Nullstellensatz de Hilbert

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Relación entre variedades algebraicas y ideales polinomios

En matemáticas, Hilbert's Nullstellensatz (en alemán, "teorema de ceros" o, más literalmente, "cero-locus-theorem") es un teorema que establece una relación fundamental entre la geometría y el álgebra. Esta relación es la base de la geometría algebraica. Relaciona conjuntos algebraicos con ideales en anillos polinómicos sobre campos algebraicamente cerrados. Esta relación fue descubierta por David Hilbert, quien demostró el Nullstellensatz en su segundo artículo importante sobre la teoría de invariantes en 1893 (después de su artículo seminal de 1890 en el que demostró el teorema de la base de Hilbert).

Formulación

Vamos k ser un campo (como los números racionales) y K ser una extensión de campo algebraicamente cerrado (como los números complejos). Considere el anillo polinomio $k[X_1, ldots, X_n]$ y dejar I ser un ideal en este anillo. El conjunto algebraico V(I) definido por este ideal consiste en todo n-tuples x =x₁,...x_nEn Kⁿ tales que f()x) = 0 para todos f dentro I. El Nullstellensatz de Hilbert dice que si p es un poco polinomio en $k[X_1, ldots, X_n]$ que desaparece en el conjunto algebraico V(I), i.e. p()x) = 0 para todos x dentro V()I), entonces existe un número natural r tales que p^r está dentro I.

Un corolario inmediato es el débil Nullstellensatz: El ideal ${displaystyle Isubset k[X_{1},ldotsX_{n}]}$ contiene 1 si y sólo si los polinomios en I no tienen ceros comunes en Kⁿ. También puede formularse de la siguiente manera: I es un ideal adecuado en ${displaystyle k[X_{1},ldotsX_{n}],}$ entonces V(I) no puede estar vacío, es decir, existe un cero común para todos los polinomios en el ideal en cada extensión algebraicamente cerrada de k. Esta es la razón para el nombre del teorema, que se puede probar fácilmente desde la forma "mojada" usando el truco Rabinowitsch. La asunción de considerar ceros comunes en un campo algebraicamente cerrado es esencial aquí; por ejemplo, los elementos del ideal adecuado (X² + 1) en ${displaystyle mathbb {R} [X]}$ no tiene un cero común en ${displaystyle mathbb {R}.}$

Con la notación común en la geometría algebraica, el Nullstellensatz también se puede formular como

{hbox{I}}({hbox{V}}(J))={sqrt {J}}

para cada ideal J. Aquí, ${sqrt {J}}$ denota el radical J y yoU) es el ideal de todos los polinomios que desaparecen en el conjunto U.

De esta manera, tomando ${displaystyle k=K}$ obtenemos una correspondencia bijeiva de inversión de pedidos entre los conjuntos algebraicos en Kⁿ y los ideales radicales de ${displaystyle K[X_{1},ldotsX_{n}].}$ De hecho, más generalmente, uno tiene una conexión Galois entre subconjuntos del espacio y subconjuntos del álgebra, donde "Cierre de Zariski" y "radical del ideal generado" son los operadores de cierre.

Como ejemplo particular, considere un punto $P=(a_{1},dotsa_{n})in K^{n}$ . Entonces... ${displaystyle I(P)=(X_{1}-a_{1},ldotsX_{n}-a_{n})}$ . Más generalmente,

{sqrt {I}}=bigcap _{(a_{1},dotsa_{n})in V(I)}(X_{1}-a_{1},dotsX_{n}-a_{n}).

Por el contrario, cada máximo ideal del anillo polinomio ${displaystyle K[X_{1},ldotsX_{n}]}$ (nota que $K$ es algebraicamente cerrado) es de la forma ${displaystyle (X_{1}-a_{1},ldotsX_{n}-a_{n})}$ para algunos ${displaystyle a_{1},ldotsa_{n}in K}$ .

Como otro ejemplo, un subconjunto algebraico W dentro Kⁿ es irreducible (en la topología de Zariski) si y sólo si $I(W)$ es un ideal excelente.

Pruebas

Hay muchas demostraciones conocidas del teorema. Algunas son no constructivas, como la primera. Otros son constructivos, basados en algoritmos para expresar $1$ o $p r$ como una combinación lineal de los generadores del ideal.

Uso del lema de Zariski

El lema de Zariski afirma que si un campo se genera finitamente como un álgebra asociativa sobre un campo $k$ , entonces es un campo finito extensión de campo de $k$ (es decir, también se genera finitamente como un espacio vectorial).

Aquí hay un bosquejo de una prueba usando este lema.

Vamos $A=k[t_{1},ldotst_{n}]$ ()k campo algebraicamente cerrado), I un ideal A, y V los ceros comunes de I dentro $k^{n}$ . Claramente, ${sqrt {I}}subseteq I(V)$ . Vamos $fnot in {sqrt {I}}$ . Entonces... $fnot in {mathfrak {p}}$ para algunos ideales primo ${mathfrak {p}}supseteq I$ dentro A. Vamos $R=(A/{mathfrak {p}})[f^{-1}]$ y ${mathfrak {m}}$ un máximo ideal en $R$ . Por la lema de Zariski, $R/{mathfrak {m}}$ es una extensión finita k; por lo tanto, es k desde entonces k está cerrado algebraicamente. Vamos $x_{i}$ ser las imágenes de $t_{i}$ bajo el mapa natural $Ato k$ pasando $R$ . De ello se desprende que ${displaystyle x=(x_{1},ldotsx_{n})in V}$ y $f(x)neq 0$ .

Uso de resultantes

La siguiente prueba constructiva de la forma débil es una de las más antiguas (la forma fuerte resulta del truco de Rabinowitsch, que también es constructivo).

La resultante de dos polinomios que dependen de una variable $x$ y otras variables es un polinomio en las otras variables que está en el ideal generado por los dos polinomios, y tiene las siguientes propiedades: si uno de los polinomios es mónico en $x$ , cada cero (en las otras variables) de la resultante pueden extenderse a un cero común de los dos polinomios.

La prueba es la siguiente.

Si el ideal es principal, generado por un polinomio no constante $p$ que depende de $x$ , uno elige valores arbitrarios para las otras variables. El teorema fundamental del álgebra afirma que esta elección se puede extender a un cero de $p$ .

En el caso de varios polinomios ${displaystyle p_{1},ldotsp_{n},}$ un cambio lineal de variables permite suponer que $p_{1}$ es monic en la primera variable $x$ . Entonces, uno presenta. $n-1$ nuevas variables ${displaystyle u_{2},ldotsu_{n},}$ y uno considera el resultado

{displaystyle R=operatorname {Res} _{x}(p_{1},u_{2}p_{2}+cdots +u_{n}p_{n}).}

As $R$ es en el ideal generado por ${displaystyle p_{1},ldotsp_{n},}$ lo mismo es cierto para los coeficientes en $R$ de los monomiales ${displaystyle u_{2},ldotsu_{n}.}$ Entonces, si $1$ es en el ideal generado por estos coeficientes, es también en el ideal generado por ${displaystyle p_{1},ldotsp_{n}.}$ Por otro lado, si estos coeficientes tienen un cero común, este cero se puede extender a un cero común ${displaystyle p_{1},ldotsp_{n},}$ por la propiedad anterior del resultante.

Esto demuestra la Nullstellensatz débil por inducción sobre el número de variables.

Uso de bases de Gröbner

Una base de Gröbner es un concepto algorítmico que Bruno Buchberger introdujo en 1973. Actualmente es fundamental en geometría computacional. Una base de Gröbner es un conjunto generador especial de un ideal del que se pueden extraer fácilmente la mayoría de las propiedades del ideal. Los que están relacionados con la Nullstellensatz son los siguientes:

Un ideal contiene $1$ si y sólo si su base Gröbner reducida (para cualquier orden monomial) es $1$ .
El número de ceros comunes de los polinomios en una base Gröbner está fuertemente relacionado con el número de monomiales que son irreducibles por la base. Es decir, el número de ceros comunes es infinito si y sólo si lo mismo es cierto para los monomiales irreducibles; si los dos números son finitos, el número de monomiales irreducibles equivale a los números de ceros (en un campo algebraicamente cerrado), contado con multiplicidades.
Con un orden monomial lexicográfico, los ceros comunes se pueden computar resolviendo polinomios iterativamente univariados (esto no se utiliza en la práctica ya que uno conoce mejores algoritmos).
Strong Nullstellensatz: un poder de $p$ pertenece a un ideal $I$ si y sólo la saturación de $I$ por $p$ produce la base Gröbner $1$ . Así, el fuerte Nullstellensatz resulta casi inmediatamente de la definición de la saturación.

Generalizaciones

El Nullstellensatz es subsumido por un desarrollo sistemático de la teoría de los anillos de Jacobson, que son esos anillos en los que cada ideal radical es una intersección de ideales máximos. Dada la lema de Zariski, probar el Nullstellensatz equivale a demostrar que si k es un campo, entonces cada k-algebra generada finitamente R (necesariamente de la forma ${textstyle R=k[t_{1},cdotst_{n}]/I}$ Es Jacobson. Más generalmente, uno tiene el siguiente teorema:

Vamos

R

Sé un anillo Jacobson. Si

S

es un álgebra R generada finitamente, entonces

S

es un anillo Jacobson. Además, si

{mathfrak {n}}subset S

es un ideal maximal, entonces

{mathfrak {m}}:={mathfrak {n}}cap R

es un ideal maximal

{textstyle R}

, y

S/{mathfrak {n}}

es una extensión finita

R/{mathfrak {m}}

Otras generalizaciones proceden de ver el Nullstellensatz en términos teóricos de esquema como diciendo que para cualquier campo k y no cero generados k- álgebra R, el morfismo ${textstyle mathrm {Spec} ,Rto mathrm {Spec} ,k}$ admite una sección localmente (equivalentemente, después del cambio de base a lo largo ${textstyle mathrm {Spec} ,Lto mathrm {Spec} ,k}$ para alguna extensión de campo finito ${textstyle L/k}$ ). En este sentido, uno tiene el siguiente teorema:

Cualquier morfismo fielmente plano de los esquemas

{textstyle f:Yto X}

localmente de presentación finita admite un cuasi-sección, en el sentido de que existe un morfismo fielmente plano y localmente cuasi-finito

{textstyle g:X'to X}

localmente de presentación finita tal que el cambio de base

{textstyle f':Ytimes _{X}X'to X'}

{textstyle f}

{textstyle g}

Admite una sección. Además, si

{textstyle X}

es cuasi-compact (resp. quasi-compact y quasi-separated), entonces uno puede tomar

{textstyle X'}

para ser affine (resp.

{textstyle X'}

affine and

{textstyle g}

cuasi-finito), y si

{textstyle f}

es suave subjetivo, entonces uno puede tomar

{textstyle g}

para ser étale.

Serge Lang dio una extensión de la Nullstellensatz al caso de infinitos generadores:

Vamos

{textstyle kappa }

ser un cardenal infinito y dejar

{textstyle K}

ser un campo algebraicamente cerrado cuyo grado de trascendencia sobre su subcampo principal es estrictamente mayor que

kappa

. Entonces para cualquier juego

{textstyle S}

de la cardinalidad

{textstyle kappa }

, el anillo polinomio

{textstyle A=K[x_{i}]_{iin S}}

satisface el Nullstellensatz, es decir, para cualquier ideal

{textstyle Jsubset A}

tenemos

{displaystyle {sqrt {J}}={hbox{I}}({hbox{V}}(J))}

Nullstellensatz efectiva

(feminine)

En todas sus variantes, la Nullstellensatz de Hilbert afirma que algún polinomio $g$ pertenece o no a un ideal generado, digamos, por $f 1,..., f k; tenemos g = f r en la versión fuerte, g = 1 en la forma débil. Esto significa la existencia o no de polinomios g 1,..., g k tal que g = f 1 g 1 +... + f k g k . Las demostraciones usuales de Nullstellensatz no son constructivas, no efectivas, en el sentido de que no brindan ninguna forma de calcular g i .$

Por lo tanto, es una pregunta bastante natural preguntar si existe una forma efectiva de calcular $g i$ (y el exponente $r$ en forma fuerte) o para demostrar que no existen. Para resolver este problema, basta con proporcionar un límite superior en el grado total de $g i$ : dicho límite reduce el problema a un sistema finito de ecuaciones lineales que pueden resolverse mediante las técnicas habituales de álgebra lineal. Cualquier límite superior de este tipo se denomina Nullstellensatz efectivo.

Un problema relacionado es el problema de pertenencia ideal, que consiste en probar si un polinomio pertenece a un ideal. También para este problema, se proporciona una solución mediante un límite superior en el grado de $g i$ . Una solución general del problema de membresía ideal proporciona un Nullstellensatz efectivo, al menos para la forma débil.

En 1925, Grete Hermann dio un límite superior para el problema de membresía ideal que es doblemente exponencial en el número de variables. En 1982, Mayr y Meyer dieron un ejemplo en el que $g i$ tiene un grado que es al menos doble exponencial, lo que demuestra que cada límite superior general para el problema de membresía ideal es doblemente exponencial en el número de variables.

Dado que la mayoría de los matemáticos en ese momento asumieron que el Nullstellensatz efectivo era al menos tan difícil como la membresía ideal, pocos matemáticos buscaron un límite mejor que el doble exponencial. En 1987, sin embargo, W. Dale Brownawell dio un límite superior para el Nullstellensatz efectivo que es simplemente exponencial en el número de variables. La prueba de Brownawell se basó en técnicas analíticas válidas solo en la característica 0, pero, un año después, János Kollár dio una prueba puramente algebraica, válida en cualquier característica, de un límite ligeramente mejor.

En el caso del Nullstellensatz débil, el límite de Kollár es el siguiente:

Vamos

f 1,... f s

ser polinomios en

n \geq 2

variables, de grado total

d 1 \geq... \geq d s

. Si existen polinomios

g i

tales que

f 1 g 1 +... + f s g s = 1

, entonces pueden ser elegidos tal que

deg(f_{i}g_{i})leq max(d_{s},3)prod _{j=1}^{min(n,s)-1}max(d_{j},3).

Este límite es óptimo si todos los grados son mayores de 2.

Si $d$ es el máximo de los grados de la $f i$ , este límite se puede simplificar a

max(3,d)^{{min(n,s)}}.

El resultado de Kollár ha sido mejorado por varios autores. A partir del 14 de octubre de 2012, la mejor mejora, debida a M. Sombra, es

deg(f_{i}g_{i})leq 2d_{s}prod _{j=1}^{min(n,s)-1}d_{j}.

Su límite mejora el de Kollár tan pronto como al menos dos de los grados involucrados son inferiores a 3.

Proyectiva Nullstellensatz

Podemos formular una cierta correspondencia entre ideales homogéneos de polinomios y subconjuntos algebraicos de un espacio proyector, llamado el proyector NullstellensatzEso es análogo al afin. Para ello, presentamos algunas notaciones. Vamos ${displaystyle R=k[t_{0},ldotst_{n}].}$ El ideal homogéneo,

{displaystyle R_{+}=bigoplus _{dgeqslant 1}R_{d}}

se llama ideal máximo homogéneo (véase también el ideal irrelevante). Como en el caso affine, dejamos: para un subconjunto $Ssubseteq mathbb {P} ^{n}$ ideal homogéneo I de R,

{displaystyle {begin{aligned}operatorname {I} _{mathbb {P} ^{n}}(S)&={fin R_{+}mid f=0{text{ on }}S},\operatorname {V} _{mathbb {P} ^{n}}(I)&={xin mathbb {P} ^{n}mid f(x)=0{text{ for all }}fin I}.end{aligned}}}

Por $f=0{text{ on }}S$ queremos decir: para cada coordenadas homogéneas $(a_{0}:cdots:a_{n})$ de un punto S tenemos $f(a_{0},ldotsa_{n})=0$ . Esto implica que los componentes homogéneos de f son también cero en S y así $operatorname {I} _{mathbb {P} ^{n}}(S)$ es un ideal homogéneo. Equivalentemente, $operatorname {I} _{mathbb {P} ^{n}}(S)$ es el ideal homogéneo generado por polinomios homogéneos f que desaparece S. Ahora, para cualquier ideal homogéneo $Isubseteq R_{+}$ , por el habitual Nullstellensatz, tenemos:

{sqrt {I}}=operatorname {I} _{mathbb {P} ^{n}}(operatorname {V} _{mathbb {P} ^{n}}(I)),

y así, como en el caso afín, tenemos:

Existe una correspondencia única y única entre ideales radicales homogéneos apropiados de R y subconjuntos de

mathbb {P} ^{n}

de la forma

operatorname {V} _{mathbb {P} ^{n}}(I).

La correspondencia es dada por

operatorname {I} _{mathbb {P} ^{n}}

operatorname {V} _{mathbb {P} ^{n}}.

Nullstellensatz analítico (Nullstellensatz de Rückert)

El Nullstellensatz también tiene para los gérmenes de las funciones holomorfas en un punto complejo n- espacio ${displaystyle mathbb {C} ^{n}.}$ Precisamente, para cada subconjunto abierto ${displaystyle Usubset mathbb {C} ^{n},}$ Deja ${displaystyle {mathcal {O}}_{mathbb {C} ^{n}}(U)}$ denota el anillo de funciones holomorfas en U; entonces ${displaystyle {mathcal {O}}_{mathbb {C} ^{n}}}$ es un Sheaf on ${displaystyle mathbb {C} ^{n}.}$ El tallo ${displaystyle {mathcal {O}}_{mathbb {C} ^{n},0}}$ en, digamos, el origen se puede mostrar como un anillo local noetheriano que es un dominio de factorización único.

Si ${displaystyle fin {mathcal {O}}_{mathbb {C} ^{n},0}}$ es un germen representado por una función holomorfa ${displaystyle {widetilde {f}}:Uto mathbb {C} }$ , entonces deja ${displaystyle V_{0}(f)}$ ser la clase de equivalencia del conjunto

{displaystyle left{zin Umid {widetilde {f}}(z)=0right},}

donde dos subconjuntos ${displaystyle X,Ysubset mathbb {C} ^{n}}$ se consideran equivalentes si ${displaystyle Xcap U=Ycap U}$ para algún vecindario U Nota de 0 ${displaystyle V_{0}(f)}$ es independiente de una elección del representante ${displaystyle {widetilde {f}}.}$ Para cada ideal ${displaystyle Isubset {mathcal {O}}_{mathbb {C} ^{n},0},}$ Deja ${displaystyle V_{0}(I)}$ denota ${displaystyle V_{0}(f_{1})cap dots cap V_{0}(f_{r})}$ para algunos generadores ${displaystyle f_{1},ldotsf_{r}}$ de I. Está bien definido; es decir, es independiente de una selección de los generadores.

Para cada subconjunto ${displaystyle Xsubset mathbb {C} ^{n}}$ , vamos

{displaystyle I_{0}(X)=left{fin {mathcal {O}}_{mathbb {C} ^{n},0}mid V_{0}(f)supset Xright}.}

Es fácil ver que ${displaystyle I_{0}(X)}$ es un ideal ${displaystyle {mathcal {O}}_{mathbb {C} ^{n},0}}$ y eso ${displaystyle I_{0}(X)=I_{0}(Y)}$ si $Xsim Y$ en el sentido discutido arriba.

El analista Nullstellensatz entonces establece: para cada ideal ${displaystyle Isubset {mathcal {O}}_{mathbb {C} ^{n},0}}$ ,

{displaystyle {sqrt {I}}=I_{0}(V_{0}(I))}

donde el lado izquierdo es el radical de I.

Contenido relacionado

Más resultados...