Número algebraico

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Número complejo que es una raíz de un polinomio no cero en una variable con coeficientes racionales

La raíz cuadrada de 2 es un número algebraico igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo derecho con las piernas de la longitud 1.

An número algebraico es un número que es una raíz de un polinomio no cero en una variable con coeficientes enteros (o, equivalentemente, racional). Por ejemplo, la relación de oro, $(1+{sqrt {5}})/2$ , es un número algebraico, porque es una raíz del polinomio $x 2 - x - 1$ . Es decir, es un valor para x para el cual el polinomio evalúa a cero. Como otro ejemplo, el número complejo ${displaystyle 1+i}$ es algebraico porque es una raíz de $x 4 + 4$ .

Todos los números enteros y racionales son algebraicos, al igual que todas las raíces de los números enteros. Los números reales y complejos que no son algebraicos, como π y $e$ , se denominan números trascendentales.

El conjunto de números algebraicos es contablemente infinito y tiene medida cero en la medida de Lebesgue como un subconjunto de los números complejos incontables. En ese sentido, casi todos los números complejos son trascendentales.

Ejemplos

Todos los números racionales son algebraicos. Cualquier número racional, expresado como el cociente de un entero $a$ y un número natural (no cero) $b$ , satisface la definición anterior, porque $x = a / b$ es la raíz de un polinomio no cero, a saber $bx - a$ .
Números irracionales cuadráticos, soluciones irracionales de un polinomio cuadrático ax² + bx + c con coeficientes enteros a, b, y c, son números algebraicos. Si el polinomio cuadrático es monico (a = 1), las raíces están más calificadas como enteros cuadráticos.
- enteros gausianos, números complejos $a + bi$ para los cuales ambos $a$ y $b$ son enteros, también son enteros cuadráticos. Esto es porque $a + bi$ y $a - bi$ son las dos raíces del cuadrático $x 2 - 2 ax + a 2 + b 2$ .
Un número constructible se puede construir a partir de una longitud de unidad determinada utilizando una línea recta y brújula. Incluye todas las raíces irracionales cuadráticas, todos los números racionales, y todos los números que se pueden formar a partir de estos utilizando las operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas. (Al designar direcciones cardinales para 1, −1, $i$ , y − $i$ , números complejos como ${displaystyle 3+i{sqrt {2}}}$ son considerados constructibles.)
Cualquier expresión formada de números algebraicos usando cualquier combinación de las operaciones aritméticas básicas y la extracción de las raíces nth da otro número algebraico.
raíces polinómicas que no pueden expresarse en términos de las operaciones aritméticas básicas y la extracción de $n$ a raíces (como las raíces $x 5 - x + 1$ ). Eso sucede con muchos pero no todos los polinomios de grado 5 o superior.
Valores de funciones trigonométricas de múltiplos racionales de $π$ (excepto cuando no se define): por ejemplo, $# π / 7$ , $# 3 π / 7$ , y $# 5 π / 7$ satisfacer satisfacción $8 x 3 - 4 x 2 - 4 x + 1 = 0$ . Este polinomio es irreducible sobre los racionales y por lo tanto los tres cosines son conjugado números algebraicos. Igualmente, $# 3 π / 16$ , $# 7 π / 16$ , $# 11 π / 16$ , y $# 15 π / 16$ satisfacer el polinomio irreducible $x 4 - 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x + 1 = 0$ , y así son los enteros algebraicos conjugados.
Algunos pero no todos los números irracionales son algebraicos:
- Los números ${sqrt {2}}$ y ${displaystyle {frac {sqrt[{3}]{3}}{2}}}$ son algebraicos ya que son raíces de polinomios $x 2 - 2$ y $8 x 3 3 - 3$ , respectivamente.
- La relación de oro $φ$ es algebraico ya que es una raíz del polinomio $x 2 - x - 1$ .
- Los números π y e no son números algebraicos (ver el teorema Lindemann-Weierstrass).

Propiedades

Números algebraicos en el plano complejo coloreado por grado (bright naranja/red = 1, verde = 2, azul = 3, amarillo = 4)

Si un polinomio con coeficientes racionales es multiplicado por el mínimo común denominador, el polinomio resultante con coeficientes enteros tiene las mismas raíces. Esto muestra que un número algebraico puede ser equivalentemente definido como una raíz de un polinomio con coeficientes enteros o racionales.
Dado un número algebraico, hay un polinomio monico único con coeficientes racionales de menor grado que tiene el número como raíz. Este polinomio se llama su mínimo polinomio. Si su mínimo polinomio tiene grado $n$ , entonces el número algebraico se dice que es de grado $n$ . Por ejemplo, todos los números racionales tienen grado 1, y un número algebraico de grado 2 es un irracional cuadrático.
Los números algebraicos son densos en los reinos. Esto se deriva del hecho de que contienen los números racionales, que son densos en los propios reinos.
El conjunto de números algebraicos es contable (enumerable), y por lo tanto su medida Lebesgue como subconjunto de los números complejos es 0 (esencialmente, los números algebraicos no ocupan espacio en los números complejos). Es decir, "casi todos" números reales y complejos son trascendental.
Todos los números algebraicos son computables y por lo tanto definibles y aritméticos.
Para números reales $a$ y $b$ , el número complejo $a + bi$ es algebraico si y sólo si ambos $a$ y $b$ son algebraicos.

Campo

Números algebraicos de color por grado (azul = 4, cyan = 3, rojo = 2, verde = 1). El círculo de la unidad es negro.

La suma, diferencia, producto y cociente (si el denominador no es cero) de dos números algebraicos es de nuevo algebraico, como se puede demostrar utilizando el resultado, y los números algebraicos así forman un campo ${overline {mathbb {Q} }}$ (a veces denotado por $mathbb {A}$ , pero que generalmente denota el anillo de adele). Cada raíz de una ecuación polinomio cuyos coeficientes son números algebraicos es de nuevo algebraico. Eso se puede reformular diciendo que el campo de los números algebraicos está cerrado algebraicamente. De hecho, es el campo algebraicamente-cerrado más pequeño que contiene los racionales y por lo que se llama el cierre algebraico de los racionales.

El conjunto de números algebraicos reales en sí mismo forma un campo.

Campos relacionados

Números definidos por radicales

Cualquier número que se pueda obtener de los enteros usando un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y tomando (posiblemente complejo) $Las raíces enésimas donde n es un número entero positivo son algebraicas. Sin embargo, lo contrario no es cierto: hay números algebraicos que no se pueden obtener de esta manera. Estos números son raíces de polinomios de grado 5 o superior, resultado de la teoría de Galois (ver Ecuaciones quínticas y el teorema de Abel-Ruffini). Por ejemplo, la ecuación:$

{displaystyle x^{5}-x-1=0}

tiene una raíz real única que no se puede expresar en términos de radicales y operaciones aritméticas solamente.

Número de formulario cerrado

Los números algebraicos son todos los números que se pueden definir explícita o implícitamente en términos de polinomios, a partir de los números racionales. Se puede generalizar esto a "números de forma cerrada", que se pueden definir de varias maneras. En términos más generales, todos los números que se pueden definir explícita o implícitamente en términos de polinomios, exponenciales y logaritmos se denominan "números elementales", y estos incluyen los números algebraicos, además de algunos números trascendentales. Más estrictamente, uno puede considerar los números explícitamente definidos en términos de polinomios, exponenciales y logaritmos; esto no incluye todos los números algebraicos, pero incluye algunos números trascendentales simples como $e$ o ln 2.

Enteros algebraicos

Números algebraicos coloreado por el coeficiente líder (red significa 1 para un entero algebraico)

An entero algebraico es un número algebraico que es una raíz de un polinomio con coeficientes enteros con coeficiente líder 1 (un polinomio monico). Ejemplos de enteros algebraicos son ${displaystyle 5+13{sqrt {2}},}$ ${displaystyle 2-6i,}$ y ${textstyle {frac {1}{2}}(1+i{sqrt {3}}).}$ Por lo tanto, los enteros algebraicos constituyen un superset adecuado de los enteros, ya que estos últimos son las raíces de los polinomios monicos $x - k$ para todos $k in mathbb{Z}$ . En este sentido, los enteros algebraicos son a números algebraicos lo que los enteros son a números racionales.

La suma, la diferencia y el producto de los números enteros algebraicos son nuevamente números enteros algebraicos, lo que significa que los números enteros algebraicos forman un anillo. El nombre número entero algebraico proviene del hecho de que los únicos números racionales que son números enteros algebraicos son los números enteros, y porque los números enteros algebraicos en cualquier campo numérico son en muchos aspectos análogos a los números enteros. Si $K$ es un campo numérico, su anillo de enteros es el subanillo de los enteros algebraicos en $K$ , y con frecuencia se denota como $O K$ . Estos son los ejemplos prototípicos de los dominios de Dedekind.

Clases especiales

Solución algebraica
Gaussian integer
Eisenstein integer
Quadratic irrational number
Unidad fundamental
Root of unity
Periodo gaisiano
Pisot-Vijayaraghavan number
Número de venta

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