Notación de Schoenflies

La notación Schoenflies (o Schönflies), que lleva el nombre del matemático alemán Arthur Moritz Schoenflies, es una notación que se utiliza principalmente para especificar grupos de puntos. en tres dimensiones. Debido a que un grupo de puntos por sí solo es completamente adecuado para describir la simetría de una molécula, la notación suele ser suficiente y se usa comúnmente para espectroscopia. Sin embargo, en cristalografía, existe una simetría traslacional adicional y los grupos de puntos no son suficientes para describir la simetría completa de los cristales, por lo que generalmente se usa el grupo espacial completo. La denominación de grupos de espacio completo suele seguir otra convención común, la notación de Hermann-Mauguin, también conocida como notación internacional.

Aunque la notación de Schoenflies sin superíndices es una notación pura de grupos de puntos, opcionalmente se pueden agregar superíndices para especificar aún más los grupos espaciales individuales. Sin embargo, para los grupos espaciales, la conexión con los elementos de simetría subyacentes es mucho más clara en la notación de Hermann-Mauguin, por lo que suele preferirse esta última notación para los grupos espaciales.

Elementos de simetría

Los elementos de simetría se denotan por i para centros de inversión, C para ejes de rotación adecuados, σ para planos especulares y S para ejes de rotación inadecuados (ejes de rotación-reflexión). C y S suelen ir seguidos de un número de subíndice (denotado de manera abstracta n) que indica el orden de rotación posible.

Por convención, el eje de rotación propia de mayor orden se define como el eje principal. Todos los demás elementos de simetría se describen en relación con él. Un plano especular vertical (que contiene el eje principal) se denota σ_v; un plano especular horizontal (perpendicular al eje principal) se denota σ_h.

Grupos de puntos

En tres dimensiones, hay un número infinito de grupos de puntos, pero todos ellos pueden clasificarse en varias familias.

• C_n (para cíclico) tiene un n- eje de rotación múltiple.
  • C_nh es C_n con la adición de un espejo (reflexión) plano perpendicular al eje de rotación (plano horizontal).
  • C_nv es C_n con la adición de n planos espejo que contienen el eje de rotación (planos verticales).
• C_s denota un grupo con sólo plano espejo (para Spiegel, alemán para espejo) y ningún otro elemento de simetría.
• S_n (por Spiegel, alemán para espejo) contiene sólo un n- eje de reflexión de rotación. El índice, n, debe ser incluso porque cuando es extraño n- eje de rotación-reflexión múltiple es equivalente a una combinación de un n- eje de rotación y un plano perpendicular, por lo tanto S_n = C_nh por extraño n.
• C_ni sólo tiene un eje de rotoinversión. Esta notación raramente se utiliza porque cualquier eje de rotoinversión se puede expresar en su lugar como eje de rotación-reflexión: Para extraño n, C_ni = S_2n y C_2ni = S_n = C_nh, y para incluso n, C_2ni = S_2n. Sólo la notación C_i (que significa) C_1i) se utiliza comúnmente, y algunas fuentes escriben C_3i, C_5i etc.
• D_n (por dihedral, o dos caras) tiene un n- eje de rotación múltiple más n dos ejes perpendiculares a ese eje.
  • D_nh tiene, además, un plano de espejo horizontal y, como consecuencia, también n planos de espejo vertical cada uno conteniendo n- eje y uno de los ejes dobles.
  • D_nd ha, además de los elementos D_n, n planos de espejo vertical que pasan entre ejes dobles (aviones diagonales).
• T (el grupo quiral de tetraedral) tiene los ejes de rotación de un tetraedro (tres ejes dobles y cuatro ejes triples).
  • T_d incluye planos de espejo diagonal (cada plano diagonal contiene sólo un eje doble y pasa entre otros dos ejes dobles, como en D_2d). Esta adición de aviones diagonales resulta en tres operaciones de rotación inadecuadas S₄.
  • T_h incluye tres planos de espejo horizontal. Cada plano contiene dos ejes dobles y es perpendicular al tercer eje doble, que resulta en el centro de inversión i.
• O (el grupo de octaedral quiral) tiene los ejes de rotación de un octaedro o cubo (tres ejes 4 veces, cuatro ejes 3 veces, y seis ejes diagonales 2 veces).
  • O_h incluye planos de espejo horizontal y, como consecuencia, planos de espejo vertical. También contiene centro de inversión y operaciones de rotación inadecuadas.
• I (el grupo icosahedral chiral) indica que el grupo tiene los ejes de rotación de un icosahedro o dodecaedro (seis ejes 5 veces, diez ejes 3 veces y 15 ejes 2 veces).
  • I_h incluye planos de espejo horizontal y contiene también centro de inversión y operaciones de rotación inadecuadas.

Todos los grupos que no contienen más de un eje de orden superior (orden 3 o más) se pueden organizar como se muestra en la siguiente tabla; Los símbolos en rojo rara vez se utilizan.

En cristalografía, debido al teorema de restricción cristalográfica, n está restringido a los valores de 1, 2, 3, 4 o 6. Los grupos no cristalográficos se muestran con fondos grises. D_4d y D_6d también están prohibidos porque contienen rotaciones inadecuadas con n = 8 y 12 respectivamente. Los 27 grupos de puntos de la tabla más T, T_d, T_h , O y O_h constituyen 32 grupos de puntos cristalográficos.

Los grupos con n = ∞ se denominan grupos límite o grupos de Curie. Hay dos grupos de límites más, que no figuran en la tabla: K (para Kugel, bola en alemán, esfera), el grupo de todas las rotaciones en el espacio tridimensional; y K_h, el grupo de todas las rotaciones y reflexiones. En matemáticas y física teórica se les conoce respectivamente como grupo ortogonal especial y grupo ortogonal en el espacio tridimensional, con los símbolos SO(3) y O(3). .

Grupos espaciales

Los grupos espaciales con un grupo de puntos dado están numerados por 1, 2, 3,... (en el mismo orden que su número internacional) y este número se añade como superíndice al símbolo de Schönflies para el grupo de puntos correspondiente. Por ejemplo, los grupos números del 3 al 5 cuyo grupo de puntos es C₂ tienen símbolos de Schönflies C¹
>₂, C²
₂ , C³
₂.

Mientras que en el caso de grupos de puntos, el símbolo de Schönflies define los elementos de simetría del grupo sin ambigüedades, el superíndice adicional para el grupo espacial no tiene ninguna información sobre la simetría traslacional del grupo espacial (centrado de la red, componentes traslacionales de ejes y planos). ), por lo que es necesario consultar tablas especiales que contienen información sobre la correspondencia entre la notación de Schönflies y Hermann-Mauguin. Dicha tabla se proporciona en la página Lista de grupos espaciales.