Notación para diferenciación

En el cálculo diferencial no existe una única notación uniforme para la diferenciación. En su lugar, varios matemáticos han propuesto diversas notaciones para la derivada de una función o variable. La utilidad de cada notación varía según el contexto y, a veces, resulta ventajoso utilizar más de una notación en un contexto determinado. A continuación se enumeran las notaciones más comunes para la diferenciación (y su operación opuesta, la antidiferenciación o integración indefinida).

La notación original empleada por Gottfried Leibniz se utiliza a través de las matemáticas. Es particularmente común cuando la ecuación Sí. = f()x) se considera una relación funcional entre variables dependientes e independientes Sí. y x. La notación de Leibniz hace explícita esta relación escribiendo el derivado como: $${\displaystyle {\frac {y}}}}$$Además, el derivado de f a x por lo tanto escrito $${\displaystyle {\frac {df}{dx} {\text{ or }{\frac {df(x)}{\text{ or } {\frac {}{\dx} {\f} {\f} {\f} {\f}} {\f}} {\f}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\$$

Los derivados superiores están escritos como: $${\displaystyle {\frac {}{2}y}{dx^{2}}} {\frac {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}}},{\frac {4}y}{dx^{4}}}\ldots{\frac}}}}}} {\frac}}}}}{\dx}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ldots{\f}}}}} {\f} {\f}{\f}}}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} - ¿Qué?$$Este es un dispositivo notacional sugestivo que viene de manipulaciones formales de símbolos, como en, $${\displaystyle {\frac {\fnMicroc {\fnMicroc}\right)}{dx}=\left({\frac {\frac} {\dx}}}}}=\left {d} {dx}\right)}{2}y={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$$

El valor del derivado de Sí. en un momento x = a se puede expresar de dos maneras utilizando la notación de Leibniz: $${\displaystyle \left. {\fnMicroc {dx} {\fnMicroc} {\fnMicroc} {\f} {\fnMicroc} {\fnMicroc} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}}} {\fnMicroc}} {\fnMicrosoft}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}} {\f} {\f}} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\f} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}$$

La notación de Leibniz permite especificar la variable para la diferenciación (en el denominador). Esto es especialmente útil al considerar derivados parciales. También hace que la regla de la cadena sea fácil de recordar y reconocer: $${\displaystyle {\frac {\fnMicroc} {\fnMicroc} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fn}}} {\fnMicrosoft}}}}}} {\fnMicroc}}}}} {\fnMicroc} {y} {d}\cdot {\fnMic {} {\fnK}}}$$

La notación de Leibniz para la diferenciación no requiere asignar significado a símbolos como dx o dy (conocido como diferenciales) por su cuenta, y algunos autores no intentan asignar estos símbolos significado. Leibniz trató estos símbolos como infinitesimals. Los autores posteriores les han asignado otros significados, como infinitesimals en análisis no estándar o derivados exteriores. Comúnmente, dx se deja sin definir o equiparado con ${\displaystyle \Delta x}$, mientras dy se asigna un significado en términos de dx, vía la ecuación

${\displaystyle dy={}\cdot dx,}$

que también puede escribirse, p. ej.

${\displaystyle df=f'(x)\cdot dx}$

(ver más abajo). Estas ecuaciones dan lugar a la terminología que se encuentra en algunos textos en los que la derivada se denomina "coeficiente diferencial" (es decir, el coeficiente de dx).

Algunos autores y revistas utilizan el símbolo diferencial d en letra romana en lugar de cursiva: dx. La guía de estilo científico ISO/IEC 80000 recomienda este estilo.

Una de las notaciones modernas más comunes para la diferenciación recibe su nombre de Joseph Louis Lagrange, aunque en realidad fue inventada por Euler y popularizada por él. En la notación de Lagrange, una prima denota una derivada. Si f es una función, entonces su derivada evaluada en x se escribe:

${\displaystyle f'(x)}$.

Apareció impresa por primera vez en 1749.

Los derivados superiores se indican utilizando marcas primas adicionales, como en ${\displaystyle f'(x)}$ para el segundo derivado y ${\displaystyle f'''(x)}$ para el tercer derivado. El uso de marcas de primera repetidas eventualmente se vuelve poco inteligente. Algunos autores continúan empleando números romanos, generalmente en menor caso, como en

${\displaystyle f^{\mathrm {}(x),f^{\mathrm {v}(x),f^{\mathrm {vi}(x),\ldots}$

para indicar derivadas de cuarto, quinto, sexto y orden superior. Otros autores utilizan números arábigos entre paréntesis, como en

${\displaystyle f^{(4)}(x),f^{(5)}(x),f^{(6)}(x),\ldots. }$

Esta notación también permite describir la derivada n, donde n es una variable. Esto se escribe

${\displaystyle f^{(n)}(x).}$

Los caracteres Unicode relacionados con la notación de Lagrange incluyen:

• U+2032 ◌ PRIME (derivativo)
• U+2033 ◌′ DOUBLE PRIME (Doble derivativo)
• U+2034 ◌′ PRIME TRIPLE (tercer derivado)
• U+2057 ◌′ PRIME QUADRUPLE (cuarta derivada)

Cuando hay dos variables independientes para una función f(x, y), se puede seguir la siguiente convención:

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{\prime } limit={\frac {\partial f}{\partial {\f}=f_{x}\[5pt]f_{\prime } {\frac {\partial f}{\partial ¿Qué? x^{2}=f_{xx}\[5pt]f_{\prime }{2} {\partial y\partial x}\ =f_{xy}\[5pt]f_{\prime\prime\prime={\frac {\partial ^{2}f}{\partial - Sí.$

Al tomar la antiderivada, Lagrange siguió la notación de Leibniz:

${\displaystyle f(x)=\int f'(x)\,dx=\int y'\,dx.}$

Sin embargo, como la integración es la operación inversa de la diferenciación, la notación de Lagrange para derivadas de orden superior se extiende también a las integrales. Las integrales repetidas de f pueden escribirse como

${\displaystyle f^{(-1)}(x)}$ para el primer integral (esto es fácilmente confundido con la función inversa ${\displaystyle f^{-1}(x)}$),

${\displaystyle f^{(-2)}(x)}$ para el segundo integral,

${\displaystyle f^ {}(x)}$ para el tercero integral, y

${\displaystyle f^{(-n)}(x)}$ para el nto integral.

Esta notación a veces se denomina notación de Euler, aunque fue introducida por Louis François Antoine Arbogast y parece que Leonhard Euler no la utilizó.

Esta notación utiliza un operador diferencial denotado como D (operador D) o D̃ (operador de Newton-Leibniz). Cuando se aplica a una función f(x), se define como

${\displaystyle (Df)(x)={\frac {df(x)}{dx}}}$

Las derivadas superiores se representan como "potencias" de D (donde los superíndices indican la composición iterada de D), como en

${\displaystyle D^{2}f}$ para el segundo derivado,

${\displaystyle D^{3}f}$ para el tercer derivado, y

${\displaystyle D^{n}f}$ para el nderivado.

La notación D deja implícita la variable respecto de la cual se está realizando la diferenciación. Sin embargo, esta variable también se puede hacer explícita poniendo su nombre como subíndice: si f es una función de una variable x, esto se hace escribiendo

${\displaystyle D_{x}f}$ para el primer derivado,

${\displaystyle D_{x} {2}f}$ para el segundo derivado,

${\displaystyle D_{x} {3}f}$ para el tercer derivado, y

${\displaystyle D_{x}$ para el nderivado.

Cuando f es una función de varias variables, es habitual utilizar "∂", una d minúscula cursiva estilizada, en lugar de "D". Como en el caso anterior, los subíndices indican las derivadas que se están tomando. Por ejemplo, las segundas derivadas parciales de una función f(x, y) son:

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\f} {\f}\f} {\f} {\f} {\partial }{2}}}}}}}}\[5pt] ¿Por qué?$

Véase § Derivadas parciales.

La notación D es útil en el estudio de ecuaciones diferenciales y en álgebra diferencial.

La notación D se puede utilizar para antiderivadas de la misma manera que la notación de Lagrange, de la siguiente manera:

${\displaystyle D^{-1}f(x)}$ para un primer antiderivativo,

${\displaystyle D^{-2}f(x)}$ para un segundo antiderivativo, y

${\displaystyle D^{-n}f(x)}$ para una nantiderivativo.

La notación de Isaac Newton para la diferenciación (también llamada notación de puntos, fluxiones o, a veces, de manera burda, notación de motas de mosca para la diferenciación) coloca un punto sobre la variable dependiente. Es decir, si y es una función de t, entonces la derivada de y con respecto a t es

${\displaystyle {\ dot {y}}$

Las derivadas superiores se representan mediante varios puntos, como en

${\displaystyle {\ddot {y}},{\overset {\fnK}}$

Newton extendió esta idea bastante más lejos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {y} {\fn} {\fnK}}}= {\fnMic}} {\fnK}} {\f}}} {\f}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}} {\fn}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\ {d} {dt}\left({\frac} {y} {dt}\right)={\frac {d}{dt}{\ Bigl (}{\dot {y}{\Bigr)}={\frac {d}{dt}{\Bigl (}f'(t){\Bigr)}=D_{t}{2}y=f''(t)=y'''_{t}\[5pt]{\overset {\cHFF} {\cHFF} {\cHFF}} {\cHFF}} {\cHFF} {\cHFF}} {\cH}}}}} {\cH}}}} {\cH}}}} {\cH}}}}} {\cH}}}}}} {\cH}}}} {}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {\ {\fnMicroc {\fnK} {\f} {\f}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}} {\f}}} {\f} {\f}\f}\f}\f}\f}}}}}}\f}\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}\f} {\f} {\f}\f}}}}}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f} {\f} {\f}\f}\f}\f}}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}}}}\f}\ {y}} {\fnMicrosoft Sans Serif}={\ddot {\fnMicroc} {\f}y=f^{\f} {\f} {\f}} {\f} {\f}}} {\f} {\f}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}} {\f}}}}}}}}}} {\f} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {\ {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}} {\f}}} {\f}}}} {\f} {\fnunt} {\fnun}} {\f}}}} {\fnK\fnunt}\fnun}\fnunt}\fnun} {\fnun} {\fnK\fnun}\fnun} {\f}\fnun} {\fnun}\fnun}\fnun}\fnun}\fnun}\fnun} {\fnun\fnun}\fnun}\fnun}\fnun}\fnun} ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪♪ {\fnK}}= {\ddot {\ddot {\ddot} {\cH00}}} {\f} {\f}}}}}} {\ddot {\ddot {\ddot {\cH0}}}}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}} {\ {y}}={\ddot {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft Sans Serif} {y}}\equiv {\f} {\f} {\f}} {\f}} {\f}}} {\f} {\f}} {\f}}} {\f}} {\f}}}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}} {\f}}}}}}} {\f}} {\f}}}} {\f}}}}}}}} {\f} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}} {\f}}}} {\fnMient}} {\fnMientrast} {\f} {\f} {\fnMientrosigualt] {\f} {\fnK\fnK\fnK\f}\fnMientras] {\fnK\fnK\fnK\f} {\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\f}\fnK\f {\f} {\f} {\f}} {\f}} {\f}}} {\f}} {\f} {\f}} {\f}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\equiv}} {\equiv}} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}}}}}}}} {\f}}}} {\f} {\f} {\f} {\f}}}} {\f}}}} {\f}} {\f}}}}} {\f}}}}}} {\f} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnK} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft} {\f}}}} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}} {\f}}}}}}}\f}}}}}}}}}}\\\f}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnK\\\\\fnK\\\fnK\\\\\fnK\\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fnK\fn {\sigualdad {}{\sigualdad {} {}}}\equiv} {\f} {\f} {\f}} {\f}} {\f}}} {\f} {\f}} {\f}}} {\f}}}} {\f}}}} {\f}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}} {\f}}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f}} {\f} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Principi} {\fnMicrosoft} {\f} {\f}\fnun}\fncipi}} {\f}\f}\f}\f}\f}\fnK\f}\fnK\fnun}\fnun}\fnK\fnK\fnK\fnK\f}\fnK\fnun}\fnK\fnK\fnun} {\fnun}\fnun}\fnun}\fnun}\fnK\fnun}\fnun}\fnun}\fnK\fnK\fnun}\fnun}\fnK {\f}}}}\equiv {\f} {\f} {\f}} {\f}} {\f}} {\f} {\f} {\f}}} {\f}}}}}}}}}} {\f} {\f}}}}}}}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\equiv\equiv\equiv} {\equiv} {\equiv} {\equiv} {\equiv {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f} {\f}}} {\f}} {\f}}}}}}}} {X} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\fn} {\fn}} {\fn}} {\f}} {\fn}} {\fn}} {\fn} {\fn}} {\f}}} {\f} {\f}}} {\f} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}} {\f} {\f} {\f}}}}}}}} {\f}}}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}$

Los caracteres Unicode relacionados con la notación de Newton incluyen:

• U+0307 ◌ú COMBINING DOT ABOVE (derivativo)
• U+0308 ◌ COMBINING DIAERESIS (Doble derivativo)
• U+20DB ◌⃛ COMBINING THREE DOTS ABOVE (tercer derivativo) ← reemplazado por "combinar diaeresis" + "combinar punto arriba".
• U+20DC ◌⃜ COMBINING FOUR DOTS ABOVE (cuarto derivativo) ← reemplazado por "combinar la diaeresis" dos veces.
• U+030D ◌̍ COMBINING VERTICAL LINE ABOVE (integral)
• U+030E ◌̎ COMBINING DOUBLE VERTICAL LINE ABOVE (segundo integral)
• U+25AD ▭ WHITE RECTANGLE (integral)
• U+20DE ◌⃞ COMBINING ENCLOSING SQUARE (integral)
• U+1DE0 ◌ᷠ COMBINING LATIN SMALL LETTER N ()nth derivative)

La notación de Newton se utiliza generalmente cuando la variable independiente denota tiempo. Si ubicación Sí. es una función tEntonces ${\displaystyle {\ dot {y}}$ denota velocidad y ${\displaystyle {\ddot {}}}$ denota aceleración. Esta notación es popular en física y física matemática. También aparece en áreas de matemáticas relacionadas con la física como ecuaciones diferenciales.

Al tomar la derivada de una variable dependiente y = f(x), existe una notación alternativa:

${\displaystyle {\fnK} {\fnh} {\fnh}}={\dot {\fn}}{\dot {\f}} {\fn} {\fn}} {\fnK}} {\fnK}}} {\fnh}} {\f}}}} {\fnK\f}}}} {\f}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\ {x}\equiv {\fnMicroc} {y}{dt}:{\frac {dx} {dt}={\frac} {\fnMicroc {} {\fnMicroc} {\fnMicroc}} {\fnMicroc}} {\f}} {\fnMicroc}}}}} {\fnMicroc}}} {\fnMicroc} {\f}}} {\f}}} {\fnMicroc}}}}} {\f} {dx} {dt}={\frac} {y} {dx}={\frac} {d}{dx}{\Bigl (}f(x){\Bigr)}=Dy=f'(x)=y'.}$

Newton desarrolló los siguientes operadores diferenciales parciales utilizando puntos laterales en una X curva (ⵋ). Las definiciones dadas por Whiteside se encuentran a continuación:

${\\fnMicrosoft Sans Serif}\f(x,y)\,\\[5pt]\cdot {\máthcal {X}\ >=\ x\frac {\f} {\c\c\c\c\cH0} {\c\c\c\c\c\c\cH00FF} {\c\c\cH00\cH00\cH00}\cH00}\cH00\c\c\cH00\cH00\cH00}\cH00\cH00\cH00}\cH00\cH00\cH00}\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00}\cH00\cH00\cH00}\cH00\cH00\cH00\cH00\cH00}\cH00}\cH00\cH00\cH00\cH00\cHFF}\c\cH00}\cH00\c x}=xf_{x}\,\[5pt]{\mathcal {X}\!\cdot \ &=\ y{\frac {\partial f}{\partial f}{\cdot\ >\cdot\ > Y}=yf_{y}\,\[5pt]\colon \!{\mathcal {X}\,{\text{ or }}\,\cdot \!\cdot {\cdot {\mathcal {X}\right)\ {\f} {\f} {\f}\f} {\f} {\f}\f}}} {\f}\f}} {\f}\f} {\f}\f}\f} {\f}\f}\f}\f}\f} ¿Qué? ¿Qué?$

Newton desarrolló muchas notaciones diferentes para la integración en su Quadratura curvarum (1704) y trabajos posteriores: escribió una pequeña barra vertical o prima sobre la variable dependiente (y̍), un rectángulo prefijador (▭y), o la inclusión del término en un rectángulo (y) para denotar la integral fluida o temporal (absement).

${\displaystyle {\begin{aligned}y limit=\ # Box {\dot {\ dot}\equiv \int {\ dot}\,dt=\int f'(t)\,dt=D_{t}{-1}(D_{t})=f(t)+C_{0}=y_{t}+C_{0}\\\{\\\\\\\\\\fnMinMicrosoft] {\,\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} Box y\equiv \int y\,dt=\int f(t)\,dt=D_{t}^{-1}y=F(t)+C_{1}\end{aligned}}$

Para denotar integrales múltiples, Newton utilizó dos pequeñas barras verticales o primos (y̎), o una combinación de los símbolos anteriores ▭y̍ y̍, para denotar la segunda integral temporal (absidad).

${\displaystyle {\overset {\fnMicrosoft Sans Serif} } {y}=\ # Box {\overset {\,\prime }{y}\equiv \int {\overset {\,\prime }{y}\,dt=\int F(t)\,dt=D_{t}{-2}y=g(t)+C_{2}}$

Las integrales de tiempo de orden superior fueron las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\f}}}} {\f}}}}}\\\\fnMicrox\fnMicrox}\f}\f}}\f}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrox\fnMicrox\fnMicrox4\fnMicrox\\\\fnMicrox\fnMicrox\fnMicrox\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrox}\\\\\\\\\\\\\\\fnMicrox\\\fnMinMicrox}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Box {\overset {\,\prime \prime }\equiv \int {\overset {\,\prime \prime }{y}\,dt=\int g(t)\,dt=D_{t}{-3}y=G(t)+C_{3}\\\{\overset {\fnMicrosoft Sans Serif} # Box {\overset {\,\prime \prime\prime }{y}\equiv \int {\overset {\,\prime \prime\prime }{y}}\,dt=\int G(t)\,dt=D_{t}{-4}y=h(t= )+C_{4}\\\{\overset {\fn} {\fn} {\fn} {\fn}} {\fn}}} {\\fn}} {\\\fn}}}}} {\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Recuadro {\siguiente {\;n-1} {\sigualdad {\fnMicrosoft Sans {\fn1} {\fn1} {\fn1} {\fn1}}\equiv \int {\fn1} {\\fn1} {\fn1} {\fn1} {\fn0}}}}}}\equiv\equiv \int {\nun}\nun}\n\nun}\nun}\nun} {\ {\fnMicrosoft Sans Serif}$

Esta notación matemática no se generalizó debido a dificultades de impresión y a la controversia del cálculo Leibniz-Newton.

Cuando se necesitan tipos de diferenciación más específicos, como en el cálculo multivariado o el análisis tensorial, se utilizan otras notaciones.

Para una función f de una única variable independiente x, podemos expresar la derivada utilizando subíndices de la variable independiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{x} {df}{dx}\[5pt]f_{xx} {d^{2}f} {dx^{2}}}}\end{aligned}}$

Este tipo de notación es especialmente útil para tomar derivadas parciales de una función de varias variables.

Las derivadas parciales se distinguen generalmente de las derivadas ordinarias reemplazando el operador diferencial d por un símbolo "∂". Por ejemplo, podemos indicar la derivada parcial de f(x, y, z) con respecto a x, pero no a y o z de varias maneras:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial ### {x}=\partial _{x}f.}$

Lo que hace importante esta distinción es que un derivado no parcial como ${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}$ podrá, dependiendo del contexto, se interprete como una tasa de cambio ${\displaystyle f}$ relativa a ${\displaystyle x}$ cuando todas las variables se permiten variar simultáneamente, mientras que con un derivado parcial como ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial #$ es explícito que sólo una variable debe variar.

Otras notaciones se pueden encontrar en varios subcampos de matemáticas, física e ingeniería; ver por ejemplo las relaciones Maxwell de la termodinámica. El símbolo ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}\right)_{\s}}$ es el derivado de la temperatura T con respecto al volumen V manteniendo constante la entropía (subscript) S, mientras ${\displaystyle \left({\frac {\partial T}{\partial V}\right)_{\!P}$ es el derivado de la temperatura con respecto al volumen manteniendo constante la presión P. Esto se hace necesario en situaciones en las que el número de variables supera los grados de libertad, de modo que uno tiene que elegir qué otras variables deben mantenerse fijas.

Las derivadas parciales de orden superior con respecto a una variable se expresan como

${\displaystyle {\begin{aligned} ################################################################################################################################################################################################################################################################$

y así sucesivamente. Las derivadas parciales mixtas se pueden expresar como

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial #$

En este último caso las variables se escriben en orden inverso entre las dos notaciones, lo que se explica a continuación:

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\f} {\f} {\f}\f_{\f},\[5pt] {\frac {\partial }{\partial y}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}}}\right)={\f}{\partial {\2}f}f} {\f}\f}}\f}}}}}}\f} {\f}\f}{\c}\c}\c}\c}\c}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c$

La llamada notación multi-índice se utiliza en situaciones en que la notación anterior se vuelve engorrosa o insuficientemente expresiva. Al considerar las funciones en ${\displaystyle \mathbb {R} {} {}} {\fn}}$, definimos un multi-índice para ser una lista ordenada de ${\displaystyle n}$ enteros no negativos: ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots\alpha _{n}),\\alpha _{i}\in \mathbb {Z} .$. Entonces definimos, para ${\displaystyle f:\mathbb {R} {\fn}\to} X.$, la notación

${\displaystyle \partial ^{\alpha }f={\frac {\partial ^{\alpha {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fn} {\fn} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}}}} {\\fn}}} {\\\fnMicrosoft}}}}}}}}} {\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} x_{n}{\alpha ¿Qué?$

De esta manera, algunos resultados (como la regla de Leibniz) que son tediosos de escribir de otras maneras se pueden expresar de manera sucinta; se pueden encontrar algunos ejemplos en el artículo sobre índices múltiples.

El cálculo vectorial se ocupa de la diferenciación e integración de campos vectoriales o escalares. Son comunes varias notaciones específicas para el caso del espacio euclidiano tridimensional.

Supongamos que ()x, Sí., z) es un sistema de coordenadas cartesiano dado, que A es un campo vectorial con componentes ${\displaystyle \mathbf {A} =(\mathbf {A} _{x},\mathbf {A} _{y},\mathbf {A} _{z}}$, y eso ${\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)}$ es un campo de escalar.

El operador diferencial introducido por William Rowan Hamilton, escrito ∇ y llamado del o nabla, se define simbólicamente en forma de vector,

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}}},{\frac {\partial }{\partial z}\right)\!, }$

donde la terminología simbólicamente refleja que el operador ∇ también será tratado como un vector ordinario.

• Gradiente: El gradiente ${\displaystyle \mathrm {grad\,} \varphi }$ del campo de escalar ${\displaystyle \varphi }$ es un vector, que se expresa simbólicamente por la multiplicación de ciernes y campo escalar ${\displaystyle \varphi }$,

${\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}$

• Divergence: La divergencia ${\displaystyle \mathrm {div}\mathbf {A}$ el campo vectorial A es un escalar, que se expresa simbólicamente por el producto de punto de restablecimiento y el vector A,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\f}\f} {\f} {\f}\f}\f}\f} {\f}\cH00}\cH00}\c\cH0}\c\cH00}\cH0}\cH0}\cH00}\cH00} {\cH00}\c\cH00}\cH00}\cH00}\cH00} {A} \\\fnbla \cdot \mathbf {A} \end{aligned}}$

• LaplacianEl Laplacian ${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi }$ del campo de escalar ${\displaystyle \varphi }$ es un escalar, que se expresa simbólicamente por la multiplicación del escalar de restablecimiento² y el campo de escalar φ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} \operatorname {grad} \varphi &=\nabla \cdot (\nabla \varphi)\\\\nabla \cdot \nabla)\varphi \\fnbla=\nabla ^{2}\varfi\\\\\cH00=\Delta \varphi \\end{aligned}}$

• Rotación: La rotación ${\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A}$o ${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A}$, del campo vectorial A es un vector, que se expresa simbólicamente por el producto cruzado de ciernes y el vector A,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\cHFF} {\cHFF} {\cHFF} {\cHFF} {\cHFF} {\cHFF}} {\c\c\cH}}} {\c\cHFF} {\cHFF}} {\cHFF} {\c\cHFF} {\c}}}\c\cHFF}} {\b}}}\c\cH}}}}}}}\c\c\c\c\c\cH}}}}}}}}}}\c\c\c\c\c\c\c\cH}}}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c}}}}}}}\c\c\c\c}}}}\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c\c}}}}}}}}}}}\c\c\c\c\c\c\c}}\c}}}}}}}\cH A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)\\\\ cl=\left A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}\right)\mathbf {i} +\left({\partial z}\right)\mathbf {i} +\left({\partial z} A_{x} \over {\partial z}-{\partial A_{z} \over {\partial x}\right)\mathbf {j} +\left({\partial x}\right) A_{y} \over {\partial x}-{\partial A_{x} \over {\partial y}\right)\mathbf {k} {\fnMicrosoft} # {\frac {\partial }{\partial x} {\partial }{\partial } {\cfrac {\partial }{\partial {\fnMicrosoft Sans Serif}\\\\fnMicrosoft Sans Serif}\\\\\\\\\\\\\s\s\cH00\\\\fnMicrosoft Sans {A} \end{aligned}}$

Muchas operaciones simbólicas de derivadas pueden generalizarse de manera directa mediante el operador de gradiente en coordenadas cartesianas. Por ejemplo, la regla del producto de una variable tiene un análogo directo en la multiplicación de campos escalares mediante la aplicación del operador de gradiente, como en

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'~~\Longrightarrow ~~~\nabla (\phi \psi)=(\nabla \phi)\psi +\phi (\nabla \psi). }$

Muchas otras reglas del cálculo de una variable tienen análogos del cálculo vectorial para el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano.

Se han desarrollado más notaciones para más tipos exóticos de espacios. Para los cálculos en el espacio de Minkowski, el operador d'Alembert, también llamado d'Alembertian, operador de onda o operador de caja está representado como ${\displaystyle \Box}$, o como ${\displaystyle \Delta }$ cuando no en conflicto con el símbolo para el Laplaciano.

• Sociedad Analítica – grupo británico del siglo XIX que promovió el uso del cálculo de Leibniziano o analítico, en oposición al cálculo neotonianoPáginas que muestran descripciones de wikidata como retroceso
• Derivativo – Tasa instantánea de cambio (matemáticas)
• Fluxión – Concepto matemático histórico; forma de derivación
• Matriz hesiana – Matriz de segundos derivados
• Matriz jacobalí – Matriz de todos los derivados parciales de primera orden de una función de valor vectorialPáginas que muestran descripciones cortas de objetivos redireccionados
• Lista de símbolos matemáticos por tema
• Cálculo operacional

• Usos más tempranos de símbolos de cálculo, mantenido por Jeff Miller (Arquivado 2020-07-26 en la máquina Wayback).