Nudo en forma de ocho (matemáticas)

Anillo de la figura-ocho de nudo práctico, con extremos unidos

En la teoría de nudos, un nudo en forma de ocho (también llamado nudo de listado) es el único nudo con un número de cruce de cuatro. Esto lo convierte en el nudo con el tercer número de cruce más pequeño posible, después del desanudado y el nudo de trébol. El nudo en forma de ocho es un nudo principal.

Origen del nombre

El nombre se debe a que al atar un nudo en forma de ocho normal en una cuerda y luego unir los extremos, de la manera más natural, se obtiene un modelo del nudo matemático.

Descripción

Una representación paramétrica simple del nudo en forma de ocho es como el conjunto de todos los puntos (x,y,z) donde

x=()2+#⁡ ⁡ ()2t))#⁡ ⁡ ()3t)Sí.=()2+#⁡ ⁡ ()2t))pecado⁡ ⁡ ()3t)z=pecado⁡ ⁡ ()4t){displaystyle {begin{aligned}x limit=left(2+cos {(2t)}right)cos {3t)}\\\\\\\cH00s {2t)}sin {(3t)}z sensible=sin {(4t)}end{aligned}}}}}}}

para t variando sobre los números reales (ver realización visual 2D abajo a la derecha).

El nudo en forma de ocho es primo, alterno, racional con un valor asociado de 5/3, y es aquiral. El nudo en forma de ocho también es un nudo de fibra. Esto se sigue de otras representaciones menos simples (pero muy interesantes) del nudo:

(1) Es una trenza cerrada homogénea (es decir, el cierre de la trenza de 3 cuerdas σ₁σ₂⁻¹σ₁σ₂⁻¹), y un teorema de John Stallings muestra que cualquier trenza homogénea cerrada está fibrada.

(2) Es el enlace en (0,0,0,0) de un punto crítico aislado de un mapa de polinomios reales F: R⁴→R², por lo que (según un teorema de John Milnor) la aplicación de Milnor de F es en realidad una fibración. Bernard Perron encontró la primera F de este tipo para este nudo, a saber,

F()x,Sí.,z,t)=G()x,Sí.,z2− − t2,2zt),{displaystyle F(x,y,z,t)=G(x,y,z^{2}-t^{2},2zt),,!}

dónde

G()x,Sí.,z,t)=()z()x2+Sí.2+z2+t2)+x()6x2− − 2Sí.2− − 2z2− − 2t2),tx2+Sí.()6x2− − 2Sí.2− − 2z2− − 2t2)).{fnMicrosoft Sans Serif} {2}2}2} {2}}2}}}2}}}2}}ccH0})}2} {2}2} {2}2}2} {2}2}}2} {2}}}2}\cH0}cH0}cH0cH0}cH0}cH0}cH0}cH0}ccH0cH0}cH0}ccccH0ccH0}cccccccccccH0}ccccH0}cccH00}cH00}ccH00}cH00}cH00}cH00}cH00}ccH0}ccH00}cccc

Propiedades matemáticas

El nudo en forma de ocho ha jugado un papel importante históricamente (y continúa haciéndolo) en la teoría de las 3 variedades. En algún momento a mediados o finales de la década de 1970, William Thurston demostró que la figura ocho era hiperbólica, al descomponer su complemento en dos tetraedros hiperbólicos ideales. (Robert Riley y Troels Jørgensen, trabajando independientemente el uno del otro, habían demostrado anteriormente que el nudo en forma de ocho era hiperbólico por otros medios). Esta construcción, nueva en ese momento, lo llevó a muchos resultados y métodos poderosos. Por ejemplo, pudo demostrar que todas menos diez cirugías de Dehn en el nudo en forma de ocho dieron como resultado 3 variedades irreducibles que no eran de Haken ni de fibras de Seifert; estos fueron los primeros ejemplos de este tipo. Se han descubierto muchos más al generalizar la construcción de Thurston a otros nudos y eslabones.

El nudo figura-ocho es también el nudo hiperbólico cuyo complemento tiene el menor volumen posible, 6▪ ▪ ()π π /3).. 2.02988...{displaystyle 6Lambda (pi /3)approx 2.02988...} (secuencia) A091518 en el OEIS), donde ▪ ▪ {displaystyle Lambda } es la función Lobachevsky. Desde esta perspectiva, el nudo figura-ocho se puede considerar el nudo hiperbólico más simple. El complemento figura ocho nudos es una doble tapa del manifold Gieseking, que tiene el volumen más pequeño entre los 3-manifolds hiperbólicos no-compactos.

El nudo en forma de ocho y el nudo pretzel (−2,3,7) son los únicos dos nudos hiperbólicos que se sabe que tienen más de 6 cirugías excepcionales, las cirugías de Dehn que dan como resultado un nudo no hiperbólico 3 colectores; tienen 10 y 7, respectivamente. Un teorema de Lackenby y Meyerhoff, cuya demostración se basa en la conjetura de la geometrización y la ayuda de computadoras, sostiene que 10 es el mayor número posible de cirugías excepcionales de cualquier nudo hiperbólico. Sin embargo, actualmente no se sabe si el nudo en forma de ocho es el único que alcanza el límite de 10. Una conjetura bien conocida es que el límite (a excepción de los dos nudos mencionados) es 6.

Representación simple cuadrada de configuración figura-ocho.

Representación simétrica generada por ecuaciones paramétricas.

Superficie matemática Ilustrando nudo Figura-ocho

El nudo figura-ocho tiene el género 1 y está fibra. Por lo tanto, sus fibras de complemento sobre el círculo, las fibras siendo superficies Seifert que son tori de 2 dimensiones con un componente de límite. El mapa de la monodromia es entonces un homeomorfismo del 2-torus, que puede ser representado en este caso por la matriz ()2111){displaystyle ({begin{smallmatrix}2 limit11}}}}}.

Invariantes

El polinomio de Alexander del nudo en forma de ocho es

Δ Δ ()t)=− − t+3− − t− − 1,{displaystyle Delta (t)=-t+3-t^{-1}

el polinomio de Conway es

Silencio Silencio ()z)=1− − z2,{displaystyle nabla (z)=1-z^{2}

y el polinomio de Jones es

V()q)=q2− − q+1− − q− − 1+q− − 2.{displaystyle V(q)=q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2} }

La simetría entre q{displaystyle q} y q− − 1{displaystyle q^{-1} en el polinomio Jones refleja el hecho de que el nudo figura-ocho es achiral.