Número cuántico principal

En mecánica cuántica, el número cuántico principal (simbolizado n) es uno de los cuatro números cuánticos asignados a cada electrón de un átomo para describir el estado de ese electrón. Sus valores son números naturales (a partir de 1), lo que la convierte en una variable discreta.

Además del número cuántico principal, los otros números cuánticos de los electrones ligados son el número cuántico azimutal ℓ, el número cuántico magnético m_l, y el número cuántico de espín s.

Descripción general e historia

A medida que n aumenta, el electrón también tiene una mayor energía y, por lo tanto, está menos unido al núcleo. Para n más alto, el electrón está más lejos del núcleo, en promedio. Para cada valor de n hay n valores ℓ (azimutales) aceptados que van de 0 a n − 1 inclusive, por lo tanto, los estados de electrones n superiores son más numerosos. Teniendo en cuenta dos estados de espín, cada capa n puede acomodar hasta 2n² electrones.

En un modelo simplista de un electrón que se describe a continuación, la energía total de un electrón es una función cuadrática inversa negativa del número cuántico principal n, lo que lleva a niveles de energía degenerados para cada n > 1. En sistemas más complejos (aquellos que tienen fuerzas distintas a la fuerza de Coulomb entre núcleo y electrón), estos niveles se dividen. Para átomos multielectrónicos, esta división da como resultado "subcapas" parametrizado por ℓ. La descripción de los niveles de energía basada únicamente en n gradualmente se vuelve inadecuada para los números atómicos a partir de 5 (boro) y falla completamente en el potasio (Z = 19) y posteriores.

El número cuántico principal se creó por primera vez para su uso en el modelo semiclásico del átomo de Bohr, distinguiendo entre diferentes niveles de energía. Con el desarrollo de la mecánica cuántica moderna, el modelo simple de Bohr fue reemplazado por una teoría más compleja de los orbitales atómicos. Sin embargo, la teoría moderna todavía requiere el número cuántico principal.

Derivación

Existe un conjunto de números cuánticos asociados a los estados energéticos del átomo. Los cuatro números cuánticos n, ℓ, m y s especifican el estado cuántico completo y único de un único electrón en un átomo, llamado función de onda u orbital. Dos electrones pertenecientes al mismo átomo no pueden tener los mismos valores para los cuatro números cuánticos, debido al principio de exclusión de Pauli. La ecuación de onda de Schrödinger se reduce a tres ecuaciones que, cuando se resuelven, conducen a los primeros tres números cuánticos. Por tanto, las ecuaciones de los tres primeros números cuánticos están todas interrelacionadas. El número cuántico principal surgió en la solución de la parte radial de la ecuación de onda como se muestra a continuación.

La ecuación de onda de Schrödinger describe estados propios de energía con los números reales correspondientes E_n y una energía total definida, el valor de E_n>i>. Las energías del estado ligado del electrón en el átomo de hidrógeno vienen dadas por:

$${displaystyle E_{n}={frac {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fnfn}}}quad n=1,2,3,ldots }$$

El parámetro n sólo puede tomar valores enteros positivos. El concepto de niveles de energía y notación se tomaron del anterior modelo del átomo de Bohr. La ecuación de Schrödinger desarrolló la idea de un átomo de Bohr bidimensional plano al modelo de función de onda tridimensional.

En el modelo de Bohr, las órbitas permitidas se derivaron de valores cuantificados (discretos) del momento angular orbital, L según la ecuación

$${displaystyle L=ncdot hbar =ncdot {h over 2pi }$$

donde n = 1, 2, 3, … y se llama número cuántico principal, y h es la constante de Planck. Esta fórmula no es correcta en mecánica cuántica ya que la magnitud del momento angular se describe mediante el número cuántico azimutal, pero los niveles de energía son precisos y clásicamente corresponden a la suma de la energía potencial y cinética del electrón.

El número cuántico principal n representa la energía global relativa de cada orbital. El nivel de energía de cada orbital aumenta a medida que aumenta su distancia al núcleo. Los conjuntos de orbitales con el mismo valor n a menudo se denominan capa de electrones.

La energía mínima intercambiada durante cualquier interacción onda-materia es el producto de la frecuencia de la onda multiplicada por la constante de Planck. Esto hace que la onda muestre paquetes de energía en forma de partículas llamados cuantos. La diferencia entre niveles de energía que tienen diferentes n determina el espectro de emisión del elemento.

En la notación de la tabla periódica, las principales capas de electrones están etiquetadas:

basado en el número cuántico principal.

El número cuántico principal está relacionado con el número cuántico radial, n_r, por:

$${displaystyle N=n_{r}+ell +1}$$

donde ℓ es el número cuántico azimutal y n_r es igual al número de nodos en el función de onda radial.

La energía total definida para el movimiento de una partícula en un campo de Coulomb común y con un espectro discreto, viene dada por:

$${displaystyle E_{n}=-{frac {Z^{2}hbar {2} {2m_{0}a_{2}n}=-{2}=frac} {Z^{2}e^{4}m_{0}{2hbar ^{2}n^{2}}}}$$

${displaystyle A_{B}$

Este espectro de energía discreto resultó de la solución del problema mecánico cuántico en el movimiento de electrones en el campo Coulomb, coincide con el espectro que se obtuvo con la aplicación de ayuda de las reglas de cuantificación Bohr-Sommerfeld a las ecuaciones clásicas. El número cuántico radial determina el número de nodos de la función de onda radial ${displaystyle R(r)}$.

Valores

En química, los valores n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 se utilizan en relación con la teoría de la capa de electrones, con la inclusión esperada de n = 8 (y posiblemente 9) para elementos del período 8 aún no descubiertos. En física atómica, a veces aparecen n más altos para la descripción de estados excitados. Las observaciones del medio interestelar revelan líneas espectrales de hidrógeno atómico que involucran a n del orden de cientos; Se detectaron valores de hasta 766.