Nudo invariante

Los primeros nudos están organizados por el número de cruce invariante.

En el campo matemático de la teoría de nudos, una invariante de nudo es una cantidad (en un sentido amplio) definida para cada nudo que es la misma para nudos equivalentes. La equivalencia suele estar dada por la isotopía ambiental, pero puede estar dada por el homeomorfismo. Algunas invariantes son de hecho números (algebraicos), pero las invariantes pueden variar desde las simples, como una respuesta sí/no, hasta aquellas tan complejas como una teoría de homología (por ejemplo, "un nudo invariante es una regla que asigna a cualquier nudo K una cantidad φ(K) tal que si K y K' son equivalentes entonces φ(K) = φ(K')."). La investigación sobre invariantes no solo está motivada por el problema básico de distinguir un nudo de otro, sino también por comprender las propiedades fundamentales de los nudos y sus relaciones con otras ramas de las matemáticas. Las invariantes de nudos se utilizan, por lo tanto, en la clasificación de nudos, tanto en "enumeración" y "eliminación de duplicados".

A nudo invariante es una cantidad definida en el conjunto de todos los nudos, que toma el mismo valor para cualquier dos nudos equivalentes. Por ejemplo, un grupo nudo es un nudo invariante.

Típicamente un nudo invariante es un combinatorio cantidad definida en diagramas de nudos. Así, si dos diagramas de nudos difieren con respecto a un nudo invariante, deben representar diferentes nudos. Sin embargo, como es generalmente el caso con invariantes topológicos, si dos diagramas de nudos comparten los mismos valores con respecto a un nudo [single] invariante, entonces todavía no podemos concluir que los nudos son los mismos.

Desde la perspectiva moderna, es natural definir un nudo invariante a partir de un diagrama de nudos. Por supuesto, debe permanecer sin cambios (es decir, invariable) bajo los movimientos Reidemeister ("movimientos triangulares"). La tricolorabilidad (y la n-colorabilidad) es un ejemplo particularmente simple y común. Otros ejemplos son los polinomios de nudos, como el polinomio de Jones, que actualmente se encuentran entre los invariantes más útiles para distinguir los nudos entre sí, aunque actualmente no se sabe si existe un polinomio de nudos que distinga todos los nudos entre sí. Sin embargo, hay invariantes que distinguen el desnudo de todos los demás nudos, como la homología de Khovanov y la homología del nudo Floer.

Se pueden definir otras invariantes considerando alguna función de valores enteros de los diagramas de nudos y tomando su valor mínimo sobre todos los diagramas posibles de un nudo dado. Esta categoría incluye el número de cruces, que es el número mínimo de cruces para cualquier diagrama del nudo, y el número de puente, que es el número mínimo de cruces para cualquier diagrama del nudo.

Históricamente, muchas de las primeras invariantes de nudos no se definen seleccionando primero un diagrama, sino que se definen intrínsecamente, lo que puede hacer que calcular algunas de estas invariantes sea un desafío. Por ejemplo, el género de nudo es particularmente difícil de calcular, pero puede ser efectivo (por ejemplo, para distinguir mutantes).

Se sabe que el complemento de un nudo en sí mismo (como un espacio topológico) es un "invariante completo" del nudo por el teorema de Gordon-Luecke en el sentido de que distingue el nudo dado de todos los demás nudos hasta la isotopía ambiental y la imagen especular. Algunas invariantes asociadas con el complemento de nudos incluyen el grupo de nudos, que es solo el grupo fundamental del complemento. El nudo quandle también es un invariante completo en este sentido, pero es difícil determinar si dos quandles son isomorfos. El subgrupo periférico también puede funcionar como un invariante completo.

Por la rigidez de Mostow-Prasad, la estructura hiperbólica en el complemento de un enlace hiperbólico es única, lo que significa que el volumen hiperbólico es una invariante para estos nudos y enlaces. El volumen y otras invariantes hiperbólicas han demostrado ser muy eficaces y se han utilizado en algunos de los extensos esfuerzos de tabulación de nudos.

En los últimos años, ha habido mucho interés en las invariantes homológicas de los nudos que categorizan las invariantes bien conocidas. La homología de Heegaard Floer es una teoría de homología cuya característica de Euler es el polinomio de Alexander del nudo. Ha demostrado ser eficaz para deducir nuevos resultados sobre las invariantes clásicas. A lo largo de una línea de estudio diferente, existe una teoría de cohomología de nudos definida combinatoriamente llamada homología de Khovanov cuya característica de Euler es el polinomio de Jones. Recientemente se ha demostrado que esto es útil para obtener límites en géneros de rebanadas cuyas pruebas anteriores requerían la teoría de calibre. Desde entonces, Mikhail Khovanov y Lev Rozansky han definido varias otras teorías de cohomología relacionadas cuyas características de Euler recuperan otras invariantes clásicas. Catharina Stroppel dio una interpretación teórica de la representación de la homología de Khovanov al categorizar los invariantes del grupo cuántico.

También hay creciente interés de los teóricos del nudo y de los científicos en comprender las propiedades "físicas" o geométricas de los nudos y relacionarlas con invariantes topológicos y tipo nudo. Un viejo resultado en esta dirección es el teorema Fáry-Milnor declara que si la curvatura total de un nudo K dentro R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} satisfizo

∮ ∮ Kκ κ ds≤ ≤ 4π π ,{displaystyle oint _{K}kappa ,dsleq 4pi}

donde κ(p) es la curvatura en p , entonces K es un nudo. Por lo tanto, para curvas anudadas,

4pi.,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">∮ ∮ Kκ κ ds■4π π .{displaystyle oint _{K}kappa ,ds confianza4pi.,}4pi.," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daaf7077e92752ea9ede5c8247fb0fc9ffadb18c" style="vertical-align: -2.338ex; width:14.032ex; height:5.676ex;"/>

Un ejemplo de un "físico" invariable es ropelength, que es la longitud de la unidad de diámetro de la cuerda necesaria para realizar un tipo de nudo en particular.

Otras invariantes

• Número de conexión – Invariante numérico que describe la vinculación de dos curvas cerradas en espacio tridimensional
• Invariante tipo finito (o Vasiliev o Vassiliev–Goussarov invariante)
• Número de palillo: menor número de bordes de un camino poligonal equivalente para un nudo