Número complejo

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Número con una parte real e imaginaria

Un número complejo puede ser representado visualmente como un par de números

() a, b)

formando un vector en un diagrama llamado diagrama Argand, representando el plano complejo. Re es el eje real, Im es el eje imaginario, y

i

es la "unidad imaginaria", que satisfice

i 2 = 1 -

En matemáticas, a complejo es un elemento de un sistema número que extiende los números reales con un elemento específico denotado $i$ , llamado la unidad imaginaria y satisfacer la ecuación ${displaystyle i^{2}=-1}$ ; cada número complejo se puede expresar en la forma $a + bi$ , donde $a$ y $b$ son números reales. Porque ningún número real satisface la ecuación anterior, $i$ fue llamado número imaginario de René Descartes. Para el número complejo $a+bi$ , $a$ se llama parte real, y $b$ se llama parte imaginaria. El conjunto de números complejos es denotado por cualquiera de los símbolos $mathbb {C}$ o $C$ . A pesar de la nomenclatura histórica "imaginaria", los números complejos son considerados en las ciencias matemáticas como "real" como los números reales y son fundamentales en muchos aspectos de la descripción científica del mundo natural.

Los números complejos permiten soluciones a todas las ecuaciones polinómicas, incluso aquellas que no tienen soluciones en números reales. Más precisamente, el teorema fundamental del álgebra afirma que cada ecuación polinomio no constante con coeficientes reales o complejos tiene una solución que es un número complejo. Por ejemplo, la ecuación ${displaystyle (x+1)^{2}=-9}$ no tiene una solución real, ya que el cuadrado de un número real no puede ser negativo, pero tiene las dos soluciones complejas no reales ${displaystyle -1+3i}$ y ${displaystyle -1-3i}$ .

La adición, resta y multiplicación de números complejos se puede definir naturalmente utilizando la regla ${displaystyle i^{2}=-1}$ combinado con las leyes asociativas, comunicativas y distributivas. Cada número complejo no cero tiene un inverso multiplicativo. Esto hace que los números complejos un campo que tiene los números reales como un subcampo. Los números complejos también forman un espacio vectorial real de la dimensión dos, con ${1} i}$ como base estándar.

Esta base estándar convierte a los números complejos en un plano cartesiano, llamado plano complejo. Esto permite una interpretación geométrica de los números complejos y sus operaciones y, a la inversa, expresar en términos de números complejos algunas propiedades y construcciones geométricas. Por ejemplo, los números reales forman la recta real que se identifica con el eje horizontal del plano complejo. Los números complejos de valor absoluto uno forman el círculo unitario. La suma de un número complejo es una traslación en el plano complejo, y la multiplicación por un número complejo es una semejanza centrada en el origen. La conjugación compleja es la simetría de reflexión con respecto al eje real. El valor absoluto complejo es una norma euclidiana.

En resumen, los números complejos forman una rica estructura que es simultáneamente un campo algebraicamente cerrado, un álgebra conmutativa sobre los reales y un espacio vectorial euclidiano de dimensión dos.

Definición

Una ilustración del número complejo

z = x + i

en el plano complejo. La parte real es

x

, y su parte imaginaria es

Sí.

Un número complejo es un número de la forma $a + bi$ , donde $a$ y $b$ son números reales, y $i$ es un indeterminado satisfactorio $i 2 = -1. Por ejemplo, 2 + 3 i es un número complejo.$

Así, un número complejo se define como un polinomio con coeficientes reales en el único indeterminado $i$ , para el cual la relación i² + 1 = 0. Con base en esta definición, los números complejos se pueden sumar y multiplicar, utilizando la suma y la multiplicación de polinomios. La relación $i 2 + 1 = 0$ induce las igualdades $i 4 k = 1, i 4 k +1 = i, i 4 k +2 = -1,$ y $i 4 k +3 = - i,$ que se cumplen para todos los enteros k; estos permiten la reducción de cualquier polinomio que resulte de la suma y multiplicación de números complejos a un polinomio lineal en $i$ , nuevamente del forma $a + bi$ con coeficientes reales $a, b.$

El número real $a$ se llama la parte real del número complejo $a + bi$ ; el número real $b$ se llama su parte imaginaria. Para enfatizar, la parte imaginaria no incluye un factor $i$ ; es decir, la parte imaginaria es $b$ , no $bi .$

Formalmente, los números complejos se definen como el cociente del anillo del polinomio en el indeterminado $i$ , por el ideal generado por el polinomio $i 2 + 1$ (ver más abajo).

Notación

Un número real $a$ puede considerarse como un número complejo $a + 0 i$ , cuya parte imaginaria es 0. Un número puramente imaginario $bi$ es un número complejo $0 + bi$ , cuya parte real es cero. Al igual que con los polinomios, es común escribir $a$ para $a + 0 i$ y $bi$ para $0 + bi$ . Además, cuando la parte imaginaria es negativa, es decir, $b = - |b| < 0$ , es común escribir $a - |b|i$ en lugar de $a + (- |b|) i$ ; por ejemplo, para $b = -4$ , $3 - 4 i$ se puede escribir en lugar de $3 + (-4) i$ .

Como la multiplicación del indeterminado $i$ y un real es conmutativo en polinomios con coeficientes reales, el polinomio $a + bi$ se puede escribir como $a + ib .$ Esto suele ser útil para partes imaginarias indicadas por expresiones, por ejemplo, cuando $b$ es un radical.

La parte real de un número complejo $z$ es denotado por $Re(z)$ , ${displaystyle {mathcal {Re}}(z)}$ , o ${displaystyle {mathfrak {R}}(z)}$ ; la parte imaginaria de un número complejo $z$ es denotado por $Im(z)$ , ${displaystyle {mathcal {Im}}(z)}$ , o ${displaystyle {mathfrak {I}}(z).}$ Por ejemplo,

{displaystyle operatorname {Re} (2+3i)=2quad {text{ and }}quad operatorname {Im} (2+3i)=3~.}

El conjunto de todos los números complejos es denotado por $mathbb{C}$ o $C$ (Audaz derecha).

En algunas disciplinas, particularmente en electromagnetismo e ingeniería eléctrica, $j$ se usa en lugar de $i$ como $i$ se usa con frecuencia para representar la corriente eléctrica. En estos casos, los números complejos se escriben como $a + bj$ , o $a + jb$ .

Visualización

Un número complejo

z

, como punto (negro) y su vector de posición (azul)

Un número complejo $z$ puede ser identificado con un par ordenado ${displaystyle (Re (z),Im (z))}$ de números reales, que a su vez pueden ser interpretados como coordenadas de un punto en un espacio bidimensional. El espacio más inmediato es el plano Euclideano con coordenadas adecuadas, que luego se llama plano complejo o Diagrama de Argand, nombrado por Jean-Robert Argand. Otro espacio prominente en el que se pueden proyectar las coordenadas es la superficie bidimensional de una esfera, que luego se llama esfera Riemann.

Plano complejo cartesiano

La definición de los números complejos que involucran dos valores reales arbitrarios sugiere inmediatamente el uso de coordenadas cartesianas en el plano complejo. El eje horizontal (real) se utiliza generalmente para mostrar la parte real, con valores crecientes hacia la derecha, y la parte imaginaria marca el eje vertical (imaginario), con valores crecientes. valores hacia arriba.

Un número graficado puede verse como el punto coordinado o como un vector de posición desde el origen hasta este punto. Los valores de coordenadas de un número complejo $z$ pueden expresarse en su forma Cartesiana, rectangular , o forma algebraica.

Notablemente, las operaciones de suma y multiplicación adquieren un carácter geométrico muy natural, cuando los números complejos son vistos como vectores de posición: la suma corresponde a la suma de vectores, mientras que la multiplicación (ver más abajo) corresponde a multiplicar sus magnitudes y sumar los ángulos que hacer con el eje real. Visto de esta manera, la multiplicación de un número complejo por $i$ corresponde a girar el vector de posición en sentido antihorario un cuarto de vuelta (90°) alrededor del origen —un hecho que se puede expresar algebraicamente como sigue:

{displaystyle (a+bi)cdot i=ai+b(i)^{2}=-b+ai.}

Plano complejo polar

Argumento

φ

y módulos

r

localizar un punto en el plano complejo.

Módulo y argumento

Una opción alternativa para las coordenadas en el plano complejo es el sistema de coordenadas polares que utiliza la distancia del punto $z$ desde el origen ( $O$ ), y el ángulo subtendido entre el eje real positivo y el segmento de línea $Oz$ en sentido antihorario. Esto lleva a la forma polar

{displaystyle z=re^{ivarphi }=r(cos varphi +isin varphi)}

de un número complejo, donde $r$ es el valor absoluto de $z$ , y $varphi$ es el argumento de $z$ .

El valor absoluto (o módulo o magnitud) de un número complejo $z = x + yi$ es

{displaystyle r=|z|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

z

Sí. = 0

r = Silencio x Silencio

Por Pitágoras N#39; teorema, el valor absoluto de un número complejo es la distancia al origen del punto que representa el número complejo en el plano complejo.

El argumento de $z$ (en muchas aplicaciones denominado "fase& #34; $φ$ ) es el ángulo del radio $Oz$ con el eje real positivo, y se escribe como $arg z$ . Al igual que con el módulo, el argumento se puede encontrar a partir de la forma rectangular $x + yi$ , aplicando la tangente inversa al cociente de partes imaginarias por partes reales. Al usar una identidad de medio ángulo, una sola rama del arctan es suficiente para cubrir el rango $(- π, π]$ de la función $arg$ , y evita un análisis caso por caso más sutil

0,\pi &{text{if }}xφ φ =arg⁡ ⁡ ()x+Sí.i)={}2arctan⁡ ⁡ ()Sí.x2+Sí.2+x)siSí.ل ل 0ox■0,π π six.0ySí.=0,indefinidossix=0ySí.=0.{displaystyle varphi =arg(x+yi)={begin{cases}2arctan left({dfrac {y}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}right) Sentido {text{if }yneq 0{text{ or }}x}0,\\pi >{if }x0{0text{y=0}y=0,\{text{undefinidos}}}}}} {text{if{if}}}=0{f}}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnun}fnf}f}f}f}f}f}f}fnun}f}fnun}fnunfnun}fnun}fnun}fnunfnunfnun}fnunfnunfnunfnun}fnun}fnunfn - Sí.0,\pi &{text{if }}x

Normalmente, como se indicó anteriormente, el valor principal en el intervalo $(- π, Se elige π]$ . Si el valor del argumento es negativo, los valores en el rango $(- π, π]$ o $[0, 2 π)$ puede se obtiene sumando $2 π$ . El valor de $φ$ se expresa en radianes en este artículo. Puede aumentar en cualquier múltiplo entero de $2 π$ y seguir dando el mismo ángulo, visto como subtendido por los rayos del eje real positivo y desde el origen hasta $z$ . Por lo tanto, th La función arg a veces se considera multivaluada. El ángulo polar para el número complejo 0 es indeterminado, pero la elección arbitraria del ángulo polar 0 es común.

El valor de $φ$ es igual al resultado de atan2:

{displaystyle varphi =operatorname {atan2} left(operatorname {Im} (z),operatorname {Re} (z)right).}

Juntos, $r$ y $φ$ dan otra forma de representar números complejos, la forma polar, ya que la combinación de módulo y argumento especifica completamente la posición de un punto en el plano. La recuperación de las coordenadas rectangulares originales de la forma polar se realiza mediante la fórmula llamada forma trigonométrica

{displaystyle z=r(cos varphi +isin varphi).}

Usando la fórmula de Euler, esto se puede escribir como

{displaystyle z=re^{ivarphi }{text{ or }}z=rexp ivarphi.}

Usando la función $cis$ , esto a veces se abrevia como

{displaystyle z=roperatorname {mathrm {cis} } varphi.}

En notación angular, a menudo se usa en electrónica para representar un fasor con amplitud $r$ y fase $φ$ , se escribe como

{displaystyle z=rangle varphi.}

Gráficos complejos

Un gráfico de rueda de color de la expresión

() z 2 - 1) z - 2 - i) 2 / z 2 + 2 + 2 i

Al visualizar funciones complejas, se necesitan tanto una entrada como una salida complejas. Debido a que cada número complejo se representa en dos dimensiones, graficar visualmente una función compleja requeriría la percepción de un espacio de cuatro dimensiones, lo que solo es posible en proyecciones. Debido a esto, se han diseñado otras formas de visualizar funciones complejas.

En el dominio para colorear las dimensiones de salida están representados por color y brillo, respectivamente. Cada punto en el plano complejo como dominio es ornated, típicamente con color representando el argumento del número complejo, y brillo representando la magnitud. Las manchas oscuras marcan moduli cerca de cero, puntos más brillantes están más lejos del origen, la gradación puede ser discontinua, pero se asume como monótona. Los colores a menudo varían en pasos de $π$ /3 para $0$ a $2 π$ de rojo, amarillo, verde, cian, azul, magenta. Estas parcelas se llaman gráficos de rueda de color. Esto proporciona una manera sencilla de visualizar las funciones sin perder información. La imagen muestra ceros para $\pm1, (2 + i)$ y postes en ${displaystyle pm {sqrt {-2-2i}}.}$

Historia

La solución en radicales (sin funciones trigonométricas) de una ecuación cúbica general, cuando sus tres raíces son números reales, contiene las raíces cuadradas de números negativos, situación que no se puede subsanar factorizando con la ayuda de la prueba de la raíz racional, si la cúbica es irreducible; este es el llamado casus irreducibilis ("caso irreductible"). Este enigma llevó al matemático italiano Gerolamo Cardano a concebir números complejos alrededor de 1545 en su Ars Magna, aunque su comprensión era rudimentaria; además, más tarde descartó los números complejos como "sutiles e inútiles". Cardano usó números imaginarios, pero describió usarlos como una "tortura mental". Esto fue antes del uso del plano complejo gráfico. Cardano y otros matemáticos italianos, en particular Scipione del Ferro, en el siglo XVI crearon un algoritmo para resolver ecuaciones cúbicas que generalmente tenía una solución real y dos soluciones que contenían un número imaginario. Como ignoraron las respuestas con los números imaginarios, Cardano las encontró inútiles.

El trabajo sobre el problema de los polinomios generales finalmente condujo al teorema fundamental del álgebra, que muestra que con números complejos, existe una solución para cada ecuación polinomial de grado uno o superior. Los números complejos forman así un campo algebraicamente cerrado, donde cualquier ecuación polinomial tiene una raíz.

Muchos matemáticos contribuyeron al desarrollo de los números complejos. Las reglas para la suma, resta, multiplicación y extracción de raíces de números complejos fueron desarrolladas por el matemático italiano Rafael Bombelli. El matemático irlandés William Rowan Hamilton desarrolló un formalismo más abstracto para los números complejos y extendió esta abstracción a la teoría de los cuaterniones.

La primera referencia fugaz a las raíces cuadradas de números negativos puede decirse que ocurre en la obra del héroe matemático griego de Alejandría en el siglo I dC, donde en su Stereometrica consideró, aparentemente en error, el volumen de un frustum imposible de una pirámide para llegar al término $sqrt{81 - 144}$ en sus cálculos, que hoy simplificaría ${displaystyle {sqrt {-63}}=3i{sqrt {7}}}$ . Las cantidades negativas no fueron concebidas en las matemáticas helenísticas y Hero simplemente lo sustituyó por su positivo ${displaystyle {sqrt {144-81}}=3{sqrt {7}}.}$

El ímpetu por estudiar los números complejos como un tema en sí mismo surgió por primera vez en el siglo XVI cuando matemáticos italianos descubrieron soluciones algebraicas para las raíces de polinomios cúbicos y cuárticos (ver Niccolò Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano). Pronto se comprendió (pero se demostró mucho más tarde) que estas fórmulas, incluso si uno solo estaba interesado en soluciones reales, a veces requerían la manipulación de raíces cuadradas de números negativos. Como ejemplo, la fórmula de Tartaglia para una ecuación cúbica de la forma $x 3 = px + q$ da la solución a la ecuación $x 3 = x$ como

{displaystyle {tfrac {1}{sqrt {3}}}left(left({sqrt {-1}}right)^{1/3}+left({sqrt {-1}}right)^{-1/3}right).}

A primera vista esto parece una tontería. Sin embargo, cálculos formales con números complejos muestran que la ecuación $z 3 = i$ tiene tres soluciones: ${displaystyle -i,{frac {{sqrt {3}}+i}{2}},{frac {-{sqrt {3}}+i}{2}}.}$ Sustitúyalos a su vez ${displaystyle {sqrt {-1}}^{1/3}}$ en la fórmula cúbica de Tartaglia y simplificación, se obtiene 0, 1 y −1 como las soluciones $x 3 - x = 0$ . Por supuesto, esta ecuación particular se puede resolver a la vista pero sí ilustra que cuando las fórmulas generales se utilizan para resolver ecuaciones cúbicas con raíces reales entonces, como los matemáticos posteriores mostraron rigurosamente, el uso de números complejos es inevitable. Rafael Bombelli fue el primero en abordar explícitamente estas soluciones aparentemente paradójicas de ecuaciones cúbicas y desarrolló las reglas para la aritmética compleja tratando de resolver estos problemas.

El término "imaginario" para estas cantidades fue acuñado por René Descartes en 1637, quien se esforzó en enfatizar su naturaleza irreal

... a veces sólo imaginario, que es uno puede imaginar tantos como dije en cada ecuación, pero a veces no existe cantidad que coincida con lo que imaginamos.
[... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui correspond à celle qu'on imagine.]

Otra fuente de confusión fue que la ecuación ${displaystyle {sqrt {-1}}^{2}={sqrt {-1}}{sqrt {-1}}=-1}$ parecía ser caprichosamente inconsistente con la identidad algebraica ${displaystyle {sqrt {a}}{sqrt {b}}={sqrt {ab}}}$ , que es válido para números reales no negativos $a$ y $b$ , y que también se utilizó en cálculos de números complejos con uno de $a$ , $b$ positivo y el otro negativo. El uso incorrecto de esta identidad (y la identidad relacionada) ${textstyle {frac {1}{sqrt {a}}}={sqrt {frac {1}{a}}}}$ ) en el caso cuando ambos $a$ y $b$ son negativos incluso condenados Leonhard Euler. Esta dificultad eventualmente condujo a la convención de usar el símbolo especial $i$ en lugar de ${sqrt {-1}}$ para protegerse contra este error. Incluso así, Euler consideró natural introducir a los estudiantes en números complejos mucho antes de lo que hacemos hoy. En su libro de texto de álgebra elemental, Elementos de álgebra, presenta estos números casi a la vez y luego los utiliza de forma natural en todo.

En el siglo XVIII, los números complejos ganaron un uso más amplio, ya que se notó que la manipulación formal de expresiones complejas se podía usar para simplificar los cálculos relacionados con funciones trigonométricas. Por ejemplo, en 1730, Abraham de Moivre señaló que las identidades que relacionan las funciones trigonométricas de un múltiplo entero de un ángulo con las potencias de las funciones trigonométricas de ese ángulo podrían volver a expresarse mediante la siguiente fórmula de De Moivre:

{displaystyle (cos theta +isin theta)^{n}=cos ntheta +isin ntheta.}

En 1748, Euler fue más allá y obtuvo la fórmula de análisis complejo de Euler:

{displaystyle cos theta +isin theta =e^{itheta }}

al manipular formalmente series de potencias complejas y observó que esta fórmula podría usarse para reducir cualquier identidad trigonométrica a identidades exponenciales mucho más simples.

La idea de un número complejo como un punto en el plano complejo (arriba) fue descrita por primera vez por el matemático danés-noruego Caspar Wessel en 1799, aunque ya se había anticipado en 1685 en el de Wallis. Tratado de Álgebra.

Las memorias de Wessel aparecieron en las Actas de la Academia de Copenhague, pero pasaron desapercibidas. En 1806, Jean-Robert Argand publicó de forma independiente un folleto sobre números complejos y proporcionó una prueba rigurosa del teorema fundamental del álgebra. Carl Friedrich Gauss había publicado anteriormente una prueba esencialmente topológica del teorema en 1797, pero expresó sus dudas en ese momento sobre "la verdadera metafísica de la raíz cuadrada de −1". No fue hasta 1831 que superó estas dudas y publicó su tratado sobre los números complejos como puntos en el plano, estableciendo en gran medida la notación y la terminología modernas:

Si uno antes contemplaba este tema desde un punto de vista falso y por lo tanto encontró una misteriosa oscuridad, esto es en gran parte atribuible a la terminología torpe. No había uno llamado +1, -1, ${sqrt {-1}}$ unidades positivas, negativas o imaginarias (o incluso imposibles), pero en cambio, digamos, unidades directas, inversas o laterales, entonces apenas podría haber habido una conversación de tales tinieblas.

A principios del siglo XIX, otros matemáticos descubrieron de forma independiente la representación geométrica de los números complejos: Buée, Mourey, Warren, Français y su hermano, Bellavitis.

El matemático inglés G.H. Hardy comentó que Gauss fue el primer matemático en usar números complejos de "una manera realmente segura y científica". aunque matemáticos como el noruego Niels Henrik Abel y Carl Gustav Jacob Jacobi necesariamente los usaban de manera rutinaria antes de que Gauss publicara su tratado de 1831.

Augustin-Louis Cauchy y Bernhard Riemann juntos llevaron las ideas fundamentales del análisis complejo a un alto estado de finalización, comenzando alrededor de 1825 en el caso de Cauchy.

Los términos comunes utilizados en la teoría se deben principalmente a los fundadores. Argand llamó $# φ + i pecado φ$ el factor de dirección, y ${displaystyle r={sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$ el modulus; Cauchy (1821) llamado $# φ + i pecado φ$ el Forma reducida (I'expression réduite) y aparentemente introdujo el término argumento; Gauss utilizado $i$ para ${sqrt {-1}}$ , introducido el término complejo para $a + bi$ , y llamado $a 2 + b 2$ el norma. La expresión coeficiente de dirección, a menudo utilizado para $# φ + i pecado φ$ , se debe a Hankel (1867), y valor absoluto, para modulo, es debido a Weierstrass.

Escritores clásicos posteriores sobre la teoría general incluyen a Richard Dedekind, Otto Hölder, Felix Klein, Henri Poincaré, Hermann Schwarz, Karl Weierstrass y muchos otros. A principios del siglo XX se inició un trabajo importante (incluida una sistematización) en cálculo multivariado complejo. Wilhelm Wirtinger logró resultados importantes en 1927.

Relaciones y operaciones

Igualdad

Los números complejos tienen una definición de igualdad similar a la de los números reales; dos números complejos $a 1 + b 1 i$ y $a 2 + b 2 i$ son iguales si y solo si sus partes real e imaginaria son iguales, es decir, si $a 1 = a 2$ y $b 1 = b 2$ . Los números complejos distintos de cero escritos en forma polar son iguales si y solo si tienen la misma magnitud y sus argumentos difieren en un múltiplo entero de $2 π$ .

Pedidos

A diferencia de los números reales, los números complejos no tienen un orden natural. En particular, no existe un orden lineal en los números complejos que sea compatible con la suma y la multiplicación. Por tanto, los números complejos no tienen la estructura de un cuerpo ordenado. Una explicación para esto es que toda suma no trivial de cuadrados en un campo ordenado es distinta de cero, y $i 2 + 1 2 = 0$ es una suma de cuadrados no trivial. Por lo tanto, se piensa naturalmente que los números complejos existen en un plano bidimensional.

Conjugada

(feminine)

Representación geométrica

z

y su conjugado

z

en el plano complejo

El complejo conjugado del número complejo $z = x + yi$ viene dado por $x - yi$ . Se denota por $z$ o $z *$ . Esta operación unaria sobre números complejos no puede expresarse aplicando únicamente sus operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.

Geométricamente, $z$ es el &# 34;reflexión" de $z$ sobre el eje real. Conjugando dos veces da el número complejo original

{displaystyle {overline {overline {z}}}=z,}

lo que hace de esta operación una involución. La reflexión deja tanto la parte real como la magnitud de $z$ sin cambios, es decir

{displaystyle operatorname {Re} ({overline {z}})=operatorname {Re} (z)quad }

{displaystyle quad |{overline {z}}|=|z|.}

La parte imaginaria y el argumento de un número complejo $z$ cambian de signo bajo conjugación

{displaystyle operatorname {Im} ({overline {z}})=-operatorname {Im} (z)quad {text{ and }}quad operatorname {arg} {overline {z}}equiv -operatorname {arg} z{pmod {2pi }}.}

Para obtener detalles sobre el argumento y la magnitud, consulte la sección sobre la forma polar.

El producto de un número complejo $z = x + yi$ y su conjugado se conoce como el cuadrado absoluto. Siempre es un número real no negativo y es igual al cuadrado de la magnitud de cada uno:

{displaystyle zcdot {overline {z}}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}=|{overline {z}}|^{2}.}

Esta propiedad se puede usar para convertir una fracción con un denominador complejo en una fracción equivalente con un denominador real expandiendo tanto el numerador como el denominador de la fracción por el conjugado del denominador dado. Este proceso a veces se denomina "racionalización" del denominador (aunque el denominador en la expresión final podría ser un número real irracional), porque se parece al método para eliminar raíces de expresiones simples en un denominador.

Las partes real e imaginaria de un número complejo $z$ se pueden extraer usando la conjugación:

{displaystyle operatorname {Re} (z)={dfrac {z+{overline {z}}}{2}},quad {text{ and }}quad operatorname {Im} (z)={dfrac {z-{overline {z}}}{2i}}.}

La conjugación se distribuye sobre las operaciones aritméticas complejas básicas:

{displaystyle {begin{aligned}{overline {zpm w}}&={overline {z}}pm {overline {w}},\{overline {zcdot w}}&={overline {z}}cdot {overline {w}},\{overline {z/w}}&={overline {z}}/{overline {w}}.end{aligned}}}

La conjugación también se emplea en la geometría inversa, una rama de la geometría que estudia las reflexiones más generales que las de una línea. En el análisis de redes de circuitos eléctricos, el complejo conjugado se usa para encontrar la impedancia equivalente cuando se busca el teorema de máxima transferencia de potencia.

Sumas y restas

La adición de dos números complejos se puede hacer geométricamente mediante la construcción de un paralelograma.

Dos números complejos ${displaystyle a=x+yi}$ y ${displaystyle b=u+vi}$ se añaden más fácilmente añadiendo por separado sus partes reales e imaginarias. Es decir:

{displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}

{displaystyle a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.}

Multiplicación de un número complejo ${displaystyle a=x+yi}$ y un número real $r$ se puede hacer de forma similar multiplicando por separado $r$ y las partes reales e imaginarias de $a$ :

{displaystyle ra=r(x+yi)=rx+ryi.}

-1

{displaystyle a-b=a+(-1),b.}

Usando la visualización de números complejos en el plano complejo, la suma tiene la siguiente interpretación geométrica: la suma de dos números complejos $a$ y $b$ , interpretados como puntos en el plano complejo, es el punto obtenido al construir un paralelogramo a partir de los tres vértices $O$ , y las puntas de las flechas etiquetadas como $a$ y $b$ (siempre que no estén en una línea). De manera equivalente, llamar a estos puntos $A$ , $B$ , respectivamente y el cuarto punto del paralelogramo $X$ los triángulos $OAB$ y $XBA$ son congruentes.

Multiplicación y cuadrado

Las reglas de la propiedad distributiva, las propiedades conmutativas (de suma y multiplicación) y la propiedad definitoria $i 2 = - 1$ se aplican a números complejos. Resulta que

{displaystyle (x+yi),(u+vi)=(xu-yv)+(xv+yu)i.}

En particular,

{displaystyle (x+yi)^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi.}

Recíproca y división

(feminine)

Usando la conjugación, el recíproco de un número complejo distinto de cero $z = x + yi$ siempre se puede dividir en

{displaystyle {frac {1}{z}}={frac {overline {z}}{z{overline {z}}}}={frac {overline {z}}{|z|^{2}}}={frac {overline {z}}{x^{2}+y^{2}}}={frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i,}

ya que distinto de cero implica que <es² + y² es mayor que cero.

Esto se puede usar para expresar una división de un número complejo arbitrario $w = u + vi$ por un número complejo distinto de cero $z$ como

{displaystyle {frac {w}{z}}=wcdot {frac {1}{z}}=(u+vi)cdot left({frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{frac {y}{x^{2}+y^{2}}}iright)={frac {(ux+vy)+(vx-uy)i}{x^{2}+y^{2}}}.}

Multiplicación y división en forma polar

Multiplicación de $2 + i$ (Triángulo azul) y $3 + i$ (Triángulo rojo). El triángulo rojo se gira para coincidir con el vértice del azul (la adición de ambos ángulos en los términos φ₁+φ₂ en la ecuación) y estirado por la longitud de la hipotenusa del triángulo azul (la multiplicación de ambos radios, según el término r₁r₂ en la ecuación).

Las fórmulas de multiplicación, división y exponenciación son más simples en forma polar que las fórmulas correspondientes en coordenadas cartesianas. Dados dos números complejos $z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1)$ y $z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2)$ , debido a las identidades trigonométricas

{displaystyle {begin{alignedat}{4}cos acos b&-sin asin b&{}={}&cos(a+b)\cos asin b&+sin acos b&{}={}&sin(a+b).end{alignedat}}}

podemos derivar

{displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(cos(varphi _{1}+varphi _{2})+isin(varphi _{1}+varphi _{2})).}

$i$ $i 2 = 1 -$ ${displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$ $5 + 5 i$ $π /4$ ${displaystyle {frac {pi }{4}}=arctan left({frac {1}{2}}right)+arctan left({frac {1}{3}}right)}$
Del mismo modo, la división está dada por
${displaystyle {frac {z_{1}}{z_{2}}}={frac {r_{1}}{r_{2}}}left(cos(varphi _{1}-varphi _{2})+isin(varphi _{1}-varphi _{2})right).}$
Raíz cuadrada
Las raíces cuadradas $a + bi$ (con $b ل 0$ ) $pm (gamma +delta i)$ , donde
${displaystyle gamma ={sqrt {frac {a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}}$
y
${displaystyle delta =(operatorname {sgn} b){sqrt {frac {-a+{sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},}$
Donde $Sgn$ es la función signum. Esto puede ser visto por squaring $pm (gamma +delta i)$ para obtener $a + bi$ . Aquí. ${sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ se llama el módulo de $a + bi$ , y el signo de raíz cuadrada indica la raíz cuadrada con parte real no negativo, llamada el principal raíz cuadrada; también ${displaystyle {sqrt {a^{2}+b^{2}}}={sqrt {z{overline {z}}}},}$ Donde $z = a + bi$ .
Función exponencial
La función exponencial ${displaystyle exp colon mathbb {C} to mathbb {C};zmapsto exp z}$ se puede definir para cada número complejo $z$ por la serie de energía
${displaystyle exp z=sum _{n=0}^{infty }{frac {z^{n}}{n!}},}$
El valor en $1$ de la función exponencial es el número de Euler
${displaystyle e=exp 1=sum _{n=0}^{infty }{frac {1}{n!}}approx 2.71828.}$ $z$ ${displaystyle exp z=e^{z}.}$ $z$ $e$ ${displaystyle e^{z}=exp z.}$
Ecuación funcional
La función exponencial satisface la ecuación funcional ${displaystyle e^{z+t}=e^{z}e^{t}.}$ Esto puede probarse ya sea comparando la expansión de la serie de potencia de ambos miembros o aplicando la continuación analítica de la restricción de la ecuación a argumentos reales.
Fórmula de Euler
La fórmula de Euler establece que, para cualquier número real $y$ ,
${displaystyle e^{iy}=cos y+isin y.}$
La ecuación funcional implica entonces que, si $x$ y $y$ son reales, uno tiene
${displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(cos y+isin y)=e^{x}cos y+ie^{x}sin y,}$
Logaritmo complejo
En el caso real, el logaritmo natural se puede definir como el inverso ${displaystyle ln colon mathbb {R} ^{+}to mathbb {R};xmapsto ln x}$ de la función exponencial. Para extender esto al dominio complejo, se puede comenzar desde la fórmula de Euler. Implica que, si un número complejo ${displaystyle zin mathbb {C} ^{times }}$ está escrito en forma polar
${displaystyle z=r(cos varphi +isin varphi)}$ ${displaystyle r,varphi in mathbb {R}}$ ${displaystyle ln z=ln r+ivarphi }$ ${displaystyle exp ln z=exp(ln r+ivarphi)=rexp ivarphi =r(cos varphi +isin varphi)=z.}$
Sin embargo, debido a que el coseno y el seno son funciones periódicas, la suma de un múltiplo entero de $2 π$ a $φ$ no cambia $z$ . Por ejemplo, $e iπ = e 3 iπ = -1$ entonces tanto $iπ$ como $3 iπ$ son valores posibles para el logaritmo natural de $-1$ .
Por lo tanto, si el logaritmo complejo no se va a definir como una función multivaluada
${displaystyle ln z=left{ln r+i(varphi +2pi k)mid kin mathbb {Z} right},}$ ${displaystyle ln colon ;mathbb {C} ^{times };to ;;;mathbb {R} ^{+}+;i,left(-pipi right].}$
Si ${displaystyle zin mathbb {C} setminus left(-mathbb {R} _{geq 0}right)}$ no es un número real no positivo (un número positivo o no real), el valor principal resultante del logaritmo complejo se obtiene con $- π . φ . π$ . Es una función analítica fuera de los números reales negativos, pero no se puede prolongar a una función que es continua en cualquier número real negativo ${displaystyle zin -mathbb {R} ^{+}}$ , donde está el valor principal $In z In(- z) + iπ$ .
Exponenciación
Si $x > 0$ es real y $z$ complejo, la exponenciación se define como
${displaystyle x^{z}=e^{zln x},}$ $In$
Parece natural extender esta fórmula a valores complejos de $x$ , pero existen algunas dificultades debido al hecho de que el logaritmo complejo no es realmente una función, sino una función multivaluada.
Se sigue que si $z$ es como arriba, y si $t$ es otro número complejo, entonces la exponenciación es la función multivaluada
${displaystyle z^{t}=left{e^{tln r},(cos(varphi t+2pi kt)+isin(varphi t+2pi kt))}mid kin mathbb {Z} right}}$
Exponentes enteros y fraccionarios

Representación geométrica de las raíces segunda a sexta de un número complejo $z$ , en forma polar $re iφ$ Donde $r = Silencio z Silencio$ y $φ = arg z$ . Si $z$ es real, $φ = 0$ o $π$ . Las raíces principales se muestran en negro.
Si, en la fórmula anterior, $t$ es un número entero, entonces el seno y el coseno son independientes de k. Por lo tanto, si el exponente $n$ es un número entero, entonces $z n$ está bien definido y la fórmula de exponenciación se simplifica a la fórmula de De Moivre:
${displaystyle z^{n}=(r(cos varphi +isin varphi))^{n}=r^{n},(cos nvarphi +isin nvarphi).}$
Las $n$ raíces enésimas de un número complejo $z$ están dadas por
${displaystyle z^{1/n}={sqrt[{n}]{r}}left(cos left({frac {varphi +2kpi }{n}}right)+isin left({frac {varphi +2kpi }{n}}right)right)}$ $0 \leq k \leq n - 1$ ${displaystyle {sqrt[{n}]{r}}}$ $n$ $r$ $k$
Mientras que la $n$ ésima raíz de un número real positivo $r$ se elige como el número real positivo $c$ que satisface $c n = r$ , no existe una forma natural de distinguir una particular raíz $n$ ésima de un número complejo. Por lo tanto, la $n$ ésima raíz es una función de valor n de $z$ . Esto implica que, contrariamente al caso de los números reales positivos, uno tiene
${displaystyle (z^{n})^{1/n}neq z,}$ $n$
Propiedades
Estructura de campo
El set $mathbb{C}$ de números complejos es un campo. En resumen, esto significa que los siguientes hechos sostienen: primero, se pueden agregar y multiplicar dos números complejos para producir otro número complejo. Segundo, para cualquier número complejo $z$ , su inverso aditivo $- z$ es también un número complejo; y tercero, cada número no cero complejo tiene un número complejo recíproco. Además, estas operaciones satisfacen una serie de leyes, por ejemplo la ley de conmutación de la adición y multiplicación para cualquier número complejo $z 1$ y $z 2$ :
${displaystyle {begin{aligned}z_{1}+z_{2}&=z_{2}+z_{1},\z_{1}z_{2}&=z_{2}z_{1}.end{aligned}}}$
A diferencia de los reales, $mathbb{C}$ no es un campo ordenado, es decir, no es posible definir una relación $z 1 . z 2$ que es compatible con la adición y la multiplicación. De hecho, en cualquier campo ordenado, el cuadrado de cualquier elemento es necesariamente positivo, por lo que $i 2 = 1 -$ excluye la existencia de una orden ${displaystyle mathbb {C}.}$
Cuando el campo subyacente de un tema o construcción matemática es el campo de números complejos, el nombre del tema generalmente se modifica para reflejar ese hecho. Por ejemplo: análisis complejo, matriz compleja, polinomio complejo y álgebra de Lie compleja.
Soluciones de ecuaciones polinómicas
Dados números complejos (llamados coeficientes) $a 0, ..., a n$ , la ecuación
${displaystyle a_{n}z^{n}+dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$ z $a 1,..., a n$ $mathbb{C}$ $mathbb {Q}$ $x 2 - 2$ $mathbb {R}$ $x 2 + a$ $a ■ 0$ $x$ $x$
Hay varias pruebas de este teorema, ya sea por métodos analíticos como el teorema de Liouville, o topológicos como el número de devanado, o una prueba que combina la teoría de Galois y el hecho de que cualquier polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real.
Debido a este hecho, teoremas que sostienen para cualquier campo algebraicamente cerrado aplicable ${displaystyle mathbb {C}.}$ Por ejemplo, cualquier matriz cuadrada compleja no vacía tiene al menos un eigenvalue (complejo).
Caracterización algebraica
El campo $mathbb{C}$ tiene las siguientes tres propiedades:
Primero, tiene características Esto significa que $1 + 1 + 1 + 1$ para cualquier número de sumideros (todos iguales).
Segundo, su grado de trascendencia sobre $mathbb {Q}$ , el primer campo de ${displaystyle mathbb {C}}$ es la cardenalidad del continuum.
Tercero, está cerrado algebraicamente (ver arriba).
Se puede demostrar que cualquier campo que tenga estas propiedades es isomorfo (como campo) a ${displaystyle mathbb {C}.}$ Por ejemplo, el cierre algebraico del campo ${displaystyle mathbb {Q} _{p}}$ del número p-adic también satisface estas tres propiedades, por lo que estos dos campos son isomorfos (como campos, pero no como campos topológicos). También, $mathbb{C}$ es isomorfa al campo de la compleja serie Puiseux. Sin embargo, especificar un isomorfismo requiere el axioma de elección. Otra consecuencia de esta caracterización algebraica es que $mathbb{C}$ contiene muchos subcampos adecuados que son isomorfos a $mathbb{C}$ .
Caracterización como campo topológico
La caracterización anterior de $mathbb{C}$ describe sólo los aspectos algebraicos de ${displaystyle mathbb {C}.}$ Es decir, no se tratan las propiedades de proximidad y continuidad, que importan en áreas como el análisis y la topología. La siguiente descripción $mathbb{C}$ como campo topológico (es decir, un campo equipado con una topología, que permite la noción de convergencia) tiene en cuenta las propiedades topológicas. $mathbb{C}$ contiene un subconjunto $P$ (a saber, el conjunto de números reales positivos) de elementos no cero que satisfacen las tres condiciones siguientes:
$P$ se cierra bajo adición, multiplicación y toma inversas.
Si $x$ y $Sí.$ son elementos distintos $P$ , entonces $x - Sí.$ o $Sí. - x$ está dentro $P$ .
Si $S$ es cualquier subconjunto no vacío $P$ , entonces $S + P = x + P$ para algunos $x$ dentro ${displaystyle mathbb {C}.}$
Además, $mathbb{C}$ tiene un automorfismo involutivo $x \mapsto x *$ (nombre de la conjugación compleja), tal que $x *$ está dentro $P$ para cualquier no cero $x$ dentro ${displaystyle mathbb {C}.}$
Cualquier campo $F$ con estas propiedades se puede dotar con una topología tomando los conjuntos $B () x, p ♪♪ Sí. Silencio p - Sí. - x) Sí. - x)* P}$ como base, donde $x$ rangos sobre el campo y $p$ rangos sobre $P$ . Con esta topología $F$ es isomorfo como un topológica sobre el terreno ${displaystyle mathbb {C}.}$
Los únicos campos topológicos compactos localmente son $mathbb {R}$ y ${displaystyle mathbb {C}.}$ Esto da otra caracterización $mathbb{C}$ como campo topológico, desde $mathbb{C}$ puede distinguirse de $mathbb {R}$ porque los números complejos no cero están conectados, mientras que los números reales no cero no son.
Construcción formal
Construcción como pares ordenados
William Rowan Hamilton introdujo el enfoque para definir el conjunto $mathbb{C}$ de números complejos como el conjunto $mathbb {R} ^{2}$ de parejas ordenadas $() a, b)$ de números reales, en los que se imponen las siguientes reglas para la adición y multiplicación:
${displaystyle {begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\(a,b)cdot (c,d)&=(ac-bd,bc+ad).end{aligned}}}$
Entonces es solo una cuestión de notación expresar $(a, b)$ como $a + bi$ .
Construcción como campo cociente
Aunque esta construcción de bajo nivel describe con precisión la estructura de los números complejos, la siguiente definición equivalente revela la naturaleza algebraica de $mathbb{C}$ más inmediatamente. Esta caracterización se basa en la noción de campos y polinomios. Un campo es un conjunto dotado con operaciones de adición, resta, multiplicación y división que se comportan como es familiar de, digamos, números racionales. Por ejemplo, la ley distributiva
${displaystyle (x+y)z=xz+yz}$ $x$ $Sí.$ $z$ $mathbb {R}$ $p () X)$ ${displaystyle a_{n}X^{n}+dotsb +a_{1}X+a_{0},}$ $a 0,... a n$ ${displaystyle mathbb {R} [X]}$
El conjunto de números complejos se define como el anillo de cociente ${displaystyle mathbb {R} [X]/(X^{2}+1).}$ Este campo de extensión contiene dos raíces cuadradas $-1$ , a saber (los cosets de) $X$ y $- X$ , respectivamente. (Los cosets de) $1$ y $X$ forma una base de ${displaystyle mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}$ como un espacio vectorial real, lo que significa que cada elemento del campo de extensión puede ser escrito únicamente como una combinación lineal en estos dos elementos. Equivalentemente, elementos del campo de extensión se pueden escribir como pares ordenados $() a, b)$ de números reales. El anillo cociente es un campo, porque $X 2 + 1$ es irreducible sobre ${displaystyle mathbb {R}}$ por lo que el ideal que genera es maximal.
Las fórmulas de adición y multiplicación en el anillo ${displaystyle mathbb {R} [X],}$ modulo la relación $X 2 = 1 -$ , corresponde a las fórmulas de adición y multiplicación de números complejos definidos como pares ordenados. Así que las dos definiciones del campo $mathbb{C}$ son isomorfos (como campos).
Aceptar que $mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, ya que es una extensión algebraica de $mathbb {R}$ en este enfoque, $mathbb{C}$ es por lo tanto el cierre algebraico de ${displaystyle mathbb {R}.}$
Representación matricial de números complejos
Los números complejos $a + bi$ también se pueden representar mediante $2 \times 2$ matrices que tienen la forma:
${displaystyle {begin{pmatrix}a&-b\b&;;aend{pmatrix}}}$ $a$ $b$ $2 \times 2$
Un simple cálculo muestra que el mapa:
${displaystyle a+ibmapsto {begin{pmatrix}a&-b\b&;;aend{pmatrix}}}$
La descripción geométrica de la multiplicación de números complejos también se puede expresar en términos de matrices de rotación usando esta correspondencia entre números complejos y tales matrices. La acción de la matriz sobre un vector $(x, y)$ corresponde a la multiplicación de $x + iy$ por $a + ib . En particular, si el determinante es 1, existe un número real t tal que la matriz tiene la forma:$
${displaystyle {begin{pmatrix}cos t&-sin t\sin t&;;cos tend{pmatrix}}}$ ${displaystyle cos t+isin t}$ $t$
Análisis complejo

Gráfico de rueda de color $pecado(1/ z)$ . Las partes negras en su interior se refieren a números que tienen grandes valores absolutos.
El estudio de funciones de una variable compleja se conoce como análisis complejo y tiene un enorme uso práctico en matemáticas aplicadas, así como en otras ramas de las matemáticas. A menudo, las pruebas más naturales para afirmaciones en análisis real o incluso en teoría de números emplean técnicas de análisis complejo (consulte el teorema de los números primos para ver un ejemplo). A diferencia de las funciones reales, que comúnmente se representan como gráficos de dos dimensiones, las funciones complejas tienen gráficos de cuatro dimensiones y pueden ilustrarse de manera útil codificando con colores un gráfico tridimensional para sugerir cuatro dimensiones, o animando la función compleja. transformación dinámica del plano complejo.
Funciones exponenciales complejas y relacionadas
Las nociones de series convergentes y funciones continuas en análisis (real) tienen análogos naturales en análisis complejo. Se dice que una secuencia de números complejos converge si y sólo si sus partes reales e imaginarias lo hacen. Esto equivale a la definición (ε, δ) de límites, donde el valor absoluto de los números reales es reemplazado por el de números complejos. Desde un punto de vista más abstracto, $mathbb {C}$ , dotado con la métrica
${displaystyle operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$ ${displaystyle |z_{1}+z_{2}|leq |z_{1}|+|z_{2}|}$ $z 1$ $z 2$
Al igual que en el análisis real, esta noción de convergencia se utiliza para construir una serie de funciones elementales: la función exponencial $exp z$ , también escrito $e z$ , se define como la serie infinita
${displaystyle exp z:=1+z+{frac {z^{2}}{2cdot 1}}+{frac {z^{3}}{3cdot 2cdot 1}}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {z^{n}}{n!}}.}$
La serie que define las funciones trigonométricas reales seno y coseno, así como las funciones hiperbólicas senh y cosh, también se transfieren a argumentos complejos sin cambios. Para las otras funciones trigonométricas e hiperbólicas, como la tangente, las cosas son un poco más complicadas, ya que las series definitorias no convergen para todos los valores complejos. Por lo tanto, uno debe definirlos en términos de seno, coseno y exponencial o, de manera equivalente, utilizando el método de continuación analítica.
La fórmula de Euler establece:
${displaystyle exp(ivarphi)=cos varphi +isin varphi }$ $φ$ ${displaystyle exp(ipi)=-1}$ $z$ ${displaystyle exp z=w}$ $w ل 0$ $z$ $w$ ${displaystyle log w=ln |w|+iarg w,}$ $2 π$ $() - π, π]$
La exponenciación compleja $z ω$ se define como
${displaystyle z^{omega }=exp(omega ln z),}$ $\cdot$ $\cdot = 1 / n$ $n$ $n$
Los números complejos, a diferencia de los números reales, en general no satisfacen las identidades de potencia y logaritmo no modificadas, particularmente cuando se tratan ingenuamente como funciones de un solo valor; ver falla de identidades de potencia y logaritmo. Por ejemplo, no satisfacen
${displaystyle a^{bc}=left(a^{b}right)^{c}.}$
Funciones holomorfas
Una función f: $mathbb {C}$ → $mathbb {C}$ se llama holomorfo si satisface las ecuaciones Cauchy-Riemann. Por ejemplo, cualquier $mathbb {R}$ -linear mapa $mathbb {C}$ → $mathbb {C}$ puede ser escrito en la forma
${displaystyle f(z)=az+b{overline {z}}}$ $a$ $b$ $b = 0$ $b{overline {z}}$
El análisis complejo muestra algunas características no aparentes en el análisis real. Por ejemplo, cualquier dos funciones holomorfas $f$ y $g$ que convengan en un subconjunto abierto arbitrariamente pequeño $mathbb {C}$ necesariamente está de acuerdo en todas partes. Funciones meromorfas, funciones que se pueden escribir localmente como $f () z)/(z - z 0) n$ con una función holomorfa $f$ , todavía compartir algunas de las características de las funciones holomorfas. Otras funciones tienen singularidades esenciales, como $pecado(1/ z)$ a $z = 0$ .
Aplicaciones
Los números complejos tienen aplicaciones en muchas áreas científicas, incluido el procesamiento de señales, la teoría de control, el electromagnetismo, la dinámica de fluidos, la mecánica cuántica, la cartografía y el análisis de vibraciones. Algunas de estas aplicaciones se describen a continuación.
Geometría
Formas
Tres puntos no alineados $u,v,w$ en el plano determinar la forma del triángulo ${displaystyle {u,v,w}}$ . Localizando los puntos en el plano complejo, esta forma de un triángulo puede ser expresada por aritmética compleja como
${displaystyle S(u,v,w)={frac {u-w}{u-v}}.}$ $S$ ${displaystyle {u,v,w}}$
Geometría fractal

El Mandelbrot con los ejes reales e imaginarios etiquetados.
El conjunto Mandelbrot es un ejemplo popular de un fractal formado en el plano complejo. Se define trazando cada ubicación $c$ donde iterando la secuencia ${displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$ no se zambulle cuando se calienta infinitamente. Del mismo modo, Julia establece las mismas reglas, excepto dónde $c$ permanece constante.
Triángulos
Cada triángulo tiene una inellipsa Steiner única – una elipse dentro del triángulo y tangente a los puntos intermedios de los tres lados del triángulo. El foci de la inellipsa Steiner de un triángulo se puede encontrar de la siguiente manera, según el teorema de Marden: Denota los vértices del triángulo en el plano complejo como $a = x A + Sí. A i$ , $b = x B + Sí. B i$ , y $c = x C + Sí. C i$ . Escribe la ecuación cúbica $(x-a)(x-b)(x-c)=0$ , tomar su derivado, y equiparar el (quadratic) derivado a cero. El teorema de Marden dice que las soluciones de esta ecuación son los números complejos que denotan las ubicaciones de los dos focos de la inellipsa Steiner.
Teoría algebraica de números

Construcción de un pentágono regular con rectitud y brújula.
Como se mencionó anteriormente, cualquier ecuación polinomial no constante (en coeficientes complejos) tiene una solución en $mathbb {C}$ . A fortiori, lo mismo es cierto si la ecuación tiene coeficientes racionales. Las raíces de tales ecuaciones se llaman números algebraicos – son un objeto principal de estudio en la teoría del número algebraico. Comparado con ${overline {mathbb {Q} }}$ , el cierre algebraico de $mathbb {Q}$ , que también contiene todos los números algebraicos, $mathbb {C}$ tiene la ventaja de ser fácilmente comprensible en términos geométricos. De esta manera, los métodos algebraicos se pueden utilizar para estudiar preguntas geométricas y viceversa. Con métodos algebraicos, aplicando más específicamente la maquinaria de la teoría del campo al campo número que contiene raíces de la unidad, se puede demostrar que no es posible construir un nonagon regular utilizando sólo la brújula y la trama – un problema puramente geométrico.
Otro ejemplo son los enteros gaussianos; es decir, números de la forma $x + iy$ , donde $x$ y $y$ son números enteros que se pueden usar para clasificar sumas de cuadrados.
Teoría analítica de números
La teoría analítica de los números estudia los números, a menudo enteros o racionales, aprovechando el hecho de que pueden considerarse números complejos, en los que se pueden utilizar métodos analíticos. Esto se hace codificando información teórica de números en funciones de valores complejos. Por ejemplo, la función zeta de Riemann $ζ(s)$ está relacionada con la distribución de números primos.
Integrales impropias
En campos aplicados, los números complejos a menudo se usan para calcular ciertas integrales impropias con valores reales, por medio de funciones con valores complejos. Existen varios métodos para hacer esto; ver métodos de integración de contornos.
Ecuaciones dinámicas
En las ecuaciones diferenciales, es común encontrar primero todas las raíces complejas $r$ de la ecuación característica de una ecuación diferencial lineal o sistema de ecuaciones y luego intentar resolver el sistema en términos de funciones base de la forma $f (t) = e rt$ . Asimismo, en las ecuaciones en diferencias se utilizan las raíces complejas $r$ de la ecuación característica del sistema de ecuaciones en diferencias, para intentar resolver la sistema en términos de funciones base de la forma $f (t) = r t$ .
Álgebra lineal
La descomposición propia es una herramienta útil para calcular potencias de matrices y exponenciales de matrices. Sin embargo, a menudo requiere el uso de números complejos, incluso si la matriz es real (por ejemplo, una matriz de rotación).
Los números complejos a menudo generalizan conceptos originalmente concebidos en los números reales. Por ejemplo, la transpuesta conjugada generaliza la transpuesta, las matrices hermitianas generalizan matrices simétricas y las matrices unitarias generalizan matrices ortogonales.
En matemáticas aplicadas
Teoría del control
En la teoría de control, los sistemas a menudo se transforman del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia compleja mediante la transformada de Laplace. Luego, los ceros y polos del sistema se analizan en el plano complejo. Las técnicas del lugar geométrico de las raíces, la gráfica de Nyquist y la gráfica de Nichols hacen uso del plano complejo.
En el método del lugar geométrico de las raíces, es importante si los ceros y los polos están en los semiplanos izquierdo o derecho, es decir, si tienen una parte real mayor o menor que cero. Si un sistema lineal, invariante en el tiempo (LTI) tiene polos que son
en el medio plano derecho, será inestable,
todo en el medio plano izquierdo, será estable,
en el eje imaginario, tendrá estabilidad marginal.
Si un sistema tiene ceros en el semiplano derecho, es un sistema de fase no mínima.
Análisis de señales
Los números complejos se utilizan en el análisis de señales y otros campos para una descripción conveniente de las señales que varían periódicamente. Para funciones reales dadas que representan cantidades físicas reales, a menudo en términos de senos y cosenos, se consideran funciones complejas correspondientes cuyas partes reales son las cantidades originales. Para una onda sinusoidal de una frecuencia dada, el valor absoluto $| z |$ del correspondiente $z$ es la amplitud y el argumento $arg z$ es la fase.
Si se emplea el análisis de Fourier para escribir una señal de valor real dada como una suma de funciones periódicas, estas funciones periódicas a menudo se escriben como funciones de valor complejo de la forma
${displaystyle x(t)=operatorname {Re} {X(t)}}$
y
${displaystyle X(t)=Ae^{iomega t}=ae^{iphi }e^{iomega t}=ae^{i(omega t+phi)}}$
donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo A codifica la fase y la amplitud como se explicó anteriormente.
Este uso también se extiende al procesamiento de señales digitales y el procesamiento de imágenes digitales, que utilizan versiones digitales del análisis de Fourier (y el análisis de ondículas) para transmitir, comprimir, restaurar y procesar señales de audio, imágenes fijas y señales de video digitales.
Otro ejemplo, relevante para las dos bandas laterales de modulación de amplitud de la radio AM, es:
${displaystyle {begin{aligned}cos((omega +alpha)t)+cos left((omega -alpha)tright)&=operatorname {Re} left(e^{i(omega +alpha)t}+e^{i(omega -alpha)t}right)\&=operatorname {Re} left(left(e^{ialpha t}+e^{-ialpha t}right)cdot e^{iomega t}right)\&=operatorname {Re} left(2cos(alpha t)cdot e^{iomega t}right)\&=2cos(alpha t)cdot operatorname {Re} left(e^{iomega t}right)\&=2cos(alpha t)cdot cos left(omega tright).end{aligned}}}$
En física
Electromagnetismo e ingeniería eléctrica
En ingeniería eléctrica, la transformada de Fourier se utiliza para analizar voltajes y corrientes variables. El tratamiento de resistencias, capacitores e inductores se puede unificar introduciendo resistencias imaginarias dependientes de la frecuencia para los dos últimos y combinando los tres en un solo número complejo llamado impedancia. Este enfoque se llama cálculo fasorial.
En ingeniería eléctrica, la unidad imaginaria se denota mediante $j$ , para evitar confusiones con $I$ , que generalmente se utiliza para indicar corriente eléctrica o, más concretamente, $i$ , que generalmente se usa para denotar corriente eléctrica instantánea.
Dado que el voltaje en un circuito de CA es oscilante, se puede representar como
${displaystyle V(t)=V_{0}e^{jomega t}=V_{0}left(cos omega t+jsin omega tright),}$
Para obtener la cantidad medible se toma la parte real:
${displaystyle v(t)=operatorname {Re} (V)=operatorname {Re} left[V_{0}e^{jomega t}right]=V_{0}cos omega t.}$
La señal de valor complejo $V (t)$ se denomina representación analítica de la señal medible de valor real señal $v (t)$ .
Dinámica de fluidos
En dinámica de fluidos, se utilizan funciones complejas para describir el flujo potencial en dos dimensiones.
Mecánica cuántica
El campo de números complejos es intrínseco a las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica, donde los espacios complejos de Hilbert brindan el contexto para una de esas formulaciones que es conveniente y quizás la más estándar. Las fórmulas fundamentales originales de la mecánica cuántica (la ecuación de Schrödinger y la mecánica matricial de Heisenberg) utilizan números complejos.
Relatividad
En relatividad especial y general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo se simplifican si se considera que el componente temporal del espacio-tiempo continuo es imaginario. (Este enfoque ya no es estándar en la relatividad clásica, pero se usa de manera esencial en la teoría cuántica de campos). Los números complejos son esenciales para los espinores, que son una generalización de los tensores usados en la relatividad.
Generalizaciones y nociones relacionadas

Gráfico Cayley Q8 que muestra ciclos de multiplicación por i, j y k
El proceso de ampliación del campo $mathbb {R}$ de reales a $mathbb {C}$ es conocida como la construcción Cayley-Dickson. Puede llevarse más lejos a dimensiones superiores, dando lugar a las cuaterniones $mathbb {H}$ octonions $mathbb {O}$ que (como espacio vectorial real) son de dimensión 4 y 8, respectivamente. En este contexto se han llamado números complejos binarios.
Así como al aplicar la construcción a los reales se pierde la propiedad de ordenar, las propiedades familiares de los números reales y complejos desaparecen con cada extensión. Los cuaterniones pierden conmutatividad, es decir, $x \cdot y \neq y \cdot x$ para algunos cuaterniones $x, y$ , y la multiplicación de octoniones, además de no ser conmutativa, no es asociativo: $(x \cdot y)\cdot z \neq x \cdot(y \cdot z)$ para algunos octoniones $x, y, z$ .
Reales, números complejos, quaternions y octonions son todos álgebras de división ordenadas sobre $mathbb {R}$ . Por el teorema de Hurwitz son los únicos; los sedeniones, el siguiente paso en la construcción de Cayley-Dickson, no tienen esta estructura.
La construcción Cayley-Dickson está estrechamente relacionada con la representación regular de ${displaystyle mathbb {C}}$ considerado como un $mathbb {R}$ - álgebra (an $mathbb {R}$ - espacio del vencedor con una multiplicación), con respecto a la base $(1, i)$ . Esto significa lo siguiente: $mathbb {R}$ - mapa lineal
${displaystyle {begin{aligned}mathbb {C} &rightarrow mathbb {C} \z&mapsto wzend{aligned}}}$ $w$ $2 \times 2$ $(1, i)$ ${displaystyle {begin{pmatrix}operatorname {Re} (w)&-operatorname {Im} (w)\operatorname {Im} (w)&operatorname {Re} (w)end{pmatrix}},}$ $mathbb {C}$ ${displaystyle J={begin{pmatrix}p&q\r&-pend{pmatrix}},quad p^{2}+qr+1=0}$ $J 2 = I$ ${displaystyle {z=aI+bJ:a,bin mathbb {R} }}$ ${displaystyle mathbb {C}}$ ${displaystyle mathbb {R} ^{2}.}$
Los números hipercomplex también generalizan ${displaystyle mathbb {R}}$ ${displaystyle mathbb {C}}$ ${displaystyle mathbb {H}}$ y ${displaystyle mathbb {O}.}$ Por ejemplo, esta noción contiene los números de split-complex, que son elementos del anillo ${displaystyle mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$ (a diferencia de ${displaystyle mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$ para números complejos). En este anillo, la ecuación $a 2 = 1$ tiene cuatro soluciones.
El campo $mathbb {R}$ es la terminación de ${displaystyle mathbb {Q}}$ el campo de los números racionales, con respecto a la métrica de valor absoluto habitual. Otras opciones de métricas $mathbb {Q}$ conducir a los campos ${displaystyle mathbb {Q} _{p}}$ números p-adic (para cualquier número primo $p$ ), que por lo tanto son análogos a $mathbb {R}$ . No hay otras formas de completar $mathbb {Q}$ que $mathbb {R}$ y ${displaystyle mathbb {Q} _{p},}$ por el teorema de Ostrowski. Los cierres algebraicos ${displaystyle {overline {mathbb {Q} _{p}}}}$ de ${displaystyle mathbb {Q} _{p}}$ todavía lleva una norma, pero (a diferencia $mathbb {C}$ ) no están completos con respecto a él. La terminación ${mathbb {C}}_{p}$ de ${displaystyle {overline {mathbb {Q} _{p}}}}$ resulta estar algebraicamente cerrado. Por analogía, el campo se llama $p$ - números complejos ádicos.
Los campos ${displaystyle mathbb {R}}$ ${displaystyle mathbb {Q} _{p},}$ y sus extensiones de campo finitas, incluyendo ${displaystyle mathbb {C}}$ se llaman campos locales.

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