Número cuántico azimutal

En mecánica cuántica, el número cuántico azimutal es un número cuántico de un orbital atómico que determina su momento angular orbital y describe la forma del orbital. El número cuántico azimutal es el segundo de un conjunto de números cuánticos que describen el estado cuántico único de un electrón (los otros son el número cuántico principal n , el número cuántico magnético m_ℓ y el número cuántico de espín m_s). También se le conoce como número cuántico de momento angular orbital, número cuántico orbital, número cuántico subsidiario o segundo número cuántico, y se simboliza como ℓ (pronunciado ell).

Derivación

Conectados con los estados energéticos de los electrones del átomo hay cuatro números cuánticos: n, ℓ, m _ℓ y m_s. Estos especifican el estado cuántico completo y único de un solo electrón en un átomo y constituyen su función de onda u orbital. Al resolver para obtener la función de onda, la ecuación de Schrödinger se reduce a tres ecuaciones que conducen a los primeros tres números cuánticos. Por tanto, las ecuaciones de los tres primeros números cuánticos están todas interrelacionadas. El número cuántico azimutal surgió en la solución de la parte polar de la ecuación de onda como se muestra a continuación, dependiendo del sistema de coordenadas esféricas, que generalmente funciona mejor con modelos que tienen algún vislumbre de simetría esférica.

El momento angular de un electrón atómico, L, está relacionado con su número cuántico ℓ por la siguiente ecuación:

$${displaystyle mathbf {L} ^{2}psi =hbar ^{2}ell (ell +1) Psi!$$

${displaystyle Psi }$

Los orbitales atómicos tienen formas distintivas indicadas por letras. En la ilustración, las letras s, p y d (una convención que se origina en la espectroscopia) describen la forma del orbital atómico.

Sus funciones de onda toman la forma de armónicos esféricos, y así se describen en los polinomios de Legendre. Los diversos orbitales relacionados con diferentes valores de ℓ a veces se denominan subcapas y se denominan con letras latinas minúsculas (elegidas por razones históricas), de la siguiente manera:

Cada uno de los diferentes estados de momento angular puede tomar 2(2ℓ + 1) electrones. Esto se debe a que el tercer número cuántico m_ℓ (que puede considerarse en términos generales como la proyección cuantificada del vector de momento angular en el eje z) va desde −ℓ a ℓ en unidades enteras, por lo que hay 2ℓ + 1 estados posibles. Cada orbital n, ℓ, m_ℓ puede estar ocupado por dos electrones con espines opuestos (dados por la número cuántico m_s = ±1⁄2), dando 2(2ℓ + 1) electrones en total. Los orbitales con ℓ superiores a los indicados en la tabla son perfectamente permisibles, pero estos valores cubren todos los átomos descubiertos hasta ahora.

Para un valor dado del número cuántico principal n, los valores posibles de ℓ varían de 0 a n − 1; por lo tanto, la capa n = 1 solo posee una subcapa s y solo puede tomar 2 electrones, la La capa n = 2 posee una subcapa s y una p y puede tomar 8 electrones en total, la < La capa i>n = 3 posee las subcapas s, p y d y tiene un máximo de 18 electrones, etcétera.

Un modelo simplista de un electrón da como resultado niveles de energía que dependen únicamente del número principal. En átomos más complejos, estos niveles de energía se dividen para todos los n > 1, colocando los estados de ℓ superior por encima de los estados de ℓ inferior. Por ejemplo, la energía de 2p es mayor que la de 2s, 3d ocurre por encima de 3p, que a su vez está por encima de 3s, etc. Este efecto eventualmente forma la estructura de bloques de la tabla periódica. Ningún átomo conocido posee un electrón que tenga ℓ superior a tres (f) en su estado fundamental.

El número cuántico de impulso angular, l, gobierna el número de nodos planar que pasan por el núcleo. Un nodo plano se puede describir en una onda electromagnética como el punto medio entre la cresta y el trough, que tiene cero magnitudes. En un s orbital, nodos pasan por el núcleo, por lo tanto el número de cuántico azimutal correspondiente l toma el valor de 0. En un p orbital, un nodo atraviesa el núcleo y por lo tanto l tiene el valor de 1. ${displaystyle L.$ tiene el valor ${displaystyle {sqrt {2}hbar}$.

Dependiendo del valor de n, existe un número cuántico de momento angular ℓ y la siguiente serie. Las longitudes de onda enumeradas son para un átomo de hidrógeno:

Adición de momentos angulares cuantificados

Dado un impulso angular total cuantificado ${displaystyle mathbf {j}$ que es la suma de dos individual quantized angular momenta ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin }_{1}$ y ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMin }_{2}$,

$${displaystyle mathbf {j} ={boldsymbol # }_{1}+{boldsymbol {ell }_{2}$$

${displaystyle j}$

${fnMicrosoft Sans Serif}*$

${displaystyle ell _{1}+ell _{2}$

${displaystyle ell _{1}$

${displaystyle ell _{2}$

Momento angular total de un electrón en el átomo

Debido a la interacción espín-órbita en el átomo, el momento angular orbital ya no conmuta con el hamiltoniano, ni tampoco el espín. Por lo tanto, estos cambian con el tiempo. Sin embargo, el momento angular total J conmuta con el hamiltoniano de un electrón y, por tanto, es constante. J se define mediante

$${displaystyle mathbf {J} =mathbf {L} +mathbf {S}$$

$${displaystyle [J_{i},J_{j}=ihbar varepsilon ¿Qué?$$

$${displaystyle left[J_{i},J^{2}right]=0}$$

Los números cuánticos que describen el sistema, que son constantes con el tiempo, son ahora j y m_j, definida a través de la acción J sobre la función de onda ${displaystyle Psi }$

$${displaystyle {begin{aligned}mathbf {J} ^{2}Psi >hbar ^{2}j(j+1)Psi[1ex]mathbf {J} _{z} Psi m_{j}Psi end{aligned}}$$

De modo que j está relacionado con la norma del momento angular total y m_j a su proyección a lo largo de un eje específico. El número j tiene una importancia particular para la química cuántica relativista, y a menudo aparece en subíndice en la configuración electrónica de elementos superpesados.

Como ocurre con cualquier momento angular en mecánica cuántica, la proyección de J a lo largo de otros ejes no se puede codefinir con J_z, porque no se desplazan.

Relación entre números cuánticos nuevos y antiguos

j y m_j, junto con la paridad del estado cuántico, reemplazan los tres números cuánticos ℓ, m_ℓ y m _s (la proyección del giro a lo largo del eje especificado). Los primeros números cuánticos pueden estar relacionados con los segundos.

Además, los vectores propios de j, s, m_j y la paridad, que también son vectores propios del hamiltoniano, son combinaciones lineales de los vectores propios de ℓ, s, m_ℓ y m _s.

Lista de números cuánticos de momento angular

• Intrínseco (o giro) número angular de impulso cuántico, o simplemente girar número cuántico
• número cuántico angular de impulso orbital (el tema de este artículo)
• número cuántico magnético, relacionado con el número cuántico del impulso orbital
• total de impulso angular número cuántico

Historia

El número cuántico azimutal fue heredado del modelo atómico de Bohr y fue propuesto por Arnold Sommerfeld. El modelo de Bohr se derivó del análisis espectroscópico del átomo en combinación con el modelo atómico de Rutherford. Se descubrió que el nivel cuántico más bajo tenía un momento angular de cero. Las órbitas con momento angular cero se consideraban cargas oscilantes en una dimensión y, por lo tanto, se describían como órbitas de "péndulo" órbitas, pero no se encontraron en la naturaleza. En tres dimensiones, las órbitas se vuelven esféricas sin ningún nodo que cruce el núcleo, similar (en el estado de menor energía) a una cuerda para saltar que oscila en un gran círculo.