Nomograma

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Calculadora gráfica analógica

Un nomograma (del griego nomos νόμος, "ley" y grammē γραμμή, "línea"), también llamado nomógrafo, gráfico de alineación o abac, es un dispositivo de cálculo gráfico, un diagrama bidimensional diseñado para permitir la cálculo gráfico de una función matemática. El campo de la nomografía fue inventado en 1884 por el ingeniero francés Philbert Maurice d'Ocagne (1862–1938) y se utilizó ampliamente durante muchos años para proporcionar a los ingenieros cálculos gráficos rápidos de fórmulas complicadas con una precisión práctica. Los nomogramas utilizan un sistema de coordenadas paralelas inventado por d'Ocagne en lugar de coordenadas cartesianas estándar.

Un nomograma consiste en un conjunto de n escalas, una para cada variable en una ecuación. Conociendo los valores de n-1 variables, se puede encontrar el valor de la variable desconocida, o fijando los valores de algunas variables, se puede estudiar la relación entre las no fijadas. El resultado se obtiene colocando una regla sobre los valores conocidos en las escalas y leyendo el valor desconocido desde donde cruza la escala para esa variable. La línea virtual o dibujada creada por la regla se llama línea de índice o isopleta.

Los nomogramas florecieron en muchos contextos diferentes durante aproximadamente 75 años porque permitían cálculos rápidos y precisos antes de la era de las calculadoras de bolsillo. Los resultados de un nomograma se obtienen de manera muy rápida y confiable simplemente dibujando una o más líneas. El usuario no tiene que saber cómo resolver ecuaciones algebraicas, buscar datos en tablas, usar una regla de cálculo o sustituir números en ecuaciones para obtener resultados. El usuario ni siquiera necesita saber la ecuación subyacente que representa el nomograma. Además, los nomogramas incorporan naturalmente conocimiento de dominio implícito o explícito en su diseño. Por ejemplo, para crear nomogramas más grandes para una mayor precisión, el nomógrafo generalmente incluye solo rangos de escala que son razonables y de interés para el problema. Muchos nomogramas incluyen otras marcas útiles, como etiquetas de referencia y regiones coloreadas. Todos estos proporcionan guías útiles para el usuario.

Al igual que una regla de cálculo, un nomograma es un dispositivo de cálculo analógico gráfico. También como una regla de cálculo, su precisión está limitada por la precisión con la que se pueden dibujar, reproducir, ver y alinear las marcas físicas. A diferencia de la regla de cálculo, que es un dispositivo de cálculo de propósito general, un nomograma está diseñado para realizar un cálculo específico con tablas de valores integradas en las escalas del dispositivo. Los nomogramas se utilizan normalmente en aplicaciones para las que el nivel de precisión que proporcionan es suficiente y útil. Alternativamente, se puede usar un nomograma para verificar una respuesta obtenida mediante un cálculo más exacto pero propenso a errores.

Otros tipos de calculadoras gráficas, como las tablas de intersección, los diagramas trilineales y las tablas hexagonales, a veces se denominan nomogramas. Estos dispositivos no cumplen con la definición de un nomograma como una calculadora gráfica cuya solución se encuentra mediante el uso de una o más isopletas lineales.

Descripción

Un nomograma para una ecuación de tres variables normalmente tiene tres escalas, aunque existen nomogramas en los que dos o incluso las tres escalas son comunes. Aquí dos escalas representan valores conocidos y la tercera es la escala donde se lee el resultado. La ecuación más simple es u₁ + u₂ + u₃ = 0 para las tres variables u₁, u₂ y u₃. A la derecha se muestra un ejemplo de este tipo de nomograma, anotado con los términos utilizados para describir las partes de un nomograma.

A veces, las ecuaciones más complicadas se pueden expresar como la suma de las funciones de las tres variables. Por ejemplo, el nomograma en la parte superior de este artículo podría construirse como un nomograma de escala paralela porque puede expresarse como tal suma después de tomar logaritmos de ambos lados de la ecuación.

La escala de la variable desconocida puede estar entre las otras dos escalas o fuera de ellas. Los valores conocidos del cálculo están marcados en las escalas para esas variables, y se dibuja una línea entre estas marcas. El resultado se lee en la escala desconocida en el punto donde la línea se cruza con esa escala. Las escalas incluyen 'marcas de verificación' para indicar ubicaciones de números exactos, y también pueden incluir valores de referencia etiquetados. Estas escalas pueden ser lineales, logarítmicas o tener alguna relación más compleja.

La isopleta de muestra que se muestra en rojo en el nomograma en la parte superior de este artículo calcula el valor de T cuando S = 7,30 y R = 1,17. La isopleta cruza la escala de T justo por debajo de 4,65; una cifra más grande impresa en alta resolución en papel produciría T = 4,64 con una precisión de tres dígitos. Tenga en cuenta que cualquier variable se puede calcular a partir de los valores de las otras dos, una característica de los nomogramas que es particularmente útil para ecuaciones en las que una variable no se puede aislar algebraicamente de las otras variables.

Las escalas rectas son útiles para cálculos relativamente simples, pero para cálculos más complejos puede ser necesario el uso de escalas curvas simples o elaboradas. Se pueden construir nomogramas para más de tres variables mediante la incorporación de una cuadrícula de escalas para dos de las variables, o mediante la concatenación de nomogramas individuales de menor número de variables en un nomograma compuesto.

Aplicaciones

Los nomogramas se han utilizado en una amplia gama de aplicaciones. Una muestra incluye:

La aplicación original de d'Ocagne, la automatización de complicados cálculos de corte y llenado para la remoción de tierra durante la construcción del sistema ferroviario nacional francés. Esta fue una prueba importante del concepto, porque los cálculos no son reales y los resultados se traducen en ahorros significativos de tiempo, esfuerzo y dinero.
El diseño de canales, tuberías y alambres para regular el flujo de agua.
El trabajo de Lawrence Henderson, en el que se utilizaron nomogramas para correlacionar muchos aspectos diferentes de la fisiología de la sangre. Fue el primer uso importante de nomogramas en los Estados Unidos y también los primeros nomogramas médicos en cualquier lugar.
Campos médicos, como farmacia y oncología.
Cálculos balísticos antes de sistemas de control de incendios, donde el tiempo de cálculo era crítico.
Calificaciones de la tienda de máquinas, para convertir dimensiones de planos y realizar cálculos basados en dimensiones y propiedades materiales. Estos nomogramas a menudo incluían marcas para dimensiones estándar y para piezas manufacturadas disponibles.
Estadísticas, para cálculos complicados de propiedades de distribuciones y para investigación de operaciones, incluyendo el diseño de pruebas de aceptación para el control de calidad.
Operaciones Research, para obtener resultados en una variedad de problemas de optimización.
Química e ingeniería química, para encapsular tanto las relaciones físicas generales como los datos empíricos para compuestos específicos.
Aeronáutica, en la que se utilizaron nomogramas durante décadas en las cabinas de aviones de todas las descripciones. Como ayuda de navegación y control de vuelo, las nomogramas eran calculadoras rápidas, compactas y fáciles de usar.
Cálculos astronómicos, como en los cálculos orbitales posteriores al lanzamiento de Sputnik 1 por P.E. Elyasberg.
Ingeniería de todo tipo: Diseño eléctrico de filtros y líneas de transmisión, cálculos mecánicos de estrés y carga, cálculos ópticos, etc.
Militar, donde se necesitan cálculos complejos en el campo rápidamente y con fiabilidad no depende de dispositivos eléctricos.
Seismología, donde se han elaborado nomogramas para estimar la magnitud del terremoto y presentar los resultados de los análisis de peligros sísmicos probabilísticos

Ejemplos

Resistencia paralela/lente delgada

Nomograma de resistencia eléctrica paralela

El siguiente nomograma realiza el cálculo:

{displaystyle f(A,B)={frac {1}{1/A+1/B}}={frac {AB}{A+B}}}

Este nomograma es interesante porque realiza un cálculo no lineal útil utilizando sólo escalas rectas, igualmente graduadas. Mientras que la línea diagonal tiene una escala ${sqrt {2}}$ tiempos más grandes que las escalas de ejes, los números en él coinciden exactamente con los directamente debajo o a su izquierda, y por lo tanto se puede crear fácilmente dibujando una línea recta diagonal en una hoja de papel gráfico.

A y B se ingresan en las escalas horizontal y vertical, y el resultado se lee en la escala diagonal. Al ser proporcional a la media armónica de A y B, esta fórmula tiene varias aplicaciones. Por ejemplo, es la fórmula de resistencia paralela en electrónica y la ecuación de lente delgada en óptica.

En el ejemplo, la línea roja demuestra que las resistencias paralelas de 56 y 42 ohmios tienen una resistencia combinada de 24 ohmios. También demuestra que un objeto a una distancia de 56 cm de una lente cuya distancia focal es de 24 cm forma una imagen real a una distancia de 42 cm.

Cálculo de la prueba de chi-cuadrado

El nomograma a continuación se puede usar para realizar un cálculo aproximado de algunos valores necesarios al realizar una prueba estadística familiar, la prueba de chi-cuadrado de Pearson. Este nomograma demuestra el uso de escalas curvas con graduaciones espaciadas irregularmente.

La expresión relevante es:

{displaystyle {frac {(OBS-EXP)^{2}}{EXP}}}

La escala en la parte superior se comparte entre cinco rangos diferentes de valores observados: A, B, C, D y E. El valor observado se encuentra en uno de estos rangos y la marca utilizada en esa escala se encuentra inmediatamente. sobre eso. Luego, la escala curva utilizada para el valor esperado se selecciona en función del rango. Por ejemplo, un valor observado de 9 usaría la marca encima del 9 en el rango A, y la escala curva A se usaría para el valor esperado. Un valor observado de 81 usaría la marca arriba de 81 en el rango E, y la escala curva E se usaría para el valor esperado. Esto permite incorporar cinco nomogramas diferentes en un solo diagrama.

De esta manera, la línea azul demuestra el cálculo de:

(9 − 5)² / 5 = 3,2

y la línea roja demuestra el cálculo de:

(81 − 70)² / 70 = 1,7

Al realizar la prueba, a menudo se aplica la corrección de continuidad de Yates, y simplemente implica restar 0,5 de los valores observados. Se podría construir un nomograma para realizar la prueba con la corrección de Yates simplemente desplazando cada uno de los valores "observados" escala media unidad a la izquierda, de manera que las graduaciones 1.0, 2.0, 3.0,... se coloquen donde aparecen los valores 0.5, 1.5, 2.5,... en la presente tabla.

Evaluación de riesgos alimentarios

Aunque los nomogramas representan relaciones matemáticas, no todos se derivan matemáticamente. El siguiente se desarrolló gráficamente para lograr resultados finales apropiados que pudieran definirse fácilmente por el producto de sus relaciones en unidades subjetivas en lugar de numéricamente. El uso de ejes no paralelos permitió incorporar las relaciones no lineales al modelo.

Los números en recuadros cuadrados indican los ejes que requieren información después de una evaluación adecuada.

El par de nomogramas en la parte superior de la imagen determina la probabilidad de ocurrencia y la disponibilidad, que luego se incorporan al nomograma de varias etapas de la parte inferior.

Did you mean:

Lines 8 and 10 are 'tie lines ' or 'pivot lines#39; and are used for the transition between the stages of the compound nomogram.

El último par de escalas logarítmicas paralelas (12) no son nomogramas como tales, sino escalas de lectura para traducir la puntuación de riesgo (11, remota a extremadamente alta) en una frecuencia de muestreo para abordar aspectos de seguridad y otros 'protección al consumidor' aspectos respectivamente. Esta etapa requiere 'compromiso político' equilibrar el costo contra el riesgo. El ejemplo utiliza una frecuencia mínima de tres años para cada uno, aunque con el extremo de alto riesgo de las escalas diferente para los dos aspectos, dando diferentes frecuencias para los dos, pero ambas sujetas a un muestreo mínimo general de cada alimento para todos los aspectos al menos una vez cada tres años.

Este nomograma de evaluación de riesgos fue desarrollado por el Servicio de Analistas Públicos del Reino Unido con fondos de la Agencia de Normas Alimentarias del Reino Unido para usarlo como una herramienta para guiar la frecuencia adecuada de muestreo y análisis de alimentos para fines oficiales de control de alimentos, destinado a ser utilizado para evaluar todos los problemas potenciales con todos los alimentos, aunque aún no se ha adoptado.