de Hooley fue reelaborada por Hiromi Suyama para demostrar que funciona para cualquier secuencia de números n·2^{n + a} + b Donde a y b son enteros, y en particular también para los números de Woodall. El único conocido Cullen primes son para n iguales a:

1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 A005849 en el OEIS).

Aún así, se conjetura que hay infinitos números primos Cullen.

Un número de Cullen C_n es divisible por p = 2n − 1 si p es un número primo de la forma 8k − 3; además, del pequeño teorema de Fermat se sigue que si p es un primo impar, entonces p divide a C_m(k) por cada m(k) = (2^k − k) (p − 1) − k (para k > 0). También se ha demostrado que el número primo p divide C_{(p + 1)/2} cuando el Jacobi símbolo (2 | p) es −1, y que p divide a C_{(3p − 1)/2} cuando el símbolo de Jacobi (2 | p) es + 1.

Se desconoce si existe un número primo p tal que C_p también sea primo.

C_p sigue la relación de recurrencia

Cp=4()Cp− − 1+Cp− − 2)+1{displaystyle C_{p}=4(C_{p-1}+C_{p-2}+1}.

Generalizaciones

A veces, una base numérica de Cullen generalizada b se define como un número de la forma n·bⁿ + 1, donde n + 2 > b; si un número primo se puede escribir de esta forma, entonces se llama un primo de Cullen generalizado. Los números de Woodall a veces se denominan números de Cullen de segunda clase.

En octubre de 2021, el primo Cullen generalizado más grande conocido es 2525532·73^2525532 + 1. Tiene 4 705 888 dígitos y fue descubierto por Tom Greer, un participante de PrimeGrid.

Según el pequeño teorema de Fermat, si existe un primo p tal que n es divisible por p − 1 y n + 1 es divisible por p (especialmente, cuando n = p − 1) y p no divide a b, entonces bⁿ debe ser congruente con 1 mod p (puesto que bⁿ es una potencia de b^{p − 1} y b^{p − 1} es congruente con 1 mod p). Así, n·bⁿ + 1 es divisible por p, entonces no es primo. Por ejemplo, si algún n congruente con 2 mod 6 (es decir, 2, 8, 14, 20, 26, 32,...), n·b ⁿ + 1 es primo, entonces b debe ser divisible por 3 (excepto b = 1).

The least n such that n·b^{<in + 1 is prime (with question marks if this term is currently unknown) are}

1, 2, 1, 1242, 1, 34, 5, 2, 1, 10, 1, 3, 8, 1, 19650, 1, 6460, 3, 2, 4330, 2, 2805222, 117, 2, 1, 82960, 5, 2, 25, 304, 1, 36, 368, 1, 1806676, 1, 390, 53, 2, 1, 3, 3, 2 A240234 en el OEIS)