Número armónico

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Suma del primer n número entero reciprocals; 1/1 + 1/2 + 1/3 +... + 1/n

El número armónico

H_{n}

con

{displaystyle n=lfloor xrfloor }

(línea roja) con su límite asintotico

gamma +ln(x)

(línea azul) donde

gamma

es la constante Euler-Mascheroni.

En matemáticas, el $n$ -ésimo número armónico es la suma de los recíprocos de los primeros $n$ números naturales:

{displaystyle H_{n}=1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+cdots +{frac {1}{n}}=sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}.}

A partir de $n = 1$ , comienza la secuencia de números armónicos:

{displaystyle 1,{frac {3}{2}},{frac {11}{6}},{frac {25}{12}},{frac {137}{60}},dots }

Los números armónicos están relacionados con la media armónica en que el $n$ -ésimo número armónico también es $n$ veces el recíproco de la media armónica del primer $n enteros positivos.$

Los números armónicos se han estudiado desde la antigüedad y son importantes en varias ramas de la teoría de números. A veces se denominan vagamente series armónicas, están estrechamente relacionadas con la función zeta de Riemann y aparecen en las expresiones de varias funciones especiales.

Los números armónicos se aproximan aproximadamente a la función del logaritmo natural y, por lo tanto, la serie armónica asociada crece sin límite, aunque lentamente. En 1737, Leonhard Euler utilizó la divergencia de la serie armónica para proporcionar una nueva prueba de la infinidad de números primos. Su trabajo fue ampliado al plano complejo por Bernhard Riemann en 1859, lo que condujo directamente a la célebre hipótesis de Riemann sobre la distribución de los números primos.

Cuando el valor de una gran cantidad de artículos tiene una distribución según la ley de Zipf, el valor total de los $n$ los elementos más valiosos son proporcionales al $n$ -ésimo número armónico. Esto lleva a una variedad de conclusiones sorprendentes con respecto a la cola larga y la teoría del valor de la red.

El teorema de Bertrand-Chebyshev implica que, excepto en el caso $n = 1$ , los números armónicos nunca son números enteros.

Identidades que involucran números armónicos

Por definición, los números armónicos satisfacen la relación de recurrencia

{displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{frac {1}{n+1}}.}

Los números armónicos están conectados a los números de Stirling de primera especie por la relación

{displaystyle H_{n}={frac {1}{n!}}left[{n+1 atop 2}right].}

Las funciones

{displaystyle f_{n}(x)={frac {x^{n}}{n!}}(log x-H_{n})}

{displaystyle f_{n}'(x)=f_{n-1}(x).}

{displaystyle f_{1}(x)=x(log x-1)}

Los números armónicos satisfacen las identidades de las series

{displaystyle sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n}

{displaystyle sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n.}

{displaystyle int _{0}^{x}log y dy=xlog x-x}

{displaystyle int _{0}^{x}(log y)^{2} dy=x(log x)^{2}-2xlog x+2x.}

Identidades que implican π

Hay varias sumas infinitas que involucran números armónicos y potencias de π:

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {H_{n}}{ncdot 2^{n}}}={frac {1}{12}}pi ^{2}}

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}={frac {11}{360}}pi ^{4}}

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}={frac {17}{360}}pi ^{4}}

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {H_{n}}{n^{3}}}={frac {1}{72}}pi ^{4}}

Cálculo

Una representación integral dada por Euler es

{displaystyle H_{n}=int _{0}^{1}{frac {1-x^{n}}{1-x}},dx.}

La igualdad anterior es directa por la simple identidad algebraica

{displaystyle {frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+cdots +x^{n-1}.}

Usando la sustitución $x = 1 - u$ , otra expresión para $H n$ es

{displaystyle {begin{aligned}H_{n}&=int _{0}^{1}{frac {1-x^{n}}{1-x}},dx=int _{0}^{1}{frac {1-(1-u)^{n}}{u}},du\[6pt]&=int _{0}^{1}left[-sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{binom {n}{k}}u^{k-1}right],du=-sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{binom {n}{k}}int _{0}^{1}u^{k-1},du\[6pt]&=-sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{frac {1}{k}}{binom {n}{k}}.end{aligned}}}

Gráfico que demuestra una conexión entre los números armónicos y el logaritmo natural. El número armónico

H n

puede ser interpretado como una suma Riemann de la integral:

{displaystyle int _{1}^{n+1}{frac {dx}{x}}=ln(n+1).}

El $n$ ésimo número armónico es aproximadamente tan grande como el logaritmo natural de $n$ . La razón es que la suma se aproxima por la integral

{displaystyle int _{1}^{n}{frac {1}{x}},dx,}

In n

Los valores de la secuencia $H n - ln n$ disminuye monótonamente hacia el límite

{displaystyle lim _{nto infty }left(H_{n}-ln nright)=gamma}

γ ■ 0,572156649

{displaystyle {begin{aligned}H_{n}&sim ln {n}+gamma +{frac {1}{2n}}-sum _{k=1}^{infty }{frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}\&=ln {n}+gamma +{frac {1}{2n}}-{frac {1}{12n^{2}}}+{frac {1}{120n^{4}}}-cdotsend{aligned}}}

B k

Funciones generadoras

Una función de generación para los números armónicos es

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }z^{n}H_{n}={frac {-ln(1-z)}{1-z}},}

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k}}{frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}operatorname {Ein} (z)}

{displaystyle operatorname {Ein} (z)=mathrm {E} _{1}(z)+gamma +ln z=Gamma (0,z)+gamma +ln z}

propiedades aritméticas

Los números armónicos tienen varias propiedades aritméticas interesantes. Es bien conocido que ${textstyle H_{n}}$ es un entero si y sólo si ${textstyle n=1}$ , un resultado a menudo atribuido a Taeisinger. De hecho, utilizando la valoración 2-adic, no es difícil probar que para ${textstyle ngeq 2}$ el numerador de ${textstyle H_{n}}$ es un número extraño mientras que el denominador ${textstyle H_{n}}$ es un número uniforme. Más precisamente,

{displaystyle H_{n}={frac {1}{2^{lfloor log _{2}(n)rfloor }}}{frac {a_{n}}{b_{n}}}}

{textstyle a_{n}}

{textstyle b_{n}}

Como consecuencia del teorema de Wolstenholme, para cualquier número primo $pgeq 5$ el numerador de $H_{{p-1}}$ es divisible por ${textstyle p^{2}}$ . Además, Eisenstein demostró que para todo el número primo impar ${textstyle p}$ que sostiene

{displaystyle H_{(p-1)/2}equiv -2q_{p}(2){pmod {p}}}

{textstyle q_{p}(2)=(2^{p-1}-1)/p}

{textstyle p}

{displaystyle H_{(p-1)/2}}

{textstyle p}

En 1991, Eswarathasan y Levine definidos $J_{p}$ como conjunto de todos los enteros positivos $n$ tal que el numerador de $H_{n}$ es divisible por un número primo $p.$ Demostraron que

{displaystyle {p-1,p^{2}-p,p^{2}-1}subseteq J_{p}}

{displaystyle pgeq 5,}

armónicos primos

{textstyle p}

J_{p}

Eswarathasan y Levine también conjeturaron que $J_{p}$ es un conjunto finito para todos los primos $p,$ y que hay infinitamente muchos primos armónicos. Boyd verificó que $J_{p}$ es finito para todos los números primos hasta ${displaystyle p=547}$ excepto 83, 127 y 397; y dio una heurística sugiriendo que la densidad de los primos armónicos en el conjunto de todos los primos debe ser $1/e$ . Sanna mostró que $J_{p}$ tiene cero densidad asintotica, mientras que Bing-Ling Wu y Yong-Gao Chen demostraron que el número de elementos $J_{p}$ no superior $x$ es en la mayoría ${displaystyle 3x^{{frac {2}{3}}+{frac {1}{25log p}}}}$ , para todos $x geq 1$ .

Aplicaciones

Los números armónicos aparecen en varias fórmulas de cálculo, como la función digamma

{displaystyle psi (n)=H_{n-1}-gamma.}

γ

{displaystyle gamma =lim _{nrightarrow infty }{left(H_{n}-ln(n)right)},}

{displaystyle gamma =lim _{nto infty }{left(H_{n}-ln left(n+{frac {1}{2}}right)right)}}

En 2002, Jeffrey Lagarias demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que

{displaystyle sigma (n)leq H_{n}+(log H_{n})e^{H_{n}},}

n \geq 1

n ■ 1

σ () n)

n

Los valores propios del problema no local

{displaystyle lambda varphi (x)=int _{-1}^{1}{frac {varphi (x)-varphi (y)}{|x-y|}},dy}

lambda =2H_{n}

{displaystyle H_{0}=0}

{displaystyle varphi (x)=P_{n}(x)}

Generalizaciones

Números armónicos generalizados

El nésimo número armónico generalizado de orden m está dado por

{displaystyle H_{n,m}=sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k^{m}}}.}

(En algunas fuentes, esto también puede ser denotado por ${textstyle H_{n}^{(m)}}$ o ${textstyle H_{m}(n).}$ )

El caso especial m = 0 da ${displaystyle H_{n,0}=n.}$ El caso especial m = 1 reduce al número armónico habitual:

{displaystyle H_{n,1}=H_{n}=sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}.}

El límite ${textstyle H_{n,m}}$ como $n \to$ es finito si $m ■ 1$ , con el número armónico generalizado ligado por la función Riemann zeta

{displaystyle lim _{nrightarrow infty }H_{n,m}=zeta (m).}

El número natural más pequeño k tal que kⁿ no divide el denominador del número armónico generalizado H (k, n) ni el denominador del número armónico generalizado alterno H′(k, n ) es, para n=1, 2,...:

77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 110, 20, 3... A128670 en el OEIS)

La suma conexa $sum _{k=1}^{n}k^{m}$ ocurre en el estudio de los números de Bernoulli; los números armónicos también aparecen en el estudio de los números de Stirling.

Algunas integrales de números armónicos generalizados son

{displaystyle int _{0}^{a}H_{x,2},dx=a{frac {pi ^{2}}{6}}-H_{a}}

{displaystyle int _{0}^{a}H_{x,3},dx=aA-{frac {1}{2}}H_{a,2},}

AEspecificaciones

{displaystyle sum _{k=1}^{n}H_{k,m}=(n+1)H_{n,m}-H_{n,m-1}{text{ for }}mgeq 0.}

Cada número de orden armónico generalizado m puede ser escrito como una función de números armónicos de orden $m-1$ utilizando

{displaystyle H_{n,m}=sum _{k=1}^{n-1}{frac {H_{k,m-1}}{k(k+1)}}+{frac {H_{n,m-1}}{n}}}

H_{4,3}={frac {H_{1,2}}{1cdot 2}}+{frac {H_{2,2}}{2cdot 3}}+{frac {H_{3,2}}{3cdot 4}}+{frac {H_{4,2}}{4}}

Una función generadora para los números armónicos generalizados es

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }z^{n}H_{n,m}={frac {operatorname {Li} _{m}(z)}{1-z}},}

{displaystyle operatorname {Li} _{m}(z)}

Silencio z TENIDA 1

m = 1

Se puede introducir un argumento fraccionario para números armónicos generalizados de la siguiente manera:

Por todos $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">p,q■0{displaystyle p,q confía0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23fff722445d59974557b756cef84346bb315368" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:7.623ex; height:2.509ex;"/>$ entero, y $1}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">m■1{displaystyle m]1" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f27527902d05e4c32bcbe28d425d7790f8ae191" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.301ex; height:2.176ex;"/>$ integer o no, tenemos de funciones de poligamma:

{displaystyle H_{q/p,m}=zeta (m)-p^{m}sum _{k=1}^{infty }{frac {1}{(q+pk)^{m}}}}

zeta (m)

{displaystyle H_{a,m}=H_{a-1,m}+{frac {1}{a^{m}}}.}

{displaystyle H_{{frac {1}{4}},2}=16-8G-{tfrac {5}{6}}pi ^{2}}

{displaystyle H_{{frac {1}{2}},2}=4-{tfrac {pi ^{2}}{3}}}

{displaystyle H_{{frac {3}{4}},2}=8G+{tfrac {16}{9}}-{tfrac {5}{6}}pi ^{2}}

{displaystyle H_{{frac {1}{4}},3}=64-27zeta (3)-pi ^{3}}

{displaystyle H_{{frac {1}{2}},3}=8-6zeta (3)}

{displaystyle H_{{frac {3}{4}},3}={({tfrac {4}{3}})}^{3}-27zeta (3)+pi ^{3}}

En el caso especial $p = 1$ , tenemos

{displaystyle H_{n,m}=zeta (m,1)-zeta (m,n+1),}

{displaystyle zeta (m,n)}

Fórmulas de multiplicación

El teorema de la multiplicación se aplica a los números armónicos. Usando funciones poligamma, obtenemos

{displaystyle H_{2x}={frac {1}{2}}left(H_{x}+H_{x-{frac {1}{2}}}right)+ln 2,}

{displaystyle H_{3x}={frac {1}{3}}left(H_{x}+H_{x-{frac {1}{3}}}+H_{x-{frac {2}{3}}}right)+ln 3,}

{displaystyle H_{nx}={frac {1}{n}}left(H_{x}+H_{x-{frac {1}{n}}}+H_{x-{frac {2}{n}}}+cdots +H_{x-{frac {n-1}{n}}}right)+ln n.}

Para números armónicos generalizados, tenemos

{displaystyle H_{2x,2}={frac {1}{2}}left(zeta (2)+{frac {1}{2}}left(H_{x,2}+H_{x-{frac {1}{2}},2}right)right)}

{displaystyle H_{3x,2}={frac {1}{9}}left(6zeta (2)+H_{x,2}+H_{x-{frac {1}{3}},2}+H_{x-{frac {2}{3}},2}right),}

zeta (n)

Números hiperharmónicos

La próxima generalización fue discutida por J. H. Conway y R. K. Guy en su libro de 1995 El libro de los números . Dejar

{displaystyle H_{n}^{(0)}={frac {1}{n}}.}

rr título0

{displaystyle H_{n}^{(r)}=sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.}

{displaystyle H_{n}^{(1)}}

H_{n}

Números armónicos para valores reales y complejos

Las fórmulas dadas arriba,

{displaystyle H_{x}=int _{0}^{1}{frac {1-t^{x}}{1-t}},dt=-sum _{k=1}^{infty }{x choose k}{frac {(-1)^{k}}{k}}}

{displaystyle H_{x}=psi (x+1)+gamma}

↑ () x)

γ

{displaystyle H_{x,2}=-sum _{k=1}^{infty }{frac {(-1)^{k}}{k}}{x choose k}H_{k}.}

La serie de Taylor para los números armónicos es

<math alttext="{displaystyle H_{x}=sum _{k=2}^{infty }(-1)^{k}zeta (k);x^{k-1}quad {text{ for }}|x|Hx=.. k=2JUEGO JUEGO ()− − 1)kEspecificaciones Especificaciones ()k)xk− − 1paraSilencioxSilencio.1{displaystyle H_{x}=sum ¿Por qué?<img alt="{displaystyle H_{x}=sum _{k=2}^{infty }(-1)^{k}zeta (k);x^{k-1}quad {text{ for }}|x|

zeta

Aproximación mediante el desarrollo de la serie de Taylor

El número armónico se puede aproximar usando los primeros términos de la expansión de la serie de Taylor:

{displaystyle H_{n}=gamma +ln n+{frac {1}{2n}}+Oleft({frac {1}{n^{2}}}right)simeq gamma +ln n+{frac {1}{2n}}}

{displaystyle gamma =0.57721...}

Formulación asintótica alternativa

Al buscar aproximar $H x$ para un número complejo $x$ , es efectivo calcular primero $H m$ para algún entero grande $m$ . Úsalo como una aproximación para el valor de $H m + x . Luego use la relación de recurrencia H n = H n -1 + 1/ n hacia atrás m veces, para desenrollarlo a una aproximación de H x . Además, esta aproximación es exacta en el límite, ya que m tiende a infinito.$

Específicamente, para un entero fijo $n$ , se da el caso de que

{displaystyle lim _{mrightarrow infty }left[H_{m+n}-H_{m}right]=0.}

if $n$ no es un entero, entonces no es posible decir si esta ecuación es verdadera porque todavía no hemos (en esta sección) Números armónicos definidos para no enteros. Sin embargo, obtenemos una extensión única de los números armónicos a los no integradores al insistir en que esta ecuación continúe teniendo cuando el entero arbitrario $n$ es reemplazado por un número complejo arbitrario $x$ .

{displaystyle lim _{mrightarrow infty }left[H_{m+x}-H_{m}right]=0,}

H x

{displaystyle {begin{aligned}H_{x}&=lim _{mrightarrow infty }left[H_{m}-(H_{m+x}-H_{x})right]\[6pt]&=lim _{mrightarrow infty }left[left(sum _{k=1}^{m}{frac {1}{k}}right)-left(sum _{k=1}^{m}{frac {1}{x+k}}right)right]\[6pt]&=lim _{mrightarrow infty }sum _{k=1}^{m}left({frac {1}{k}}-{frac {1}{x+k}}right)=xsum _{k=1}^{infty }{frac {1}{k(x+k)}},.end{aligned}}}

Esta serie infinita converge para todos los números complejos $x$ excepto los enteros negativos, que fallan porque tratar de usar la relación de recursión $h n = h n -1 + 1/ n$ hacia atrás a través del valor $n = 0$ involucra una división por cero. Mediante esta construcción, la función que define el número armónico para valores complejos es la función única que satisface simultáneamente (1) $h 0 = 0$ , (2) $h x = h x -1 + 1/ x$ Para todos los números complejos $x$ excepto los enteros no positivos, y (3) $lim m \to+\infty (h m + x - h m)) = 0$ Para todos los valores complejos $x$ .