Notación de flecha hacia arriba de Knuth

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Método de notación de enteros muy grandes

En matemáticas, la notación de flecha hacia arriba de Knuth es un método de notación para números enteros muy grandes, introducido por Donald Knuth en 1976.

En su papel de 1947, R. L. Goodstein introdujo la secuencia específica de operaciones que ahora se llaman hiperoperaciones. Goodstein también sugirió los nombres griegos tetración, pentación, etc., para las operaciones extendidas más allá de la exponenciación. La secuencia comienza con una operación siniestra (la función sucesora con n = 0), y continúa con las operaciones binarias de adición (n = 1), multiplicación (n = 2), exponentiación (n = 3), tetración (n 4), pentación (n = 5), etc. Se han utilizado varias notaciones para representar hiperoperaciones. Una de esas notaciones es $H_{n}(a,b)$ . Notación de Knuth. $uparrow$ es una notación alternativa. Se obtiene reemplazando $[n]$ entre corchetes por $n-2$ flechas. Por ejemplo:

la flecha única $uparrow$ representa la exponentiación (multiplicación certificada) ${displaystyle 2uparrow 4=H_{3}(2,4)=2times (2times (2times 2))=2^{4}=16}$
la flecha doble $uparrow uparrow$ representa la tetración (explicación certificada) ${displaystyle 2uparrow uparrow 4=2[4]4=2uparrow (2uparrow (2uparrow 2))=2^{2^{2^{2}}}=2^{16}=65,536}$
la flecha triple ${displaystyle uparrow uparrow uparrow }$ representa la pentación (tetración certificada) ${displaystyle {begin{aligned}2uparrow uparrow uparrow 4=H_{5}(2,4)=2uparrow uparrow (2uparrow uparrow (2uparrow uparrow 2))\&=2uparrow uparrow (2uparrow uparrow (2uparrow 2))\&=2uparrow uparrow (2uparrow uparrow 4)\&=underbrace {2uparrow (2uparrow (2uparrow dots))} ;=;underbrace {;2^{2^{cdots ^{2}}}} \&;;;;;2uparrow uparrow 4{mbox{ copies of }}2;;;;;{mbox{65,536 2s}}\end{aligned}}}$

La definición general de la notación estrecha es la siguiente (para ${displaystyle ageq 0,ngeq 1,bgeq 0}$ ):

{displaystyle auparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b}

uparrow ^{n}

{displaystyle 2uparrow uparrow uparrow uparrow 3=2uparrow ^{4}3.}

Introducción

Las hiperoperaciones naturalmente extienden las operaciones aritméticas de suma y multiplicación de la siguiente manera. La suma por un número natural se define como incremento iterado:

{displaystyle {begin{matrix}H_{1}(a,b)=a+b=&a+underbrace {1+1+dots +1} \&b{mbox{ copies of }}1end{matrix}}}

La multiplicación por un número natural se define como suma iterada:

{displaystyle {begin{matrix}H_{2}(a,b)=atimes b=&underbrace {a+a+dots +a} \&b{mbox{ copies of }}aend{matrix}}}

Por ejemplo,

{displaystyle {begin{matrix}4times 3&=&underbrace {4+4+4} &=&12\&&3{mbox{ copies of }}4end{matrix}}}

Exposición para un poder natural $b$ se define como la multiplicación iterada, que Knuth denotó por un solo gorrión:

{displaystyle {begin{matrix}auparrow b=H_{3}(a,b)=a^{b}=&underbrace {atimes atimes dots times a} \&b{mbox{ copies of }}aend{matrix}}}

Por ejemplo,

{begin{matrix}4uparrow 3=4^{3}=&underbrace {4times 4times 4} &=&64\&3{mbox{ copies of }}4end{matrix}}

La tetración se define como exponenciación iterada, que Knuth denota con una "doble flecha":

{displaystyle {begin{matrix}auparrow uparrow b=H_{4}(a,b)=&underbrace {a^{a^{{}^{.,^{.,^{.,^{a}}}}}}} &=&underbrace {auparrow (auparrow (dots uparrow a))} \&b{mbox{ copies of }}a&&b{mbox{ copies of }}aend{matrix}}}

Por ejemplo,

{displaystyle {begin{matrix}4uparrow uparrow 3=&underbrace {4^{4^{4}}} &=&underbrace {4uparrow (4uparrow 4)} &=&4^{256}&approx &1.34078079times 10^{154}&\&3{mbox{ copies of }}4&&3{mbox{ copies of }}4end{matrix}}}

Las expresiones se evalúan de derecha a izquierda, ya que los operadores se definen como asociativos a la derecha.

Según esta definición,

3uparrow uparrow 2=3^{3}=27

{displaystyle 3uparrow uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}

3uparrowuparrow 4=3^{3^{3^3}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}approx 1.2580143times 10^{3638334640024}

{displaystyle 3uparrow uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987}}approx 3^{1.2580143times 10^{3638334640024}}}

etc.

Esto ya conduce a algunos números bastante grandes, pero la secuencia del hiperoperador no se detiene aquí.

La pentación, definida como tetración iterada, está representada por la "flecha triple":

{displaystyle {begin{matrix}auparrow uparrow uparrow b=H_{5}(a,b)=&underbrace {a_{}uparrow uparrow (auparrow uparrow (dots uparrow uparrow a))} \&b{mbox{ copies of }}aend{matrix}}}

La hexación, definida como pentación iterada, está representada por la "flecha cuádruple":

{displaystyle {begin{matrix}auparrow uparrow uparrow uparrow b=H_{6}(a,b)=&underbrace {a_{}uparrow uparrow uparrow (auparrow uparrow uparrow (dots uparrow uparrow uparrow a))} \&b{mbox{ copies of }}aend{matrix}}}

y así sucesivamente. La regla general es que $n$ -operador de tracción se expande en una serie de asociación derecha de ( $n-1$ Operadores de tracción. Simbólicamente,

{begin{matrix}a underbrace {uparrow _{}uparrow !!dots !!uparrow } _{n} b=underbrace {a underbrace {uparrow !!dots !!uparrow } _{n-1} (a underbrace {uparrow _{}!!dots !!uparrow } _{n-1} (dots underbrace {uparrow _{}!!dots !!uparrow } _{n-1} a))} _{b{text{ copies of }}a}end{matrix}}

Ejemplos:

3uparrowuparrowuparrow2 = 3uparrowuparrow3 = 3^{3^3} = 3^{27}=7,625,597,484,987

{begin{matrix}3uparrow uparrow uparrow 3=3uparrow uparrow (3uparrow uparrow 3)=3uparrow uparrow (3uparrow 3uparrow 3)=&underbrace {3_{}uparrow 3uparrow dots uparrow 3} \&3uparrow 3uparrow 3{mbox{ copies of }}3end{matrix}}{begin{matrix}=&underbrace {3_{}uparrow 3uparrow dots uparrow 3} \&{mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}end{matrix}}{begin{matrix}=&underbrace {3^{3^{3^{3^{cdot ^{cdot ^{cdot ^{cdot ^{3}}}}}}}}} \&{mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}end{matrix}}

Notación

En expresiones como $a^{b}$ , la notación para la exponentiación es generalmente para escribir el exponente $b$ como superscript al número base $a$ . Sin embargo, muchos entornos —como lenguajes de programación y correo electrónico de texto simple— no soportan la clasificación de tipos. La gente ha adoptado la nota lineal $auparrow b$ para tales entornos; el levantamiento sugiere 'recoger al poder de'. Si el conjunto de caracteres no contiene una flecha arriba, el cuidado (^) se utiliza en su lugar.

La notación de superscriptos $a^{b}$ no se presta bien a la generalización, lo que explica por qué Knuth decidió trabajar desde la notación en línea $auparrow b$ en su lugar.

$auparrow ^{n}b$ es una notación alternativa más corta para los altibajos. Así $auparrow ^{4}b=auparrow uparrow uparrow uparrow b$ .

Escribir la notación de flecha hacia arriba en términos de potencias

Intentando escribir $auparrow uparrow b$ usando la notación de superscripto familiar da una torre de poder.

Por ejemplo:

auparrow uparrow 4=auparrow (auparrow (auparrow a))=a^{a^{a^{a}}}

Si b es una variable (o es demasiado grande), la torre de energía podría escribirse con puntos y una nota que indique la altura de la torre.

auparrow uparrow b=underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}

Continuando con esta notación, $auparrow uparrow uparrow b$ podría ser escrito con una pila de tales torres de poder, cada una describiendo el tamaño de la anterior.

auparrow uparrow uparrow 4=auparrow uparrow (auparrow uparrow (auparrow uparrow a))=underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}

Nuevamente, si b es una variable o es demasiado grande, la pila podría escribirse con puntos y una nota que indique su altura.

auparrow uparrow uparrow b=left.underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {vdots } _{a}}}right}b

Además, $auparrow uparrow uparrow uparrow b$ puede ser escrito usando varias columnas de tales pilas de torres de energía, cada columna describiendo el número de torres de energía en la pila a su izquierda:

auparrow uparrow uparrow uparrow 4=auparrow uparrow uparrow (auparrow uparrow uparrow (auparrow uparrow uparrow a))=left.left.left.underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {vdots } _{a}}}right}underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {vdots } _{a}}}right}underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {vdots } _{a}}}right}a

Y de manera más general:

auparrow uparrow uparrow uparrow b=underbrace {left.left.left.underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {vdots } _{a}}}right}underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{underbrace {vdots } _{a}}}right}cdots right}a} _{b}

Esto podría llevarse a cabo indefinidamente para representar $auparrow ^{n}b$ como exponente iterado de la exponenciación iterada para cualquier a, n y b (aunque claramente se vuelve bastante complicado).

Usando la tetración

La notación Rudy Rucker $^{b}a$ para la tetración nos permite hacer estos diagramas un poco más simple mientras todavía emplea una representación geométrica (podríamos llamarlos torres de tetración).

auparrow uparrow b={}^{b}a

auparrow uparrow uparrow b=underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{b}

auparrow uparrow uparrow uparrow b=left.underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{underbrace {vdots } _{a}}}right}b

Finalmente, como ejemplo, el cuarto número de Ackermann $4uparrow ^{4}4$ podría representarse como:

underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{4}}}=underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{^{^{^{4}4}4}4}}

Generalizaciones

Algunos números son tan grandes que las flechas múltiples de la notación de Knuth hacia arriba se vuelven demasiado engorrosas; luego una n- Operador de tracción $uparrow ^{n}$ es útil (y también para descripciones con un número variable de flechas), o equivalentemente, hiper operadores.

Algunos números son tan grandes que incluso esa notación no es suficiente. Entonces se puede usar la notación de flecha encadenada de Conway: una cadena de tres elementos es equivalente a las otras notaciones, pero una cadena de cuatro o más es aún más poderosa.

{begin{matrix}auparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&ato bto n\{mbox{(Knuth)}}&&{mbox{(hyperoperation)}}&&{mbox{(Conway)}}end{matrix}}

${displaystyle 6uparrow uparrow 4}$ = ${displaystyle underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4}}$ , Desde ${displaystyle 6uparrow uparrow 4}$ = ${displaystyle 6^{6^{6^{6}}}}$ = ${displaystyle 6^{6^{46,656}}}$ , Así el resultado sale con ${displaystyle underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4}}$

${displaystyle 10uparrow (3times 10uparrow (3times 10uparrow 15)+3)}$ = ${displaystyle underbrace {100000...000} _{underbrace {300000...003} _{underbrace {300000...000} _{15}}}}$ o ${displaystyle 10^{3times 10^{3times 10^{15}}+3}}$ (Petillion)

Incluso funciones de crecimiento más rápido se pueden clasificar usando un análisis ordinal llamado la jerarquía de rápido crecimiento. La jerarquía de crecimiento rápido utiliza iteración y diagonalización de funciones sucesivas para crear funciones de crecimiento más rápido de algunas funciones base $f(x)$ . Para la jerarquía de rápido crecimiento estándar utilizando ${displaystyle f_{0}(x)=x+1}$ , ${displaystyle f_{3}(x)}$ ya exhibe crecimiento exponencial, ${displaystyle f_{4}(x)}$ es comparable al crecimiento tetracional y es superior por una función que involucra a los primeros cuatro hiperoperadores;. Entonces, ${displaystyle f_{omega }(x)}$ es comparable a la función Ackermann, ${displaystyle f_{omega +1}(x)}$ ya está más allá del alcance de las flechas indexadas pero se puede utilizar para aproximar el número de Graham, y ${displaystyle f_{omega ^{2}}(x)}$ es comparable a la notación de flecha encadenada de Conway arbitrariamente.

Estas funciones son todas computables. Incluso las funciones computables más rápidas, como la secuencia de Goodstein y la secuencia TREE requieren el uso de ordinales grandes, pueden ocurrir en ciertos contextos combinatorios y de prueba teórica. Existen funciones que crecen increíblemente rápido, como Busy Beaver, cuya naturaleza misma estará completamente fuera del alcance de cualquier análisis de flecha hacia arriba, o incluso de cualquier análisis basado en ordinales.

Definición

Sin referencia a la hiperoperación, los operadores de flecha hacia arriba pueden definirse formalmente mediante

1{text{ and }}b=0;\auparrow ^{n-1}(auparrow ^{n}(b-1)),&{text{otherwise }}end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a↑ ↑ nb={}ab,sin=1;1,sin■1yb=0;a↑ ↑ n− − 1()a↑ ↑ n()b− − 1)),de otra manera{displaystyle auparrow ^{n}b={begin{cases}a^{b}, âtext{if} }n=1;1, limit {text{if } {text{ and }b=0;auparrow ^{n-1}(auparrow ^{n}(b-1)), recur{text{otherwise }end{cases}}}}}}}} {}}}}} {fn}n=0} {]1{text{ and }}b=0;\auparrow ^{n-1}(auparrow ^{n}(b-1)),&{text{otherwise }}end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99b7991fa506bcfd4239075dcce59d5de16ca17a" style="vertical-align: -3.838ex; width:53.715ex; height:8.843ex;"/>

para todos los enteros $a,b,n$ con ${displaystyle ageq 0,ngeq 1,bgeq 0}$ .

Esta definición utiliza exponenciación $(auparrow ^{1}b=auparrow b=a^{b})$ como el caso base, y la tetración $(auparrow ^{2}b=auparrow uparrow b)$ como repetido exponentiation. Esto equivale a la secuencia de hiperoperación excepto que omite las tres operaciones más básicas de sucesión, adición y multiplicación.

Uno puede elegir la multiplicación alternativa ${displaystyle (auparrow ^{0}b=atimes b)}$ como el caso base e iterate desde allí. Luego la exponentiación se vuelve multiplicación repetida. La definición oficial sería

0{text{ and }}b=0;\auparrow ^{n-1}(auparrow ^{n}(b-1)),&{text{otherwise }}end{cases}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">a↑ ↑ nb={}a× × b,sin=0;1,sin■0yb=0;a↑ ↑ n− − 1()a↑ ↑ n()b− − 1)),de otra manera{displaystyle auparrow ^{n}b={begin{cases}atimes b, convict{text{if} }n=0;1, limitada {text{if } {text{ and }b=0;auparrow ^{n-1}(auparrow ^{n}(b-1)), limitada {text{otherwise }end{cases}}}}}}}}0{text{ and }}b=0;\auparrow ^{n-1}(auparrow ^{n}(b-1)),&{text{otherwise }}end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d842a9b89b234870c3495ea0b5597cecd2bc4d" style="vertical-align: -3.671ex; width:53.715ex; height:8.509ex;"/>

para todos los enteros $a,b,n$ con ${displaystyle ageq 0,ngeq 0,bgeq 0}$ .

Note, sin embargo, que Knuth no definió el "nil-arrow" ( $uparrow ^{0}$ ). Uno podría extender la notación a índices negativos (n ≥ -2) de tal manera que coincida con toda la secuencia de hiperoperación, excepto por el retraso en la indexación:

{displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b=auparrow ^{n-2}b{text{ for }}ngeq 0.}

La operación estrecha es una operación asociativa derecha, es decir, ${displaystyle auparrow buparrow c}$ se entiende que ${displaystyle auparrow (buparrow c)}$ , en lugar de $(auparrow b)uparrow c$ . Si la ambigüedad no es un problema, las paréntesis a veces se bajan.

Tablas de valores

Cálculo 0↑n b

Computing ${displaystyle 0uparrow ^{n}b=H_{n+2}(0,b)=0[n+2]b}$ resultados en

0, cuando n = 0

1, cuando n = 1 y b = 0

0, cuando n = 1 y b ■ 0

1, cuando n " 1 " b es incluso (incluyendo 0)

0, cuando n " 1 " b Es extraño.

Informática 2↑n b

Computing ${displaystyle 2uparrow ^{n}b}$ se puede reposar en términos de una mesa infinita. Colocamos los números ${displaystyle 2^{b}}$ en la fila superior, y llenar la columna izquierda con valores 2. Para determinar un número en la tabla, tome el número inmediatamente a la izquierda, luego busque el número requerido en la fila anterior, en la posición dada por el número que acaba de tomar.

Valores de ${displaystyle 2uparrow ^{n}b}$ = ${displaystyle H_{n+2}(2,b)}$ = ${displaystyle 2[n+2]b}$ = 2 → b → n
b n	1	2	3	4	5	6	fórmula
1	2	4	8	16	32	64	${displaystyle 2^{b}}$
2	2	4	16	65536	${displaystyle 2^{65{,}536}approx 2.0times 10^{19{,}728}}$	${displaystyle 2^{2^{65{,}536}}approx 10^{6.0times 10^{19{,}727}}}$	${displaystyle 2uparrow uparrow b}$
3	2	4	65536	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {2_{}^{2^{{}^{.,^{.,^{.,^{2}}}}}}} \65{,}536{mbox{ copies of }}2end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {2_{}^{2^{{}^{.,^{.,^{.,^{2}}}}}}} \underbrace {2_{}^{2^{{}^{.,^{.,^{.,^{2}}}}}}} \65{,}536{mbox{ copies of }}2end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {2_{}^{2^{{}^{.,^{.,^{.,^{2}}}}}}} \underbrace {2_{}^{2^{{}^{.,^{.,^{.,^{2}}}}}}} \underbrace {2_{}^{2^{{}^{.,^{.,^{.,^{2}}}}}}} \65{,}536{mbox{ copies of }}2end{matrix}}}$	${displaystyle 2uparrow uparrow uparrow b}$
4	2	4	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {2_{}^{2^{{}^{.,^{.,^{.,^{2}}}}}}} \65{,}536{mbox{ copies of }}2end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \underbrace {2_{}^{2^{{}^{.,^{.,^{.,^{2}}}}}}} \65{,}536{mbox{ copies of }}2end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \underbrace {2_{}^{2^{{}^{.,^{.,^{.,^{2}}}}}}} \65{,}536{mbox{ copies of }}2end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \underbrace {2_{}^{2^{{}^{.,^{.,^{.,^{2}}}}}}} \65{,}536{mbox{ copies of }}2end{matrix}}}$	${displaystyle 2uparrow uparrow uparrow uparrow b}$

La tabla es la misma que la de la función Ackermann, excepto para un cambio en $n$ y $b$ , y una adición de 3 a todos los valores.

Informática 3↑n b

Colocamos los números ${displaystyle 3^{b}}$ en la fila superior, y llenar la columna izquierda con valores 3. Para determinar un número en la tabla, tome el número inmediatamente a la izquierda, luego busque el número requerido en la fila anterior, en la posición dada por el número que acaba de tomar.

Valores de ${displaystyle 3uparrow ^{n}b}$ = ${displaystyle H_{n+2}(3,b)}$ = ${displaystyle 3[n+2]b}$ = 3 → b → n
b n	1	2	3	4	5	fórmula
1	3	9	27	81	243	${displaystyle 3^{b}}$
2	3	27	7.625.597.484.987	${displaystyle 3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}approx 1.3times 10^{3{,}638{,}334{,}640{,}024}}$	${displaystyle 3^{3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}}}$	${displaystyle 3uparrow uparrow b}$
3	3	7.625.597.484.987	${begin{matrix}underbrace {3_{}^{3^{{}^{.,^{.,^{.,^{3}}}}}}} \7{,}625{,}597{,}484{,}987{mbox{ copies of }}3end{matrix}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {3_{}^{3^{{}^{.,^{.,^{.,^{3}}}}}}} \underbrace {3_{}^{3^{{}^{.,^{.,^{.,^{3}}}}}}} \7{,}625{,}597{,}484{,}987{mbox{ copies of }}3end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {3_{}^{3^{{}^{.,^{.,^{.,^{3}}}}}}} \underbrace {3_{}^{3^{{}^{.,^{.,^{.,^{3}}}}}}} \underbrace {3_{}^{3^{{}^{.,^{.,^{.,^{3}}}}}}} \7{,}625{,}597{,}484{,}987{mbox{ copies of }}3end{matrix}}}$	${displaystyle 3uparrow uparrow uparrow b}$
4	3	${begin{matrix}underbrace {3_{}^{3^{{}^{.,^{.,^{.,^{3}}}}}}} \7{,}625{,}597{,}484{,}987{mbox{ copies of }}3end{matrix}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \underbrace {3_{}^{3^{{}^{.,^{.,^{.,^{3}}}}}}} \7{,}625{,}597{,}484{,}987{mbox{ copies of }}3end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \underbrace {3_{}^{3^{{}^{.,^{.,^{.,^{3}}}}}}} \7{,}625{,}597{,}484{,}987{mbox{ copies of }}3end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \underbrace {3_{}^{3^{{}^{.,^{.,^{.,^{3}}}}}}} \7{,}625{,}597{,}484{,}987{mbox{ copies of }}3end{matrix}}}$	${displaystyle 3uparrow uparrow uparrow uparrow b}$

Informática 4↑n b

Colocamos los números ${displaystyle 4^{b}}$ en la fila superior, y llenar la columna izquierda con valores 4. Para determinar un número en la tabla, tome el número inmediatamente a la izquierda, luego busque el número requerido en la fila anterior, en la posición dada por el número que acaba de tomar.

Valores de ${displaystyle 4uparrow ^{n}b}$ = ${displaystyle H_{n+2}(4,b)}$ = ${displaystyle 4[n+2]b}$ = 4 → b → n
b n	1	2	3	4	5	fórmula
1	4	16	64	256	1024	${displaystyle 4^{b}}$
2	4	256	${displaystyle 4^{256}approx 1.34times 10^{154}}$	${displaystyle 4^{4^{256}}approx 10^{8.0times 10^{153}}}$	${displaystyle 4^{4^{4^{256}}}}$	${displaystyle 4uparrow uparrow b}$
3	4	${displaystyle 4^{4^{256}}approx 10^{8.0times 10^{153}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \4^{4^{256}}{mbox{ copies of }}4end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \4^{4^{256}}{mbox{ copies of }}4end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \4^{4^{256}}{mbox{ copies of }}4end{matrix}}}$	${displaystyle 4uparrow uparrow uparrow b}$
4	4	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \4^{4^{256}}{mbox{ copies of }}4end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \4^{4^{256}}{mbox{ copies of }}4end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \4^{4^{256}}{mbox{ copies of }}4end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \underbrace {4_{}^{4^{{}^{.,^{.,^{.,^{4}}}}}}} \4^{4^{256}}{mbox{ copies of }}4end{matrix}}}$	${displaystyle 4uparrow uparrow uparrow uparrow b}$

Informática 10↑n b

Colocamos los números $10^b$ en la fila superior, y llenar la columna izquierda con los valores 10. Para determinar un número en la tabla, tome el número inmediatamente a la izquierda, luego busque el número requerido en la fila anterior, en la posición dada por el número que acaba de tomar.

Valores de ${displaystyle 10uparrow ^{n}b}$ = ${displaystyle H_{n+2}(10,b)}$ = ${displaystyle 10[n+2]b}$ = 10 → b → n
b n	1	2	3	4	5	fórmula
1	10	100	1.000	10.000.	100.000	$10^b$
2	10	10.000 millones	$10^{10,000,000,000}$	$10^{10^{10,000,000,000}}$	$10^{10^{10^{10,000,000,000}}}$	${displaystyle 10uparrow uparrow b}$
3	10	${begin{matrix}underbrace {10_{}^{10^{{}^{.,^{.,^{.,^{10}}}}}}} \10{mbox{ copies of }}10end{matrix}}$	${begin{matrix}underbrace {10_{}^{10^{{}^{.,^{.,^{.,^{10}}}}}}} \underbrace {10_{}^{10^{{}^{.,^{.,^{.,^{10}}}}}}} \10{mbox{ copies of }}10end{matrix}}$	${begin{matrix}underbrace {10_{}^{10^{{}^{.,^{.,^{.,^{10}}}}}}} \underbrace {10_{}^{10^{{}^{.,^{.,^{.,^{10}}}}}}} \underbrace {10_{}^{10^{{}^{.,^{.,^{.,^{10}}}}}}} \10{mbox{ copies of }}10end{matrix}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {10_{}^{10^{{}^{.,^{.,^{.,^{10}}}}}}} \underbrace {10_{}^{10^{{}^{.,^{.,^{.,^{10}}}}}}} \underbrace {10_{}^{10^{{}^{.,^{.,^{.,^{10}}}}}}} \underbrace {10_{}^{10^{{}^{.,^{.,^{.,^{10}}}}}}} \10{mbox{ copies of }}10end{matrix}}}$	${displaystyle 10uparrow uparrow uparrow b}$
4	10	${begin{matrix}underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \10{mbox{ copies of }}10end{matrix}}$	${begin{matrix}underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \10{mbox{ copies of }}10end{matrix}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \10{mbox{ copies of }}10end{matrix}}}$	${displaystyle {begin{matrix}underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \10{mbox{ copies of }}10end{matrix}}}$	${displaystyle 10uparrow uparrow uparrow uparrow b}$

Para 2 ≤ b ≤ 9 el orden numérico de los números ${displaystyle 10uparrow ^{n}b}$ es el orden lexicográfico con n como el número más significativo, por lo que para los números de estas 8 columnas el orden numérico es simplemente line-by-line. Lo mismo se aplica para los números en las 97 columnas con 3 ≤ b ≤ 99, y si empezamos desde n = 1 incluso para 3 ≤ b ≤ 9,999,999.

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