Número cardinal

Una función bijeactiva, f: X → Y, desde el set X para establecer Y demuestra que los conjuntos tienen la misma cardenalidad, en este caso igual al cardenal número 4.

Aleph-null, el más pequeño cardenal infinito

En matemáticas, Números cardinales, o cardenales para abreviar, son una generalización de los números naturales utilizados para medir el cardenalismo (tamaño) de los conjuntos. La cardinalidad de un conjunto finito es un número natural: el número de elementos en el conjunto. El transfinito números cardinales, a menudo denotados usando el símbolo hebreo א א {displaystyle aleph } (aleph) seguido de un subscript, describir los tamaños de conjuntos infinitos.

La cardinalidad se define en términos de funciones biyectivas. Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si, y solo si, existe una correspondencia uno a uno (biyección) entre los elementos de los dos conjuntos. En el caso de conjuntos finitos, esto concuerda con la noción intuitiva de tamaño. En el caso de conjuntos infinitos, el comportamiento es más complejo. Un teorema fundamental de Georg Cantor muestra que es posible que conjuntos infinitos tengan cardinalidades diferentes y, en particular, la cardinalidad del conjunto de los números reales es mayor que la cardinalidad del conjunto de los números naturales. También es posible que un subconjunto propio de un conjunto infinito tenga la misma cardinalidad que el conjunto original, algo que no puede suceder con los subconjuntos propios de conjuntos finitos.

Hay una secuencia transfinita de números cardinales:

0,1,2,3,...... ,n,...... ;א א 0,א א 1,א א 2,...... ,א א α α ,...... .{displaystyle 0,1,2,3,ldotsn,ldots;aleph _{0},aleph _{1},aleph _{2},ldotsaleph _{alpha },ldots. }

Esta secuencia comienza con los números naturales, incluido el cero (cardinales finitos), a los que siguen los números aleph (cardinales infinitos de conjuntos bien ordenados). Los números aleph están indexados por números ordinales. Bajo el supuesto del axioma de elección, esta secuencia transfinita incluye todos los números cardinales. Si uno rechaza ese axioma, la situación es más complicada, con infinitos cardinales adicionales que no son alephs.

La cardinalidad se estudia por sí misma como parte de la teoría de conjuntos. También es una herramienta utilizada en ramas de las matemáticas, incluida la teoría de modelos, la combinatoria, el álgebra abstracta y el análisis matemático. En la teoría de categorías, los números cardinales forman un esqueleto de la categoría de conjuntos.

Historia

La noción de cardinalidad, tal como se entiende ahora, fue formulada por Georg Cantor, el creador de la teoría de conjuntos, en 1874-1884. La cardinalidad se puede utilizar para comparar un aspecto de conjuntos finitos. Por ejemplo, los conjuntos {1,2,3} y {4,5,6} no son iguales, pero tienen la misma cardinalidad, es decir, tres. Esto se establece por la existencia de una biyección (es decir, una correspondencia uno a uno) entre los dos conjuntos, como la correspondencia {1→4, 2→5, 3→6}.

Cantor aplicó su concepto de bijeción a conjuntos infinitos (por ejemplo, el conjunto de números naturales N = {0, 1, 2, 3,...}). Así, llamó a todos los juegos que tienen una bijeción con N conjuntos desnumerables (contablemente infinitos), que todos comparten el mismo número cardenal. Este número cardenal se llama א א 0{displaystyle aleph _{0}, aleph-null. Llamó a los números cardinales de infinitos conjuntos números cardinales transfinitos.

Cantor demostró que cualquier subconjunto ilimitado de N tiene la misma cardinalidad que N, aunque esto parezca ir en contra de la intuición. También demostró que el conjunto de todos los pares ordenados de números naturales es numerable; esto implica que el conjunto de todos los números racionales también es numerable, ya que todo racional puede ser representado por un par de números enteros. Más tarde demostró que el conjunto de todos los números algebraicos reales también es numerable. Cada número algebraico real z puede codificarse como una secuencia finita de números enteros, que son los coeficientes en la ecuación polinómica de la que es una solución, es decir, la n-tupla ordenada (a₀, a₁,..., a_n), a_i ∈ Z junto con un par de racionales (b₀, b₁) tal que z es la raíz única del polinomio con coeficientes (a₀, a₁,..., a_n) que se encuentra en el intervalo ( b₀, b₁).

En su documento de 1874 "Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales", Cantor demostró que existen números cardenales de orden superior, mostrando que el conjunto de números reales tiene cardenalidad mayor que la de N. Su prueba utilizó un argumento con intervalos anidados, pero en un periódico de 1891 demostró el mismo resultado usando su ingenioso y mucho más simple argumento diagonal. El nuevo número cardenal del conjunto de números reales se llama la cardenalidad del continuum y Cantor utilizó el símbolo c{displaystyle {Mathfrak}} Para eso.

Cantor también desarrolló una gran parte de la teoría general de los números cardinales; demostró que hay un número cardenal transfinito más pequeño (א א 0{displaystyle aleph _{0}, aleph-null), y que para cada número cardenal hay un cardenal más grande

()א א 1,א א 2,א א 3,...... ).{displaystyle (aleph _{1},aleph _{2},aleph _{3},ldots).}

Su hipótesis continua es la proposición de que la cardinalidad c{displaystyle {Mathfrak}} del conjunto de números reales es el mismo que א א 1{displaystyle aleph _{1}. Esta hipótesis es independiente de los axiomas estándar de la teoría del conjunto matemático, es decir, no puede ser probado ni refutado de ellos. Esto fue mostrado en 1963 por Paul Cohen, complementando el trabajo anterior de Kurt Gödel en 1940.

Motivación

En uso informal, un número cardinal es lo que normalmente se denomina un número de cuenta, siempre que se incluya el 0: 0, 1, 2,.... Pueden identificarse con el números naturales que comienzan con 0. Los números de conteo son exactamente lo que se puede definir formalmente como los números cardinales finitos. Los cardenales infinitos solo ocurren en matemáticas y lógica de nivel superior.

Más formalmente, un número distinto de cero se puede usar para dos propósitos: para describir el tamaño de un conjunto o para describir la posición de un elemento en una secuencia. Para conjuntos y sucesiones finitos es fácil ver que estas dos nociones coinciden, ya que para cada número que describe una posición en una sucesión podemos construir un conjunto que tiene exactamente el tamaño correcto. Por ejemplo, 3 describe la posición de 'c' en la secuencia <'a', 'b', 'c', 'd',...>, y podemos construye el conjunto {a,b,c}, que tiene 3 elementos.

Sin embargo, cuando se trata de conjuntos infinitos, es esencial distinguir entre los dos, ya que las dos nociones son, de hecho, diferentes para conjuntos infinitos. La consideración del aspecto de la posición conduce a los números ordinales, mientras que el aspecto del tamaño se generaliza mediante los números cardinales descritos aquí.

La intuición detrás de la definición formal de cardenal es la construcción de una noción del tamaño relativo o "grandeza" de un conjunto, sin referencia a la clase de miembros que tiene. Para conjuntos finitos esto es fácil; uno simplemente cuenta el número de elementos que tiene un conjunto. Para comparar los tamaños de conjuntos más grandes, es necesario apelar a nociones más refinadas.

Un conjunto Y es al menos tan grande como un conjunto X si hay un mapeo inyectivo de los elementos de X a los elementos de Y. Un mapeo inyectivo identifica cada elemento del conjunto X con un único elemento del conjunto Y. Esto se entiende más fácilmente con un ejemplo; supongamos que tenemos los conjuntos X = {1,2,3} y Y = {a,b,c,d}, entonces usando esta noción de tamaño, tendríamos observe que hay un mapeo:

1 → a

2 → b

3 → c

que es inyectiva, y por tanto concluir que Y tiene una cardinalidad mayor o igual que X. El elemento d no tiene un mapeo de elementos, pero esto está permitido ya que solo requerimos un mapeo inyectivo, y no necesariamente un mapeo biyectivo. La ventaja de esta noción es que se puede extender a conjuntos infinitos.

Podemos extender esto a una relación de estilo de igualdad. Se dice que dos conjuntos X e Y tienen la misma cardinalidad si existe una biyección entre X y Y. Por el teorema de Schroeder-Bernstein, esto es equivalente a que haya ambos un mapeo inyectivo de X a Y, y un mapeo inyectivo de Y a X. Entonces escribimos |X| = |Y|. El número cardinal de X a menudo se define como el menor a ordinal con |a| = |X|. Esto se llama la asignación cardinal de von Neumann; para que esta definición tenga sentido, se debe probar que todo conjunto tiene la misma cardinalidad que algún ordinal; esta afirmación es el principio del buen orden. Sin embargo, es posible discutir la cardinalidad relativa de los conjuntos sin asignar explícitamente nombres a los objetos.

El ejemplo clásico utilizado es el de la paradoja del hotel infinito, también llamada paradoja del Gran Hotel de Hilbert. Supongamos que hay un posadero en un hotel con un número infinito de habitaciones. El hotel está lleno y luego llega un nuevo huésped. Es posible acomodar al huésped adicional pidiéndole al huésped que estaba en la habitación 1 que se traslade a la habitación 2, al huésped de la habitación 2 que se traslade a la habitación 3, y así sucesivamente, dejando la habitación 1 vacante. Podemos escribir explícitamente un segmento de este mapeo:

1 → 2

2 → 3

3 → 4

...

n → n + 1

...

Con esta asignación, podemos ver que el conjunto {1,2,3,...} tiene la misma cardinalidad que el conjunto {2,3,4,...}, ya que una biyección entre el primero y el segundo ha sido mostrado. Esto motiva la definición de un conjunto infinito como cualquier conjunto que tiene un subconjunto propio de la misma cardinalidad (es decir, un conjunto infinito de Dedekind); en este caso {2,3,4,...} es un subconjunto propio de {1,2,3,...}.

Al considerar estos objetos grandes, uno también podría querer ver si la noción de orden de conteo coincide con la de cardinal definida anteriormente para estos conjuntos infinitos. Sucede que no; al considerar el ejemplo anterior, podemos ver que si algún objeto "uno mayor que infinito" existe, entonces debe tener la misma cardinalidad que el conjunto infinito con el que comenzamos. Es posible usar una noción formal diferente para el número, llamada ordinal, basada en las ideas de contar y considerar cada número por separado, y descubrimos que las nociones de cardinalidad y ordinalidad son divergentes una vez que nos alejamos de los números finitos.

Se puede probar que la cardinalidad de los números reales es mayor que la de los números naturales recién descritos. Esto se puede visualizar usando el argumento diagonal de Cantor; las preguntas clásicas de cardinalidad (por ejemplo, la hipótesis del continuo) se ocupan de descubrir si hay algún cardenal entre algún par de otros cardinales infinitos. En tiempos más recientes, los matemáticos han estado describiendo las propiedades de cardinales cada vez más grandes.

Dado que la cardinalidad es un concepto tan común en matemáticas, se utilizan una variedad de nombres. La igualdad de cardinalidad a veces se denomina equiponcia, equipolencia o equinumerosidad. Se dice así que dos conjuntos con la misma cardinalidad son, respectivamente, equipotente, equipolento o equinúmero.

Definición formal

Formalmente, asumiendo el axioma de elección, la cardinalidad de un conjunto X es el menor número ordinal α tal que existe una biyección entre X y α. Esta definición se conoce como la asignación cardinal de von Neumann. Si no se asume el axioma de elección, entonces se necesita un enfoque diferente. La definición más antigua de la cardinalidad de un conjunto X (implícita en Cantor y explícita en Frege y Principia Mathematica) es como la clase [X] de todos los conjuntos que son equinumeros con X. Esto no funciona en ZFC u otros sistemas relacionados de teoría axiomática de conjuntos porque si X no está vacío, esta colección es demasiado grande para ser un conjunto. De hecho, para X ≠ ∅ hay una inyección del universo en [X] asignando un conjunto m a {m } × X, y por el axioma de limitación de tamaño, [X] es una clase propia. Sin embargo, la definición funciona en la teoría de tipos y en New Foundations y sistemas relacionados. Sin embargo, si restringimos esta clase a aquellos equinumeros con X que tienen el menor rango, entonces funcionará (este es un truco debido a Dana Scott: funciona porque la colección de objetos con cualquier el rango es un conjunto).

La asignación cardinal de Von Neumann implica que el número cardinal de un conjunto finito es el número ordinal común de todos los pozos posibles de ese conjunto, y cardenal y ordinal aritmético (addición, multiplicación, poder, subtracción adecuada) entonces dan las mismas respuestas para los números finitos. Sin embargo, difieren por números infinitos. Por ejemplo, <math alttext="{displaystyle 2^{omega }=omega 2⋅ ⋅ =⋅ ⋅ .⋅ ⋅ 2{displaystyle 2^{omega ################################################################################################################################################################################################################################################################<img alt="{displaystyle 2^{omega }=omega en ordinal aritmética mientras aleph _{0}=aleph _{0}^{2}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">2א א 0■א א 0=א א 02{displaystyle 2^{aleph ¿Por qué? ¿Qué?aleph _{0}=aleph _{0}^{2}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/254133484fe55ce021e5dfa397cb3a1efc868d60" style="vertical-align: -1.005ex; width:14.376ex; height:3.343ex;"/> en aritmética cardenal, aunque la asignación de von Neumann pone א א 0=⋅ ⋅ {displaystyle aleph ¿Qué?. Por otro lado, el truco de Scott implica que el cardenal número 0 es {}∅ ∅ }{displaystyle {emptyset}}, que es también el ordinal número 1, y esto puede ser confuso. Un posible compromiso (aprovechar la alineación en aritmética finita y evitar depender del axioma de la elección y la confusión en aritmética infinita) es aplicar la asignación de von Neumann a los números cardinales de conjuntos finitos (los que pueden ser bien ordenados y no son equipotent a subconjuntos adecuados) y utilizar el truco de Scott para los números cardinales de otros conjuntos.

Formalmente, el orden entre los números cardinales se define de la siguiente manera: |X| ≤ |Y| significa que existe una función inyectiva de X a Y. El teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder establece que si |X| ≤ |Y| y |Y| ≤ |X| entonces |X| = |Y|. El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que dados dos conjuntos X y Y, ya sea |X| ≤ |Y| o |Y| ≤ |X|.

Un conjunto X es Dedekind-infinito si existe un subconjunto propio Y de X con |X | = |Y|, y Dedekind-finito si tal subconjunto no existe. Los cardinales finitos son simplemente los números naturales, en el sentido de que un conjunto X es finito si y solo si |X| = |n| = n para algún número natural n. Cualquier otro conjunto es infinito.

Asumiendo el axioma de elección, se puede probar que las nociones de Dedekind corresponden a las estándar. También se puede probar que el cardenal א א 0{displaystyle aleph _{0} (aleph null o aleph-0, donde el aleph es la primera letra en el alfabeto hebreo, representado א א {displaystyle aleph }) del conjunto de números naturales es el más pequeño cardenal infinito (es decir, cualquier conjunto infinito tiene un subconjunto de cardenalidad א א 0{displaystyle aleph _{0}). El próximo cardenal más grande es denotado por א א 1{displaystyle aleph _{1}, y así sucesivamente. Por cada ordinal α, hay un número cardenal א א α α ,{displaystyle aleph _{alpha },} y esta lista agota todos los números cardinales infinitos.

Aritmética cardinal

Podemos definir operaciones aritméticas sobre números cardinales que generalizan las operaciones ordinarias para números naturales. Se puede demostrar que para cardinales finitos, estas operaciones coinciden con las operaciones usuales para números naturales. Además, estas operaciones comparten muchas propiedades con la aritmética ordinaria.

Cardenal sucesora

Si el axioma de la elección sostiene, entonces cada cardenal κ tiene un sucesor, denotado κ⁺, donde κ⁺ No hay cardenales entre κ y su sucesor. (Sin el axioma de elección, usando el teorema de Hartogs, se puede demostrar que para cualquier número cardenal κ, hay un cardenal mínimo κ⁺ tales que κ κ +≰ ≰ κ κ .{displaystyle kappa ^{+}nleq kappa.}) Para cardenales finitos, el sucesor es simplemente κ + 1. Para los cardenales infinitos, el cardenal sucesor difiere del ordinal sucesor.

Adición cardinal

Si X e Y son disjuntos, la suma viene dada por la unión de X e Y. Si los dos conjuntos aún no están disjuntos, entonces pueden ser reemplazados por conjuntos disjuntos de la misma cardinalidad (por ejemplo, reemplace X por X×{0} y Y por Y×{1}).

SilencioXSilencio+SilencioYSilencio=SilencioX∪ ∪ YSilencio.{displaystyle Silencioso Sí.

Cero es una identidad aditiva κ + 0 = 0 + κ = κ.

La suma es asociativa (και> + μ) + ν = κ + (μ + ν).

La suma es conmutativa και> + μ = μ + κ.

La suma no es decreciente en ambos argumentos:

()κ κ ≤ ≤ μ μ )→ → ()()κ κ +.. ≤ ≤ μ μ +.. )y().. +κ κ ≤ ≤ .. +μ μ )).{kappa leq mu)rightarrow (kappa +nu leq mu +nu){mbox{ y }(nu +kappa nu +mu)). }

Asumiendo el axioma de elección, la suma de números cardinales infinitos es fácil. Si κ o μ es infinito, entonces

κ κ +μ μ =max{}κ κ ,μ μ }.{displaystyle kappa +mu =max{kappamu.

Sustracción

Asumiendo el axioma de elección y dado un cardinal infinito σ y un cardinal μ, existe un cardinal κ tal que μ + κ = σ si y solo si μ ≤ σ. Será único (e igual a σ) si y solo si μ < σ.

Multiplicación cardinal

El producto de cardenales proviene del producto cartesiano.

SilencioXSilencio⋅ ⋅ SilencioYSilencio=SilencioX× × YSilencio{displaystyle Silencioso

κ·0 = 0·κ = 0.

κ·μ = 0 → (κ = 0 o μ = 0).

Uno es una identidad multiplicativa κ·1 = 1·κ = κ.

La multiplicación es asociativa (και>·μ)·ν = κ·(μ ·ν).

La multiplicación es conmutativa κ·μ = μ·κ.

La multiplicación no es decreciente en ambos argumentos: κ ≤ μ → (κ·ν ≤ μ·ν y ν·κ ≤ ν·μ).

La multiplicación se distribuye sobre la suma: κ·(μ + ν) = κ·μ + κ·ν y (μ + ν)·κ = μ·κ + ν·κ.

Asumiendo el axioma de elección, la multiplicación de infinitos números cardinales también es fácil. Si κ o μ es infinito y ambos son distintos de cero, entonces

κ κ ⋅ ⋅ μ μ =max{}κ κ ,μ μ }.{displaystyle kappa cdot mu =max{kappamu.

División

Asumiendo el axioma de elección y, dado un cardinal infinito π y un cardinal distinto de cero μ, existe un cardinal κ tal que μ · κ = π si y solo si μ ≤ π. Será único (e igual a π) si y solo si μ < π.

Exponencia cardinal

La potenciación viene dada por

SilencioXSilencioSilencioYSilencio=SilencioXYSilencio,{fnMicrosoft Sans Serif}

donde X^Y es el conjunto de todas las funciones de Y a X.

κ⁰ 1 (en particular 0)⁰ = 1), ver la función vacía.

Si 1 ≤ μ, entonces 0^μ = 0.

1^μ = 1.

κ¹ = κ.

κ^{μ + .} = κ^μ·κ^..

κ^{μ · .} =κ^μ)^..

()κ·μ)^. = κ^.·μ^..

La potenciación no es decreciente en ambos argumentos:

(1 ≤ . y κ ≤ μ) →.^κ ≤ .^μ) y

()κ ≤ μ) →κ^. ≤ μ^.).

2^|X| es la cardinalidad del conjunto potencia del conjunto X y el argumento diagonal de Cantor muestra que 2 ^|X| > |X| para cualquier conjunto X. Esto prueba que no existe el cardinal más grande (porque para cualquier cardinal κ, siempre podemos encontrar un cardinal 2^κ más grande). De hecho, la clase de los cardenales es una clase propia. (Esta prueba falla en algunas teorías de conjuntos, en particular en New Foundations).

Todas las proposiciones restantes en esta sección asumen el axioma de elección:

Si κ y μ son finitos y mayores que 1, y . es infinito, entonces κ^. = μ^..

Si κ es infinito μ es finito y no cero, entonces κ^μ = κ.

Si 2 ≤ κ y 1 ≤ μ y al menos uno de ellos es infinito, entonces:

Maxκ, 2^μ≤ κ^μ ≤ Max (2^κ, 2^μ).

Usando el teorema de König, se puede probar κ < κ^cf(κ) y κ < cf(2^κ) para cualquier cardinal infinito κ, donde cf(κ) es la cofinalidad de κ.

Raíces

Suponiendo el axioma de la elección y, dado un cardenal infinito κ y un cardenal finito μ más grande que 0, el cardenal . satisfacción .. μ μ =κ κ {displaystyle nu ^{mu }=kappa } será κ κ {displaystyle kappa }.

Logaritmos

Suponiendo el axioma de la elección y, dado un cardenal infinito κ y un cardenal finito μ mayor de 1, puede o no haber un cardenal λ satisfacción μ μ λ λ =κ κ {displaystyle mu ^{lambda }=kappa }. Sin embargo, si tal cardenal existe, es infinita y menos que κ, y cualquier cardinalidad finita . mayor de 1 también satisfará .. λ λ =κ κ {displaystyle nu ^{lambda }=kappa }.

El logaritmo de un número cardinal infinito κ se define como el menor número cardinal μ tal que κ ≤ 2^μ. Los logaritmos de cardinales infinitos son útiles en algunos campos de las matemáticas, por ejemplo en el estudio de los invariantes cardinales de espacios topológicos, aunque carecen de algunas de las propiedades que poseen los logaritmos de números reales positivos.

La hipótesis del continuo

La hipótesis continua (CH) afirma que no hay cardenales estrictamente entre א א 0{displaystyle aleph _{0} y 2א א 0.{displaystyle 2^{aleph - Sí. El último número cardenal es también a menudo denotado por c{displaystyle {Mathfrak}}; es la cardinalidad del continuum (el conjunto de números reales). En este caso 2א א 0=א א 1.{displaystyle 2^{aleph ¿Qué? _{1}

Del mismo modo, la hipótesis continuum generalizada (GCH) afirma que para cada cardenal infinito κ κ {displaystyle kappa }, no hay cardenales estrictamente entre κ κ {displaystyle kappa } y 2κ κ {displaystyle 2^{kappa }. Tanto la hipótesis continuum como la hipótesis continuum generalizada se han demostrado independientes de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos, los axiomas Zermelo-Fraenkel junto con el axioma de elección (ZFC).

De hecho, el teorema de Easton muestra que, para los cardenales regulares κ κ {displaystyle kappa }, las únicas restricciones ZFC coloca sobre el cardenalismo 2κ κ {displaystyle 2^{kappa } son <math alttext="{displaystyle kappa κ κ .cf⁡ ⁡ ()2κ κ ){displaystyle kappa âTMa {cf} (2^{kappa }}<img alt="{displaystyle kappa , y que la función exponencial no está disminuyendo.