Nilpotente

En matemáticas, un elemento x{displaystyle x} de un anillo R{displaystyle R. se llama nilpotent si existe algún entero positivo n{displaystyle n}, llamado el índice (o a veces grado), tal que xn=0{displaystyle x^{n}=0}.

El término, junto con su hermano idempotente, fue introducido por Benjamin Peirce en el contexto de su trabajo sobre la clasificación de álgebras.

Ejemplos

• Esta definición se puede aplicar en particular a las matrices cuadradas. La matriz

A=()010001000){displaystyle A={begin{pmatrix}0 tarde1}0}}

es nilpotente porque A3=0{displaystyle A^{3}=0}. Vea la matriz de nilpotent para más.

• En el anillo factorial Z/9Z{displaystyle mathbb {Z} {Z}, la clase de equivalencia de 3 es nilpotent porque 3² es congruente con 0 modulo 9.
• Supongamos que dos elementos a{displaystyle a} y b{displaystyle b} en un anillo R{displaystyle R. satisfacer satisfacción ab=0{displaystyle ab=0}. Luego el elemento c=ba{displaystyle c=ba} es nilpotente como
  c2=()ba)2=b()ab)a=0.{displaystyle {begin{aligned}c^{2} {2}\\\fnK(ab)a\\\\\\fnMicrosoft Sans Serif}}}\\fnMicrosoft Sans Serif}

  
  Un ejemplo con matrices (para a,b):
  A=()0101),B=()0100).{displaystyle A={begin{pmatrix}0 tarde1 diez1end{pmatrix};;B={begin{pmatrix}0 limit1 {0}}}}

  
  Aquí. AB=0{displaystyle AB=0} y BA=B{displaystyle BA=B}.

• Por definición, cualquier elemento de un nilsemigroup es nilpotent.

Propiedades

Ningún elemento nilpotente puede ser una unidad (excepto en el anillo trivial, que tiene un solo elemento 0 = 1). Todos los elementos nilpotentes son divisores de cero.

An n× × n{displaystyle ntimes n} matriz A{displaystyle A} con entradas de un campo es nilpotente si y sólo si su polinomio característico es tn{displaystyle t^{n}.

Si x{displaystyle x} es nilpotent, entonces 1− − x{displaystyle 1-x} es una unidad, porque xn=0{displaystyle x^{n}=0} implicaciones

()1− − x)()1+x+x2+⋯ ⋯ +xn− − 1)=1− − xn=1.{displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+cdots +x^{n-1}=1-x^{n}=1.}

Más generalmente, la suma de un elemento unidad y un elemento nilpotente es una unidad cuando conmutan.

Anillos conmutativos

Los elementos nilpotent de un anillo conmutativo R{displaystyle R. forma ideal N{displaystyle {Mathfrak}}; esta es una consecuencia del teorema binomial. Este ideal es el nilradical del anillo. Cada elemento nilpotente x{displaystyle x} en un anillo conmutativo está contenido en cada ideal primario p{displaystyle {Mathfrak}} de ese anillo, desde xn=0▪ ▪ p{displaystyle x^{n}=0in {Mathfrak {p}}. Así que... N{displaystyle {Mathfrak}} está contenida en la intersección de todos los ideales primos.

Si x{displaystyle x} no es nilpotent, somos capaces de localizar con respecto a los poderes de x{displaystyle x}: S={}1,x,x2,...}{displaystyle S={1,x,x^{2}, para conseguir un anillo no cero S− − 1R{displaystyle S^{-1}R}. Los ideales principales del anillo localizado corresponden exactamente a esos ideales primos p{displaystyle {Mathfrak}} de R{displaystyle R. con p∩ ∩ S=∅ ∅ {displaystyle {Mathfrak}cap} S=emptyset }. Como cada anillo no conmutativo de cero tiene un ideal máximo, que es primario, cada no-nilpotent x{displaystyle x} no está contenido en un ideal primo. Así N{displaystyle {Mathfrak}} es exactamente la intersección de todos los ideales primos.

Una característica similar a la de Jacobson radical y aniquilación de módulos simples está disponible para nilradical: elementos nilpotentes de anillo R{displaystyle R. son precisamente aquellos que aniquilan todos los dominios integrales internos al anillo R{displaystyle R. (es decir, de la forma R/I{displaystyle R/I} para ideales primos I{displaystyle Yo...). Esto se deriva del hecho de que nilradical es la intersección de todos los ideales primos.

Elementos nilpotentes en álgebra de Lie

Vamos g{displaystyle {Mathfrak {}} ser un álgebra de Lie. Luego un elemento de g{displaystyle {Mathfrak {}} se llama nilpotente si está en [g,g]{displaystyle [{mthfrak {g},{mthfrak {g}} y ad⁡ ⁡ x{displaystyle operatorname {ad} x} es una transformación nilpotente. Vea también: Jordania descomposición en un álgebra Lie.

Nilpotencia en física

Cualquier operador de escalera en un espacio dimensional finito es nilpotent. Representan a los operadores de creación y aniquilación, que se transforman de un estado a otro, por ejemplo la crianza y reducción de matrices Pauli σ σ ± ± =()σ σ x± ± iσ σ Sí.)/2{displaystyle sigma _{pm }=(sigma _{x}pm isigma _{y}/2}.

An operand Q{displaystyle Q} que satisfice Q2=0{displaystyle Q^{2}=0} es nilpotente. Los números de Grassmann que permiten un camino representación integral para campos fermiónicos son nilpotents desde que sus cuadrados desaparecen. La carga BRST es un ejemplo importante en física.

As linear operators form an associative algebra and thus a ring, this is a special case of the initial definition. Más generalmente, en vista de las definiciones anteriores, un operador Q{displaystyle Q} es nilpotente si hay n▪ ▪ N{displaystyle nin mathbb {N} tales que Qn=0{displaystyle Q^{n}=0} (la función cero). Así, un mapa lineal es nilpotent iff tiene una matriz nilpotent en alguna base. Otro ejemplo para esto es el derivado exterior (de nuevo con n=2{displaystyle n=2}). Ambos están vinculados, también a través de la supersimetría y la teoría de Morse, como lo demuestra Edward Witten en un artículo celebrado.

El campo electromagnético de una onda plana sin fuentes es nilpotente cuando se expresa en términos del álgebra del espacio físico. De manera más general, la técnica de microaditividad (que se puede usar para derivar teoremas en física) hace uso de infinitesimales nilpotentes o nilcuadrados y es parte del análisis infinitesimal suave.

Nilpotentes algebraicas

Los números duales bidimensionales contienen un espacio nilpotente. Otros álgebras y números que contienen espacios nilpotent incluyen cuaterniones divididas (coquaternions), octoniones divididas, biquaternions C⊗ ⊗ H{displaystyle mathbb {C} otimes mathbb {H}, y octoniones complejas C⊗ ⊗ O{displaystyle mathbb {C} otimes mathbb {O}. Si un nilpotent infinitesimal es una variable que tiende a cero, se puede demostrar que cualquier suma de términos para los cuales es el sujeto es una proporción indefinidamente pequeña del primer mandato.