Notación gráfica de Penrose

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Notación gráfica para cálculos de álgebra multilineal
Notación gráfica penosa (notación de diagrama de granos) de un estado de producto de matriz de cinco partículas

En matemáticas y física, la notación gráfica de Penrose o la notación de diagrama tensor es una representación visual (generalmente escrita a mano) de funciones multilineales o tensores propuestos por Roger Penrose en 1971. El diagrama en la notación consta de varias formas unidas entre sí por líneas.


La notación aparece ampliamente en la teoría cuántica moderna, particularmente en estados de productos matriciales y circuitos cuánticos. En particular, la mecánica cuántica categórica, que incluye el cálculo ZX, es una reformulación completamente integral de la teoría cuántica en términos de diagramas de Penrose y ahora se usa ampliamente en la industria cuántica.

La notación ha sido estudiada extensamente por Predrag Cvitanović, quien la utilizó, junto con los diagramas de Feynman y otras notaciones relacionadas, para desarrollar "birdtracks", un diagrama teórico de grupo para clasificar la mentira clásica. grupos. La notación de Penrose también se ha generalizado utilizando la teoría de la representación para hacer girar redes en física y con la presencia de grupos de matrices para trazar diagramas en álgebra lineal.

Interpretaciones

Álgebra multilineal

En el lenguaje del álgebra multilineal, cada forma representa una función multilineal. Las líneas unidas a las formas representan las entradas o salidas de una función, y unir formas de alguna manera es esencialmente la composición de funciones.

Tensores

En el lenguaje del álgebra tensorial, un tensor particular está asociado con una forma particular con muchas líneas que se proyectan hacia arriba y hacia abajo, correspondientes a índices abstractos superiores e inferiores de los tensores, respectivamente. Las líneas de conexión entre dos formas corresponden a la contracción de los índices. Una ventaja de esta notación es que no es necesario inventar nuevas letras para nuevos índices. Esta notación también es explícitamente independiente de las bases.

Matrices

Cada forma representa una matriz, y la multiplicación de tensores se realiza horizontalmente y la multiplicación de matrices se realiza verticalmente.

Representación de tensores especiales

Tensor métrico

El tensor métrico está representado por un bucle en forma de U o un bucle en forma de U invertida, dependiendo del tipo de tensor que se utilice.

métrica tensor gab{displaystyle g^{ab}
métrica tensor gab{displaystyle g_{ab}

Tensor de Levi-Civita

El tensor antisimétrico de Levi-Civita está representado por una gruesa barra horizontal con palos apuntando hacia abajo o hacia arriba, dependiendo del tipo de tensor que se utilice.

ε ε ab... ... n{displaystyle varepsilon _{abldots No.
ε ε ab... ... n{displaystyle varepsilon ^{abldots No.
ε ε ab... ... nε ε ab... ... n{displaystyle varepsilon _{abldots ', 'varepsilon ^{abldots No.=n!{displaystyle =n!}

Constante de estructura

estructura constante γ γ α α β β χ χ =− − γ γ β β α α χ χ {displaystyle {gamma _{alpha beta . }=-{gamma _{beta alpha }{chi }

Las constantes de estructura (γ γ abc{displaystyle {gamma _{ab}} {c}}) de un álgebra Lie están representados por un pequeño triángulo con una línea apuntando hacia arriba y dos líneas apuntando hacia abajo.

Operaciones tensoriales

Contracción de índices

La contracción de los índices se representa uniendo las líneas del índice.

Kronecker delta δ δ ba{displaystyle delta _{b}{a}}
Producto de punto β β a. . a{displaystyle beta _{a}xi ^{a}
gabgbc=δ δ ac=gcbgba{displaystyle g_{ab}g}=delta ¿Por qué?

Simetrización

La simetrización de los índices está representada por una barra gruesa en zig-zag o ondulada que cruza las líneas de índice horizontalmente.

Symmetrization
Q()ab... ... n){displaystyle Q^{(abldots n)}
(con Qab=Q[ab]+Q()ab){displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif})

Antisimetrización

La antisimetrización de los índices está representada por una línea recta gruesa que cruza las líneas del índice horizontalmente.

Antisymmetrization
E[ab... ... n]{displaystyle E_{[abldots n]}
(con Eab=E[ab]+E()ab){displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif}})

Determinante

El determinante se forma aplicando antisimetrización a los índices.

Determinante DetT=Det()T ba){displaystyle det mathbf {T} =det left(T_{ b}^{a}right)}
Inverso de matriz T− − 1=()T ba)− − 1{displaystyle mathbf {T} {fn}=left(T_{ b}{a}right)}{-1}

Derivada Covariante

(feminine)

El derivado covariante (Silencio Silencio {displaystyle nabla }) está representado por un círculo alrededor del tensor(s) para ser diferenciado y una línea unida del círculo apuntando hacia abajo para representar el índice inferior del derivado.

covariante derivados 12Silencio Silencio a(). . fλ λ fb[c()dDgh]e)b){displaystyle 12nabla _{a}left(xi ^{f},lambda _{fb[c}^{(d},D_{gh]b}right)} =12(). . f()Silencio Silencio aλ λ fb[c()d)Dgh]e)b+()Silencio Silencio a. . f)λ λ fb[c()dDgh]e)b+. . fλ λ fb[c()d()Silencio Silencio aDgh]e)b)){fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f} {f}f}f}c}c}f}c}ccH00}cH00}cH00}cH00}b} {cH00}ccH00}cH00cH00} {b}}}cH00}}cH00}}cH00}}}cH00}cccH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}ccH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}}}cH00}

Manipulación de tensores

La notación esquemática es útil para manipular el álgebra tensorial. Por lo general, implica unas pocas "identidades" de manipulaciones tensoriales.

Por ejemplo, ε ε a...cε ε a...c=n!{displaystyle varepsilon Varepsilon., donde n es el número de dimensiones, es una "identidad común".

Tensor de curvatura de Riemann

Las identidades de Ricci y Bianchi dadas en términos del tensor de curvatura de Riemann ilustran el poder de la notación

Notación para el tensor de curvatura Riemann
Ricci tensor Rab=Racb c{displaystyle ¿Qué?
Identidad de Ricci ()Silencio Silencio aSilencio Silencio b− − Silencio Silencio bSilencio Silencio a). . d{fnMicrosoft _{a},nabla _{b}-nabla _{b},nabla _{a}),mathbf {xi }=Rabc d. . c{displaystyle =R_{abc}{d},mathbf {xi } ^{c}
Bianchi identity Silencio Silencio [aRbc]d e=0{displaystyle nabla _{[a}R_{bc]d}{\\ e}=0}

Extensiones

La notación se ha ampliado con soporte para espinores y tornadores.

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