No paciente

En teoría de números, un nontotient es un entero positivo n que no es un número totiente: no está en el rango de la función totiente de Euler φ, es decir, la ecuación φ(x) = n no tiene solución x. En otras palabras, n es un no paciente si no hay ningún número entero x que tenga exactamente n coprimos debajo. Todos los números impares son no-tocientes, excepto el 1, ya que tiene las soluciones x = 1 y x = 2. Los primeros pocos pares no-tocientes son

14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98, 114, 118, 122, 124, 134, 142, 146, 152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 194, 202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248, 254, 258, 266, 274, 284, 286, 290, 298,... A005277 en el OEIS)

El mínimo k tal que el totiente de k sea n son (0 si no existe tal k)

1, 3, 0, 5, 0, 7, 0, 15, 0, 11, 0, 13, 0, 0, 17, 0, 19, 0, 25, 0, 23, 0, 35, 0, 0, 29, 0, 31, 0, 51, 0, 0, 0, 37, 0, 0, 0, 41, 0, 43, 0, 69, 0, 47, 61, 65, 0, 0, 53, 0, 53 A049283 en el OEIS)

El mayor k tal que el totiente de k es n son (0 si no existe tal k)

2, 6, 0, 12, 0, 18, 0, 30, 0, 22, 0, 42, 0, 0, 0, 60, 0, 54, 0, 66, 0, 46, 0, 90, 0, 0, 58, 0, 62, 0, 120, 0, 0, 126, 0, 0, 150, 0, 98, 0, 138, 0, 94, 0, 210, 0, 162, 0, A057635 en el OEIS)

Número de k tales que φ(k) = n son (comience con n = 0)

0, 2, 3, 0, 4, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 6, 0, 0, 0, 6, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 7, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 0, 9, 0, 9, 0, 4, 0, 3, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0, A014197 en el OEIS)

Según la conjetura de Carmichael, no hay unos en esta secuencia.

Un no tociente par puede ser uno más que un número primo, pero nunca uno menos, ya que todos los números por debajo de un número primo son, por definición, coprimos con respecto a él. Para decirlo algebraicamente, para p primo: φ(p) = p − 1. Además, un número pronico n(n − 1) ciertamente no es un no paciente si n es primo ya que φ(p²) = p(p − 1).

Si un número natural n es un tociente, se puede demostrar que n · 2^k es un paciente para todo número natural k.

Hay infinitos números pares no dependientes: de hecho, hay infinitos números primos distintos p (como 78557 y 271129, ver número de Sierpinski) tales que todos los números de la forma 2^{< i>a}p son no-tocientes, y cada número impar tiene un múltiplo par que es un no-tociente.