Notación de constructor de conjuntos

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Uso de aparatos para especificar conjuntos

${displaystyle {nin mathbb {Z} mid (exists kin mathbb {Z})[n=2k]}}$

El conjunto de todos incluso enteros,
expresado en la notación de configuración.

En la teoría de conjuntos y sus aplicaciones a la lógica, las matemáticas y la informática, la notación de creación de conjuntos es una notación matemática para describir un conjunto enumerando sus elementos o indicando las propiedades que deben tener sus miembros. satisfacer.

La definición de conjuntos por propiedades también se conoce como comprensión de conjuntos, abstracción de conjuntos o como definición de la intención de un conjunto.

Conjuntos definidos por enumeración

Un conjunto se puede describir directamente enumerando todos sus elementos entre corchetes, como en los siguientes dos ejemplos:

${7,3,15,31}$ es el conjunto que contiene los cuatro números 3, 7, 15 y 31, y nada más.
${displaystyle {a,c,b}={a,b,c}}$ es el conjunto que contiene $a$ , $b$ , y $c$ , y nada más (no hay orden entre los elementos de un conjunto).

Esto a veces se denomina "método de lista" para especificar un conjunto.

Cuando se desea denotar un conjunto que contiene elementos de una secuencia regular, se puede emplear una notación de puntos suspensivos, como se muestra en los siguientes ejemplos:

${1,2,3,ldots100}$ es el conjunto de enteros entre 1 y 100 inclusive.
${displaystyle {1,2,3,ldots }}$ es el conjunto de números naturales.
${displaystyle {ldots-2,-1,0,1,2,ldots }={0,1,-1,2,-2,ldots }}$ es el conjunto de todos los enteros.

No hay orden entre los elementos de un conjunto (esto explica y valida la igualdad del último ejemplo), pero con la notación de puntos suspensivos, usamos una secuencia ordenada antes (o después) de los puntos suspensivos como un vehículo notacional conveniente para Explicar qué elementos están en un conjunto. Se muestran los primeros elementos de la secuencia, luego los puntos suspensivos indican que se debe aplicar la interpretación más simple para continuar la secuencia. Si no aparece ningún valor de terminación a la derecha de los puntos suspensivos, se considera que la secuencia no tiene límites.

En general, ${displaystyle {1,dotsn}}$ denota el conjunto de todos los números naturales $i$ tales que $1leq ileq n$ . Otra notación para ${displaystyle {1,dotsn}}$ es la notación entre corchetes $[n]$ . Un caso especial sutil $n=0$ , en que ${displaystyle [0]={1,dots0}}$ es igual al conjunto vacío $emptyset$ . Análogamente, ${displaystyle {a_{1},dotsa_{n}}}$ denota el conjunto de todos $a_{i}$ para $1leq ileq n$ .

En cada ejemplo anterior, cada conjunto se describe enumerando sus elementos. No todos los conjuntos se pueden describir de esta manera o, si se pueden, su enumeración puede ser demasiado larga o demasiado complicada para ser útil. Por tanto, muchos conjuntos están definidos por una propiedad que caracteriza a sus elementos. Esta caracterización se puede hacer de manera informal usando prosa general, como en el siguiente ejemplo.

${$ direcciones en Pine Street $}$ es el conjunto de todas las direcciones en Pine Street.

Sin embargo, el enfoque en prosa puede carecer de precisión o ser ambiguo. Por lo tanto, la notación de creación de conjuntos se usa a menudo con un predicado que caracteriza los elementos del conjunto que se está definiendo, como se describe en la siguiente sección.

Conjuntos definidos por un predicado

La notación de creación de conjuntos se puede utilizar para describir un conjunto definido por un predicado, es decir, una fórmula lógica que se evalúa como verdadero para un elemento del conjunto y falso de lo contrario. De esta forma, la notación de construcción de conjuntos tiene tres partes: una variable, un separador de dos puntos o barra vertical y un predicado. Por lo tanto, hay una variable a la izquierda del separador y una regla a la derecha. Estas tres partes están contenidas entre corchetes:

{displaystyle {xmid Phi (x)}}

{displaystyle {x:Phi (x)}.}

La barra vertical (o el colon) es un separador que se puede leer como "tales que", "para qué", o "con la propiedad que". La fórmula $Negotiat(x)$ se dice que es el Regla o el predicar. Todos los valores $x$ para el cual el predicado sostiene (es cierto) pertenecen al conjunto que se define. Todos los valores $x$ para el cual el predicado no sostiene no pertenece al conjunto. Así ${displaystyle {xmid Phi (x)}}$ es el conjunto de todos los valores de $x$ que satisfacen la fórmula $CCPR$ . Puede ser el conjunto vacío, si no hay valor $x$ satisface la fórmula.

Especificando el dominio

Un dominio $E$ puede aparecer a la izquierda de la barra vertical:

{displaystyle {xin Emid Phi (x)},}

o agregándolo al predicado:

{displaystyle {xmid xin E{text{ and }}Phi (x)}quad {text{or}}quad {xmid xin Eland Phi (x)}.}

El símbolo de versión aquí denota la membresía, mientras que el $land$ símbolo denota el operador lógico "y", conocido como conjunción lógica. Esta notación representa el conjunto de todos los valores $x$ que pertenecen a algún conjunto dado $E$ para lo cual el predicado es verdadero (ver "Set existence axiom" abajo). Si $Phi (x)$ es una conjunción ${displaystyle Phi _{1}(x)land Phi _{2}(x)}$ , entonces ${displaystyle {xin Emid Phi (x)}}$ a veces escrito ${displaystyle {xin Emid Phi _{1}(x),Phi _{2}(x)}}$ , usando un coma en lugar del símbolo $land$ .

En general, no es buena idea considerar conjuntos sin definir un dominio del discurso, ya que esto representaría el subconjunto de todas las cosas posibles que pueden existir para lo cual el predicado es verdad. Esto puede conducir fácilmente a contradicciones y paradojas. Por ejemplo, la paradoja de Russell muestra que la expresión ${displaystyle {x~|~xnot in x},}$ Aunque aparentemente bien formado como una expresión de constructor de conjuntos, no puede definir un conjunto sin producir una contradicción.

En los casos en que el conjunto $E$ sea claro por el contexto, es posible que no se especifique explícitamente. Es común en la literatura que un autor establezca el dominio con anticipación y luego no lo especifique en la notación del constructor de conjuntos. Por ejemplo, un autor puede decir algo como "A menos que se indique lo contrario, las variables deben tomarse como números naturales" aunque en contextos menos formales donde se puede asumir el dominio, a menudo es innecesaria una mención escrita.

Ejemplos

Los siguientes ejemplos ilustran conjuntos particulares definidos por la notación creadora de conjuntos a través de predicados. En cada caso, el dominio se especifica en el lado izquierdo de la barra vertical, mientras que la regla se especifica en el lado derecho.

$0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">{}x▪ ▪ R▪ ▪ x■0}{displaystyle {xin mathbb {R} mid x confianza0}0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e0a3d952ba4157408ad6e72933404845089761" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.701ex; height:2.843ex;"/>$ es el conjunto de todos los números reales estrictamente positivos, que pueden ser escritos en notación de intervalos como $(0,infty)$ .
${displaystyle {xin mathbb {R} mid |x|=1}}$ es el conjunto ${displaystyle {-1,1}}$ . Este conjunto también se puede definir como ${displaystyle {xin mathbb {R} mid x^{2}=1}}$ ; ver predicados equivalentes rendimiento iguales sets abajo.
Para cada entero $m$ , podemos definir ${displaystyle G_{m}={xin mathbb {Z} mid xgeq m}={m,m+1,m+2,ldots }}$ . Como ejemplo, ${displaystyle G_{3}={xin mathbb {Z} mid xgeq 3}={3,4,5,ldots }}$ y ${displaystyle G_{-2}={-2,-1,0,ldots }}$ .
$<math alttext="{displaystyle {(x,y)in mathbb {R} times mathbb {R} mid 0<y{}()x,Sí.)▪ ▪ R\times \times R▪ ▪ 0.Sí..f()x)}{displaystyle {(x,y)in mathbb {R} times mathbb {R} mid 0 secuestró(x)}} <img alt="{displaystyle {(x,y)in mathbb {R} times mathbb {R} mid 0<y$ es el conjunto de pares de números reales tal que Sí. es mayor que 0 y menos que $f () x)$ , para una función dada $f$ . Aquí el producto cartesiano ${displaystyle mathbb {R} times mathbb {R} }$ denota el conjunto de pares ordenados de números reales.
${displaystyle {nin mathbb {N} mid (exists k)[kin mathbb {N} land n=2k]}}$ es el conjunto de todos los números naturales. El $land$ señal significa "y", que se conoce como conjunción lógica. El signo ∃ significa "existe", que se conoce como cuantificación existencial. Por ejemplo, ${displaystyle (exists x)P(x)}$ se lee como "hay una $x$ tales que $P () x)$ ".
${displaystyle {nmid (exists kin mathbb {N})[n=2k]}}$ es una variante notacional para el mismo conjunto de números naturales. No es necesario especificar que $n$ es un número natural, ya que esto está implícito por la fórmula de la derecha.
${displaystyle {ain mathbb {R} mid (exists pin mathbb {Z})(exists qin mathbb {Z})[qnot =0land aq=p]}}$ es el conjunto de números racionales; es decir, números reales que pueden ser escritos como la relación de dos números enteros.

Expresiones más complejas en el lado izquierdo de la notación

Una extensión de la notación de configuración reemplaza la variable única $x$ con una expresión. Así que en lugar de ${displaystyle {xmid Phi (x)}}$ , podemos tener ${displaystyle {f(x)mid Phi (x)},}$ que deben leerse

{displaystyle {f(x)mid Phi (x)}={ymid exists x(y=f(x)wedge Phi (x))}}

Por ejemplo:

${displaystyle {2nmid nin mathbb {N} }}$ , donde $mathbb N$ es el conjunto de todos los números naturales, es el conjunto de todos los números naturales incluso.
${displaystyle {p/qmid p,qin mathbb {Z}qnot =0}}$ , donde $mathbb {Z}$ es el conjunto de todos los enteros, es ${displaystyle mathbb {Q}}$ el conjunto de todos los números racionales.
${displaystyle {2t+1mid tin mathbb {Z} }}$ es el conjunto de extraños enteros.
${displaystyle {(t,2t+1)mid tin mathbb {Z} }}$ crea un conjunto de pares, donde cada par pone un entero en correspondencia con un extraño entero.

Cuando las funciones inversas pueden ser expresadas explícitamente, la expresión de la izquierda se puede eliminar a través de la simple sustitución. Considerar el conjunto de ejemplo ${displaystyle {2t+1mid tin mathbb {Z} }}$ . Hacer la sustitución ${displaystyle u=2t+1}$ , que es decir ${displaystyle t=(u-1)/2}$ , luego reemplazar t en la notación del constructor conjunto para encontrar

{displaystyle {2t+1mid tin mathbb {Z} }={umid (u-1)/2in mathbb {Z} }.}

Los predicados equivalentes producen conjuntos iguales

Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Los conjuntos definidos por la notación de creación de conjuntos son iguales si y solo si sus reglas de creación de conjuntos, incluidos los especificadores de dominio, son equivalentes. Eso es

{displaystyle {xin Amid P(x)}={xin Bmid Q(x)}}

si y solo si

{displaystyle (forall t)[(tin Aland P(t))Leftrightarrow (tin Bland Q(t))]}

Por lo tanto, para probar la igualdad de dos conjuntos definidos por la notación constructora de conjuntos, basta con probar la equivalencia de sus predicados, incluidos los calificadores de dominio.

Por ejemplo,

{displaystyle {xin mathbb {R} mid x^{2}=1}={xin mathbb {Q} mid |x|=1}}

porque los dos predicados de regla son lógicamente equivalentes:

{displaystyle (xin mathbb {R} land x^{2}=1)Leftrightarrow (xin mathbb {Q} land |x|=1).}

Esta equivalencia sostiene porque, para cualquier número real x, tenemos ${displaystyle x^{2}=1}$ si x es un número racional con ${displaystyle |x|=1}$ . En particular, ambos conjuntos son iguales al conjunto ${-1,1}$ .

Axioma de existencia del conjunto

En muchas teorías de conjuntos formales, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la notación del generador de conjuntos no forma parte de la sintaxis formal de la teoría. En su lugar, existe un esquema de axioma de existencia de conjunto, que establece que si $E$ es un conjunto y $Φ(x)$ es una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos, entonces hay un conjunto $Y$ cuyos miembros son exactamente los elementos de $E$ que satisfacen $Φ$ :

{displaystyle (forall E)(exists Y)(forall x)[xin YLeftrightarrow xin Eland Phi (x)].}

El set $Y$ obtenido de este axioma es exactamente el conjunto descrito en la notación del constructor conjunto como ${displaystyle {xin Emid Phi (x)}}$ .

En lenguajes de programación

Una notación similar disponible en varios lenguajes de programación (principalmente Python y Haskell) es la comprensión de lista, que combina operaciones de mapa y filtro en una o más listas.

En Python, las llaves del creador de conjuntos se reemplazan con corchetes, paréntesis o llaves, dando lugar a objetos de lista, generador y conjunto, respectivamente. Python usa una sintaxis basada en inglés. Haskell reemplaza las llaves del generador de escenarios con corchetes y utiliza símbolos, incluida la barra vertical estándar del generador de escenarios.

Lo mismo se puede lograr en Scala usando Sequence Comprehensions, donde el "for" la palabra clave devuelve una lista de las variables obtenidas utilizando la palabra clave "rendimiento" palabra clave.

Considere estos ejemplos de notación de creación de conjuntos en algunos lenguajes de programación:

	Ejemplo 1	Ejemplo 2
Set-builder	${l \| lin L}$	${(k,x) \| kin Kwedge xin Xwedge P(x)}$
Python	{}l para l dentro L}	[k, x) para k dentro K para x dentro X si P()x)
Haskell	[l Silencio l . Is]	[k, x) Silencio k . ks, x . xs, p x]
Scala	para ()l . L) rendimiento l	para ()k . K; x . X si P()x) rendimiento ()k,x)
C#	desde l dentro L seleccionar l	desde k dentro K desde x dentro X Donde P()x) seleccionar ()k,x)
SQL	SELECT l DESDE L_set	SELECT k, x DESDE K_set, X_set Donde P()x)
Prolog	setof()L,miembro()L,Ls),Resultado)	setof()K,X),(miembro()K,Ks),miembro()X,Xs),llamada()P,X)),Resultado)
Ruby	L.mapa{}SilenciolSilencio l}	K.producto()X).seleccionar{}Silenciok,xSilencio P()x) }
Erlang	[l Silencio l . Is]
Julia	[l para l ▪ L]	[k, x) para k ▪ K para x ▪ X si P()x)

La notación de creación de conjuntos y la notación de comprensión de listas son instancias de una notación más general conocida como comprensiones de mónadas, que permite operaciones similares a mapas/filtros sobre cualquier mónada con un elemento cero.

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