Número construible

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Número constructible a través de la brújula y la recta

La raíz cuadrada de 2 es igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo derecho con las piernas de la longitud 1 y por lo tanto es un número constructible

En geometría y álgebra, un número real $r$ es constructible si y sólo si, dado un segmento de línea de longitud de unidad, un segmento de línea de longitud $|r|$ se puede construir con brújula y rectitud en un número finito de pasos. Equivalentemente, $r$ es constructible si y sólo si hay una expresión de forma cerrada $r$ usando sólo números enteros y las operaciones de adición, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas.

La definición geométrica de números construibles motiva una definición correspondiente de puntos construibles, que nuevamente pueden ser descritos geométrica o algebraicamente. Un punto es construible si se puede producir como uno de los puntos de una construcción de regla y compás (un punto final de un segmento de línea o un punto de cruce de dos líneas o círculos), a partir de un segmento de longitud de unidad dada. Alternativa y equivalentemente, tomando los dos extremos del segmento dado como los puntos (0, 0) y (1, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas, un punto es construible si y solo si sus coordenadas cartesianas son ambos números construibles. Los números y puntos construibles también se han denominado números de regla y compás y puntos de regla y compás, para distinguirlos de los números y puntos que pueden construirse mediante otros procesos.

El conjunto de números construibles forma un campo: aplicar cualquiera de las cuatro operaciones aritméticas básicas a los miembros de este conjunto produce otro número construible. Este campo es una extensión del campo de los números racionales ya su vez está contenido en el campo de los números algebraicos. Es la clausura euclidiana de los números racionales, la extensión de campo más pequeña de los racionales que incluye las raíces cuadradas de todos sus números positivos.

La prueba de la equivalencia entre las definiciones algebraicas y geométricas de los números construibles tiene el efecto de transformar preguntas geométricas sobre construcciones con regla y compás en álgebra, incluidos varios problemas famosos de las matemáticas griegas antiguas. La formulación algebraica de estas preguntas condujo a pruebas de que sus soluciones no son construibles, después de que la formulación geométrica de los mismos problemas desafiara siglos de ataques.

Definiciones geométricas

Puntos construibles geométricamente

Vamos $O$ y $A$ ser dos puntos diferenciados en el plano Euclideano, y definir $S$ para ser el conjunto de puntos que se pueden construir con brújula y hendidura comenzando con $O$ y $A$ . Luego los puntos de $S$ se llaman puntos constructibles. $O$ y $A$ son, por definición, elementos de $S$ . Para describir con más precisión los elementos restantes $S$ , hacer las dos definiciones siguientes:

un segmento de línea cuyos puntos finales están en $S$ se llama segmento construido, y
un círculo cuyo centro está $S$ y que pasa por un punto $S$ (alternativamente, cuyo radio es la distancia entre un par de puntos distintos de $S$ ) se llama un círculo construido.

Entonces, los puntos de $S$ , además $O$ y $A$ son:

la intersección de dos segmentos no paralelos construidos, o líneas a través de segmentos construidos,
los puntos de intersección de un círculo construido y un segmento construido, o línea a través de un segmento construido, o
los puntos de intersección de dos círculos construidos distintos.

Como ejemplo, el punto medio del segmento construido ${displaystyle OA}$ es un punto constructible. Una construcción para ella es construir dos círculos con ${displaystyle OA}$ como radio, y la línea a través de los dos puntos de cruce de estos dos círculos. Luego el punto medio del segmento ${displaystyle OA}$ es el punto donde este segmento es cruzado por la línea construida.

Números construibles geométricamente

La información inicial para la formulación geométrica se puede utilizar para definir un sistema de coordenadas cartesiano en el que el punto $O$ se asocia al origen que tiene coordenadas $(0,0)$ y en qué punto $A$ se asocia con las coordenadas $(1,0)$ . Los puntos de $S$ puede ser utilizado ahora para vincular la geometría y el álgebra definiendo un número constructible ser una coordinación de un punto constructible.

Definiciones equivalentes son que un número constructible es el $x$ -coordinado de un punto constructible $(x,0)$ o la longitud de un segmento de línea constructible. En una dirección de esta equivalencia, si un punto constructible tiene coordenadas $(x,y)$ , entonces el punto $(x,0)$ se puede construir como su proyección perpendicular sobre $x$ -eje, y el segmento del origen a este punto tiene longitud $x$ . En la dirección inversa, si $x$ es la longitud de un segmento de línea constructible, luego intersectando $x$ -eje con un círculo centrado en $O$ con radio $x$ da el punto $(x,0)$ . De esta equivalencia se desprende que cada punto cuyas coordenadas cartesianas son números geométricamente constructibles es en sí mismo un punto geométricamente constructible. Para cuando $x$ y $y$ son números geométricamente constructibles, punto $(x,y)$ se puede construir como la intersección de líneas a través $(x,0)$ y $(0,y)$ , perpendicular a los ejes de coordenadas.

Definiciones algebraicas

Números construibles algebraicamente

Los números reales algebraicamente constructibles son el subconjunto de los números reales que se pueden describir por fórmulas que combinan enteros utilizando las operaciones de adición, resta, multiplicación, inversa multiplicativa y raíces cuadradas de números positivos. Aún más simple, a expensas de hacer estas fórmulas más largas, los enteros en estas fórmulas pueden ser restringidos a ser sólo 0 y 1. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es constructible, porque puede ser descrita por las fórmulas ${sqrt {2}}$ o ${displaystyle {sqrt {1+1}}}$ .

Análogamente, los números complejos algebraicamente constructibles son el subconjunto de números complejos que tienen fórmulas del mismo tipo, utilizando una versión más general de la raíz cuadrada que no está restringido a números positivos, sino que puede tomar números complejos arbitrarios como su argumento, y produce la raíz cuadrada principal de su argumento. Alternativamente, el mismo sistema de números complejos puede definirse como los números complejos cuyas partes reales e imaginarias son tanto números reales constructibles. Por ejemplo, el número complejo $i$ tiene las fórmulas ${sqrt {-1}}$ o ${displaystyle {sqrt {0-1}}}$ , y sus partes reales e imaginarias son los números constructibles 0 y 1 respectivamente.

Estas dos definiciones de los números complejos constructibles son equivalentes. En una dirección, si ${displaystyle q=x+iy}$ es un número complejo cuya parte real $x$ y parte imaginaria $y$ son los dos números reales constructibles, luego reemplazar $x$ y $y$ por sus fórmulas dentro de la fórmula más grande ${displaystyle x+y{sqrt {-1}}}$ produce una fórmula para $q$ como un número complejo. En la otra dirección, cualquier fórmula para un número complejo algebraicamente constructible puede transformarse en fórmulas para sus partes reales e imaginarias, ampliando cada operación en la fórmula en operaciones en las partes reales e imaginarias de sus argumentos, utilizando las expansiones

${displaystyle (a+ib)pm (c+id)=(apm c)+i(bpm d)}$
${displaystyle (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)}$
${displaystyle {frac {1}{a+ib}}={frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}}$
${displaystyle {sqrt {a+ib}}={frac {(a+r){sqrt {r}}}{s}}+i{frac {b{sqrt {r}}}{s}}}$ , donde ${displaystyle r={sqrt {a^{2}+b^{2}{}_{!}}}}$ y ${displaystyle s={sqrt {(a+r)^{2}+b^{2}}}}$ .

Puntos construibles algebraicamente

Los puntos construibles algebraicamente pueden definirse como los puntos cuyas dos coordenadas cartesianas reales son ambos números reales construibles algebraicamente. Alternativamente, pueden definirse como los puntos en el plano complejo dados por números complejos construibles algebraicamente. Por la equivalencia entre las dos definiciones de números complejos algebraicamente construibles, estas dos definiciones de puntos algebraicamente construibles también son equivalentes.

Equivalencia de definiciones algebraicas y geométricas

Si $a$ y $b$ son las longitudes no cero de los segmentos geométricamente construidos, luego brújula elemental y construcciones de trama se pueden utilizar para obtener segmentos construidos de longitudes $a+b$ , ${displaystyle |a-b|}$ , $ab$ , y $a/b$ . Estos dos últimos se pueden hacer con una construcción basada en el teorema de interceptación. Una construcción ligeramente menos elemental con estas herramientas se basa en el teorema geométrico y construirá un segmento de longitud ${sqrt {a}}$ de un segmento de longitud construido $a$ . Sigue que cada número algebraicamente constructible es geométricamente constructible, utilizando estas técnicas para traducir una fórmula para el número en una construcción para el número.

Compass and straightedge constructions for constructible numbers

ab

basado en el teorema de interceptación

{displaystyle {frac {a}{b}}}

basado en el teorema de interceptación

{sqrt {p}}

basado en el teorema geométrico

En la otra dirección, un conjunto de objetos geométricos puede ser especificado por números reales algebraicamente constructibles: coordenadas para puntos, pendiente y $y$ -intercepto para líneas, centro y radio para círculos. Es posible (pero tedioso) desarrollar fórmulas en términos de estos valores, utilizando sólo raíces aritméticas y cuadradas, para cada objeto adicional que pueda ser añadido en un solo paso de una construcción de brújula y traicion. De estas fórmulas se desprende que cada número geométricamente constructible es algebraicamente constructible.

Propiedades algebraicas

La definición de números construibles algebraicamente incluye la suma, la diferencia, el producto y el inverso multiplicativo de cualquiera de estos números, las mismas operaciones que definen un campo en álgebra abstracta. Así, los números construibles (definidos en cualquiera de las formas anteriores) forman un campo. Más específicamente, los números reales construibles forman un campo euclidiano, un campo ordenado que contiene una raíz cuadrada de cada uno de sus elementos positivos. Examinar las propiedades de este campo y sus subcampos conduce a las condiciones necesarias para que un número sea construible, que se puede usar para mostrar que los números específicos que surgen en los problemas de construcción geométrica clásica no son construibles.

Es conveniente considerar, en lugar de todo el campo de números constructibles, el subcampo ${mathbb {Q}}(gamma)$ generado por cualquier número constructible dado $gamma$ , y para utilizar la construcción algebraica de $gamma$ para descomponer este campo. Si $gamma$ es un número real constructible, entonces los valores que ocurren dentro de una fórmula que construye se puede utilizar para producir una secuencia finita de números reales ${displaystyle alpha _{1},dotsa_{n}=gamma }$ tal que, para cada $i$ , ${displaystyle mathbb {Q} (alpha _{1},dotsa_{i})}$ es una extensión de ${displaystyle mathbb {Q} (alpha _{1},dotsa_{i-1})}$ grado 2. Usando una terminología ligeramente diferente, un número real es constructible si y sólo si se encuentra en un campo en la parte superior de una torre finita de extensiones cuadráticas reales,

{displaystyle mathbb {Q} =K_{0}subseteq K_{1}subseteq dots subseteq K_{n},}

mathbb {Q}

gamma

K_{n}

<math alttext="{displaystyle 00.j\leq \leq n{displaystyle 0 madejleq n} <img alt="{displaystyle 0

{displaystyle [K_{j}:K_{j-1}]=2}

{displaystyle [mathbb {Q} (gamma):mathbb {Q} ]}

2^r

r

Analógicamente al caso real, un número complejo es constructible si y sólo si se encuentra en un campo en la parte superior de una torre finita de extensiones cuadráticas complejas. Más precisamente, $gamma$ es constructible si y sólo si existe una torre de campos

{displaystyle mathbb {Q} =F_{0}subseteq F_{1}subseteq dots subseteq F_{n},}

gamma

F_{n}

<math alttext="{displaystyle 00.j\leq \leq n{displaystyle 0 madejleq n} <img alt="{displaystyle 0

{displaystyle [F_{j}:F_{j-1}]=2}

gamma

{displaystyle [mathbb {Q} (gamma):mathbb {Q} ]}

Los campos que se pueden generar de esta manera desde torres de extensiones cuadráticas de $mathbb {Q}$ se llaman extensiones cuadráticas iteradas de $mathbb {Q}$ . Los campos de números constructibles reales y complejos son los sindicatos de todas las extensiones cuadráticas iteradas reales o complejas de $mathbb {Q}$ .

Números trigonométricos

Los números trigonométricos son los cosines o los pecados de ángulos que son múltiplos racionales de $pi$ . Estos números siempre son algebraicos, pero pueden no ser constructibles. El cosino o el seno del ángulo $2pi /n$ es constructible sólo para ciertos números especiales $n$ :

Los poderes de dos
Los primos de Fermat, números primos que son uno más un poder de dos
Los productos de los poderes de dos y distintos primos de Fermat.

Así, por ejemplo, $cos(pi/15)$ es constructible porque 15 es el producto de dos primos de Fermat, 3 y 5.

Construcciones imposibles

Un cubo y su doble

Un ángulo y su trisección

Círculo y plaza con áreas iguales

Los antiguos griegos pensaban que ciertos problemas de construcción con regla y compás que no podían resolver eran simplemente obstinados, no irresolubles. Sin embargo, la no constructibilidad de ciertos números demuestra que estas construcciones son lógicamente imposibles de realizar. (Sin embargo, los problemas en sí mismos se pueden resolver utilizando métodos que van más allá de la restricción de trabajar solo con regla y compás, y los griegos sabían cómo resolverlos de esta manera. Un ejemplo de ello es la solución constructiva del problema de Arquímedes Neusis. de trisección de ángulo.)

En particular, la formulación algebraica de números construibles conduce a una prueba de la imposibilidad de los siguientes problemas de construcción:

Doblando el cubo: El problema de duplicar la plaza unidad se resuelve mediante la construcción de otra plaza en la diagonal de la primera, con longitud lateral ${sqrt {2}}$ y zona $2$ . Analógicamente, el problema de duplicar el cubo pide la construcción de la longitud ${sqrt[{3}]{2}}$ del lado de un cubo con volumen $2$ . No es constructible, porque el mínimo polinomio de esta longitud, ${displaystyle x^{3}-2}$ , tiene título 3 sobre $mathbb {Q}$ . Como polinomio cúbico cuya única raíz real es irracional, este polinomio debe ser irreducible, porque si tuviera una raíz real cuadrática entonces el conjugado cuadrático proporcionaría una segunda raíz real.
Trisección angular: En este problema, desde un ángulo dado $theta$ , uno debe construir un ángulo $theta /3$ . Algebraicamente, los ángulos pueden ser representados por sus funciones trigonométricas, como sus pecados o cosines, que dan las coordenadas cartesianas del punto final de un segmento de línea que forma el ángulo dado con el segmento inicial. Así, un ángulo $theta$ es constructible cuando $x=cos theta$ es un número constructible, y el problema de trisecar el ángulo puede ser formulado como uno de construcción ${displaystyle cos({tfrac {1}{3}}arccos x)}$ . Por ejemplo, el ángulo ${displaystyle theta =pi /3=60^{circ }}$ de un triángulo equilátero se puede construir por la brújula y la recta, con ${displaystyle x=cos theta ={tfrac {1}{2}}}$ . Sin embargo, su trisección ${displaystyle theta /3=pi /9=20^{circ }}$ no se puede construir, porque ${displaystyle cos pi /9}$ tiene un mínimo polinomio ${displaystyle 8x^{3}-6x-1}$ de grado 3 sobre $mathbb {Q}$ . Debido a que este caso específico del problema de la trisección no puede ser resuelto por compás y rectitud, el problema general tampoco puede ser resuelto.
Cuadrando el círculo: Un cuadrado con zona $pi$ , la misma área que un círculo de unidad, tendría longitud lateral ${sqrt pi }$ , un número trascendental. Por lo tanto, este cuadrado y su longitud lateral no son constructibles, porque no es algebraico sobre $mathbb {Q}$ .
Poligones regulares: Si es normal $n$ -gon está construido con su centro en el origen, los ángulos entre los segmentos del centro a los vértices consecutivos son $2pi /n$ . El polígono se puede construir sólo cuando la cosina de este ángulo es un número trigonométrico. Así, por ejemplo, un 15-gon es constructible, pero el hepágono regular no es constructible, porque 7 es primo, pero no un prima Fermat. Para una prueba más directa de su no-constructibilidad, representan los vértices de un heptógono regular como las raíces complejas del polinomio ${displaystyle x^{7}-1}$ . Eliminación del factor $x-1$ , dividiendo por $x^{3}$ , y sustitución ${displaystyle y=x+1/x}$ da el polinomio más simple ${displaystyle y^{3}+y^{2}-2y-1}$ , un cúbico irreducible con tres raíces reales, cada dos veces la parte real de un vértice complejo-número. Sus raíces no son constructibles, por lo que el heptógono tampoco es constructible.
El problema de Alhazen: Si se dan dos puntos y un espejo circular, ¿dónde en el círculo uno de los puntos dados ve la imagen reflejada del otro? Geométricamente, las líneas de cada punto dado al punto de reflexión se encuentran en ángulos iguales y en acordes de longitud igual. Sin embargo, es imposible construir un punto de reflexión utilizando una brújula y una recta. En particular, para un círculo de unidad con los dos puntos ${displaystyle ({tfrac {1}{6}},{tfrac {1}{6}})}$ y ${displaystyle (-{tfrac {1}{2}},{tfrac {1}{2}})}$ dentro de ella, la solución tiene coordenadas formando raíces de un grado irreducible-cuatro polinomio ${displaystyle x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1}$ . Aunque su grado es un poder de dos, el campo de división de este polinomio tiene un grado divisible por tres, por lo que no viene de una extensión cuadrática iterada y el problema de Alhazen no tiene solución de compás y rectitud.

Historia

El nacimiento del concepto de números construibles está indisolublemente ligado a la historia de las tres construcciones imposibles con regla y compás: duplicar el cubo, trisecar un ángulo y cuadrar el círculo. La restricción de usar solo compás y regla en construcciones geométricas a menudo se atribuye a Platón debido a un pasaje de Plutarco. Según Plutarco, Platón le dio el problema de la duplicación del cubo (Deliano) a Eudoxo, Arquitas y Menaechmus, quienes resolvieron el problema usando medios mecánicos, ganándose una reprimenda de Platón por no resolver el problema usando geometría pura. Sin embargo, esta atribución es cuestionada, debido, en parte, a la existencia de otra versión de la historia (atribuida a Eratóstenes por Eutocio de Ascalón) que dice que los tres encontraron soluciones pero que eran demasiado abstractas para tener valor práctico. Proclo, citando a Eudemo de Rodas, le dio crédito a Oenopides (alrededor del 450 a. C.) con dos construcciones de regla y compás, lo que llevó a algunos autores a plantear la hipótesis de que Oenopides originó la restricción. La restricción a compás y regla es esencial para la imposibilidad de los problemas clásicos de construcción. La trisección de ángulos, por ejemplo, se puede hacer de muchas maneras, varias conocidas por los antiguos griegos. Se han utilizado la Cuadratriz de Hipias de Elis, las cónicas de Menecmo o la construcción de regla marcada (neusis) de Arquímedes, al igual que un enfoque más moderno a través del plegado de papel.

Aunque no uno de los tres problemas clásicos de construcción, el problema de construir polígonos regulares con hendidura y brújula se trata a menudo junto a ellos. Los griegos sabían cómo construir regularmente $n$ -gones con ${displaystyle n=2^{h}}$ (para cualquier entero) ${displaystyle hgeq 2}$ ), 3, 5, o el producto de dos o tres de estos números, pero otros regulares $n$ -gones los eludieron. En 1796 Carl Friedrich Gauss, entonces un estudiante de dieciocho años, anunció en un periódico que había construido un 17-gon regular con rectitud y brújula. El tratamiento de Gauss era algebraico en lugar de geométrico; de hecho, no construyó realmente el polígono, sino que mostró que la cosina de un ángulo central era un número constructible. El argumento fue generalizado en su libro de 1801 Disquisición Arithmeticae dando suficiente condiciones para la construcción de un $n$ - Vete. Gauss afirmó, pero no demostró, que la condición también era necesaria y varios autores, especialmente Felix Klein, le atribuyeron esta parte de la prueba también. El problema de Alhazen tampoco es uno de los tres problemas clásicos, pero a pesar de ser nombrado por Ibn al-Haytham (Alhazen), un matemático islámico medieval, ya aparece en la obra de Ptolomeo sobre la óptica del siglo II.

Pierre Wantzel (1837) demostró algebraicamente que los problemas de doblar el cubo y trisecar el ángulo son imposibles de resolver si solo se usa compás y regla. En el mismo artículo también resolvió el problema de determinar qué polígonos regulares son construibles: un polígono regular es construible si y solo si el número de sus lados es el producto de una potencia de dos y cualquier número de primos de Fermat distintos (es decir, también son necesarias las condiciones suficientes dadas por Gauss). James Gregory dio un intento de prueba de la imposibilidad de cuadratura del círculo en Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (La verdadera cuadratura del círculo y de la hipérbola) en 1667. Aunque su prueba era defectuosa, fue el primer artículo que intentó resolver el problema usando las propiedades algebraicas de $π$ . No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann demostró rigurosamente su imposibilidad, ampliando el trabajo de Charles Hermite y demostrando que $π$ es una número trascendental. El problema de Alhazen no se demostró imposible de resolver con regla y compás hasta el trabajo de Elkin (1965).

El estudio de los números construibles, per se, fue iniciado por René Descartes en La Géométrie, un apéndice de su libro Discurso del método publicado en 1637. Descartes asoció los números a los segmentos geométricos de recta con el fin de para mostrar el poder de su método filosófico al resolver un antiguo problema de construcción con regla y compás presentado por Pappus.

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