Normal (geometría)

Un polígono y sus dos vectores normales

Un normal a una superficie en un punto es el mismo que un plano normal al tangente a la superficie en el mismo punto.

En geometría, una normal es un objeto como una línea, un rayo o un vector que es perpendicular a un objeto determinado. Por ejemplo, la línea normal a una curva plana en un punto dado es la línea (infinita) perpendicular a la línea tangente a la curva en el punto. Un vector normal puede tener una longitud uno (en cuyo caso es un vector unitario normal) o su longitud puede representar la curvatura del objeto (un vector de curvatura); su signo algebraico puede indicar lados (interior o exterior).

En tres dimensiones, a superficie normal, o simplemente normal, a una superficie en el punto P{displaystyle P} es un vector perpendicular al plano tangente de la superficie en P. La palabra "normal" también se utiliza como adjetivo: una línea normal a un avión, el normal componente de una fuerza, vector normal, etc. El concepto de normalidad se generaliza a la ortogonalidad (ángulos rectos).

El concepto se ha generalizado a múltiples formas diferentes de dimensión arbitraria incrustadas en un espacio euclidiano. El espacio vectorial normal o espacio normal de un múltiple en el punto P{displaystyle P} es el conjunto de vectores que son ortogonales al espacio tangente en P.{displaystyle P.}Los vectores normales son de especial interés en el caso de curvas suaves y superficies lisas.

La normal se usa a menudo en gráficos 3D por computadora (observe el singular, ya que solo se definirá una normal) para determinar la orientación de una superficie hacia una fuente de luz para sombreado plano, o la orientación de cada una de las superficies. #39;s esquinas (vértices) para imitar una superficie curva con sombreado Phong.

El pie de una normal en un punto de interés Q (análogo al pie de una perpendicular) se puede definir en el punto P de la superficie donde el vector normal contiene Q. La distancia normal de un punto Q a una curva o a una superficie es la distancia euclidiana entre Q y su pie P.

Normal a superficies en espacio 3D

Una superficie curvada que muestra la unidad vectores normales (flechas azules) a la superficie

Calcular una superficie normal

Para un polígono convexo (como un triángulo), una superficie normal se puede calcular como el producto cruzado vectorial de dos bordes (no paralelos) del polígono.

Para un plano dado por la ecuación ax+bSí.+cz+d=0,{displaystyle ax+by+cz+d=0,} el vector n=()a,b,c){displaystyle mathbf {n} =(a,b,c)} es normal.

Para un plano cuya ecuación se da en forma paramétrica

r()s,t)=r0+sp+tq,{displaystyle mathbf {r} (s,t)=mathbf {r} _{0}+smathbf {p} - No.

r0{displaystyle mathbf {r} ¿Qué?

p,q{displaystyle mathbf {p}Mathbf {q}

p{displaystyle mathbf {p}

q,{displaystyle mathbf {q}

n=p× × q.{displaystyle mathbf {n} =mathbf {p} times mathbf {q}

Si una superficie (posiblemente no plana) S{displaystyle S. en el espacio 3D R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} está parametizada por un sistema de coordenadas curvilinear r()s,t)=()x()s,t),Sí.()s,t),z()s,t)),{displaystyle mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),} con s{displaystyle s} y t{displaystyle t} variables reales, luego normales a S es por definición normal a un plano tangente, dado por el producto cruzado de los derivados parciales

n=∂ ∂ r∂ ∂ s× × ∂ ∂ r∂ ∂ t.{displaystyle mathbf {n} ={frac {partial mathbf {r} {partial s}times {partial mathbf {r} {f} {fn}fnfnfn}fnfnf}fn}fnfnf} }{partial }

Si una superficie S{displaystyle S. se da implícitamente como el conjunto de puntos ()x,Sí.,z){displaystyle (x,y,z)} satisfacción F()x,Sí.,z)=0,{displaystyle F(x,y,z)=0,} entonces una normalidad en un punto ()x,Sí.,z){displaystyle (x,y,z)} sobre la superficie es dada por el gradiente

n=Silencio Silencio F()x,Sí.,z).{displaystyle mathbf {n} =nabla F(x,y,z). }

S.{displaystyle S.}

Para una superficie S{displaystyle S. dentro R3{displaystyle mathbb {R} {} {}}} dado como el gráfico de una función z=f()x,Sí.),{displaystyle z=f(x,y),} se puede encontrar una normalidad ascendente ya sea desde la parametrización r()x,Sí.)=()x,Sí.,f()x,Sí.)),{displaystyle mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),} dar

n=∂ ∂ r∂ ∂ x× × ∂ ∂ r∂ ∂ Sí.=()1,0,∂ ∂ f∂ ∂ x)× × ()0,1,∂ ∂ f∂ ∂ Sí.)=()− − ∂ ∂ f∂ ∂ x,− − ∂ ∂ f∂ ∂ Sí.,1);{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicros {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}f}}}f}}}f}f}cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

F()x,Sí.,z)=z− − f()x,Sí.)=0,{displaystyle F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,}

n=Silencio Silencio F()x,Sí.,z)=()− − ∂ ∂ f∂ ∂ x,− − ∂ ∂ f∂ ∂ Sí.,1).{displaystyle mathbf {n} =nabla F(x,y,z)=left(-{tfrac {partial f}{partial x}},-{tfrac {partial f}{partial y}},1right). }

Elección de la normalidad

Un campo vectorial de normales a una superficie

La normal a una (hiper)superficie generalmente se escala para tener una unidad de longitud, pero no tiene una dirección única, ya que su opuesto también es una unidad normal. Para una superficie que es el límite topológico de un conjunto en tres dimensiones, se puede distinguir entre la normal que apunta hacia adentro y la normal que apunta hacia afuera. Para una superficie orientada, la normal suele estar determinada por la regla de la mano derecha o su análogo en dimensiones superiores.

Si la normal se construye como el producto cruzado de vectores tangentes (como se describe en el texto anterior), es un pseudovector.

Transformación de normales

Al aplicar una transformación a una superficie, suele ser útil derivar las normales para la superficie resultante a partir de las normales originales.

Específicamente, dada una matriz de transformación 3×3 M,{displaystyle mathbf {M} podemos determinar la matriz W{displaystyle mathbf {W} que transforma un vector n{displaystyle mathbf {n} perpendicular al plano tangente t{displaystyle mathbf {t} en un vector n.. {displaystyle mathbf {n} perpendicular al plano tangente transformado Mt,{displaystyle mathbf {Mt} por la siguiente lógica:

Escriba n como Wn.{displaystyle mathbf {Wn} Debemos encontrar W.{displaystyle mathbf {W}

Wnes perpendicular aMtsi0=()Wn)⋅ ⋅ ()Mt)si0=()Wn)T()Mt)si0=()nTWT)()Mt)si0=nT()WTM)t{displaystyle {begin{alignedat}{5}Wmathbb {n} {text{ is perpendicular to }}}Mmathbb {t} quad , limit{text{ if and only if }quad} 0=(Wmathbb {n})cdot (Mmathbb {t})\\cH00{text{ if and only if }quad 0=(Wmathbb {n}{mathrm {T}(Mmathbb {t})\\fn}quad 0=left(mathbb {n} ¿Qué? {T}left(W^{mathrm) Mathbb {t}end{alignedat}}

Elegir W{displaystyle mathbf {W} tales que WTM=I,{displaystyle ¿Qué? o W=()M− − 1)T,{displaystyle ¿Qué? satisfará la ecuación anterior, dando una Wn{displaystyle Wmathbb {n} perpendicular a Mt,{displaystyle Mmathbb {t} o un n.. {displaystyle mathbf {n} perpendicular a t.. ,{displaystyle mathbf {t} según sea necesario.

Por lo tanto, se debe usar la transposición inversa de la transformación lineal al transformar superficies normales. La transpuesta inversa es igual a la matriz original si la matriz es ortonormal, es decir, puramente rotacional sin escala ni corte.

Hipersuperficies en el espacio n-dimensional

Para un ()n− − 1){displaystyle (n-1)}- hiperplano dimensional en n{displaystyle n}- espacio dimensional Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} dada por su representación paramétrica

r()t1,...... ,tn− − 1)=p0+t1p1+⋯ ⋯ +tn− − 1pn− − 1,{displaystyle mathbf {r} left(t_{1},ldotst_{n-1}right)=mathbf {p} ¿Qué? {p} ¿Qué? - No.

p0{displaystyle mathbf {p} ¿Qué?

pi{displaystyle mathbf {p} _{i}

i=1,...... ,n− − 1{displaystyle i=1,ldotsn-1}

n{displaystyle mathbf {n}

P=[p1⋯ ⋯ pn− − 1],{displaystyle P={begin{bmatrix}mathbf {p} _{1}cdots &mathbf {p} _{n-1}end{bmatrix}}}}}

Pn=0.{displaystyle Pmathbf {n} =mathbf {0}

a1x1+⋯ ⋯ +anxn=c,{displaystyle a_{1}x_{1}+cdots ¿Qué?

n=()a1,...... ,an){displaystyle mathbb {n} =left(a_{1},ldotsa_{n}right)}

La definición de una normalidad a una superficie en el espacio tridimensional se puede ampliar a ()n− − 1){displaystyle (n-1)}- hipersuperficies dimensionales en Rn.{displaystyle mathbb {R} ^{n} Una hipersuperficie puede ser localmente definida implícitamente como el conjunto de puntos ()x1,x2,...... ,xn){displaystyle (x_{1},x_{2},ldotsx_{n}} satisfacer una ecuación F()x1,x2,...... ,xn)=0,{displaystyle F(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}=0,} Donde F{displaystyle F} es una función de escalar dada. Si F{displaystyle F} es continuamente diferenciable entonces la hipersuperficie es un múltiple diferenciable en el barrio de los puntos donde el gradiente no es cero. En estos puntos un vector normal es dado por el gradiente:

n=Silencio Silencio F()x1,x2,...... ,xn)=()∂ ∂ F∂ ∂ x1,∂ ∂ F∂ ∂ x2,...... ,∂ ∂ F∂ ∂ xn).{displaystyle mathbb {n} =nabla Fleft(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}right)=left({tfrac {partial F}{partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?

El línea normal es el subespacio unidimensional con base {}n}.{displaystyle{sfn}.

Variedades definidas por ecuaciones implícitas en el espacio n-dimensional

A variedad diferencial definido por ecuaciones implícitas en n{displaystyle n}- espacio dimensional Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} es el conjunto de los ceros comunes de un conjunto finito de funciones diferenciables en n{displaystyle n} variables

f1()x1,...... ,xn),...... ,fk()x1,...... ,xn).{displaystyle f_{1}left(x_{1},ldotsx_{n}right),ldotsf_{k}left(x_{1},ldotsx_{n}right).}}}

k× × n{displaystyle ktimes n}

i{displaystyle i}

fi.{displaystyle F_{i}.

k.{displaystyle k.}

P,{displaystyle P,}

P{displaystyle P}

fi.{displaystyle F_{i}.

En otras palabras, una variedad se define como la intersección de k{displaystyle k} hipersuperficies, y el espacio vectorial normal en un punto es el espacio vectorial generado por los vectores normales de las hipersuperficies en el punto.

El espacio normal (afine) en un momento P{displaystyle P} de la variedad es el subespacial affine que pasa por P{displaystyle P} y generado por el espacio vectorial normal P.{displaystyle P.}

Estas definiciones pueden extenderse verbatim a los puntos donde la variedad no es una variedad.

Ejemplo

Sea V la variedad definida en el espacio tridimensional por las ecuaciones

xSí.=0,z=0.{displaystyle x,y=0,quad z=0.}

x{displaystyle x}

Sí.{displaystyle y}

En un momento ()a,0,0),{displaystyle (a,0,0),} Donde aل ل 0,{displaystyle aneq 0,} las filas de la matriz Jacobiana son ()0,0,1){displaystyle (0,0,1)} y ()0,a,0).{displaystyle (0,a,0). } Así, el espacio afine normal es el plano de la ecuación x=a.{displaystyle x=a.} Del mismo modo, si bل ل 0,{displaystyle bneq 0,} el plano normal a ()0,b,0){displaystyle (0,b,0)} es el plano de la ecuación Sí.=b.{displaystyle y=b.}

En el punto ()0,0,0){displaystyle (0,0,0)} las filas de la matriz Jacobiana son ()0,0,1){displaystyle (0,0,1)} y ()0,0,0).{displaystyle (0,0,0). } Por lo tanto el espacio vectorial normal y el espacio afine normal tienen dimensión 1 y el espacio afinado normal es el z{displaystyle z}-Eje.

Usos

• Las normales superficiales son útiles para definir las integrales superficiales de los campos vectoriales.
• Las normales de superficie se utilizan comúnmente en gráficos de computación 3D para cálculos de iluminación (ver la ley cosina de Lambert), a menudo ajustados por cartografía normal.
• Las capas de render que contienen información normal superficial se pueden utilizar en la composición digital para cambiar la iluminación aparente de los elementos renderizados.
• En la visión de la computadora, las formas de objetos 3D se calculan a partir de las normales de superficie utilizando estereo estéreo fotométrico.

Normal en óptica geométrica

Diagrama de reflexión especular

El rayo normal es el rayo que apunta hacia afuera perpendicular a la superficie de un medio óptico en un punto dado. En la reflexión de la luz, el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son, respectivamente, el ángulo entre el rayo normal y el incidente (en el plano de incidencia) y el ángulo entre el rayo normal y el reflejado.