Notación de Leibniz

En cálculo, la notación de Leibniz, llamada así en honor al filósofo y matemático alemán del siglo XVII Gottfried Wilhelm Leibniz, utiliza los símbolos dx y dy para representar incrementos infinitamente pequeños (o infinitesimales) de x y y, respectivamente, al igual que Δx y Δy representan incrementos finitos de x y y, respectivamente.

Considere y como una función de una variable x, o y = f(x). Si este es el caso, entonces la derivada de y con respecto a x, que más tarde llegó a ser visto como el límite

limΔ Δ x→ → 0Δ Δ Sí.Δ Δ x=limΔ Δ x→ → 0f()x+Δ Δ x)− − f()x)Δ Δ x,{displaystyle lim _{Delta xrightarrow 0}{frac {Delta Sí. Delta x}=lim _{Delta xrightarrow 0}{frac {f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}}}}}

was, according to Leibniz, the quotient of an infinitesimal increment of y by an infinitesimal increment of x, or

dSí.dx=f.()x),{displaystyle {frac {y}=f'(x),}

donde el lado derecho es la notación de Joseph-Louis Lagrange para la derivada de f en x. Los incrementos infinitesimales se llaman diferenciales. Relacionada con esto está la integral en la que se suman los incrementos infinitesimales (por ejemplo, para calcular longitudes, áreas y volúmenes como sumas de piezas diminutas), para la cual Leibniz también proporcionó una notación estrechamente relacionada que involucra los mismos diferenciales, una notación cuya eficiencia resultó decisiva en El desarrollo de las matemáticas en Europa continental.

El concepto de infinitesimales de Leibniz, considerado durante mucho tiempo demasiado impreciso para ser utilizado como base del cálculo, finalmente fue reemplazado por conceptos rigurosos desarrollados por Weierstrass y otros en el siglo XIX. En consecuencia, la notación del cociente de Leibniz fue reinterpretada para representar el límite de la definición moderna. Sin embargo, en muchos casos, el símbolo parecía actuar como lo haría un cociente real y su utilidad lo mantuvo popular incluso frente a varias notaciones en competencia. En el siglo XX se desarrollaron varios formalismos diferentes que pueden dar un significado riguroso a las nociones de infinitesimales y desplazamientos infinitesimales, incluido el análisis no estándar, el espacio tangente, la notación O y otros.

Las derivadas e integrales del cálculo se pueden agrupar en la teoría moderna de formas diferenciales, en la que la derivada es genuinamente una razón de dos diferenciales, y la integral también se comporta exactamente de acuerdo con la notación de Leibniz. Sin embargo, esto requiere que la derivada y la integral se definan primero por otros medios y, como tales, expresa la autoconsistencia y la eficacia computacional de la notación de Leibniz en lugar de darle una nueva base.

Historia

El enfoque Newton-Leibniz del cálculo infinitesimal fue introducido en el siglo XVII. Mientras Newton trabajaba con fluxions y fluents, Leibniz basó su enfoque en generalizaciones de sumas y diferencias. Leibniz fue el primero en utilizar el ∫ ∫ {displaystyle textstyle int} carácter. Basó el personaje en la palabra latina summa ("sum"), que escribió summa con el alargado s comúnmente utilizado en Alemania en el momento. Ver las diferencias como el funcionamiento inverso de la suma, usó el símbolo d, la primera carta del latín diferencia, para indicar esta operación inversa. Leibniz fue fastidioso por la notación, habiendo pasado años experimentando, ajustando, rechazando y correspondiendo con otros matemáticos sobre ellos. Notas que utilizó para el diferencial de Sí. abarcado sucesivamente desde ⋅, l, y Sí./d hasta que finalmente se estableció dy. Su signo integral apareció públicamente en el artículo "De Geometria Recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum" ("Sobre una geometría oculta y análisis de indivisibles e infinitos"), publicado en Acta Eruditorum en junio de 1686, pero lo había estado usando en manuscritos privados al menos desde 1675. Leibniz primero utilizado dx en el artículo "Nova Methodus pro Maximis et Minimis"también publicado en Acta Eruditorum en 1684. Mientras que el símbolo dx/dy aparece en manuscritos privados de 1675, no aparece en esta forma en ninguna de las obras publicadas antes mencionadas. Leibniz hizo, sin embargo, uso de formas como dy ad dx y dy: dx en impresión.

A finales del siglo XIX, los seguidores de Weierstrass dejaron de tomar literalmente la notación de Leibniz para derivadas e integrales. Es decir, los matemáticos sintieron que el concepto de infinitesimales contenía contradicciones lógicas en su desarrollo. Varios matemáticos del siglo XIX (Weierstrass y otros) encontraron formas lógicamente rigurosas de tratar derivadas e integrales sin infinitesimales utilizando límites como se muestra arriba, mientras que Cauchy explotó tanto los infinitesimales como los límites (ver Cours d'Analyse). No obstante, la notación de Leibniz todavía se utiliza de forma generalizada. Aunque no es necesario tomar la notación literalmente, suele ser más sencilla que las alternativas cuando se utiliza la técnica de separación de variables en la solución de ecuaciones diferenciales. En aplicaciones físicas, se puede, por ejemplo, considerar f(x) medido en metros por segundo y dx en segundos, de modo que f(x) dx está en metros, al igual que el valor de su integral definida. De ese modo, la notación de Leibniz está en armonía con el análisis dimensional.

Leibniz 's notation for differentiation

Supongamos que una variable dependiente y representa una función f de una variable independiente x, es decir,

Sí.=f()x).{displaystyle y=f(x).}

Then the derivative of the function <if, in Leibniz 's notation for differentiation, can be written as

dSí.dxoddxSí.od()f()x))dx.{fnMicrosoft {fnMicrosoft},{text{ or }{frac {} {f}}y,{text{ or }}}{frac {bigl (}f(x){bigr)}}}} {dx}}}}}}}} {f}}}} {f}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}} {

La expresión de Leibniz, también escrita a veces dy/dx, es una de las varias notaciones utilizadas para derivadas y funciones derivadas. Una alternativa común es la notación de Lagrange.

dSí.dx=Sí..=f.()x).{displaystyle {frac {y},=y'=f'(x).}

Otra alternativa es la notación de Newton, utilizada a menudo para derivadas con respecto al tiempo (como la velocidad), que requiere colocar un punto sobre la variable dependiente (en este caso, x):

dxdt=xÍ Í .{displaystyle {frac {dx}{dt}={dot {x}}

La "principal" La notación es especialmente útil en discusiones sobre funciones derivadas y tiene la ventaja de tener una forma natural de denotar el valor de la función derivada en un valor específico. Sin embargo, la notación de Leibniz tiene otras virtudes que la han mantenido popular a través de los años.

En su interpretación moderna, la expresión dy/dx no debe leerse como la división de dos cantidades dx y dy (como lo había imaginado Leibniz); más bien, toda la expresión debe verse como un símbolo único que es una abreviatura de

limΔ Δ x→ → 0Δ Δ Sí.Δ Δ x{displaystyle lim _{Delta xto 0}{frac {Delta y}{Delta x}}}

(note Δ vs. d, where Δ indicates a finite difference).

La expresión también puede considerarse como la aplicación del operador diferencial d/dx (nuevamente, un solo símbolo) a y, considerado como una función de x. Este operador se escribe D en la notación de Euler. Leibniz no utilizó esta forma, pero su uso del símbolo d corresponde bastante estrechamente a este concepto moderno.

Si bien tradicionalmente no hay división implícita en la notación (pero consulte Análisis no estándar), la notación tipo división es útil ya que en muchas situaciones, el operador de derivada se comporta como una división, lo que hace que algunos resultados sobre las derivadas sean fáciles de obtener y recordar. Esta notación debe su longevidad al hecho de que parece llegar al corazón mismo de las aplicaciones geométricas y mecánicas del cálculo.

Notación de Leibniz para derivadas superiores

Si y = f(x), el nésima derivada de f en notación de Leibniz es dada por,

f()n)()x)=dnSí.dxn.{displaystyle f^{(n)}(x)={frac {d^{n}{dx^{n}}}}

Esta notación, para la segunda derivada, se obtiene usando d/dx como operador de la siguiente manera,

d2Sí.dx2=ddx()dSí.dx).{fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc}fnMicroc {fnMicroc}m} {fnMicroc} {fnMicroc}}derecho).}

Una tercera derivada, que podría escribirse como,

d()d()dSí.dx)dx)dx,{displaystyle {frac {fnMicroc {fnMicroc {fnMicroc {f}}derecho)}}derecho)}} {dx},},}}fnMicroc} {fnMicroc}} {f}}}}fnMicroc} {f}}}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnfnMicrob}f}fnfnfnMinfnfnfnfnfnfnMicrocfnMicroc}fnMinMicrocfnMicroc}}}fn

se puede obtener de

d3Sí.dx3=ddx()d2Sí.dx2)=ddx()ddx()dSí.dx)).{fnMicroc {fnK} {fnMicroc {fnMicroc}fnMicroc {f}f}fnMicroc} {fnMicrosoft Sans Serif} {dx}left({frac} {d} {dx}left({frac {y} {dx}right)right).}

De manera similar, las derivadas superiores se pueden obtener de forma inductiva.

Si bien es posible, con definiciones cuidadosamente elegidas, interpretar dy/dx como cociente de diferenciales, esto no debe hacerse con las formas de orden superior. Sin embargo, una notación alternativa de Leibniz para derivadas de orden superior lo permite.

Esta notación, sin embargo, no fue utilizada por Leibniz. En sus impresiones no utilizó notación de varios niveles ni exponentes numéricos (antes de 1695). Para escribir x³, por ejemplo, escribiría xxx, como era común en su época. El cuadrado de un diferencial, tal como podría aparecer en una fórmula de longitud de arco, por ejemplo, se escribió como dxdx. Sin embargo, Leibniz usó su notación d como usaríamos hoy los operadores, es decir, escribiría una segunda derivada como ddy y una tercera derivada como dddy. En 1695 Leibniz comenzó a escribir d²⋅x y d³⋅x para ddx y dddx respectivamente, pero l'Hôpital, en su libro de texto sobre cálculo escrito aproximadamente al mismo tiempo, utilizó las formas originales de Leibniz.

Uso en varias fórmulas

Una de las razones por las que las notaciones de Leibniz en cálculo han perdurado tanto tiempo es que permiten recordar fácilmente las fórmulas apropiadas utilizadas para la diferenciación y la integración. Por ejemplo, la regla de la cadena: supongamos que la función g es diferenciable en x y y = f(u) es diferenciable en u = g(x). Entonces la función compuesta y = f(g(x)) es diferenciable en x y su derivada se puede expresar en notación de Leibniz como,

dSí.dx=dSí.du⋅ ⋅ dudx.{displaystyle {frac {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fn}}} {fnMicrosoft}}}}} {fnMicroc}}}} {fnMicroc} {y} {du}cdot {fnMic {} {fnK}}}

Esto se puede generalizar para tratar con los compuestos de varias funciones relacionadas y definidas apropiadamente, u₁, u₂,..., u_n y se expresaría como,

dSí.dx=dSí.du1⋅ ⋅ du1du2⋅ ⋅ du2du3⋯ ⋯ dundx.{displaystyle {frac {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fn}}} {fnMicrosoft}}}}} {fnMicroc}}}} {fnMicroc} {} {fn}}cdot {fnMicroc {fnK} {fnMicroc}} {cdot}}} {cdot}} {cdot}}}} {cdot}}} {cdot}} {cdot}}} {cdot}} {cdot} {cdot}} {cdot}} {cdot} {cdot}}} {cdot}}}}} {cdot} {cdot}} {cdot}}} {cdot} {cdot}}}} {cdot}}}}}}} {cdot} {cdot} {cdot}}} {cdot}} {cdot}} {cdot} {cdot}}} {cdot}} {cdot}} {cdot}}}}}} {cdot}}}} {cdot} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif}}cdotas {fnMicroc {fn} {fn}} {fnMicroc {fn} {fn} {fn}} {fn}}}} {fnMicroc {fn}} {fnfn}} {fnMicroc {fn}} {fnMicroc {fn}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}

Además, la fórmula de integración por sustitución puede expresarse como

∫ ∫ Sí.dx=∫ ∫ Sí.dxdudu,{displaystyle int y,dx=int y{frac {dx}{du},du,}

donde x se considera una función de una nueva variable u y la función y de la izquierda se expresa en términos de x mientras que a la derecha se expresa en términos de tú.

Si y = f(x) donde f es una función diferenciable que es invertible, la derivada de la función inversa, si existe, puede estar dada por,

dxdSí.=1()dSí.dx),{displaystyle {frac {dx} {frac}{frac {1}{left({frac {y}{dx}}}}}}}}}}

donde se agregan los paréntesis para enfatizar el hecho de que la derivada no es una fracción.

Sin embargo, al resolver ecuaciones diferenciales, es fácil pensar en las dys y dxs como separables. Uno de los tipos más simples de ecuaciones diferenciales es

M()x)+N()Sí.)dSí.dx=0,{displaystyle M(x)+N(y){frac {y} {dx}=0,}

donde M y N son funciones continuas. Se puede resolver (implícitamente) dicha ecuación examinando la ecuación en su forma diferencial,

M()x)dx+N()Sí.)dSí.=0{displaystyle M(x)dx+N(y)dy=0}

e integrando para obtener

∫ ∫ M()x)dx+∫ ∫ N()Sí.)dSí.=C.{displaystyle int M(x),dx+int N(y),dy=C}

Reescribir, cuando sea posible, una ecuación diferencial en esta forma y aplicar el argumento anterior se conoce como técnica de separación de variables para resolver tales ecuaciones.

In each of these instances the Leibniz notation for a derivative appears to act like a fraction, even though, in its modern interpretation, it is 't one.

Justificación moderna de los infinitesimales

En la década de 1960, basándose en trabajos anteriores de Edwin Hewitt y Jerzy Łoś, Abraham Robinson desarrolló explicaciones matemáticas para los infinitesimales de Leibniz que eran aceptables según los estándares de rigor contemporáneos, y desarrolló análisis no estándar basados en estas ideas. Los métodos de Robinson son utilizados sólo por una minoría de matemáticos. Jerome Keisler escribió un libro de texto de cálculo para primer año, Cálculo elemental: un enfoque infinitesimal, basado en el enfoque de Robinson.

Desde el punto de vista de la teoría infinitesimal moderna, Δx es un x-incremento, Δy es el y correspondiente -incremento, y la derivada es la parte estándar de la razón infinitesimal:

f.()x)=st()Δ Δ Sí.Δ Δ x){displaystyle f'(x)={rm {st}{ Bigg (){frac {Delta y} {Bigg}}}}}.

Entonces uno se pone dx=Δ Δ x{displaystyle dx=Delta x}, dSí.=f.()x)dx{displaystyle dy=f'(x)dx}, así que por definición, f.()x){displaystyle f'(x)} es la relación de dy por dx.

De manera similar, aunque la mayoría de los matemáticos ahora ven una integral

∫ ∫ f()x)dx{displaystyle int f(x),dx}

como límite

limΔ Δ x→ → 0.. if()xi)Δ Δ x,{displaystyle lim _{Delta xrightarrow 0}sum _{i}f(x_{i}),Delta x,}

donde Δx es un intervalo que contiene x_i, Leibniz lo vio como la suma (el signo integral que para él denotaba suma) de infinitas cantidades infinitesimales f(x) dx. Desde el punto de vista del análisis no estándar, es correcto ver la integral como la parte estándar de dicha suma infinita.

La compensación necesaria para obtener la precisión de estos conceptos es que el conjunto de números reales debe extenderse al conjunto de números hiperreales.

Otras notaciones de Leibniz

Leibniz experimentó con muchas notaciones diferentes en diversas áreas de las matemáticas. En su opinión, una buena notación era fundamental en el estudio de las matemáticas. En una carta a l'Hôpital de 1693 dice:

Uno de los secretos del análisis consiste en la característica, es decir, en el arte del empleo esquivo de los signos disponibles, y usted observará, Señor, por el pequeño recinto [sobre determinantes] que Vieta y Descartes no han conocido todos los misterios.

Con el tiempo, perfeccionó sus criterios para una buena notación y se dio cuenta del valor de "adoptar simbolismos que pudieran establecerse en una línea como el tipo de letra ordinario, sin la necesidad de ampliar los espacios entre líneas para dejar espacio para símbolos con partes extensas." Por ejemplo, en sus primeros trabajos utilizó mucho un vinculum para indicar agrupaciones de símbolos, pero luego introdujo la idea de usar pares de paréntesis para este propósito, apaciguando así a los tipógrafos que ya no tenían que ampliar los espacios entre líneas en una página. y hacer que las páginas parezcan más atractivas.

Muchos de los más de 200 nuevos símbolos introducidos por Leibniz todavía se utilizan en la actualidad. Además de los diferenciales dx, dy y el signo integral (∫) ya mencionado, también introdujo los dos puntos (:) para la división, el punto medio (⋅) para la multiplicación, los signos geométricos para similar (~) y congruencia (≅), el uso de Recorde& #39;signo igual (=) para proporciones (que reemplaza la notación :: de Oughtred) y la notación de doble sufijo para determinantes.