Numero amigable

En teoría de números, los números amigables son dos o más números naturales con un índice de abundancia común, la relación entre la suma de los divisores de un número y el número mismo. Dos números con la misma "abundancia" formar una pareja amiga; n números con la misma "abundancia" formar una tupla n amigable.

Ser mutuamente amigable es una relación de equivalencia y, por lo tanto, induce una partición de los naturales positivos en clubes (clases de equivalencia) de "números mutuamente amigables".

Un número que no forma parte de ninguna pareja amiga se llama solitario.

La "abundancia" El índice de n es el número racional σ(n) / n, en el que σ denota la función de suma de divisores. Un número n es un "número amigable" si existe m ≠ n tal que σ(m) / m = σ(n) / n. "Abundancia" no es lo mismo que abundancia, que se define como σ(n) − 2n.

"Abundancia" también se puede expresar como ${\displaystyle \sigma _{-1}(n)}$ Donde ${\displaystyle \sigma _{k}$ denota una función divisor con ${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$ igual a la suma de la k- los poderes de los divisores n.

Los números del 1 al 5 son todos solitarios. El "número amigable" es 6, formando por ejemplo, el grupo "amistoso" par 6 y 28 con "abundancia" σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2, lo mismo que σ(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2. El El valor compartido 2 es un número entero en este caso, pero no en muchos otros casos. Números con "abundancia" 2 también se conocen como números perfectos. Hay varios problemas sin resolver relacionados con los "números amigos".

A pesar de la similitud en el nombre, no hay una relación específica entre los números amistosos y los números amistosos o los números sociables, aunque las definiciones de los dos últimos también implican la función divisor.

Ejemplos

Como otro ejemplo, 30 y 140 forman una pareja amiga, porque 30 y 140 tienen la misma "abundancia":

${\displaystyle {\dfrac {\sigma (30)}{30}={\dfrac {1+2+3+5+6+10+15+30}{30}={\dfrac {72}{30}={\dfrac {12}{5}}}$

${\displaystyle {\dfrac {\sigma}{140}={\dfrac {1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140}={\dfrac} {336}{140}={\dfrac {12}{5}}$

Los números 2480, 6200 y 40640 también son miembros de este club, ya que cada uno tiene una "abundancia" igual a 12/5.

Como ejemplo de cómo los números impares son amigables, considere 135 y 819 ("abundancia" 16/9 (deficiente)). También hay casos de incluso ser "amistoso" a impar, como 42, 3472, 56896,... (secuencia A347169 en el OEIS) y 544635 ("abundancia" 16/7). Algun que otro "amigo" puede ser menor que el par, como en 84729645 y 155315394 ("abundancia" 896/351), o en 6517665, 14705145 y 2746713837618 ("abundancia" 64/27).

Un número cuadrado puede ser amigable, por ejemplo, tanto 693479556 (el cuadrado de 26334) como 8640 tienen "abundancia" 127/36 (este ejemplo está acreditado a Dean Hickerson).

Estado del pequeño n

En la tabla siguiente, los números azules son comprobada amigable (sequence A074902 en el OEIS), números rojos comprobada solitario (secuencia A095739 en el OEIS), números n tales que n y ${\displaystyle \sigma (n)}$ son coprime (sequence A014567 en el OEIS) quedan sin color, aunque se sabe que son solitarios. Otros números tienen estado desconocido y son amarillos.

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \sigma (n)}$	${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}$
1	1	1
2	3	3/2
3	4	4/3
4	7	7/4
5	6	6/5
6	12	2
7	8	8/7
8	15	15/8
9	13	13/9
10	18	9/5
11	12	12/11
12	28	7/3
13	14	14/13
14	24	12/7
15	24	8/5
16	31	31/16
17	18	18/17
18	39	13/6
19	20	20/19
20	42	21/10
21	32	32/21
22	36	18/11
23	24	24/23
24	60	5/2
25	31	31/25
26	42	21/13
27	40	40/27
28	56	2
29	30	30/29
30	72	12/5
31	32	32/31
32	63	63/32
33	48	16/11
34	54	27/17
35	48	48/35
36	91	91/36

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \sigma (n)}$	${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}$
37	38	38/37
38	60	30/19
39	56	56/39
40	90	9/4
41	42	42/41
42	96	16/7
43	44	44/43
44	84	21/11
45	78	26/15
46	72	36/23
47	48	48/47
48	124	31/12
49	57	57/49
50	93	93/50
51	72	24/17
52	98	49/26
53	54	54/53
54	120	20/9
55	72	72/55
56	120	15/7
57	80	80/57
58	90	45/29
59	60	60/59
60	168	14/5
61	62	62/61
62	96	48/31
63	104	104/63
64	127	127/64
65	84	84/65
66	144	24/11
67	68	68/67
68	126	63/34
69	96	32/23
70	144	72/35
71	72	72/71
72	195	65/24

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \sigma (n)}$	${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}$
73	74	74/73
74	114	57/37
75	124	124/75
76	140	35/19
77	96	96/77
78	168	28/13
79	80	80/79
80	186	93/40
81	121	121/81
82	126	63/41
83	84	84/83
84	224	8/3
85	108	108/85
86	132	66/43
87	120	40/29
88	180	45/22
89	90	90/89
90	234	13/5
91	112	16/13
92	168	42/23
93	128	128/93
94	144	72/47
95	120	24/19
96	252	21/8
97	98	98/97
98	171	171/98
99	156	52/33
100	217	217/100
101	102	102/101
102	216	36/17
103	104	104/103
104	210	105/52
105	192	64/35
106	162	81/53
107	108	108/107
108	280	70/27

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \sigma (n)}$	${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}$
109	110	110/109
110	216	108/55
111	152	152/111
112	248	31/14
113	114	114/113
114	240	40/19
115	144	144/115
116	210	105/58
117	182	14/9
118	180	90/59
119	144	144/119
120	360	3
121	133	133/121
122	186	93/61
123	168	56/41
124	224	56/31
125	156	156/125
126	312	52/21
127	128	128/127
128	255	255/128
129	176	176/129
130	252	126/65
131	132	132/131
132	336	28/11
133	160	160/133
134	204	102/67
135	240	16/9
136	270	135/68
137	138	138/137
138	288	48/23
139	140	140/139
140	336	12/5
141	192	64/47
142	216	108/71
143	168	168/143
144	403	403/144

Números solitarios

Un número que pertenece a un club singleton, porque ningún otro número es "amigo"; con él, es un número solitario. Se sabe que todos los números primos son solitarios, al igual que las potencias de los números primos. De manera más general, si los números n y σ(n) son coprimos, lo que significa que el máximo común divisor de estos números es 1, de modo que σ(n)/n es una fracción irreducible; entonces el número n es solitario (secuencia A014567 en el OEIS ). Para un número primo p tenemos σ(p) = p + 1, que es coprimo con p >.

No se conoce ningún método general para determinar si un número es "amigo" o solitario. El número más pequeño cuya clasificación es desconocida es 10; se conjetura para ser solitario. Si no lo es, su amigo más pequeño es al menos ${\displaystyle 10^{30}$..Los números pequeños con un amigo relativamente grande más pequeño existen: por ejemplo, 24 es "amigable", con su amigo más pequeño 91,963,648.

Grandes clubes

Es un problema abierto el de si existen clubes infinitamente grandes de organizaciones mutuamente "amistosas" números. Los números perfectos forman un club, y se conjetura que hay infinitos números perfectos (al menos tantos como primos de Mersenne), pero no se conoce ninguna prueba. A diciembre de 2022 se conocen 51 números perfectos, el mayor de los cuales tiene más de 49 millones de dígitos en notación decimal. Hay clubes con miembros más conocidos: en particular, los formados por números multiplicados perfectos, que son números cuya "abundancia" es un número entero. A diciembre de 2022, el club de "amistosos" números con "abundancia" igual a 9 tiene 2130 miembros conocidos. Aunque se sabe que algunos son bastante grandes, se conjetura que los clubes de números multiplicados perfectos (excluyendo los propios números perfectos) son finitos.

Densidad asintótica

Cada par a, b de números amistosos da lugar a una proporción positiva de todos los números naturales que son amistosos (pero en diferentes clubes), al considerar pares na, nb para multiplicadores n con mcd(n, ab) = 1. Por ejemplo , el pueblo "primitivo" El par amistoso 6 y 28 da lugar a los pares amistosos 6n y 28n para todos los n que son congruentes con 1, 5, 11, 13. , 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37 o 41 módulo 42.

Esto muestra que la densidad natural de los números amigos (si existe) es positiva.

Anderson y Hickerson propusieron que la densidad debería ser, de hecho, 1 (o equivalentemente, que la densidad de los números solitarios debería ser 0). Según el artículo de MathWorld sobre Número solitario (consulte la sección Referencias a continuación), esta conjetura no se ha resuelto, aunque Pomerance pensó en un momento que la había refutado.