Nudo de trébol

En la teoría de nudos, una rama de las matemáticas, el nudo trébol es el ejemplo más simple de un nudo no trivial. El trébol se puede obtener uniendo los dos extremos sueltos de un nudo simple común, lo que da como resultado un bucle anudado. Como nudo más simple, el trébol es fundamental para el estudio de la teoría matemática de nudos.

El nudo del trébol lleva el nombre de la planta del trébol de tres hojas (o trébol).

Descripciones

El nudo trébol se puede definir como la curva obtenida a partir de las siguientes ecuaciones paramétricas:

x=pecado⁡ ⁡ t+2pecado⁡ ⁡ 2tSí.=#⁡ ⁡ t− − 2#⁡ ⁡ 2tz=− − pecado⁡ ⁡ 3t{displaystyle {begin{aligned}x limit=sin t+2sin 2t\y simultáneamente=cos t-2cos 2t\z limite=-sin 3tend{aligned}}

El nudo (2,3)-torus es también un nudo trefoil. Las siguientes ecuaciones paramétricas dan un nudo (2,3)-torus acostado en torus ()r− − 2)2+z2=1{displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}:

x=()2+#⁡ ⁡ 3t)#⁡ ⁡ 2tSí.=()2+#⁡ ⁡ 3t)pecado⁡ ⁡ 2tz=pecado⁡ ⁡ 3t{displaystyle {begin{aligned}x limit=(2+cos 3t)cos 2t\y simultáneamente=(2+cos 3t)sin 2t\z pulmonar=sin 3tend{aligned}}

Cualquier deformación continua de la curva superior también se considera un nudo trébol. En concreto, cualquier curva isotópica de un nudo trébol también se considera un trébol. Además, la imagen especular de un nudo trébol también se considera un trébol. En topología y teoría de nudos, el trébol suele definirse mediante un diagrama de nudos en lugar de una ecuación paramétrica explícita.

En geometría algebraica, el trébol también se puede obtener como la intersección en C² de la unidad de 3 esferas S ³ con la curva plana compleja de ceros del polinomio complejo z² + w³ (una cúbica cúspide).

Un trefoil zurdo y un trefoil derecho.

If one end of a tape or belt is turned over three times and then passed to the other, the edge forms a trefoil knot.

Simetría

El nudo trébol es quiral, en el sentido de que un nudo trébol se puede distinguir de su propia imagen especular. Las dos variantes resultantes se conocen como trébol para zurdos y trébol para diestros. No es posible deformar continuamente un trébol zurdo en un trébol diestro, o viceversa. (Es decir, los dos tréboles no son isotópicos ambientales).

Aunque es quiral, el nudo trébol también es invertible, lo que significa que no hay distinción entre un nudo trébol orientado en el sentido contrario a las agujas del reloj y otro en el sentido de las agujas del reloj. Es decir, la quiralidad de un trébol depende sólo de los cruces superiores e inferiores, no de la orientación de la curva.

No trivialidad

El nudo trébol no es trivial, lo que significa que no es posible "desatar" un nudo trébol en tres dimensiones sin cortarlo. Matemáticamente, esto significa que un nudo trébol no es isotópico del desatado. En particular, no existe una secuencia de movimientos de Reidemeister que desate un trébol.

Probar esto requiere la construcción de una invariante de nudo que distinga el trébol del no nudo. La invariante más simple es la tricolorabilidad: el trébol es tricolorable, pero el desanudado no. Además, prácticamente todos los polinomios de nudos principales distinguen el trébol de un no nudo, al igual que la mayoría de los demás invariantes de nudos fuertes.

Clasificación

En la teoría de nudos, el trébol es el primer nudo no trivial y es el único nudo con el cruce número tres. Es un nudo primo y figura como 3₁ en la notación de Alexander-Briggs. La notación de Dowker para el trébol es 4 6 2 y la notación de Conway es [3].

El trébol se puede describir como el nudo (2,3)-toroide. También es el nudo que se obtiene al cerrar la trenza σ₁³.

El trébol es un nudo alterno. Sin embargo, no es un nudo cortado, lo que significa que no une un disco bidimensional liso en una bola de cuatro dimensiones; una forma de demostrarlo es observar que su firma no es cero. Otra prueba es que su polinomio de Alexander no satisface la condición de Fox-Milnor.

El trefoil es un nudo de fibra, lo que significa que su complemento en S3{displaystyle S^{3} es un paquete de fibra sobre el círculo S1{displaystyle S^{1}. El trefoil K puede ser visto como el conjunto de pares ()z,w){displaystyle (z,w)} de números complejos tales que SilenciozSilencio2+SilenciowSilencio2=1{displaystyle Silencio. y z2+w3=0{displaystyle z^{2}+w^{3}=0}. Entonces este paquete de fibra tiene el mapa de Milnor φ φ ()z,w)=()z2+w3)/Silencioz2+w3Silencio{displaystyle phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/ WordPressz^{2}+w^{3} como la proyección del paquete de fibra del complemento nudo S3∖ ∖ K{displaystyle S^{3}setminus mathbf {K} al círculo S1{displaystyle S^{1}. La fibra es un toro perforado. Dado que el complemento de nudo es también un Seifert con borde, tiene una superficie incompresible horizontal, también es la fibra del mapa de Milnor. (Esto supone que el nudo se ha engrosado para convertirse en un toro sólido N_ε()K), y que el interior de este toro sólido se ha eliminado para crear un complemento de nudo compacto S3∖ ∖ int⁡ ⁡ ()Nε ε ()K){displaystyle S^{3}setminus operatorname {int} (mathrm {N} _{varepsilon }(mathbf {K})}.)

Invariantes

El polinomio de Alexander del nudo trébol es

Δ Δ ()t)=t− − 1+t− − 1,{displaystyle Delta (t)=t-1+t^{-1}

Silencio Silencio ()z)=z2+1.{displaystyle nabla (z)=z^{2}+1.}

V()q)=q− − 1+q− − 3− − q− − 4,{displaystyle V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}

L()a,z)=za5+z2a4− − a4+za3+z2a2− − 2a2.{displaystyle L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}}

L()α α ,z)=− − α α 4+α α 2z2+2α α 2.{displaystyle L(alphaz)=-alpha ^{4}+alpha ^{2}z^{2}+2alpha ^{2}

.. x,Sí.▪ ▪ x2=Sí.3.. {displaystyle langle x,ymid x^{2}=y^{3}rangle }

.. x,Sí.▪ ▪ xSí.x=Sí.xSí... .{displaystyle langle x,ymid xyx=yxyrangle.}

En religión y cultura

Como el nudo más simple y no trivial, el trébol es un motivo común en la iconografía y las artes visuales. Por ejemplo, la forma común del símbolo triquetra es un trébol, al igual que algunas versiones del germánico Valknut.

En el arte moderno, el grabado en madera Nudos de M. C. Escher representa tres nudos en forma de trébol cuyas formas sólidas están retorcidas de diferentes maneras.