Notación posicional

notación posicional (o notación de valor posicional, o sistema numérico posicional) normalmente denota la extensión a cualquier base del hinduárabe. sistema numérico (o sistema decimal). De manera más general, un sistema posicional es un sistema numérico en el que la contribución de un dígito al valor de un número es el valor del dígito multiplicado por un factor determinado por la posición del dígito. En los primeros sistemas de numeración, como los números romanos, un dígito tenía un solo valor: I significa uno, X significa diez y C cien (sin embargo, el valor puede negarse si se coloca antes de otro dígito). En los sistemas posicionales modernos, como el sistema decimal, la posición del dígito significa que su valor debe multiplicarse por algún valor: en 555, los tres símbolos idénticos representan cinco centenas, cinco decenas y cinco unidades, respectivamente, debido a su diferentes posiciones en la cadena de dígitos.

El sistema numérico babilónico, de base 60, fue el primer sistema posicional que se desarrolló, y su influencia está presente hoy en día en la forma en que se cuentan el tiempo y los ángulos en las cuentas relacionadas con 60, como 60 minutos en una hora y 360 grados. en un círculo. Hoy en día, el sistema de numeración hindú-árabe (base diez) es el sistema más utilizado a nivel mundial. Sin embargo, el sistema de numeración binaria (base dos) se utiliza en casi todas las computadoras y dispositivos electrónicos porque es más fácil de implementar de manera eficiente en circuitos electrónicos.

Se han descrito sistemas con base negativa, base compleja o dígitos negativos. La mayoría de ellos no requieren un signo menos para designar números negativos.

El uso de un punto de base (punto decimal en base diez), se extiende para incluir fracciones y permite representar cualquier número real con precisión arbitraria. Con la notación posicional, los cálculos aritméticos son mucho más sencillos que con cualquier sistema numérico antiguo; esto llevó a la rápida difusión de la notación cuando se introdujo en Europa occidental.

Historia

Hoy en día, el sistema de base 10 (decimal), que presumiblemente está motivado por contar con diez dedos, es omnipresente. En el pasado se han utilizado otras bases y algunas se siguen utilizando en la actualidad. Por ejemplo, el sistema de numeración babilónico, acreditado como el primer sistema de numeración posicional, tenía base 60. Sin embargo, le faltaba un cero real. Inicialmente se dedujo sólo del contexto; más tarde, alrededor del año 700 a. C., el cero pasó a indicarse mediante un "espacio" o un "símbolo de puntuación" (como dos cuñas inclinadas) entre números. Era un marcador de posición en lugar de un cero verdadero porque no se usaba solo o al final de un número. Números como 2 y 120 (2×60) parecían iguales porque el número mayor carecía de un marcador de posición final. Sólo el contexto podría diferenciarlos.

El erudito Arquímedes (ca. 287-212 a. C.) inventó un sistema posicional decimal en su Sand Reckoner que se basaba en 10⁸ y más tarde llevó al matemático alemán Carl Friedrich Gauss a lamentar lo elevado que es la ciencia. ya habría llegado en sus días si Arquímedes hubiera realizado plenamente el potencial de su ingenioso descubrimiento.

Antes de que la notación posicional se convirtiera en estándar, se usaban sistemas aditivos simples (notación de valor de signo), como los números romanos, y los contadores de la antigua Roma y durante la Edad Media usaban el ábaco o contadores de piedra para hacer aritmética.

Las varillas para contar y la mayoría de los ábacos se han utilizado para representar números en un sistema de numeración posicional. Con varillas contadoras o ábacos para realizar operaciones aritméticas, la escritura de los valores inicial, intermedio y final de un cálculo podría realizarse fácilmente con un sencillo sistema aditivo en cada posición o columna. Este enfoque no requería memorización de tablas (al igual que la notación posicional) y podía producir resultados prácticos rápidamente.

El sistema de notación posicional más antiguo que existe es el de los números de barra chinos, utilizados al menos desde principios del siglo VIII, o quizás los números jemeres, que muestran posibles usos de los números posicionales en el siglo VII. Los números jemeres y otros números indios se originan con los números brahmi de aproximadamente el siglo III a. C., cuyos símbolos, en ese momento, no se usaban posicionalmente. Los números indios medievales son posicionales, al igual que los números arábigos derivados, registrados desde el siglo X.

Después de la Revolución Francesa (1789-1799), el nuevo gobierno francés promovió la extensión del sistema decimal. Algunos de esos esfuerzos pro decimales, como el tiempo decimal y el calendario decimal, no tuvieron éxito. Otros esfuerzos franceses a favor del decimal (la decimalización de la moneda y la métrica de pesos y medidas) se extendieron ampliamente desde Francia a casi todo el mundo.

Historia de las fracciones posicionales

J. Lennart Berggren señala que las fracciones decimales posicionales fueron utilizadas por primera vez por el matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi ya en el siglo X. El matemático judío Immanuel Bonfils utilizó fracciones decimales alrededor de 1350, pero no desarrolló ninguna notación para representarlas. El matemático persa Jamshīd al-Kāshī hizo el mismo descubrimiento de las fracciones decimales en el siglo XV. Al Khwarizmi introdujo fracciones en los países islámicos a principios del siglo IX; su presentación de fracciones era similar a las fracciones matemáticas tradicionales chinas de Sunzi Suanjing. Esta forma de fracción con numerador arriba y denominador abajo sin barra horizontal también fue utilizada por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi en el siglo X y en la obra "Clave aritmética" de Jamshīd al-Kāshī en el siglo XV. #34;.

La adopción de la representación decimal de números menores que uno, una fracción, a menudo se atribuye a Simon Stevin a través de su libro de texto De Thiende; pero tanto Stevin como E. J. Dijksterhuis indican que Regiomontanus contribuyó a la adopción europea de decimales generales:

Matemáticos europeos, al tomar el control de los hindúes, via los árabes, la idea de valor posicional para los enteros, descuidaron extender esta idea a fracciones. Durante algunos siglos se limitaron a usar fracciones comunes y sexagesimal... Esta media cordura nunca ha sido superada por completo, y fracciones sexagesimal todavía forman la base de nuestra trigonometría, astronomía y medición del tiempo. ¶... Los matemáticos trataron de evitar fracciones tomando el radio R igual a una serie de unidades de longitud de la forma 10ⁿ y luego suponiendo n tan grande un valor integral que todas las cantidades que ocurren podrían expresarse con suficiente precisión por enteros. El primero en aplicar este método fue el astrónomo alemán Regiomontanus. En la medida en que expuso los segmentos de línea goniométricos en una unidad R/10ⁿ, Regiomontanus puede ser llamado anticipador de la doctrina de las fracciones decimales posicionales.

En opinión de Dijksterhuis, "después de la publicación de De Thiende sólo fue necesario un pequeño avance para establecer el sistema completo de fracciones posicionales decimales, y este paso fue dado rápidamente por varios escritores... siguiente para Stevin, la figura más importante en este desarrollo fue Regiomontanus." Dijksterhuis señaló que [Stevin] "da todo el crédito a Regiomontanus por su contribución anterior, diciendo que las tablas trigonométricas del astrónomo alemán en realidad contienen toda la teoría de los "números del décimo progreso". 34;

Matemáticas

Base del sistema numérico

En sistemas matemáticos numeral el radio r es generalmente el número de dígitos únicos, incluyendo cero, que un sistema de numeral posicional utiliza para representar números. En algunos casos, como con una base negativa, el radio es el valor absoluto r=SilenciobSilencio{displaystyle r=vivb sufrimiento} de la base b. Por ejemplo, para el sistema decimal el radio (y la base) es diez, porque utiliza los diez dígitos de 0 a 9. Cuando un número "hits" 9, el siguiente número no será otro símbolo diferente, pero un "1" seguido por un "0". En binario, el ráx es dos, ya que después de golpear "1", en lugar de "2" u otro símbolo escrito, salta directamente a "10", seguido de "11" y "100".

El símbolo más alto de un sistema de numeración posicional generalmente tiene el valor uno menos que el valor de la base de ese sistema de numeración. Los sistemas de numeración posicional estándar se diferencian entre sí sólo en la base que utilizan.

El ráx es un entero que es mayor que 1, ya que un ráx de cero no tendría ningún dígitos, y un ráx de 1 solo tendría el dígito cero. Rara vez se utilizan bases negativas. En un sistema con más que SilenciobSilencio{displaystyle Silencioso dígitos únicos, los números pueden tener muchas representaciones posibles diferentes.

Es importante que la base sea finita, de lo que se deduce que el número de dígitos es bastante bajo. De lo contrario, la longitud de un número no sería necesariamente logarítmica en su tamaño.

(En ciertos sistemas de numeración posicional no estándar, incluida la numeración biyectiva, la definición de la base o los dígitos permitidos se desvía de lo anterior).

En la notación posicional estándar de base diez (decimal), hay diez dígitos decimales y el número

5305dec=()5× × 103)+()3× × 102)+()0× × 101)+()5× × 100){displaystyle 5305_{mathrm {de}=(5times 10^{3})+(3times 10^{2})+(0times 10^{1})+(5times 10^{0})}.

En base dieciséis estándar (hexadecimal), están los dieciséis dígitos hexadecimales (0–9 y A–F) y el número

14B9hex=()1× × 163)+()4× × 162)+()B× × 161)+()9× × 160)()=5305dec),{displaystyle 14mathrm {B} 9_{mathrm {hex}=(1times 16^{3})+(4times 16^{2})+(mathrm {B}times 16^{1})+(9times 16^{0})qquad (=5305_{mathrm {} })

donde B representa el número once como un solo símbolo.

En general, en base-b, hay b dígitos {}d1,d2,⋯ ⋯ ,db}=D{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} y el número

()a3a2a1a0)b=()a3× × b3)+()a2× × b2)+()a1× × b1)+()a0× × b0)[displaystyle (a_{3}a_{1}a_{0})_{b}=(a_{3}times b^{3})+(a_{2}times b^{2})+(a_{1}times b^{1})+(a_{0}times b^{0})}

tiene О О k:: ak▪ ▪ D.{displaystyle forall kcolon A_{k}in D.}Note que a3a2a1a0{displaystyle a_{3}a_{2}a_{0} representa una secuencia de dígitos, no la multiplicación.

Notación

Al describir la base en notación matemática, la letra b se usa generalmente como símbolo para este concepto, por lo que, para un sistema binario, b es igual a 2. Otro punto común La forma de expresar la base es escribirla como un subíndice decimal después del número que se está representando (esta notación se utiliza en este artículo). 1111011₂ implica que el número 1111011 es un número de base 2, igual a 123₁₀ (una representación de notación decimal), 173₈ (una notación octal) y 7B₁₆ (hexadecimal). En libros y artículos, cuando se utilizan inicialmente las abreviaturas escritas de bases numéricas, la base no se imprime posteriormente: se supone que el binario 1111011 es lo mismo que 1111011₂.

La base b también puede indicarse mediante la frase "base-b". Entonces los números binarios son "base-2"; los números octales son "base-8"; los números decimales son "base-10"; etcétera.

A una base dada b el conjunto de dígitos {0, 1,..., b−2, b−1} se llama conjunto estándar de dígitos. Así, los números binarios tienen dígitos {0, 1}; los números decimales tienen dígitos {0, 1, 2,..., 8, 9}; y así sucesivamente. Por lo tanto, los siguientes son errores de notación: 52₂, 2₂, 1A₉. (En todos los casos, uno o más dígitos no están en el conjunto de dígitos permitidos para la base dada).

Exponciación

Los sistemas numéricos posicionales funcionan utilizando la exponenciación de la base. El valor de un dígito es el dígito multiplicado por el valor de su posición. Los valores posicionales son el número de la base elevado a la nésima potencia, donde n es el número de otros dígitos entre un dígito dado y el punto de la base. Si un dígito dado está en el lado izquierdo del punto de la base (es decir, su valor es un número entero), entonces n es positivo o cero; si el dígito está en el lado derecho del punto de la base (es decir, su valor es fraccionario), entonces n es negativo.

Como ejemplo de uso, el número 465 en su respectiva base b (que debe ser al menos base 7 porque el dígito más alto en él es 6) es igual a:

4× × b2+6× × b1+5× × b0{displaystyle 4times b^{2}+6times b^{1}+5times b^{0}

Si el número 465 estuviera en base 10, entonces sería igual a:

4× × 102+6× × 101+5× × 100=4× × 100+6× × 10+5× × 1=465{displaystyle 4times 10^{2}+6times 10^{1}+5times 10^{0}=4times 100+6times 10+5times 1=465}

(465₁₀ = 465₁₀)

Sin embargo, si el número estuviera en base 7, entonces sería igual a:

4× × 72+6× × 71+5× × 70=4× × 49+6× × 7+5× × 1=243{displaystyle 4times 7^{2}+6times 7^{1}+5times 7^{0}=4times 49+6times 7+5times 1=243}

(465₇ = 243₁₀)

10_b = b para cualquier base b, ya que 10_b = 1×b¹ + 0×b⁰. Por ejemplo, 10₂ = 2; 10₃ = 3; 10₁₆ = 16₁₀. Tenga en cuenta que el último "16" se indica que está en base 10. La base no hace ninguna diferencia para los números de un dígito.

Este concepto se puede demostrar mediante un diagrama. Un objeto representa una unidad. Cuando el número de objetos es igual o mayor que la base b, entonces se crea un grupo de objetos con objetos b. Cuando el número de estos grupos excede b, entonces se crea un grupo de estos grupos de objetos con b grupos de objetos b; etcétera. Así, el mismo número en diferentes bases tendrá diferentes valores:

241 en la base 5:
2 grupos de 52 (25) 4 grupos de 5 1 grupo de 1
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooo + + o
Oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

241 en la base 8:
2 grupos de 82 (64) 4 grupos de 8 1 grupo de 1
Ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
oooooooooooooooo + o
Ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
Ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

La notación se puede aumentar aún más permitiendo un signo menos al principio. Esto permite la representación de números negativos. Para una base dada, cada representación corresponde exactamente a un número real y cada número real tiene al menos una representación. Las representaciones de números racionales son aquellas representaciones que son finitas, usan la notación de barras o terminan con un ciclo de dígitos que se repite infinitamente.

Dígitos y números

Un dígito es un símbolo que se utiliza para la notación posicional, y un numeral consta de uno o más dígitos utilizados para representar un número con notación posicional. Los dígitos más comunes hoy en día son los dígitos decimales "0", "1", "2", "3", &# 34;4", "5", "6", "7", "8" y "9&# 34;. La distinción entre un dígito y un número es más pronunciada en el contexto de una base numérica.

Un número distinto de cero con más de una posición de dígito significará un número diferente en una base numérica diferente, pero en general, los dígitos significarán lo mismo. Por ejemplo, el número de base 8 23₈ contiene dos dígitos, "2" y "3", y con un número base (subíndice) "8". Cuando se convierte a base 10, 23₈ es equivalente a 19₁₀, es decir, 23₈ = 19₁₀. En nuestra notación aquí, el subíndice "₈" del numeral 23₈ es parte del numeral, pero puede que no siempre sea así.

Imagínese el número "23" como si tuviera un número base ambiguo. Entonces "23" Probablemente podría ser cualquier base, desde la base 4 en adelante. En base 4, el "23" significa 11₁₀, es decir, 23₄ = 11₁₀. En base 60, el "23" significa el número 123₁₀, es decir, 23₆₀ = 123₁₀. El número "23" entonces, en este caso, corresponde al conjunto de números en base 10 {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,..., 121, 123} mientras que sus dígitos &# 34;2" y "3" siempre conservan su significado original: el "2" significa "dos de", y el "3" significa "tres de".

En ciertas aplicaciones cuando un numeral con un número fijo de posiciones necesita representar un número mayor, se puede utilizar un número mayor con más dígitos por posición. Un numeral decimal de tres dígitos puede representar sólo hasta 999. Pero si la base de números se aumenta a 11, digamos, añadiendo el dígito "A", entonces las mismas tres posiciones, maximizadas a "AAA", pueden representar un número tan grande como 1330. Podríamos aumentar la base de números de nuevo y asignar "B" a 11, y así sucesivamente (pero también hay una posible encriptación entre el número y el dígito en la jerarquía número-digit-numeral). Un numeral de tres dígitos "ZZ" en base-60 podría significar 215999. Si utilizamos toda la colección de nuestros alfanuméricos podríamos servir finalmente una base-62 sistema numeral, pero eliminamos dos dígitos, mayúscula "I" y mayúscula "O", para reducir la confusión con dígitos "1" y "0". Nos quedan con un sistema base-60, o numeral sexagesimal utilizando 60 de los 62 alfanuméricos estándar. (Pero vea) Sistema sexagesimal infra.) En general, el número de posibles valores que pueden ser representados por un d{displaystyle d} Número de dígitos en base r{displaystyle r} es rd{displaystyle r^{d}.

Los sistemas numéricos comunes en informática son binario (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16). En binario solo los dígitos "0" y "1" están en los números. En los números octales, están los ocho dígitos del 0 al 7. Hex es 0–9 A–F, donde los diez números conservan su significado habitual y los alfabéticos corresponden a los valores 10–15, para un total de dieciséis dígitos. El número "10" es el número binario "2", el número octal "8" o el número hexadecimal "16".

Punto de base

La notación se puede extender a los exponentes negativos de la base b. Por lo tanto, el llamado punto de base, generalmente ».«, se utiliza como separador de las posiciones con exponente no negativo de aquellas con exponente negativo.

Los números que no son enteros utilizan lugares más allá del punto de base. Para cada posición detrás de este punto (y por tanto después del dígito de las unidades), el exponente n de la potencia bⁿ disminuye en 1 y la potencia se acerca a 0. Por ejemplo, el número 2,35 es igual a:

2× × 100+3× × 10− − 1+5× × 10− − 2{displaystyle 2times 10^{0}+3times 10^{-1}+5times 10^{-2}

Firmar

Si la base y todos los dígitos del conjunto de dígitos no son negativos, los números negativos no se pueden expresar. Para superar esto, se añade un signo menos, aquí »-«, al sistema numérico. En la notación habitual, se antepone a la cadena de dígitos que representan el número que de otro modo no sería negativo.

Conversión base

La conversión a una base b2{displaystyle B_{2} de un entero n representado en la base b1{displaystyle B_{1} puede ser hecho por una sucesión de divisiones Euclidesas por b2:{displaystyle B_{2}:} el dígito más adecuado en la base b2{displaystyle B_{2} es el resto de la división de n por b2;{displaystyle b_{2};} el segundo dígito más derecho es el resto de la división del cociente por b2,{displaystyle b_{2},} y así sucesivamente. El dígito más izquierdo es el último cociente. En general, kde la derecha es el resto de la división por b2{displaystyle B_{2} de la ()k−1)T cociente.

Por ejemplo: convertir A10B_Hex a decimal (41227):

0xA10B/10 = 0x101A R: 7 (en su lugar)
0x101A/10 = 0x19C R: 2 (lugar grande)
0x19C/10 = 0x29 R: 2 (lugar de cientos)
0x29/10 = 0x4 R: 1...
4

Al convertir a una base más grande (como de binario a decimal), el resto representa b2{displaystyle B_{2} como un solo dígito, utilizando dígitos de b1{displaystyle B_{1}. Por ejemplo: convertir 0b11111001 (binario) a 249 (decimal):

0b11111001/10 = 0b11000 R: 0b1001 (0b1001 = "9" para un lugar)
0b11000/10 = 0b10 R: 0b100 (0b100 = "4" para las decenas)
0b10/10 = 0b0 R: 0b10 (0b10 = "2" para cientos)

Para la parte fraccionaria, la conversión se puede realizar tomando dígitos después del punto de la base (el numerador) y dividiéndolos por el denominador implícito en la base objetivo. Es posible que se necesite una aproximación debido a la posibilidad de que haya dígitos no terminales si el denominador de la fracción reducida tiene un factor primo distinto de cualquiera de los factores primos de la base al que convertir. Por ejemplo, 0.1 en decimal (1/10) es 0b1/0b1010 en binario, al dividir esto en esa base, el resultado es 0b0.00011 (porque uno de los factores primos de 10 es 5). Para fracciones y bases más generales, consulte el algoritmo para bases positivas.

En la práctica, el método de Horner es más eficiente que la división repetida requerida anteriormente. Un número en notación posicional puede considerarse como un polinomio, donde cada dígito es un coeficiente. Los coeficientes pueden ser mayores que un dígito, por lo que una forma eficiente de convertir bases es convertir cada dígito y luego evaluar el polinomio mediante el método de Horner dentro de la base objetivo. La conversión de cada dígito es una tabla de búsqueda simple, lo que elimina la necesidad de costosas operaciones de división o módulo; y la multiplicación por x se desplaza hacia la derecha. Sin embargo, otros algoritmos de evaluación polinomial también funcionarían, como la elevación al cuadrado repetida para dígitos únicos o dispersos. Ejemplo:

Convertir 0xA10B en 41227
A10B = (10*16^3) + (1*16^2) + (0*16^1) + (11*16^0)

Cuadro de búsqueda:
0x0 = 0
0x1 = 1
...
0x9 = 9
0xA = 10
0xB = 11
0xC = 12
0xD = 13
0xE = 14
0xF = 15
Por lo tanto, los dígitos decimales de 0xA10B son 10, 1, 0 y 11.

Saca los dígitos así. El dígito más significativo (10) es "ropado":
10 1 0 11 ANTE- Digitos de 0xA10B

---------------
10
Luego multiplicamos el número inferior de la base fuente (16), el producto se coloca bajo el siguiente dígito del valor fuente, y luego agrega:
10 1 0 11
160
---------------
10 161

Repita hasta que se realice la adición final:
10 1 0 11
160 2576 41216
---------------
10 161 2576 41227

y eso es 41227 en decimal.

Convertir 0b11111001 en 249
Cuadro de búsqueda:
0b0 = 0
0b1 = 1

Resultado:
1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 - Digits of 0b11111001
2 6 14 30 62 124 248
-------
1 3 7 15 31 62 124 249

Terminando fracciones

Los números que tienen una representación finita forman el semianillo

N0bN0:={}mb− − .. ▪ ▪ m▪ ▪ N0∧ ∧ .. ▪ ▪ N0}.{fnMicroc {fnMithbb {N} {fn} {fnK} {fnK}} {fnK}} {fn}} {fn} {fnK}}} {fn}}} {fnK}}}}} {fn}} {f}}}} {f}}} {fnMitb}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}f}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}f} {f}f} {f} {f} {f}f} {f}f}f}f}f}f} {f}f} {f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}}fnh {N} {fn}}=left{mb^{-nu} }mid min mathbb {N} _{0}wedge nu in mathbb {N} âTMa âTMa âTMa}

Más explícitamente, si p1.. 1⋅ ⋅ ...... ⋅ ⋅ pn.. n:=b{displaystyle ¿Por qué? ¿Por qué? - Sí. es una factorización de b{displaystyle b} en los mejores p1,...... ,pn▪ ▪ P{displaystyle p_{1},ldotsp_{n}in mathbb {P} con exponentes .. 1,...... ,.. n▪ ▪ N{displaystyle nu _{1},ldotsnu _{n}in mathbb {N}, entonces con el conjunto no vacío de denominadores S:={}p1,...... ,pn}{displaystyle S:={p_{1},ldotsp_{n}}tenemos

ZS:={}x▪ ▪ QSilencio∃ ∃ μ μ i▪ ▪ Z:x∏ ∏ i=1npiμ μ i▪ ▪ Z}=bZZ=.. S.. − − 1Z{displaystyle mathbb {Z} _{S}:=left{xin mathbb {Q} left durable,exists mu _{i}in mathbb {Z}:xprod ¿Qué? En "Mathbb" # Mathbb {Z} ={langle Srangle {Z}

Donde .. S.. {displaystyle langle Srangle } es el grupo generado por el p▪ ▪ S{displaystyle pin S} y .. S.. − − 1Z{displaystyle {langle Srangle } {-1}Mathbb {Z} es la llamada localización de Z{displaystyle mathbb {Z} con respecto a S{displaystyle S..

El denominador de un elemento ZS{displaystyle mathbb {Z} _{S} contiene si se reduce a términos más bajos sólo factores principales fuera de S{displaystyle S.. Este anillo de todas las fracciones que terminan a base b{displaystyle b} es denso en el campo de los números racionales Q{displaystyle mathbb {Q}. Su terminación para la métrica habitual (Arquimedean) es la misma que para Q{displaystyle mathbb {Q}, a saber, los números reales R{displaystyle mathbb {R}. Entonces, si S={}p}{displaystyle S={p} entonces Z{}p}{displaystyle mathbb {Z} _{p}} no debe confundirse con Z()p){displaystyle mathbb {Z} _{(p)}, el anillo de valoración discreta para la primera p{displaystyle p}, que es igual a ZT{displaystyle mathbb {Z} _{T} con T=P∖ ∖ {}p}{displaystyle T=Mathbb {P} setminus {p}}.

Si b{displaystyle b} divideciones c{displaystyle c}, tenemos bZZ⊆ ⊆ cZZ.{displaystyle b^{mathbb {Z},mathbb {Z} subseteq c^{mathbb {Z},mathbb {Z}}

Representaciones infinitas

Números racionales

La representación de números no enteros se puede ampliar para permitir una cadena infinita de dígitos más allá del punto. Por ejemplo, 1.12112111211112... base-3 representa la suma de la serie infinita:

1× × 30+1× × 3− − 1+2× × 3− − 2+1× × 3− − 3+1× × 3− − 4+2× × 3− − 5+1× × 3− − 6+1× × 3− − 7+1× × 3− − 8+2× × 3− − 9+1× × 3− − 10+1× × 3− − 11+1× × 3− − 12+1× × 3− − 13+2× × 3− − 14+⋯ ⋯ {displaystyle {begin{array}{l}1times 3^{0,,,}+{}1times 3^{-1,,}+2times 3^{-2,,,,}+{}1times 3^{-3,,}+1times 3^{-4,,,}+2times 3^{-5,,,}+{}1times 3^{-6,,}+1times 3^{-7,,,,}+1times 3^{-8,,,}+2times 3^{-9,,,}+{}1times 3^{-10}+1times 3^{-11}+1times 3^{-12}+1times 3^{-13}+2times 3^{-14}+0}+0}+0}

Dado que una cadena infinita completa de dígitos no se puede escribir explícitamente, los puntos suspensivos finales (...) designan los dígitos omitidos, que pueden seguir o no un patrón de algún tipo. Un patrón común es cuando una secuencia finita de dígitos se repite infinitamente. Esto se designa trazando un vínculo a través del bloque repetido:

2.42314̄ ̄ 5=2.42314314314314314...... 5{displaystyle 2.42{overline {314}_{5}=2.42314314314314314dots ¿Qué?

Esta es la notación decimal periódica (para la cual no existe una única notación o fraseología universalmente aceptada). Para la base 10 se le llama decimal periódico o decimal periódico.

Un número irracional tiene una representación infinita y no repetitiva en todas las bases enteras. Si un número racional tiene una representación finita o requiere una representación repetida infinita depende de la base. Por ejemplo, un tercio puede estar representado por:

0.13{displaystyle 0.1_{3}

0.3̄ ̄ 10=0.3333333...... 10{displaystyle 0.{overline {3}_{10}=0.3333333dots _{10}

o, con la base implícita:

0.3̄ ̄ =0.3333333...... {displaystyle 0.{overline {3}=0.33333dots} (ver también 0.999...)

0.01̄ ̄ 2=0,010101...... 2{displaystyle 0.{overline {01}_{2}=0.010101dots _{2}

0.26{displaystyle 0.2_{6}}

Para los números enteros p y q con mcd (p, q) = 1, la fracción p/q tiene una representación finita en base b si y sólo si cada factor primo de q es también un factor primo de b.

Para una base dada, cualquier número que pueda representarse mediante un número finito de dígitos (sin usar la notación de barras) tendrá múltiples representaciones, incluidas una o dos representaciones infinitas:

1. Se puede anexar un número finito o infinito de ceros:

3.467=3.4607=3.4600007=3.460̄ ̄ 7{displaystyle 3.46_{7}=3.460_{7}=3.460000_{7}=3.46{overline {0}_{7}

2. El último dígito no cero puede ser reducido por uno y una cadena infinita de dígitos, cada uno correspondiente a uno menos que la base, son anexados (o reemplazan los siguientes dígitos cero):

3.467=3.456̄ ̄ 7{displaystyle 3.46_{7}=3.45{overline {6}_{7}

110=0.9̄ ̄ 10{displaystyle 1_{10}=0.{overline {9}_{10}qquad (ver también 0.999...)

2205=214.4̄ ̄ 5{displaystyle 220_{5}=214.{overline {4}_{5}

Números irracionales

Un número irracional (real) tiene una representación infinita y no repetitiva en todas las bases enteras.

Ejemplos son las raíces enésimas no solubles

Sí.=xn{displaystyle y={sqrt[{n}{x}} {fn} {fn}}

con Sí.n=x{displaystyle y^{n}=x} y Sí. ∉ Q, números que se llaman algebraico, o números como

π π ,e{displaystyle pie}

que son trascendentales. El número de trascendentales es incontable y la única manera de escribirlos con un número finito de símbolos es dándoles un símbolo o una secuencia finita de símbolos.

Aplicaciones

Sistema decimal

En el sistema de numeración hindú-árabe decimal (base 10), cada posición que comienza desde la derecha es una potencia superior de 10. La primera posición representa 100 (1), la segunda posición 101 (10), la tercera posición 102 (10 × 10 o 100), la cuarta posición 103 (10 × 10 × 10 o 1000), y así sucesivamente.

Los valores fraccionarios se indican mediante un separador, que puede variar en diferentes ubicaciones. Por lo general, este separador es un punto, un punto o una coma. Los dígitos a la derecha se multiplican por 10 elevados a una potencia o exponente negativo. La primera posición a la derecha del separador indica 10−1 (0,1), la segunda posición 10−2 (0,01), y así sucesivamente para cada posición sucesiva.

Como ejemplo, el número 2674 en un sistema numérico de base 10 es:

(2 × 10³) + (6 × 10²) + (7 × 10¹) + (4 × 10⁰)

o

(2 × 1000) + (6 × 100) + (7 × 10) + (4 × 1).

Sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal o de base 60 fue utilizado para las porciones integrales y fraccionarias de los números babilónicos y otros sistemas mesopotámicos por los astrónomos helenísticos que utilizaron números griegos solo para la porción fraccionaria, y todavía se usa para la época y los ángulos modernos, pero solo durante minutos y segundos. Sin embargo, no todos estos usos fueron posicionales.

El tiempo moderno separa cada posición por un colon o un símbolo principal. Por ejemplo, el tiempo puede ser 10:25:59 (10 horas 25 minutos 59 segundos). Los ángulos usan notación similar. Por ejemplo, un ángulo podría ser 10°25′59′′ (10 grados 25 minutos 59 segundos). En ambos casos, solo minutos y segundos usan notación sexagesimal: los grados anulares pueden ser mayores de 59 (una rotación alrededor de un círculo es de 360°, dos rotaciones son de 720°, etc.), y tanto el tiempo como los ángulos usan fracciones decimales de segundo. Esto contrasta con los números utilizados por astrónomos helenísticos y renacentistas, que utilizaron tercios, cuartos, etc. para incrementos más finos. Donde podríamos escribir 10°25′59.392′′, habrían escrito 10°25.. {displaystyle scriptstyle {}} {prime }}}}59.. .. {displaystyle scriptstyle {}} {primeprimeprime}}}}}23.. .. .. {displaystyle scriptstyle {{}{primeprimeprimeprime}}}31.. .. .. .. {displaystyle scriptstyle {{}{prime prime primeprime}}}12.. .. .. .. .. {displaystyle scriptstyle {{}{prime prime prime primeprime}}} o 10°25ⁱ59ⁱⁱ23ⁱⁱⁱ31^iv12^v.

El uso de un conjunto de dígitos con letras mayúsculas y minúsculas permite una notación breve para números sexagesimales, p. 10:25:59 se convierte en 'ARz' (omitiendo I y O, pero no i y o), lo cual es útil para usar en URL, etc., pero no es muy inteligible para los humanos.

En la década de 1930, Otto Neugebauer introdujo un sistema de notación moderno para los números babilónicos y helenísticos que sustituye la notación decimal moderna del 0 al 59 en cada posición, mientras usa un punto y coma () para separar las partes integrales y fraccionarias del número y usa una coma (,) para separar las posiciones dentro de cada porción. Por ejemplo, el mes sinódico medio usado por los astrónomos babilónicos y helenísticos y todavía usado en el calendario hebreo es 29;31,50,8,20 días, y el ángulo usado en el ejemplo anterior se escribiría 10;25,59, 23,31,12 grados.

Informática

En informática, las bases binaria (base-2), octal (base-8) y hexadecimal (base-16) son las más utilizadas. Las computadoras, en el nivel más básico, trabajan sólo con secuencias de ceros y unos convencionales, por lo que en este sentido es más fácil trabajar con potencias de dos. El sistema hexadecimal se utiliza como "taquigrafía" para binario: cada 4 dígitos binarios (bits) se relacionan con un solo dígito hexadecimal. En hexadecimal, los seis dígitos después del 9 se indican con A, B, C, D, E y F (y, a veces, a, b, c, d, e y f).

El sistema de numeración octal también se utiliza como otra forma de representar números binarios. En este caso la base es 8 y por tanto sólo se utilizan los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Al convertir de binario a octal, cada 3 bits se relacionan con un solo dígito octal.

Se han utilizado bases hexadecimales, decimales, octales y una amplia variedad de otras para codificación de binario a texto, implementaciones de aritmética de precisión arbitraria y otras aplicaciones.

Para obtener una lista de bases y sus aplicaciones, consulte la lista de sistemas numéricos.

Otras bases del lenguaje humano

Los sistemas de base 12 (duodecimal o docenal) han sido populares porque la multiplicación y la división son más fáciles que en base 10, siendo igual de fáciles la suma y la resta. Doce es una base útil porque tiene muchos factores. Es el mínimo común múltiplo de uno, dos, tres, cuatro y seis. Todavía existe una palabra especial para "docena" En inglés, y por analogía con la palabra para 10², cien, el comercio desarrolló una palabra para 12², bruto. El reloj estándar de 12 horas y el uso común de 12 en unidades inglesas enfatizan la utilidad de la base. Además, antes de su conversión a decimal, la antigua moneda británica, la libra esterlina (GBP), utilizaba parcialmente base-12; había 12 peniques (d) por chelín (s), 20 chelines por libra (£) y, por tanto, 240 peniques por libra. De ahí el término LSD o, más propiamente, £sd.

La civilización maya y otras civilizaciones de la Mesoamérica precolombina utilizaron la base 20 (vigesimal), al igual que varias tribus norteamericanas (dos de ellas en el sur de California). También se encuentran pruebas de sistemas de conteo de base 20 en los idiomas de África central y occidental.

También existen restos de un sistema galo de base 20 en francés, como se ve hoy en los nombres de los números del 60 al 99. Por ejemplo, sesenta y cinco es soixante-cinq (literalmente, "sesenta [y] cinco"), mientras que setenta y cinco es soixante-quinze (literalmente, "sesenta [y] quince"). Además, para cualquier número entre 80 y 99, la "columna de decenas" El número se expresa como múltiplo de veinte. Por ejemplo, ochenta y dos es quatre-vingt-deux (literalmente, cuatro veinte[s] [y] dos), mientras que noventa y dos es quatre-vingt-douze (literalmente, cuatro veinte[s] [y] doce). En francés antiguo, cuarenta se expresaba como dos veinte y sesenta tres veinte, de modo que cincuenta y tres se expresaba como dos veinte [y] trece, y así sucesivamente.

En inglés, el mismo conteo en base 20 aparece en el uso de "puntuaciones". Aunque en su mayoría es histórico, ocasionalmente se usa coloquialmente. El versículo 10 del Salmo 90 en la versión King James de la Biblia comienza: "Los días de nuestros años son sesenta años y diez; y si por la fuerza tienen ochenta años, su fuerza es trabajo y dolor". El discurso de Gettysburg comienza: "Hace cuatro veintenas y siete años".

El idioma irlandés también usaba base 20 en el pasado, siendo veinte fichid, cuarenta dhá fhichid, sesenta trí fhichid y ochenta ceithre fhichid. Un remanente de este sistema puede verse en la palabra moderna 40, daoichead.

El idioma galés sigue utilizando un sistema de conteo de base 20, especialmente para la edad de las personas, las fechas y las frases comunes. 15 también es importante, siendo 16-19 "uno contra 15", "dos contra 15" etc. 18 normalmente es "dos nueves". Generalmente se utiliza un sistema decimal.

Las lenguas inuit utilizan un sistema de conteo de base 20. Estudiantes de Kaktovik, Alaska, inventaron un sistema de numeración de base 20 en 1994.

Los números daneses muestran una estructura similar en base 20.

El idioma maorí de Nueva Zelanda también tiene evidencia de un sistema subyacente de base 20, como se ve en los términos Te Hokowhitu a Tu que se refieren a un grupo de guerra (literalmente "los siete años 20 de Tu") y Tama-hokotahi, en referencia a un gran guerrero ("el hombre igual a 20").

El sistema binario se utilizó en el Reino Antiguo de Egipto, entre el 3000 a.C. y el 2050 A.C. Era cursiva redondeando números racionales menores que 1 a 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64, con una Término 1/64 desechado (el sistema se llamó Ojo de Horus).

Varias lenguas aborígenes australianas emplean sistemas de conteo binarios o similares. Por ejemplo, en Kala Lagaw Ya, los números del uno al seis son urapon, ukasar, ukasar-urapon, ukasar-ukasar, ukasar-ukasar-urapon, ukasar-ukasar-ukasar.

Los nativos de América del Norte y Central usaban la base 4 (cuaternaria) para representar los cuatro puntos cardinales. Los mesoamericanos tendieron a agregar un segundo sistema de base 5 para crear un sistema de base 20 modificado.

En muchas culturas se ha utilizado un sistema de base 5 (quinario) para contar. Claramente se basa en el número de dígitos de una mano humana. También puede considerarse como una subbase de otras bases, como base 10, base 20 y base 60.

La tribu Yuki del norte de California ideó un sistema de base 8 (octal), que utilizaba los espacios entre los dedos para contar, correspondientes a los dígitos del uno al ocho. También hay evidencia lingüística que sugiere que los protoindoeuropeos de la Edad del Bronce (de quienes descienden la mayoría de las lenguas europeas e indias) podrían haber reemplazado un sistema de base 8 (o un sistema que solo podía contar hasta 8) con un sistema de base 10. sistema. La evidencia es que algunos sugieren que la palabra para 9, newm, deriva de la palabra para "nuevo", newo-, sugiriendo que el El número 9 se había inventado recientemente y se le llamó "nuevo número".

Muchos sistemas de conteo antiguos utilizan cinco como base principal, y casi seguramente provienen del número de dedos de la mano de una persona. A menudo estos sistemas se complementan con una base secundaria, a veces diez, a veces veinte. En algunas lenguas africanas la palabra cinco es la misma que "mano" o "puño" (Lengua Dyola de Guinea-Bissau, lengua Banda de África Central). El conteo continúa sumando 1, 2, 3 o 4 a combinaciones de 5, hasta llegar a la base secundaria. En el caso de veinte, esta palabra suele significar "hombre completo". Este sistema se denomina quinquavigesimal. Se encuentra en muchos idiomas de la región de Sudán.

El idioma telefol, hablado en Papua Nueva Guinea, se destaca por poseer un sistema de numeración de base 27.

Sistemas de numeración posicional no estándar

Existen propiedades interesantes cuando la base no es fija o positiva y cuando los conjuntos de símbolos de dígitos denotan valores negativos. Hay muchas más variaciones. Estos sistemas tienen valor práctico y teórico para los informáticos.

Ternario equilibrado utiliza una base de 3 pero el conjunto de dígitos es {1,0,1} en lugar de {0,1,2}. El "1" tiene un valor equivalente de −1. La negación de un número se forma fácilmente cambiando por los 1. Este sistema se puede utilizar para resolver el problema del equilibrio, que requiere encontrar un conjunto mínimo de contrapesos conocidos para determinar un peso desconocido. Se pueden utilizar pesos de 1, 3, 9,... 3ⁿ unidades conocidas para determinar cualquier peso desconocido hasta 1 + 3 +... + 3ⁿ unidades. Se puede utilizar un peso en cualquier lado de la balanza o no utilizarlo. Los pesos utilizados en el platillo de la balanza con peso desconocido se designan con 1, con 1 si se usan en el platillo vacío y con 0 si no se usan. Si un peso desconocido W se equilibra con 3 (3¹) en su plato y 1 y 27 (3⁰ y 3³ ) por el otro, entonces su peso en decimal es 25 o 1011 en base 3 balanceada.

1011₃ = 1 × 3³ + 0 × 3² − 1 × 3¹ + 1 × 3⁰ = 25.

El sistema numérico factorial utiliza una base variable, dando factoriales como valores posicionales; están relacionados con el teorema del resto chino y las enumeraciones del sistema de números de residuos. Este sistema enumera efectivamente permutaciones. Un derivado de esto utiliza la configuración del rompecabezas de las Torres de Hanoi como sistema de conteo. La configuración de las torres se puede poner en correspondencia 1 a 1 con el recuento decimal del paso en el que se produce la configuración y viceversa.

Posiciones no posicionales

No es necesario que cada posición sea posicional en sí misma. Los números sexagesimales babilónicos eran posicionales, pero en cada posición había grupos de dos tipos de cuñas que representaban unidades y decenas (una cuña vertical estrecha | para el uno y una cuña abierta que apunta hacia la izquierda ⟨ para las diez): hasta 5+9=14 símbolos por posición (es decir, 5 decenas ⟨⟨⟨⟨⟨ y 9 unidades ||||||||| agrupadas en uno o dos cuadrados cercanos que contienen hasta tres niveles de símbolos, o un marcador de posición (\) por falta de una posición). Los astrónomos helenísticos usaban uno o dos números griegos alfabéticos para cada posición (uno elegido entre 5 letras que representan del 10 al 50 y/o uno elegido entre 9 letras que representan del 1 al 9, o un símbolo cero).