Notación bra–ket

En mecánica cuántica, brazalete - notación de puntos, o Notación Dirac, se utiliza ubicuamente para denotar estados cuánticos. La notación utiliza soportes de ángulo, ${displaystyle langle }$ y ${displaystyle rangle }$, y una barra vertical ${displaystyle ¦$Para construir "bras" y "kets".

A Ket es de la forma ${displaystyle Silencioso$. Matemáticamente denota un vector, ${displaystyle {boldsymbol}}$, en un espacio vectorial abstracto (complejo) ${displaystyle V}$, y físicamente representa un estado de algún sistema cuántico.

A sujetador es de la forma ${displaystyle langle f arrest}$. Matemáticamente denota una forma lineal ${displaystyle f:Vto mathbb {C}$, es decir, un mapa lineal que mapea cada vector en ${displaystyle V}$ a un número en el plano complejo ${displaystyle mathbb {C}$. Dejar el funcionamiento lineal ${displaystyle langle f arrest}$ actuar en un vector ${displaystyle Silencioso$ está escrito como ${displaystyle langle ftenciónvrangle in mathbb {C}$.

Supongamos que ${displaystyle V}$ existe un producto interior ${displaystyle (cdotcdot)}$ con el primer argumento antilineal, que hace ${displaystyle V}$ un espacio interior de producto. Luego con este producto interior cada vector ${displaystyle {boldsymbol {phi }equiv Нphi rangle }$ se puede identificar con una forma lineal correspondiente, colocando el vector en la primera ranura anti-linear del producto interior: ${displaystyle ({boldsymbol {phi }},cdot)equiv langle phi ¦$. La correspondencia entre estas notaciones es entonces ${displaystyle ({boldsymbol {phi }},{boldsymbol {psi }})equiv langle phi ¦$. La forma lineal ${displaystyle langle phi Silencio.$ es un covector ${displaystyle TENSIphi rangle }$, y el conjunto de todos los covectores forman un subespacio del espacio vectorial dual ${displaystyle V^{vee }$, al espacio vectorial inicial ${displaystyle V}$. El propósito de esta forma lineal ${displaystyle langle phi Silencio.$ ahora se puede entender en términos de hacer proyecciones sobre el estado ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }$, para encontrar cómo dependen linealmente dos estados, etc.

Para el espacio vectorial ${displaystyle mathbb {C} {n}}$, kets se pueden identificar con vectores de columna, y sujetadores con vectores de fila. Las combinaciones de sujetadores, kets y operadores lineales se interpretan mediante multiplicación de matriz. Si ${displaystyle mathbb {C} {n}}$ tiene el producto interior Hermitian estándar ${displaystyle ({boldsymbol {v},{boldsymbol {w})=v^{dagger.$, bajo esta identificación, la identificación de kets y sujetadores y viceversa proporcionada por el producto interno está tomando el conjugado Hermitiano (denotado) ${displaystyle dagger }$).

Es común suprimir el vector o la forma lineal de la notación del sujetador y utilizar sólo una etiqueta dentro de la tipografía para el sujetador o el ket. Por ejemplo, el operador de la columna ${displaystyle {hat {sigma} }_{z}$ sobre un espacio bidimensional ${displaystyle Delta }$ de espinas, tiene eigenvalues ${textstyle pm {frac {1}{2}}}$ con eigenspinors ${displaystyle {boldsymbol} }_{+},{boldsymbol {fnMicrosoft Sans Serif} En "Delta"$. En la notación del sujetador, esto es típicamente denotado ${displaystyle {boldsymbol} ################################################################################################################################################################################################################################################################$, y ${displaystyle {boldsymbol} }_{-}= "Antes"$. Como arriba, los kets y sujetadores con la misma etiqueta se interpretan como kets y sujetadores correspondientes entre sí utilizando el producto interno. En particular, cuando también se identifica con vectores de filas y columnas, kets y sujetadores con la misma etiqueta se identifican con vectores de columna conjugada Hermitian y fila.

La notación Bra-ket fue efectivamente establecida en 1939 por Paul Dirac; es así también conocida como notación Dirac, a pesar de la notación que tiene un precursor en el uso de Hermann Grassmann de ${displaystyle [phi {mid }psi]$ para productos interiores casi 100 años antes.

Introducción

La notación bra-ket es una notación para álgebra lineal y operadores lineales en espacios vectoriales complejos junto con su espacio dual tanto en el caso de dimensión finita como en el de dimensión infinita. Está diseñado específicamente para facilitar los tipos de cálculos que surgen con frecuencia en la mecánica cuántica. Su uso en mecánica cuántica está bastante extendido. Muchos fenómenos que se explican mediante la mecánica cuántica se explican mediante la notación de corchetes.

Espacios vectoriales

Vectores vs kets

En matemáticas, el término "vector" se utiliza para un elemento de cualquier espacio vectorial. En la física, sin embargo, el término "vector" es mucho más específico: "vector" se refiere casi exclusivamente a cantidades como desplazamiento o velocidad, que tienen componentes que se relacionan directamente con las tres dimensiones del espacio, o relativistamente, a los cuatro de tiempo espacial. Tales vectores son típicamente denotados con sobre flechas (${displaystyle {vec}}$), audaz (${displaystyle mathbf {p}$) o índices (${displaystyle v^{mu}}$).

En la mecánica cuántica, un estado cuántico se representa típicamente como un elemento de un espacio complejo Hilbert, por ejemplo, el espacio vectorial infinita de todas las posibles funciones de onda (square funciones integrables mapear cada punto del espacio 3D a un número complejo) o algún espacio más abstracto Hilbert construido algebraicamente. Puesto que el término "vector" ya se utiliza para otra cosa (ver párrafo anterior), y los físicos tienden a preferir la notación convencional para indicar qué espacio es un elemento, es común y útil denotar un elemento ${displaystyle phi }$ de un complejo espacio vectorial abstracto ${displaystyle TENSIphi rangle }$ utilizar barras verticales y soportes angulares y referirse a ellos como "puntos" en lugar de como vectores y pronunciado "ket-${displaystyle phi }$"o "ket-A" para SilencioA..

Los símbolos, letras, números, o incluso palabras —lo que sea una etiqueta conveniente— pueden ser utilizados como la etiqueta dentro de un barril, con la ${displaystyle TENIDO }$ dejar claro que la etiqueta indica un vector en el espacio vectorial. En otras palabras, el símbolo "SilencioA." tiene un significado matemático específico y universal, mientras que sólo el "A"por sí mismo no lo hace. Por ejemplo, tención1 + Ø2 no es necesariamente igual a Silencio. Sin embargo, por conveniencia, generalmente hay algún esquema lógico detrás de las etiquetas dentro de los kets, como la práctica común de etiquetar eigenkets de energía en la mecánica cuántica a través de un listado de sus números cuánticos. En su más simple, la etiqueta dentro del ket es el eigenvalue de un operador físico, como ${displaystyle {hat {x}}$, ${displaystyle {hat {}}}$, ${displaystyle {hat {}_{z}}$, etc.

Notación

Dado que los kets son solo vectores en un espacio vectorial hermitiano, se pueden manipular utilizando las reglas habituales del álgebra lineal. Por ejemplo:

${displaystyle {begin{aligned}PrinceArangle > > Subtítulos > Subtítulos > > (-1+2i) \fndarangle &=int _{-infty - Hola.$

Observe cómo la última línea de arriba involucra infinitos kets diferentes, uno para cada número real x.

Puesto que el ket es un elemento de un espacio vectorial, un sujetador ${displaystyle langle Atención}$ es un elemento de su doble espacio, es decir, un sujetador es un funcional lineal que es un mapa lineal del espacio vectorial a los números complejos. Por lo tanto, es útil pensar en kets y sujetadores como elementos de diferentes espacios vectoriales (ver abajo sin embargo) con ambos siendo diferentes conceptos útiles.

Un sujetador ${displaystyle langle phi Silencio.$ y un barril ${displaystyle TENED rangle }$ (es decir, un vector funcional y un vector), se puede combinar con un operador ${displaystyle tenciónpsi rangle langle phi tención}$ categoría uno con producto exterior

${displaystyle tenciónpsi rangle langle langlephi durablecolon TENxi rangle mapsto TENpsi rangle langle phi TENSIxi rangle ~}$

Identificación interna del producto y del soporte en el espacio de Hilbert

La notación del sujetador es particularmente útil en los espacios de Hilbert que tienen un producto interno que permite la conjugación de Hermitian e identificar un vector con un funcional lineal continuo, es decir, un ket con un sujetador, y viceversa (ver teorema de representación de Riesz). El producto interior en el espacio Hilbert ${fnMicrosoft Sans Serif}$ (con el primer argumento anti linear como preferida por los físicos) es totalmente equivalente a una identificación (anti-linear) entre el espacio de los kets y el de los sujetadores en la notación del sujetador: para un cet vector ${displaystyle phi = pacienciaphi rangle }$ definir un funcional (es decir, sujetador) ${displaystyle f_{fnfnfnfnfnMicrosoft ffnMicrosoft ffnffnfnMicrosoft ffnfnfnMicrosoft ffn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\\fn\\\\fnfn\\fn\\fnfnfnfn\fnfn\\\fn\\\\\\fn\\fn\\\\\\\fn\\\fnMinMinMinMinMinMinMinMinMinMinMicrosoftfnMinMinMinMicrosoftfnMicrosoft\\\\fnMinMicrosoftfnMin }=langle phi Silencio.$ por

${displaystyle (phipsi)=(Sobrevivirphirangle)=:f_{phi }(psi)=langle phi Н\,{bigl (} arrestpsi rangle {bigrangle)}=:langle phi {mid }psi rangle }$

Sujetadores y kets como vectores de fila y columna

En el caso simple donde consideramos el espacio vectorial ${displaystyle mathbb {C} {n}}$, un barril se puede identificar con un vector de columna, y un sujetador como vector de filas. Si además utilizamos el producto interior hermitiano estándar en ${displaystyle mathbb {C} {n}}$, el sujetador correspondiente a un ket, en particular un sujetador .mSilencio y un barril Silenciom. con la misma etiqueta son transpose conjugado. Además, las convenciones se establecen de tal manera que los sujetadores de escritura, los kets y los operadores lineales unos a otros simplemente implican multiplicación de matriz. En particular el producto exterior ${displaystyle tenciónpsi rangle langle phi tención}$ de una columna y una fila vector cet y sujetador se puede identificar con multiplicación de matriz (column vector tiempos fila vector igual matriz).

Para un espacio vectorial de dimensión finita, usando una base ortonormal fija, el producto interno se puede escribir como una multiplicación matricial de un vector de fila con un vector de columna:

$${displaystyle langle A WordPressBrangle doteq A_{1}{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+cdots ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft Sans Serif} {fn}$$

$${displaystyle {begin{aligned}}langle A tendrían una relacióndoteq {begin{pmatrix}A_{1}}} {}} {}}} {}}} {cdots} 'A_{N} {end{pmatrix}\fnMicrosoft Sans Serif} {fn}}end{aligned}}$$

La transpuesta conjugada (también llamada conjugado hermitiano) de un sostén es el ket correspondiente y viceversa:

$${displaystyle langle A WordPress^{dagger }=vivirAranglequad SilencioArangle$$

$${displaystyle {begin{pmatrix}A_{1}{*} {2}^{*} {cdots} ¿Qué?$$

$${displaystyle {begin{pmatrix}A_{1}A_{2}\\vdots {fn}$$

Escribir elementos de un espacio vectorial de dimensión finita (o mutatis mutandis, contablemente infinito) como un vector columna de números requiere elegir una base. Elegir una base no siempre es útil porque los cálculos de la mecánica cuántica implican cambiar con frecuencia entre diferentes bases (por ejemplo, base de posición, base de momento, base propia de energía), y uno puede escribir algo como "|m⟩" sin comprometerse a ninguna base en particular. En situaciones que involucran dos vectores base importantes diferentes, los vectores base se pueden tomar en la notación explícitamente y aquí se denominarán simplemente como "| −⟩" y "|+⟩".

Estados no normalizables y espacios no de Hilbert

La notación bra–ket se puede usar incluso si el espacio vectorial no es un espacio de Hilbert.

En mecánica cuántica, es una práctica común escribir kets que tienen una norma infinita, es decir, funciones de onda no normalizables. Los ejemplos incluyen estados cuyas funciones de onda son funciones delta de Dirac u ondas planas infinitas. Éstos, técnicamente, no pertenecen al propio espacio de Hilbert. Sin embargo, la definición de "espacio de Hilbert" se puede ampliar para acomodar estos estados (ver la construcción de Gelfand-Naimark-Segal o los espacios de Hilbert amañados). La notación bra-ket continúa funcionando de manera análoga en este contexto más amplio.

Los espacios de Banach son una generalización diferente de los espacios de Hilbert. En un espacio de Banach B, los vectores pueden escribirse mediante kets y los funcionales lineales continuos por bras. Sobre cualquier espacio vectorial sin topología, también podemos anotar los vectores por kets y los funcionales lineales por bras. En estos contextos más generales, el paréntesis no tiene el significado de un producto interno, porque el teorema de representación de Riesz no se aplica.

Uso en mecánica cuántica

La estructura matemática de la mecánica cuántica se basa en gran parte en el álgebra lineal:

• Las funciones de onda y otros estados cuánticos pueden ser representados como vectores en un espacio complejo de Hilbert. (La estructura exacta de este espacio de Hilbert depende de la situación.) En la notación del sujetador, por ejemplo, un electrón podría estar en el "estado" Silencio↑.. (Técnicamente, los estados cuánticos son Rayos vectores en el espacio Hilbert, como cSilencio↑. corresponde al mismo estado para cualquier número complejo no cero c.)
• Las superposiciones cuánticas se pueden describir como sumas vectoriales de los estados constituyentes. Por ejemplo, un electrón en el estado 1/√2tención1 + i/√2Ø2 está en una superposición cuántica de los estados tención1 y Ø2.
• Las mediciones están asociadas con operadores lineales (llamados observables) en el espacio Hilbert de estados cuánticos.
• Las dinámicas también son descritas por operadores lineales en el espacio Hilbert. Por ejemplo, en la imagen de Schrödinger, hay un operador de evolución de tiempo lineal U con la propiedad que si un electrón está en estado Silencio↑. ahora mismo, en un momento posterior será en el estado USilencio↑., lo mismo U para todos los posibles Silencio↑..
• La normalización de la función de onda es escalar una función de onda para que su norma sea 1.

Dado que prácticamente todos los cálculos de la mecánica cuántica involucran vectores y operadores lineales, puede involucrar, y con frecuencia involucra, notación de corchetes. A continuación se muestran algunos ejemplos:

Posición sin giro: función de onda espacial

Componentes discretos A_k de un vector complejo SilencioA. =_k A_k Silencioe_k., que pertenece a contablemente infinito-dimensional Hilbert espacio; hay infinitamente muchos k vectores de valores y bases Silencioe_k..

Componentes continuos ↑()x) de un vector complejo Silencio↑. = ∫dx ↑()x)Silenciox., que pertenece a un incontablemente infinito-dimensional Hilbert espacio; hay infinitamente muchos x vectores de valores y bases Silenciox..

Componentes de vectores complejos trazados contra el número de índice; discreto k y continuo x. Se destacan dos componentes particulares de infinitamente muchos.

El espacio de Hilbert de una partícula de punto de giro-0 es abarcado por una "bastión de posición" {} Silencior. }, donde la etiqueta r se extiende sobre el conjunto de todos los puntos en el espacio de posición. Esta etiqueta es el eigenvalue del operador de posición que actúa sobre tal estado de base, ${displaystyle {hat {fnMithbf {}fnMitbf} rangle =mathbf {r} Silencio.$. Dado que hay un número incontablemente infinito de componentes vectoriales en la base, este es un espacio incontablemente infinito-dimensional Hilbert. Las dimensiones del espacio Hilbert (generalmente infinita) y espacio de posición (generalmente 1, 2 o 3) no deben ser confladas.

A partir de cualquier ket |Ψ⟩ en este espacio de Hilbert, se puede definir un función escalar compleja de r, conocida como función de onda,

${displaystyle Psi (mathbf {r}) {fnK} {fnMicrosoft}}fnK}fnh}\fnh} langle mathbf {r} SilencioPsi rangle ,.}$

En el lado izquierdo, Ψ(r) es una función que asigna cualquier punto en el espacio a un número complejo; en el lado derecho, |Ψ⟩ = ∫ d³r Ψ (r) |r⟩ es un ket que consiste en una superposición de kets con coeficientes relativos especificados por esa funcion

Entonces es habitual definir los operadores lineales que actúan sobre funciones de onda en términos de operadores lineales que actúan sobre kets, por

$${displaystyle {hat {fn} {fnMitbf {r}fnMitbf {r}fnMitbf} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}} langle mathbf {r} Silencio{hat {A} AnteriorPsi rangle ,}$$

Por ejemplo, el operador de impulsos ${displaystyle {hat {fnK}}}$ tiene la siguiente representación de coordenadas,

$${displaystyle {hat {mathbf {}} {fnMitbf {}f}psi (mathbf {r}) {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}} langle mathbf {r} Silencio{hat {mathbf {p} } minusválidoPsi rangle =-ihbar nabla Psi (mathbf {r}),.}$$

Uno de vez en cuando se encuentra incluso con expresiones como ${displaystyle nabla SilenciosoPsi rangle }$, aunque esto es algo de un abuso de notación. El operador diferencial debe ser entendido como un operador abstracto, actuando en kets, que tiene el efecto de diferenciar las funciones de onda una vez que la expresión se proyecta sobre la base de la posición, ${displaystyle nabla langle mathbf {r} 'Psi rangle ,}$aunque, en la base del impulso, este operador equivale a un mero operador de multiplicación (por ip). Es decir,

$${displaystyle langle mathbf {r} }=-ihbar nabla langle mathbf {r} Silencio~,}$$

$${displaystyle {hat {mathbf {}=int d^{3}mathbf {r}mathbf {r} rangle (-ihbar nabla)langle mathbf {r} Silencio.$$

Superposición de estados

En mecánica cuántica, la expresión ⟨φ|ψ⟩ normalmente se interpreta como la amplitud de probabilidad para que el estado ψ colapse en el estado φ. Matemáticamente, esto significa el coeficiente para la proyección de ψ sobre φ. También se describe como la proyección del estado ψ sobre el estado φ.

Cambio de base para una partícula de espín-1/2

Una partícula estacionaria de espín-1⁄2 tiene un espacio de Hilbert bidimensional. Una base ortonormal es:

$${fnMicrosoft Sans Serif} ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

↑_z.1.2↓_z.1.2

Dado que estos son una base, cualquier estado cuántico de la partícula se puede expresar como una combinación lineal (es decir, superposición cuántica) de estos dos estados:

$${displaystyle Нpsi rangle =a_{psi } }_{z}rangle ################################################################################################################################################################################################################################################################ }_{z}rangle }$$

a_↑b_↑

Una base diferente para el mismo espacio de Hilbert es:

$${fnMicrosoft Sans Serif}rangle ################################################################################################################################################################################################################################################################$$

S_xS_z

Nuevamente, cualquier estado de la partícula se puede expresar como una combinación lineal de estos dos:

$${displaystyle Нpsi rangle =c_{psi } ################################################################################################################################################################################################################################################################ }_{x}rangle }$$

En forma vectorial, podrías escribir

$${displaystyle TENpsi rangle doteq {begin{pmatrix}a_{bi} }b_{b}end{pmatrix}quad {text{or}quad psi rangle doteq {begin{pmatrix}c_{ps} }d_{ps}end{pmatrix}}$$

Hay una relación matemática entre ${displaystyle a_{ps}}$, ${displaystyle b_{ps}}$, ${displaystyle c_{ps}}$ y ${displaystyle d_{ps}}$; ver el cambio de base.

Trampas y usos ambiguos

Existen algunas convenciones y usos de la notación que pueden resultar confusos o ambiguos para los estudiantes principiantes o no iniciados.

Separación de producto interior y vectores

Una causa de confusión es que la notación no separa la operación del producto interno de la notación para un vector (bra). Si un (espacio dual) bra-vector se construye como una combinación lineal de otros bra-vectores (por ejemplo, al expresarlo en alguna base) la notación crea cierta ambigüedad y oculta detalles matemáticos. Podemos comparar la notación del sujetador con usar negrita para vectores, como ${displaystyle {boldsymbol} }$, y ${displaystyle (cdotcdot)}$ para el producto interno. Considere el siguiente doble espacio del sujetador-vector en la base ${displaystyle {fn}rangle {}}$:

$${displaystyle langle psi Silencio. e... ¿Qué?$$

Debe determinarse por convención si los números complejos ${displaystyle {psi _{n}}}$ están dentro o fuera del producto interno, y cada convención da diferentes resultados.

$${displaystyle langle psi Silencioequiv ({boldsymbol {psi },cdot)=sum _{n}({boldsymbol {e}_{n},cdot),psi _{n}}}}}$$

$${displaystyle langle psi Silencioequiv ({boldsymbol {psi },cdot)=sum _{n}({boldsymbol {e}_{n}ps} {n},cdot)=sum _{n}({boldsymbole}_{n},cdot),psi _{n}} {}}}} {cdot),cdot}$$

Reutilización de símbolos

Es común utilizar el mismo símbolo para etiquetas y constantes. Por ejemplo, ${displaystyle {hat {alpha }tuvoalpha rangle =alpha tenciónalpha rangle }$, donde el símbolo ${displaystyle alpha }$ se utiliza simultáneamente como nombre del operador ${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f} {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {f}fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\\fn\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\\\\\fnMicrosoft {fnMicrosoft }$, su eigenvector ${displaystyle TENIDOalpha rangle}$ y los asociados eigenvalue ${displaystyle alpha }$. A veces sombrero también se deja caer para los operadores, y se puede ver notación como ${displaystyle Atenciónarangle = a pacienciaarangle }$

Conjugado hermitiano de kets

Es común ver el uso ${displaystyle ↑psi rangle }=langle psi$, donde la daga (${displaystyle dagger }$) corresponde al conjugado hermitiano. Sin embargo, esto no es correcto en un sentido técnico, ya que el ket, ${displaystyle TENED rangle }$, representa un vector en un complejo Hilbert-space ${displaystyle {fnMithcal}}$, y el sujetador, ${displaystyle langle psi Silencio.$, es un funcional lineal en vectores en ${displaystyle {fnMithcal}}$. En otras palabras, ${displaystyle TENED rangle }$ es sólo un vector, mientras ${displaystyle langle psi Silencio.$ es la combinación de un vector y un producto interno.

Operaciones dentro de sujetadores y kets

Esto se hace para una notación rápida de vectores escaladores. Por ejemplo, si el vector ${displaystyle TENIDOalpha rangle}$ es escalada por ${displaystyle 1/{sqrt {2}}$, puede ser denotado ${displaystyle TENIENDOalpha /{sqrt {2}rangle }$. Esto puede ser ambiguo desde ${displaystyle alpha }$ es simplemente una etiqueta para un estado, y no un objeto matemático en el que se pueden realizar operaciones. Este uso es más común al denotar vectores como productos tensores, donde parte de las etiquetas se mueven afuera la ranura diseñada, por ejemplo. ${displaystyle Нalpha rangle = pacienciaalpha /{sqrt {2}_{1}rangle otimes latitudalpha /{sqrt {2}_{2}rangle }$.

Operadores lineales

Operadores lineales actuando sobre kets

Un operador lineal es un mapa que introduce un ket y produce un ket. (Para ser llamado "linear", se requiere tener ciertas propiedades.) En otras palabras, si ${displaystyle {hat {}}}$ es un operador lineal y ${displaystyle TENED rangle }$ es un ket-vector, entonces ${displaystyle {hat {hat}Sobrevivirpsirangle}$ es otro ket-vector.

En un ${displaystyle N}$-dimensional Hilbert espacio, podemos imponer una base en el espacio y representar ${displaystyle TENED rangle }$ en términos de sus coordenadas como ${displaystyle Ntimes 1}$ vector de columna. Utilizando la misma base para ${displaystyle {hat {}}}$, está representado por un ${displaystyle Ntimes N}$ matriz compleja. El ket-vector ${displaystyle {hat {hat}Sobrevivirpsirangle}$ ahora se puede calcular por la multiplicación de matriz.

Los operadores lineales son omnipresentes en la teoría de la mecánica cuántica. Por ejemplo, las cantidades físicas observables se representan mediante operadores autoadjuntos, como la energía o el momento, mientras que los procesos transformativos se representan mediante operadores lineales unitarios, como la rotación o la progresión del tiempo.

Operadores lineales actuando sobre sujetadores

También se puede ver a los operadores actuando sobre sostenes desde el lado derecho. Específicamente, si A es un operador lineal y ⟨φ| es un sostén, entonces ⟨φ| A es otro sostén definido por la regla

${fnMicrosoft Sans Serif}bignuncio\fnMicrosoft Sans Serif} {bigr] {bigrbigr]}tuvopsi rangle =langle phi tuviste la vida {bigl (}{boldsymbol {A}{bigrangle)},}$

(en otras palabras, una composición de función). Esta expresión se escribe comúnmente como (cf. producto interno de energía)

${displaystyle langle phi tención{boldsymbol {A} Anteriorpsi rangle ,}$

En un espacio de Hilbert N-dimensional, ⟨ φ| se puede escribir como un vector de fila 1 × N y A (como en la sección anterior) es un N × N. Luego el sostén ⟨φ|A se puede calcular mediante la multiplicación de matrices normales.

Si el mismo vector de estado aparece tanto en el lado del sostén como en el lado del ket,

$${displaystyle langle psi tención{boldsymbol {A} Anteriorpsi rangle ,}$$

ASilencio↑.

Productos exteriores

Una manera conveniente de definir operadores lineales en un espacio de Hilbert H< /span> viene dado por el producto externo: si ⟨ϕ| es un sostén y < span class="texhtml">|ψ⟩ es un ket, el producto externo

$${displaystyle tenciónphi rangle ,langle psi tención}$$

$${displaystyle {bigl (}Sobrevivirphi rangle langle langle psi tención{bigr)}(x)=langle psi tenciónxrangle.}$$

Para un espacio vectorial de dimensión finita, el producto exterior puede entenderse como una simple multiplicación de matrices:

${displaystyle ← rangle ,langle psi tencióndoteq {begin{pmatrix}phi ¿Por qué? ¿Por qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {begin{pmatrix}psi ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué?$

El producto exterior es una matriz N × N, como se esperaba para un operador lineal.

Uno de los usos del producto externo es construir operadores de proyección. Dado un ket |ψ⟩ de norma 1, la proyección ortogonal sobre el subespacio abarcado por < span class="texhtml">|ψ⟩ es

$${displaystyle tenciónpsi rangle ,langle psi tención,}$$

Operador conjugado hermitiano

Así como los kets y los sostenes se pueden transformar entre sí (haciendo |ψ⟩ en ⟨ψ|), el elemento del espacio dual correspondiente a A|ψ⟩ es ⟨ψ|A^†, donde A^† denota el conjugado hermitiano (o adjunto) del operador A. En otras palabras,

$${displaystyle Нphi rangle =Atenciónpsi rangle quad {text{if and only if}quad langle langle phi tención=langle psi tenciónA^{dagger },}$$

Si A se expresa como N × N< /i> matriz, entonces A^† es su transpuesta conjugada.

Los operadores autoadjuntos, donde A = A^†, juegan un papel importante papel en la mecánica cuántica; por ejemplo, un observable siempre se describe mediante un operador autoadjunto. Si A es un operador autoadjunto, entonces ⟨ ψ|A|ψ⟩ es siempre un número real (no complejo). Esto implica que los valores esperados de los observables son reales.

Propiedades

La notación de corchetes se diseñó para facilitar la manipulación formal de expresiones algebraicas lineales. Algunas de las propiedades que permiten esta manipulación se enumeran aquí. En lo que sigue, c₁ y c< sub>2 denota números complejos arbitrarios, c* denota el complejo conjugado de c, A y B denotan operadores lineales arbitrarios, y estas propiedades se mantienen para cualquier elección de bras y kets.

Linealidad

• Como los sujetadores son funcionales lineales,
  $${displaystyle langle phi Silencio {bigl (}c_{1} ♪♪ +c_{2} ### {2}rangle {bigr]}=c_{1}langle phi tenciónpsi _{1}rangle +c_{2}langle phi tenciónpsi _{2}rangle ,}$$

  
• Por la definición de adición y multiplicación escalar de funcionalidades lineales en el espacio dual,
  $${displaystyle {bigl (}c_{1}langle phi _{1} eterna+c_{2}langle phi _{2} persistencia{bigr)} eternapsi rangle =c_{1}langle phi _{1} eternapsi rangle +c_{2}langle phi _{2}\p2}$$

  

Asociatividad

Dada cualquier expresión que involucre números complejos, bras, kets, productos internos, productos externos y/u operadores lineales (pero no suma), escrita en notación bra-ket, las agrupaciones entre paréntesis no importan (es decir, la propiedad asociativa sostiene). Por ejemplo:

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {big} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}$

y así sucesivamente. Las expresiones de la derecha (sin paréntesis de ningún tipo) pueden escribirse sin ambigüedades debido a las igualdades de la izquierda. Tenga en cuenta que la propiedad asociativa no se cumple para expresiones que incluyen operadores no lineales, como el operador de inversión de tiempo antilineal en física.

Conjugación hermítica

La notación de corchetes hace que sea particularmente fácil calcular el conjugado hermitiano (también llamado daga y denotado †) de expresiones. Las reglas formales son:

• El conjugado Hermitiano de un sujetador es el ket correspondiente, y viceversa.
• El conjugado ermitiano de un número complejo es su complejo conjugado.
• El conjugado hermitiano del conjugado hermitiano de cualquier cosa (operadores lineales, sujetadores, kets, números) es en sí mismo – es decir,
  $${displaystyle left(x^{dagger }right)^{dagger }=x,}$$

  
• Dada cualquier combinación de números complejos, sujetadores, kets, productos interiores, productos externos y/o operadores lineales, escritos en notación de sujetadores, su conjugado ermitiano puede ser computado revirtiendo el orden de los componentes, y tomando el conjugado hermitiano de cada uno.

Estas reglas son suficientes para escribir formalmente el conjugado hermitiano de cualquier expresión; algunos ejemplos son los siguientes:

• Kets:
  $${displaystyle {bigl}c_{1} ♪♪ - ¿Qué? }=c_{1}langle psi _{1} eterna+c_{2} {*}langle psi _{2} arrest,}$$

  
• Productos internos:
  $${displaystyle langle phi TENpsi rangle ^{*}=langle psi TENphi rangle ,}$$

  
  Note que .φSilencio↑. es un escalar, así que el conjugado ermitiano es sólo el complejo conjugado, es decir,
  $${displaystyle {bigl (}langle phi Silenciopsirangle {bigrangle)}^{dagger }=langle phi Нpsi rangle ^{*}$$

  
• Elementos de matriz:
  $${displaystyle {begin{aligned}langle phi TENA durablepsi rangle ^{*} limit=leftlangle psi left A^{dagger }right sobrevivirphi rightrangle \leftlangle phi left A^{dagger }B^{dagger }right sobre la vidapsi rightrangle ^{*} {=langle psi ANTERIBA sobre la vidaphi rangle ,end{aligned}}}$$

  
• Productos externos:
  $${displaystyle {Big}{bigl}c_{1}tuvophi _{1}rangle langle psi _{1}tuvo {bigr)}+{bigl (}c_{2}tuvophi _{2}rangle langle psi _{2}tuvobigr)}{Big)}{dagger }={bigl (}c_{1}{*} _{1}ranglelangle langle phi _{1}{bigr)}+{bigl (}c_{2}^{*}Principiopsi _{2}rangle langle phi _{2} perpetua{bigr)},}}$$

  

Sujetadores y kets compuestos

Dos espacios de Hilbert V y W pueden formar un tercer espacio V ⊗ W por un producto tensorial. En mecánica cuántica, esto se usa para describir sistemas compuestos. Si un sistema se compone de dos subsistemas descritos en V y W respectivamente, entonces el espacio de Hilbert de todo el sistema es el producto tensorial de los dos espacios. (La excepción a esto es si los subsistemas son en realidad partículas idénticas. En ese caso, la situación es un poco más complicada).

Si |ψ⟩ es un ket en V y |φ⟩ es un ket en W, el producto directo de los dos kets es un ket en V ⊗ W. Esto está escrito en varias notaciones:

${displaystyle tenciónpsi rangle tenciónphi rangle ,quad TENpsi rangle otimes TENphi rangle ,quad TEN\psi phi rangle ,quad TENSIpsiphi rangle ,}$

Consulte el entrelazamiento cuántico y la paradoja EPR para conocer las aplicaciones de este producto.

La operadora de la unidad

(feminine)

Considere un sistema ortonormal completo (base),

$${displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ {N},}$$

H♫

Desde el análisis funcional básico, se sabe que cualquier ket ${displaystyle TENED rangle }$ también se puede escribir como

$${displaystyle Нpsi rangle =sum _{iin mathbb {N}langle e_{i}Sobrevivirpsirangle$$

.

De la conmutatividad de kets con escalares (complejos), se sigue que

$${displaystyle sum _{iin mathbb {N} } aguante_{i}rangle langle ################################################################################################################################################################################################################################################################ {I}$$

Identificador

Esto, entonces, se puede insertar en cualquier expresión sin afectar su valor; por ejemplo

$${displaystyle {begin{aligned}langle v sometidawrangle <=langle v arrestleft(sum _{iin mathbb {N} } habite_{i}rangle langle e_{i} foreverwrangle \ langle v durableleft(sum _{iin) mathbb {N} } habite_{i}rangle langle e_{i} foreverright)left(sum _{jin mathbb {N} } resiste_{j}rangle langle e_{j} foreverright) v habite_{i}rangle langle e_{i} impertinee_{j}rangle langle e_{j} arrestwrangle ,end{aligned}}$$

En la mecánica cuántica, a menudo ocurre que hay poca o ninguna información sobre el producto interno ⟨ψ|φ< /i>⟩ de dos kets arbitrarios (estado) está presente, mientras que todavía es posible decir algo sobre los coeficientes de expansión ⟨ψ|e_i⟩ = ⟨e_{i< /sub>}|ψ⟩* y ⟨e_i|φ⟩ de esos vectores con respecto a una base específica (ortonormalizada). En este caso, es particularmente útil insertar el operador de la unidad en el soporte una o más veces.

Para obtener más información, consulte Resolución de la identidad,

$${displaystyle {mathbb {I}=int !dx~ Toddxrangle langle x durable=int !dp~ perpetuaprangle langle p arrest,}$$

$${displaystyle ¦prangle =int dx{frac {e^{ixp/hbar } WordPressxrangle }{sqrt {2pihbar }}}}}$$

Desde ⟨x′< /span>|x⟩ = δ(x − x′), siguen ondas planas,

$${displaystyle langle x WordPressprangle ={frac {e^{ixp/hbar } {sqrt {2pihbar}}}}$$

En su libro (1958), Ch. III.20, Dirac define el Ket estándar que, hasta una normalización, es el impulso invariante traducción eigenstat ${textstyle Нивvarpi rangle =lim _{pto 0}$ en la representación del impulso, es decir, ${displaystyle {hat {fn}Sobrevivirvarpirangle =0}$. En consecuencia, la función de onda correspondiente es una constante, ${displaystyle langle x arrestvarpi rangle {sqrt {2pi hbar }=1}$, y

$${displaystyle tenciónxrangle =delta ({hat {x}}-x)$$

$${displaystyle tenciónprangle =exp(ip{hat {x}/hbar) eternavarpi rangle.}$$

Normalmente, cuando todos los elementos de la matriz de un operador como

$${displaystyle langle xSobrevivir$$

$${displaystyle int dx,dy, Toddxrangle langle x WordPressA sometidayrangle langle y habit=A,}$$

Notación utilizada por las matemáticas

(feminine)

El objeto que los físicos están considerando cuando usan la notación bra-ket es un espacio de Hilbert (un espacio de producto interno completo).

Vamos ${displaystyle ({mathcal {H},langle cdotcdot rangle)}$ ser un espacio Hilbert y h ▪ H un vector en H. Lo que los físicos denotarían Silencioh. es el vector en sí. Eso es,

$${fnMicrosoft Sans Serif}$$

Vamos H* ser el espacio dual de H. Este es el espacio de las funcionalidades lineales en H. La incrustación ${displaystyle Phi:{mathcal {H}hookrightarrow {fnMitcal {fnK}} {fnMitcal}} {fnK}} {fnMitcal}}} {fnK}}} {fnMitcal}}}}} {fnK}}}} {f}}} {f}}} {fnH}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$ se define por ${displaystyle Phi (h)=varphi _{h}$, donde por cada h ▪ H el funcional lineal ${displaystyle varphi _{h}:{mathcal {H}to mathbb {C}$ satisfizo por cada g ▪ H la ecuación funcional ${displaystyle varphi _{h}(g)=langle h,grangle =langle hmid grangle }$. La confusión notacional surge cuando se identifica φ_h y g con .hSilencio y Silenciog. respectivamente. Esto se debe a sustituciones literales simbólicas. Vamos ${displaystyle varphi _{h}=H=langle hmid }$ y dejar g = G = Silenciog.. Esto da

$${displaystyle varphi _{h}(g)=H(g)=H(G)=langle h tuberculosis(G)=langle h habit{bigl (} arrestgrangle {bigr)},}$$

Uno ignora los paréntesis y elimina las barras dobles.

Además, los matemáticos no suelen escribir la entidad dual en el primer lugar, como hacen los físicos, sino en el segundo, y suelen utilizar no un asterisco sino una línea superior (que los físicos reservan para los promedios y el espinor de Dirac adjunto) para denotar números complejos conjugados; es decir, para productos escalares los matemáticos suelen escribir

$${displaystyle langle phipsi rangle =int phi (x)cdot {overline {psi (x)}},mathrm {d} x,}$$

$${displaystyle langle psi tenciónphi rangle =int dx,psi ^{*}(x)phi (x)~.}$$