Nivel de Fermi

El nivel de Fermi de un cuerpo de estado sólido es el trabajo termodinámico requerido para agregar un electrón al cuerpo. Es una cantidad termodinámica generalmente denotada por µ o E_F para ser breve. El nivel de Fermi no incluye el trabajo requerido para remover el electrón de donde sea que haya venido. Una comprensión precisa del nivel de Fermi, cómo se relaciona con la estructura de la banda electrónica para determinar las propiedades electrónicas, cómo se relaciona con el voltaje y el flujo de carga en un circuito electrónico, es esencial para comprender la física del estado sólido.

En la teoría de la estructura de bandas, utilizada en la física del estado sólido para analizar los niveles de energía en un sólido, el nivel de Fermi se puede considerar como un nivel de energía hipotético de un electrón, tal que en el equilibrio termodinámico este nivel de energía tendría un 50% de probabilidad de estar ocupado en un momento dado. La posición del nivel de Fermi en relación con los niveles de energía de la banda es un factor crucial para determinar las propiedades eléctricas. El nivel de Fermi no corresponde necesariamente a un nivel de energía real (en un aislador el nivel de Fermi se encuentra en la banda prohibida), ni requiere la existencia de una estructura de bandas. No obstante, el nivel de Fermi es una cantidad termodinámica definida con precisión, y las diferencias en el nivel de Fermi se pueden medir simplemente con un voltímetro.

Medición de tensión

Un voltímetro mide diferencias en el nivel de Fermi divididas por carga de electrones.

A veces se dice que las corrientes eléctricas son impulsadas por diferencias en el potencial electrostático (potencial de Galvani), pero esto no es exactamente cierto. Como contraejemplo, los dispositivos de múltiples materiales, como las uniones p-n, contienen diferencias de potencial electrostático interno en equilibrio, pero sin ninguna corriente neta que lo acompañe; si se conecta un voltímetro a la unión, uno simplemente mide cero voltios. Claramente, el potencial electrostático no es el único factor que influye en el flujo de carga en un material: la repulsión de Pauli, los gradientes de concentración de portadores, la inducción electromagnética y los efectos térmicos también juegan un papel importante.

De hecho, la cantidad llamada voltaje medida en un circuito electrónico tiene una relación simple con el potencial químico de los electrones (nivel de Fermi). Cuando los cables de un voltímetro se conectan a dos puntos en un circuito, el voltaje mostrado es una medida del trabajo total transferido cuando se permite que una unidad de carga se mueva de un punto al otro. Si se conecta un cable simple entre dos puntos de voltaje diferente (formando un cortocircuito), la corriente fluirá de voltaje positivo a negativo, convirtiendo el trabajo disponible en calor.

El nivel de Fermi de un cuerpo expresa el trabajo requerido para agregarle un electrón, o igualmente el trabajo obtenido al quitarle un electrón. Por lo tanto, V_A − V_B, la diferencia de voltaje observada entre dos puntos, A y B, en un circuito electrónico está exactamente relacionado con la diferencia de potencial químico correspondiente, µ_A − µ_B, en el nivel de Fermi por la fórmula

VA− − VB=μ μ A− − μ μ B− − e{displaystyle V_{mathrm {A}-V_{mathrm {B}={frac {mu} _{mathrm {fnK} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}}} {m}

De la discusión anterior se puede ver que los electrones se moverán de un cuerpo de alto µ (bajo voltaje) a bajo µ (alto voltaje) si un camino simple está provisto. Este flujo de electrones hará que el µ más bajo aumente (debido a la carga u otros efectos de repulsión) y también hará que el µ más alto disminuya. Eventualmente, µ se establecerá en el mismo valor en ambos cuerpos. Esto lleva a un hecho importante con respecto al estado de equilibrio (apagado) de un circuito electrónico:

Esto también significa que el voltaje (medido con un voltímetro) entre dos puntos cualesquiera será cero, en equilibrio. Tenga en cuenta que el equilibrio termodinámico aquí requiere que el circuito esté conectado internamente y no contenga baterías u otras fuentes de energía, ni variaciones de temperatura.

Estructura de bandas de sólidos

Filling of the electronic states in various types of materials at equilibrium. Aquí, la altura es energía mientras que el ancho es la densidad de los estados disponibles para cierta energía en el material listado. La sombra sigue la distribución Fermi-Dirac (negro: todos los estados llenos, blanco: ningún estado lleno). En metales y semimetales el nivel Fermi E_F miente dentro al menos una banda.

En los aisladores y semiconductores el nivel Fermi está dentro de una brecha de banda; sin embargo, en semiconductores las bandas están lo suficientemente cerca al nivel Fermi para ser térmicamente pobladas con electrones o agujeros.

edición

Distribución Fermi-Dirac f()ε ε ){displaystyle f(epsilon)} vs. energía ε ε {displaystyle epsilon }, con μ= 0.55 eV y para diversas temperaturas en el rango 50 K ≤ T ≤ 375 K.

En la teoría de bandas de sólidos, se considera que los electrones ocupan una serie de bandas compuestas de estados propios de energía de una sola partícula, cada uno de los cuales está etiquetado por ϵ. Aunque esta imagen de una sola partícula es una aproximación, simplifica enormemente la comprensión del comportamiento electrónico y, en general, proporciona resultados correctos cuando se aplica correctamente.

La distribución Fermi-Dirac, f()ε ε ){displaystyle f(epsilon)}, da la probabilidad de que (en equilibrio termodinámico) un estado que tiene energía ε está ocupado por un electrón:

f()ε ε )=1e()ε ε − − μ μ )/kBT+1{displaystyle f(epsilon)={frac {1}{e^{(epsilon) -mu)/k_{mathrm {B}T}+1}}

Aquí, T es la temperatura absoluta y k_B es la constante de Boltzmann. Si hay un estado en el nivel de Fermi (ϵ = µ), entonces este estado tendrá un 50 % de posibilidades de estar ocupado. La distribución se representa en la figura de la izquierda. Cuanto más cerca esté f de 1, mayor será la probabilidad de que este estado esté ocupado. Cuanto más cerca esté f de 0, mayor será la probabilidad de que este estado esté vacío.

La ubicación de µ dentro de la estructura de bandas de un material es importante para determinar el comportamiento eléctrico del material.

• En un aislante, μ se encuentra dentro de una gran brecha de banda, lejos de cualquier estado que pueda llevar corriente.
• En un semiconductor metálico, semimetal o degenerado, μ yace dentro de una banda deslocalizada. Un gran número de estados cercanos μ son térmicamente activos y cargan fácilmente la corriente.
• En un semiconductor intrínseco o ligeramente dopado, μ está lo suficientemente cerca de un borde de banda que hay un número diluido de portadores termalmente excitados que residen cerca de ese borde de banda.

En semiconductores y semimetales, la posición de µ en relación con la estructura de la banda generalmente se puede controlar en un grado significativo mediante dopaje o activación. Estos controles no cambian µ que está fijado por los electrodos, sino que hacen que toda la estructura de la banda se desplace hacia arriba y hacia abajo (a veces también cambia la forma de la estructura de la banda). Para obtener más información sobre los niveles de Fermi de semiconductores, consulte (por ejemplo) Sze.

Referenciación de la banda de conducción local, potencial químico interno y el parámetro ζ

Si el símbolo ℰ se usa para indicar un nivel de energía de electrones medido en relación con la energía del borde de su banda envolvente, ϵ_C, entonces en general tenemos ℰ = ϵ – ϵ_C. Podemos definir un parámetro ζ que haga referencia al nivel de Fermi con respecto al borde de la banda:

Especificaciones Especificaciones =μ μ − − ε ε C.{displaystyle zeta =mu -epsilon _{rm {C}}

Se deduce que la función de distribución de Fermi-Dirac se puede escribir como

f()E)=1e()E− − Especificaciones Especificaciones )/kBT+1.{displaystyle f({mathcal {E})={frac {1}{e^{({mathcal {E}-zeta)/k_{mathrm {B}T}+1}}

La teoría de bandas de los metales fue desarrollada inicialmente por Sommerfeld, a partir de 1927, quien prestó gran atención a la termodinámica y la mecánica estadística subyacentes. De manera confusa, en algunos contextos, la cantidad de referencia de banda ζ puede llamarse nivel de Fermi, potencial químico o potencial electroquímico, lo que lleva a la ambigüedad con el nivel de Fermi referenciado globalmente. En este artículo, los términos nivel de Fermi con referencia a la banda de conducción o potencial químico interno se utilizan para referirse a ζ.

Ejemplo de variaciones en el borde de banda de conducción E_C en un diagrama de banda de GaAs/AlGaAs transistor de alta movilidad basado en heterojunción.

ζ está directamente relacionado con el número de portadores de carga activa, así como con su energía cinética típica y, por lo tanto, está directamente involucrado en la determinación de las propiedades locales del material (como la conductividad eléctrica). Por esta razón, es común centrarse en el valor de ζ al concentrarse en las propiedades de los electrones en un solo material conductor homogéneo. Por analogía con los estados de energía de un electrón libre, el ℰ de un estado es la energía cinética de ese estado y ϵ_C es su potencial energía. Con esto en mente, el parámetro, ζ, también podría etiquetarse como energía cinética de Fermi.

A diferencia de µ, el parámetro, ζ, no es una constante en el equilibrio, sino que varía de un lugar a otro en un material debido a variaciones en ϵ _C, que está determinado por factores como la calidad del material y las impurezas/dopantes. Cerca de la superficie de un semiconductor o semimetal, ζ puede ser fuertemente controlado por campos eléctricos aplicados externamente, como se hace en un transistor de efecto de campo. En un material multibanda, ζ puede incluso tomar múltiples valores en una sola ubicación. Por ejemplo, en una pieza de metal aluminio hay dos bandas de conducción que cruzan el nivel de Fermi (aún más bandas en otros materiales); cada banda tiene una energía de borde diferente, ϵ_C, y un ζ diferente.

El valor de ζ a temperatura cero es ampliamente conocido como la energía de Fermi, a veces escrita ζ₀. Confusamente (nuevamente), el nombre energía de Fermi a veces se usa para referirse a ζ a temperatura distinta de cero.

Temperatura fuera de equilibrio

El nivel de Fermi, μ, y la temperatura, T, son constantes bien definidas para un dispositivo de estado sólido en una situación de equilibrio termodinámico, como cuando está sentado sobre el estante sin hacer nada. Cuando el dispositivo se desequilibra y se pone en uso, estrictamente hablando, el nivel de Fermi y la temperatura ya no están bien definidos. Afortunadamente, a menudo es posible definir un nivel cuasi-Fermi y una cuasi-temperatura para una ubicación dada, que describen con precisión la ocupación de los estados en términos de una distribución térmica. Se dice que el dispositivo está en cuasi-equilibrio cuando y donde tal descripción es posible.

El enfoque de cuasiequilibrio permite construir una imagen simple de algunos efectos de no equilibrio como la conductividad eléctrica de una pieza de metal (como resultado de un gradiente de μ) o su conductividad térmica (como resultado de un gradiente en T). Los cuasi-μ y cuasi-T pueden variar (o no existir en absoluto) en cualquier situación de no equilibrio, como por ejemplo:

• Si el sistema contiene un desequilibrio químico (como en una batería).
• Si el sistema está expuesto a cambiar los campos electromagnéticos (como en condensadores, inductores y transformadores).
• Bajo iluminación de una fuente de luz con una temperatura diferente, como el sol (como en las células solares),
• Cuando la temperatura no es constante dentro del dispositivo (como en los termopares),
• Cuando el dispositivo ha sido alterado, pero no ha tenido tiempo suficiente para reequilibrar (como en sustancias piezoeléctricas o piroeléctricas).

En algunas situaciones, como inmediatamente después de que un material experimente un pulso láser de alta energía, la distribución de electrones no puede describirse mediante ninguna distribución térmica. No se puede definir el nivel cuasi-Fermi o la cuasi-temperatura en este caso; simplemente se dice que los electrones están no termalizados. En situaciones menos dramáticas, como en una celda solar bajo iluminación constante, una descripción de cuasi-equilibrio puede ser posible pero requiere la asignación de valores distintos de μ y T a diferentes bandas (banda de conducción frente a banda de valencia). Incluso entonces, los valores de μ y T pueden saltar discontinuamente a través de una interfaz material (por ejemplo, unión p-n) cuando se conduce una corriente y estar mal definidos. en la propia interfaz.

Técnicas

Problemas de terminología

El término nivel de Fermi se usa principalmente para analizar la física del estado sólido de los electrones en los semiconductores, y es necesario un uso preciso de este término para describir los diagramas de banda en dispositivos que comprenden diferentes materiales con diferentes niveles de dopaje En estos contextos, sin embargo, también se puede ver que el nivel de Fermi se usa de manera imprecisa para referirse al nivel de Fermi con referencia de banda, µ − ϵ_C, llamado ζ arriba. Es común ver a científicos e ingenieros referirse a "controlar", "fijar" o "afinar" el nivel de Fermi dentro de un conductor, cuando en realidad están describiendo cambios en ϵ_C debido al dopaje o al efecto de campo. De hecho, el equilibrio termodinámico garantiza que el nivel de Fermi en un conductor siempre se fija para que sea exactamente igual al nivel de Fermi de los electrodos; solo la estructura de bandas (no el nivel de Fermi) puede cambiarse mediante dopaje o el efecto de campo (ver también diagrama de bandas). Existe una ambigüedad similar entre los términos potencial químico y potencial electroquímico.

También es importante tener en cuenta que el nivel de Fermi no es necesariamente lo mismo que la energía de Fermi. En el contexto más amplio de la mecánica cuántica, el término energía de Fermi generalmente se refiere a la energía cinética máxima de un fermión en un gas de Fermi idealizado que no interactúa, libre de desorden y temperatura cero. Este concepto es muy teórico (no existe un gas de Fermi que no interactúe, y la temperatura cero es imposible de lograr). Sin embargo, encuentra algún uso en la descripción aproximada de enanas blancas, estrellas de neutrones, núcleos atómicos y electrones en un metal. Por otro lado, en los campos de la física y la ingeniería de semiconductores, la energía de Fermi a menudo se usa para referirse al nivel de Fermi descrito en este artículo.

Referencia del nivel de Fermi y ubicación del nivel cero de Fermi

Al igual que la elección del origen en un sistema de coordenadas, el punto cero de energía se puede definir arbitrariamente. Los fenómenos observables sólo dependen de las diferencias de energía. Sin embargo, cuando se comparan cuerpos distintos, es importante que todos sean consistentes en la elección de la ubicación de la energía cero, o de lo contrario se obtendrán resultados sin sentido. Por lo tanto, puede ser útil nombrar explícitamente un punto común para garantizar que los diferentes componentes estén de acuerdo. Por otro lado, si un punto de referencia es intrínsecamente ambiguo (como "el vacío", ver más abajo) causará más problemas.

Una elección práctica y bien justificada de punto común es un conductor físico voluminoso, como la tierra eléctrica o la tierra. Se puede considerar que dicho conductor está en un buen equilibrio termodinámico y, por lo tanto, su µ está bien definido. Proporciona una reserva de carga, de modo que se pueden agregar o eliminar grandes cantidades de electrones sin incurrir en efectos de carga. También tiene la ventaja de ser accesible, por lo que el nivel de Fermi de cualquier otro objeto se puede medir simplemente con un voltímetro.

Por qué no es recomendable utilizar "la energía en el vacío" como referencia cero

Cuando los dos metales representados aquí están en equilibrio termodinámico como se muestra (igual Fermi niveles E_F), el potencial electrostático vacío φ no es plana debido a la diferencia en la función de trabajo.

En principio, uno podría considerar usar el estado de un electrón estacionario en el vacío como punto de referencia para las energías. Este enfoque no es aconsejable a menos que se tenga cuidado de definir exactamente dónde está el vacío. El problema es que no todos los puntos del vacío son equivalentes.

En el equilibrio termodinámico, es típico que existan diferencias de potencial eléctrico del orden de 1 V en el vacío (potenciales de Volta). La fuente de esta variación del potencial de vacío es la variación de la función de trabajo entre los diferentes materiales conductores expuestos al vacío. Justo fuera de un conductor, el potencial electrostático depende sensiblemente del material, así como de la superficie seleccionada (la orientación del cristal, la contaminación y otros detalles).

El parámetro que ofrece la mejor aproximación a la universalidad es el nivel de Fermi con referencia a la Tierra sugerido anteriormente. Esto también tiene la ventaja de que se puede medir con un voltímetro.

Efectos de carga discretos en sistemas pequeños

En los casos en que los "efectos de carga" debido a un solo electrón no son despreciables, las definiciones anteriores deben aclararse. Por ejemplo, considere un capacitor hecho de dos placas paralelas idénticas. Si el condensador está descargado, el nivel de Fermi es el mismo en ambos lados, por lo que uno podría pensar que no se necesita energía para mover un electrón de una placa a la otra. Pero cuando el electrón se ha movido, el condensador se ha cargado (ligeramente), por lo que requiere una pequeña cantidad de energía. En un capacitor normal, esto es insignificante, pero en un capacitor a escala nanométrica puede ser más importante.

En este caso, se debe ser preciso acerca de la definición termodinámica del potencial químico, así como del estado del dispositivo: ¿está aislado eléctricamente o está conectado a un electrodo?

• Cuando el cuerpo es capaz de intercambiar electrones y energía con un electrodo (reservoir), es descrito por el gran conjunto canónico. El valor del potencial químico μ se puede decir que se fija por el electrodo, y el número de electrones N en el cuerpo puede fluctuar. En este caso, el potencial químico de un cuerpo es la cantidad infinitesimal de trabajo necesaria para aumentar el promedio número de electrones por una cantidad infinitesimal (aunque el número de electrones en cualquier momento es un entero, el número promedio varía continuamente.):
  μ μ ().N.,T)=()∂ ∂ F∂ ∂ .N.)T,{displaystyle mu (leftlangle NrightrangleT)=left({frac {partial F}{partial leftlangle Nrightrangle }right)_{T}}}}

  
  Donde F()N, T) es la función de energía libre del gran conjunto canónico.
• Si el número de electrones en el cuerpo es fijo (pero el cuerpo todavía está conectado térmicamente a un baño de calor), entonces está en el conjunto canónico. Podemos definir un potencial químico en este caso literalmente como el trabajo requerido para añadir un electron a un cuerpo que ya tiene exactamente N electrones,
  μ μ .()N,T)=F()N+1,T)− − F()N,T),{displaystyle mu '(N,T)=F(N+1,T)-F(N,T),}

  
  Donde F()N, T) es la función de energía libre del conjunto canónico, alternativamente,
  μ μ .()N,T)=F()N,T)− − F()N− − 1,T)=μ μ .()N− − 1,T).{displaystyle mu ''(N,T)=F(N,T)-F(N-1,T)=mu '(N-1,T). }

  

Estos potenciales químicos no son equivalentes, µ ≠ µ′ ≠ µ″, excepto en el límite termodinámico. La distinción es importante en sistemas pequeños como los que muestran bloqueo de Coulomb. El parámetro, µ, (es decir, en el caso en que se permite que fluctúe el número de electrones) permanece exactamente relacionado con el voltaje del voltímetro, incluso en pequeños sistemas. Entonces, para ser precisos, el nivel de Fermi no se define por un evento de carga determinista por la carga de un electrón, sino por un evento de carga estadístico por una fracción infinitesimal de un electrón.

Notas al pie y referencias