Número cuadrado

Plaza número 16 como suma de gnomos.

En matemáticas, un número cuadrado o cuadrado perfecto es un número entero que es el cuadrado de un número entero; en otras palabras, es el producto de algún número entero consigo mismo. Por ejemplo, 9 es un número cuadrado, ya que equivale a 3² y se puede escribir como 3 × 3.

La notación usual para el cuadrado de un número n no es el producto n × n, pero la exponenciación equivalente n², generalmente pronunciado como "n squared". El nombre número cuadrado proviene del nombre de la forma. La unidad de área se define como el área de un cuadrado unitario (1 × 1). Por lo tanto, un cuadrado con una longitud de lado n tiene un área n². Si un número cuadrado está representado por n puntos, los puntos se pueden organizar en filas como un cuadrado, cada lado del cual tiene el mismo número de puntos que la raíz cuadrada de n; por lo tanto, los números cuadrados son un tipo de números figurados (otros ejemplos son los números cúbicos y los números triangulares).

En el sistema de números reales, los números cuadrados no son negativos. Un entero no negativo es un número cuadrado cuando su raíz cuadrada es otra vez un entero. Por ejemplo, 9=3,{displaystyle {sqrt {}=3,} Así que 9 es un número cuadrado.

Un entero positivo que no tiene divisores cuadrados excepto 1 se llama sin cuadrados.

Para un entero no negativo n, el nnúmero cuadrado n², con 0² = 0 siendo el uno cero. El concepto de cuadrado se puede ampliar a algunos otros sistemas de números. Si se incluyen números racionales, entonces un cuadrado es la relación de dos enteros cuadrados, y, por el contrario, la relación de dos enteros cuadrados es un cuadrado, por ejemplo, 49=()23)2{displaystyle textstyle {frac {4} {9}=left({frac {2}{3}right)} {2}}}}}}.

Empezando con 1, hay ⌊ ⌊ m⌋ ⌋ {displaystyle lfloor {sqrt {m}rfloor } números cuadrados hasta e incluyendo m, donde la expresión ⌊ ⌊ x⌋ ⌋ {displaystyle lfloor xrfloor } representa el piso del númerox.

Ejemplos

Los cuadrados (secuencia A000290 en el OEIS) menores de 60² = 3600 son:

La diferencia entre cualquier cuadrado perfecto y su predecesor viene dada por la identidad n² − (n − 1)² = 2n − 1. De manera equivalente, es posible contar números cuadrados sumando el último cuadrado, la raíz del último cuadrado y la raíz actual, es decir, n² = (n − 1)² + (n − 1) + n .

Propiedades

El número m es un número cuadrado si y solo si uno puede ordenar m puntos en un cuadrado:

m = 12 = 1
m = 22 = 4
m = 32 = 9
m = 42 = 16
m = 52 = 25

La expresión para el nésimo número cuadrado es n². Esto también es igual a la suma de los primeros n números impares como se puede ver en las imágenes de arriba, donde un cuadrado resulta de el anterior sumando un número impar de puntos (mostrado en magenta). La fórmula sigue:

n2=.. k=1n()2k− − 1).{displaystyle n^{2}=sum _{k=1} {n}(2k-1). }

La suma de la primera n extraños enteros es n². 1 + 3 + 5 +... + (2n −1) = n². Visualización 3D animada en un tetraedro.

Existen varios métodos recursivos para calcular números cuadrados. Por ejemplo, el nésimo cuadrado se puede calcular a partir del cuadrado anterior mediante n² = (n − 1)² + (n − 1) + n = (n − 1)² + (2n − 1). Alternativamente, el nésimo número cuadrado se puede calcular a partir de los dos anteriores duplicando el (n − 1)ésimo cuadrado, restando el (n − 2)ésimo cuadrado y sumando 2, porque n² = 2(n − 1)² − (n − 2)² + 2. Por ejemplo,

2 × 5² − 4² + 2 = 2 × 25 - 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

El cuadrado menos uno de un número m es siempre el producto de m− − 1{displaystyle m-1} y m+1;{displaystyle m+1;} es decir,

m2− − 1=()m− − 1)()m+1).{displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1). }

6× × 8=48{displaystyle 6times 8=48}

Más generalmente, la diferencia de los cuadrados de dos números es el producto de su suma y su diferencia. Es decir,

a2− − b2=()a+b)()a− − b){displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}

Otra propiedad de un número cuadrado es que (excepto el 0) tiene un número impar de divisores positivos, mientras que otros números naturales tienen un número par de divisores positivos. Una raíz entera es el único divisor que se empareja consigo mismo para producir el número cuadrado, mientras que otros divisores vienen en pares.

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange establece que cualquier número entero positivo se puede escribir como la suma de cuatro o menos cuadrados perfectos. Tres cuadrados no son suficientes para números de la forma 4^k(8m + 7). Un entero positivo se puede representar como una suma de dos cuadrados precisamente si su descomposición en factores primos no contiene potencias impares de números primos de la forma 4k + 3. Esto se generaliza por el problema de Waring.

En base 10, un número cuadrado puede terminar solo con los dígitos 0, 1, 4, 5, 6 o 9, de la siguiente manera:

• si el último dígito de un número es 0, su cuadrado termina en 00;
• si el último dígito de un número es 1 o 9, su cuadrado termina en un dígito uniforme seguido de un 1;
• si el último dígito de un número es 2 o 8, su cuadrado termina en un dígito uniforme seguido de un 4;
• si el último dígito de un número es 3 o 7, su cuadrado termina en un dígito uniforme seguido de un 9;
• si el último dígito de un número es 4 o 6, su cuadrado termina en un dígito extraño seguido de un 6; y
• si el último dígito de un número es 5, su cuadrado termina en 25.

En base 12, un número cuadrado puede terminar solo en dígitos cuadrados (al igual que en base 12, un número primo puede terminar solo en dígitos primos o 1), es decir, 0, 1, 4 o 9, de la siguiente manera:

• si un número es divisible tanto por 2 como por 3 (es decir, divisible por 6), su cuadrado termina en 0, y su dígito anterior debe ser 0 o 3;
• si un número es divisible ni por 2 ni por 3, su cuadrado termina en 1, y su dígito anterior debe ser incluso;
• si un número es divisible por 2, pero no por 3, su cuadrado termina en 4, y su dígito anterior debe ser 0, 1, 4, 5, 8, o 9; y
• si un número no es divisible por 2, pero por 3, su cuadrado termina en 9, y su dígito anterior debe ser 0 o 6.

Se pueden dar reglas similares para otras bases, o para dígitos anteriores (el dígito de las decenas en lugar del dígito de las unidades, por ejemplo). Todas estas reglas se pueden probar verificando un número fijo de casos y usando aritmética modular.

En general, si un primo p divide un número cuadrado m entonces el cuadrado de p también debe dividir m; si p no logra dividir m/p, entonces m definitivamente no es cuadrado. Repitiendo las divisiones de la oración anterior, se concluye que cada número primo debe dividir un cuadrado perfecto dado un número par de veces (incluyendo posiblemente 0 veces). Por lo tanto, el número m es un número cuadrado si y solo si, en su representación canónica, todos los exponentes son pares.

Las pruebas de la escuaridad se pueden utilizar como forma alternativa en la factorización de grandes números. En lugar de pruebas para la divisibilidad, prueba para la escuaridad: para dado m y algún númerok, si k² − m es el cuadrado de un enteron entonces k − n divideciones m. (Esta es una aplicación de la factorización de una diferencia de dos cuadrados.) Por ejemplo, 100² 99−91 es el cuadrado de 3, por consiguiente 100 - 3 divide 9991. Esta prueba es determinista para divisores extraños en el rango desde k − n a k + n Donde k cubre cierta gama de números naturales k≥ ≥ m.{displaystyle kgeq {sqrt {m}}

Un número cuadrado no puede ser un número perfecto.

La suma de los n primeros números cuadrados es

.. n=0Nn2=02+12+22+32+42+⋯ ⋯ +N2=N()N+1)()2N+1)6.{displaystyle sum ##{2}+2^{2}+4^{2}+cdots +N^{2}={frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...

Prueba sin palabras para la suma de números extraños teorema

La suma de los primeros enteros extraños, comenzando con uno, es un cuadrado perfecto: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, etc. Esto explica la ley de números impares de Galileo: si un cuerpo que cae del reposo cubre una unidad de distancia en el primer intervalo de tiempo arbitrario, cubre 3, 5, 7, etc., unidades de distancia en intervalos de tiempo posteriores de la misma longitud. Desde s=ut+12at2{displaystyle s=ut+{tfrac {1} {2}at^{2}} {2}} {2} {2}} {c} {cH}} {c}}}} {c}}}}}}} {c}}}}} {c}} {c}} {c}} {c} {}}}}}} {c}}} {}}}} {}}}} {} {}}}} {}}}}}}} {}} {}} {}}}}}}}} {}} {}}}}}} {} {} {c}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}} {} {} {}}} {} {}}}} {} {}}}} {} {} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}, para u = 0 y constantes a (aceleración por gravedad sin resistencia al aire); s es proporcional a t², y la distancia desde el punto de partida son cuadrados consecutivos para valores enteros del tiempo transcurrido.

La suma de los n primeros cubos es el cuadrado de la suma de los n primeros enteros positivos; este es el teorema de Nicómaco.

Todas las cuartas potencias, las sextas potencias, las octavas potencias, etc., son cuadrados perfectos.

Una relación única con números triangulares Tn{displaystyle T_{n} es:

()Tn)2+()Tn+1)2=T()n+1)2{displaystyle (T_{n}}{2}+(T_{n+1}{2}=T_{(n+1)^{2}}

Números cuadrados pares e impares

Los cuadrados de números pares son pares y son divisibles por 4, ya que (2n)² = 4n ². Los cuadrados de los números impares son impares y son congruentes con 1 módulo 8, ya que (2n + 1)² = 4 n(n + 1) + 1 y n(n + 1) siempre es par. En otras palabras, todos los números cuadrados impares tienen un resto de 1 cuando se dividen por 8.

Todo cuadrado perfecto impar es un número octogonal centrado. La diferencia entre dos cuadrados perfectos impares cualesquiera es un múltiplo de 8. La diferencia entre 1 y cualquier cuadrado perfecto impar superior siempre es ocho veces un número triangular, mientras que la diferencia entre 9 y cualquier cuadrado perfecto impar superior es ocho veces un número triangular menos ocho. Dado que todos los números triangulares tienen un factor impar, pero no hay dos valores de 2ⁿ que difieran en una cantidad que contenga un factor impar, el único cuadrado perfecto de la forma 2ⁿ − 1 es 1, y el único cuadrado perfecto de la forma 2ⁿ + 1 es 9.

Casos especiales

• Si el número es de la forma m5 Donde m representa los dígitos anteriores, su cuadrado es n25 Donde n = m()m + 1) y representa dígitos antes de 25. Por ejemplo, el cuadrado de 65 puede ser calculado por n = 6 × (6 + 1) = 42 que hace la plaza igual a 4225.
• Si el número es de la forma m0 Donde m representa los dígitos anteriores, su cuadrado es n00 Donde n = m². Por ejemplo, el cuadrado de 70 es 4900.
• Si el número tiene dos dígitos y es de la forma 5m Donde m representa el dígito de unidades, su cuadrado abb Donde aa = 25 + m y bb = m². Por ejemplo, para calcular el cuadrado de 57, m = 7 y 25 + 7 = 32 y 7² = 49Así que 57² = 3249.
• Si el número termina en 5, su cuadrado terminará en 5; similarmente para terminar en 25, 625, 0625, 90625,... 8212890625, etc. Si el número termina en 6, su cuadrado terminará en 6, de forma similar para terminar en 76, 376, 9376, 09376,... 1787109376. Por ejemplo, el cuadrado de 55376 es 3066501376, ambos terminando en 376. (Los números 5, 6, 25, 76, etc. se llaman números automorficos. Son secuencia A003226 en el OEIS.)
• En la base 10, los dos últimos dígitos de números cuadrados siguen un patrón de repetición simétrico espejo alrededor de múltiplos de 25. En el ejemplo de 24 y 26, ambos 1 de 25, 24² = 576 y 26² = 676, ambos terminando en 76. En general, ()25n+x)2− − ()25n− − x)2=100nx{textstyle (25n+x)} {2}-(25n-x)}=100nx}. Un patrón análogo se aplica para los últimos 3 dígitos alrededor de múltiplos de 250, y así sucesivamente. Como consecuencia, de los 100 posibles últimos 2 dígitos, sólo 22 de ellos ocurren entre números cuadrados (ya que 00 y 25 se repiten).