Noción primitiva

En matemáticas, lógica, filosofía y sistemas formales, una noción primitiva es un concepto que no se define en términos de conceptos previamente definidos. A menudo está motivado de manera informal, generalmente por una apelación a la intuición y la experiencia cotidiana. En una teoría axiomática, las relaciones entre nociones primitivas están restringidas por axiomas. Algunos autores se refieren a este último como "definiendo" nociones primitivas por uno o más axiomas, pero esto puede ser engañoso. Las teorías formales no pueden prescindir de las nociones primitivas, so pena de una regresión infinita (por el problema de la regresión).

Por ejemplo, en la geometría contemporánea, punto, línea y contiene son algunas nociones primitivas. En lugar de intentar definirlos, su interacción se rige (en el sistema de axiomas de Hilbert) por axiomas como 'Por cada dos puntos existe una línea que los contiene a ambos'.

Detalles

Alfred Tarski explicó el papel de las nociones primitivas de la siguiente manera:

Cuando nos propusimos construir una disciplina dada, distinguimos, ante todo, un pequeño grupo de expresiones de esta disciplina que nos parecen ser inmediatamente comprensibles; las expresiones en este grupo llamamos TERMS primitivos o TERMS UNDEFINED, y las empleamos sin explicar sus significados. Al mismo tiempo adoptamos el principio: no emplear ninguna de las otras expresiones de la disciplina que se examina, a menos que su significado se haya determinado primero con la ayuda de términos primitivos y de tales expresiones de la disciplina cuyos significados se han explicado anteriormente. La frase que determina el significado de un término de esta manera se llama DEFINICIÓN,...

Gilbert de B. Robinson explicó una inevitable regresión a las nociones primitivas en la teoría del conocimiento:

Para un no matemático a menudo viene como una sorpresa que es imposible definir explícitamente todos los términos que se utilizan. Esto no es un problema superficial, sino que se encuentra en la raíz de todo conocimiento; es necesario comenzar en alguna parte, y hacer progresos, uno debe indicar claramente los elementos y las relaciones que son indefinidos y las propiedades que se dan por sentado.

Ejemplos

La necesidad de nociones primitivas se ilustra en varios fundamentos axiomáticos de las matemáticas:

• Teoría de conjunto: El concepto del conjunto es un ejemplo de una noción primitiva. Como escribe Mary Tiles: [La] 'definición' de 'set' es menos una definición que un intento de explicación de algo que se está dando el estado de un término primitivo, indefinido. Como evidencia, cita a Felix Hausdorff: "Un conjunto está formado por la agrupación de objetos individuales en un todo. Un conjunto es un pensamiento plural como unidad."
• Teoría de conjunto ingenuo: El conjunto vacío es una noción primitiva. Afirmar que existe sería un axioma implícito.
• Peano aritmética: La función sucesora y el número cero son nociones primitivas. Puesto que Peano aritmética es útil en cuanto a propiedades de los números, los objetos que representan las nociones primitivas pueden no importar estrictamente.
• Sistemas axiomáticos: Las nociones primitivas dependerán del conjunto de axiomas elegidos para el sistema. Alessandro Padoa discutió esta selección en el Congreso Internacional de Filosofía en París en 1900. Las propias nociones tal vez no necesiten necesariamente ser expresadas; Susan Haack (1978) escribe: "Un conjunto de axiomas a veces se dice que da una definición implícita de sus términos primitivos".
• Geometría euclidiana: Bajo el sistema de axioma de Hilbert las nociones primitivas son punto, línea, plano, congruencia, entre, y incidencia.
• Geometría euclidiana: Bajo el sistema de axioma de Peano las nociones primitivas son punto, segmento, y moción.

Primitivas de Russell

En su libro sobre filosofía de las matemáticas, Los principios de las matemáticas, Bertrand Russell usó estas nociones: Para el cálculo de clases (teoría de conjuntos) usó relaciones, tomando la pertenencia a conjuntos como una noción primitiva. Para establecer conjuntos también requiere funciones proposicionales como primitivas, así como la frase "tal que" como se usa en la notación de construcción de conjuntos. (pp 18,9) Respecto a las relaciones, Russell toma como nociones primitivas la relación inversa y la relación complementaria de un xRy dado. Además, los productos lógicos de relaciones y los productos relativos de relaciones son primitivos. (pág. 25) En cuanto a la denotación de objetos por descripción, Russell reconoce que se trata de una noción primitiva. (p 27) La tesis del libro de Russell es "Las matemáticas puras usan solo unas pocas nociones, y estas son constantes lógicas." (pág xxi)