Nicolás Bourbaki

Nicolas Bourbaki (francés: [nikɔla buʁbaki]) es el seudónimo colectivo de un grupo de matemáticos, predominantemente ex alumnos franceses de la École normale supérieure - PSL (ENS). Fundado en 1934-1935, el grupo Bourbaki originalmente pretendía preparar un nuevo libro de texto sobre análisis. Con el tiempo, el proyecto se volvió mucho más ambicioso y se convirtió en una gran serie de libros de texto publicados bajo el nombre de Bourbaki, destinados a tratar las matemáticas puras modernas. La serie se conoce colectivamente como Éléments de mathématique (Elementos de Matemáticas), el trabajo central del grupo. Los temas tratados en la serie incluyen teoría de conjuntos, álgebra abstracta, topología, análisis, grupos de Lie y álgebras de Lie.

Bourbaki se fundó como respuesta a los efectos de la Primera Guerra Mundial que provocó la muerte de una generación de matemáticos franceses; como resultado, los jóvenes profesores universitarios se vieron obligados a utilizar textos fechados. Mientras enseñaba en la Universidad de Estrasburgo, Henri Cartan se quejó con su colega André Weil de la insuficiencia del material del curso disponible, lo que llevó a Weil a proponer una reunión con otros en París para escribir colectivamente un libro de texto de análisis moderno. Los principales fundadores del grupo fueron Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné y Weil; otros participaron brevemente durante los primeros años del grupo y la membresía ha cambiado gradualmente con el tiempo. Aunque los ex miembros discuten abiertamente su participación pasada con el grupo, Bourbaki tiene la costumbre de mantener en secreto su membresía actual.

El nombre del grupo deriva del general francés del siglo XIX Charles-Denis Bourbaki, quien tuvo una carrera de campañas militares exitosas antes de sufrir una pérdida dramática en la guerra franco-prusiana. Por lo tanto, el nombre era familiar para los estudiantes franceses de principios del siglo XX. Weil recordó una broma de un estudiante de ENS en la que un estudiante de último año se hizo pasar por profesor y presentó un "teorema de Bourbaki"; el nombre fue adoptado más tarde.

El grupo Bourbaki celebra conferencias privadas periódicas con el fin de redactar y ampliar los Éléments. Los temas se asignan a los subcomités, los borradores se debaten y se requiere un acuerdo unánime antes de que un texto se considere apto para su publicación. Aunque lento y laborioso, el proceso da como resultado un trabajo que cumple con los estándares de rigor y generalidad del grupo. El grupo también está asociado con Séminaire Bourbaki, una serie regular de conferencias presentadas por miembros y no miembros del grupo, también publicadas y difundidas como documentos escritos. Bourbaki mantiene una oficina en la ENS.

Nicolas Bourbaki fue influyente en las matemáticas del siglo XX, particularmente a mediados de siglo, cuando los volúmenes de Éléments aparecían con frecuencia. El grupo se destaca entre los matemáticos por su presentación rigurosa y por introducir la noción de estructura matemática, una idea relacionada con el concepto más amplio e interdisciplinario del estructuralismo. El trabajo de Bourbaki informó New Math, una tendencia en la educación matemática elemental durante la década de 1960. Aunque el grupo permanece activo, se considera que su influencia ha disminuido debido a la publicación poco frecuente de nuevos volúmenes de Éléments. La publicación más reciente del colectivo apareció en 2019, tratando la teoría espectral (y un volumen adicional sobre el mismo tema está previsto para la primavera de 2023).

Antecedentes

Charles-Denis Bourbaki, general del siglo XIX y nombre del colectivo

Charles-Denis Sauter Bourbaki nació el 22 de abril de 1816 en Pau, Francia, en el seno de una familia de origen griego. Se convirtió en un general exitoso durante la era de Napoleón III, sirviendo en la Guerra de Crimea y otros conflictos. Sin embargo, durante la guerra franco-prusiana, Charles-Denis Bourbaki sufrió una gran derrota. En el momento del asedio de Metz, fue atraído a Gran Bretaña con el falso pretexto de una conferencia de paz y, al regresar al continente, se le encomendó levantar el asedio de Belfort, un esfuerzo que fracasó. Charles-Denis Bourbaki se vio obligado a retirarse con su ejército, el Armée de l'Est, a través de la frontera suiza. La fuerza fue desarmada por los suizos y el general intentó suicidarse sin éxito. Charles-Denis Bourbaki murió más tarde el 27 de septiembre de 1897 y la dramática historia de su derrota entró en la conciencia francesa.

Gaston Julia (derecha), que no era miembro de Bourbaki, perdió la nariz durante la Primera Guerra Mundial. La guerra creó una generación perdida de conocimiento matemático, que los fundadores de Bourbaki buscaban llenar.

A principios del siglo XX, la Primera Guerra Mundial afectó a europeos de todas las profesiones y clases sociales, incluidos matemáticos y estudiantes varones que lucharon y murieron en el frente. Por ejemplo, el matemático francés Gaston Julia, pionero en el estudio de los fractales, perdió la nariz durante la guerra y llevó una correa de cuero sobre la parte afectada del rostro por el resto de su vida. La muerte de los estudiantes de la ENS resultó en una generación perdida en la comunidad matemática francesa; la proporción estimada de estudiantes de matemáticas de la ENS (y estudiantes franceses en general) que murieron en la guerra oscila entre una cuarta parte y la mitad, según los intervalos de tiempo (c. 1900-1918, especialmente 1910-1916) y las poblaciones consideradas. Además, el fundador de Bourbaki, André Weil, comentó en sus memorias Aprendizaje de un matemático que Francia y Alemania adoptaron diferentes enfoques con su intelectualidad durante la guerra: mientras Alemania protegía a sus jóvenes estudiantes y científicos, Francia, en cambio, los comprometía con la frente, debido a la cultura francesa del igualitarismo.

Una generación sucesiva de estudiantes de matemáticas asistió a la ENS durante la década de 1920, incluidos Weil y otros, los futuros fundadores de Bourbaki. Durante su tiempo como estudiante, Weil recordó una broma en la que un estudiante de último año, Raoul Husson [fr], se hizo pasar por profesor y dio una conferencia de matemáticas, que terminó con un mensaje: "Teorema de Bourbaki: debes demostrar lo siguiente...". Weil también estaba al tanto de un truco similar en el que un estudiante decía ser de la nación ficticia y empobrecida de "Poldevia" y solicitó al público donaciones. Weil tenía un gran interés en los idiomas y la cultura india, ya que aprendió sánscrito y leyó el Bhagavad Gita. Después de graduarse de la ENS y obtener su doctorado, Weil se desempeñó como docente en la Universidad Musulmana de Aligarh en India. Mientras estuvo allí, Weil conoció al matemático Damodar Kosambi, quien estaba involucrado en una lucha de poder con uno de sus colegas. Weil sugirió que Kosambi escribiera un artículo con material atribuido a un tal 'Bourbaki', para mostrar su conocimiento al colega. Kosambi aceptó la sugerencia y atribuyó el material discutido en el artículo al "poco conocido matemático ruso D. Bourbaki, que fue envenenado durante la Revolución." Fue el primer artículo en la literatura matemática con material atribuido al epónimo "Bourbaki". La estancia de Weil en la India fue breve; intentó renovar el departamento de matemáticas en Aligarh, sin éxito. La administración de la universidad planeó despedir a Weil y promover a su colega Vijayaraghavan al puesto vacante. Sin embargo, Weil y Vijayaraghavan se respetaban mutuamente. En lugar de desempeñar algún papel en el drama, Vijayaraghavan renunció y luego informó a Weil del plan. Weil regresó a Europa para buscar otro puesto docente. Terminó en la Universidad de Estrasburgo, uniéndose a su amigo y colega Henri Cartan.

El colectivo Bourbaki

Bourbaki fue fundada para producir un texto en análisis matemático, una rama de matemáticas que implica cálculo

Fundación

Durante el tiempo que estuvieron juntos en Estrasburgo, Weil y Cartan se quejaron regularmente sobre la inadecuación del material del curso disponible para la enseñanza del cálculo. En sus memorias Aprendizaje, Weil describió su solución en los siguientes términos: "Un día de invierno, a fines de 1934, se me ocurrió una gran idea que pondría fin a estos incesantes interrogatorios de mi camarada. 'Somos cinco o seis amigos', le dije tiempo después, 'que estamos a cargo del mismo plan de estudios de matemáticas en varias universidades. Reunámonos todos y regulemos estos asuntos de una vez por todas, y después de esto, seré liberado de estas cuestiones.' No sabía que Bourbaki nació en ese instante." Cartan confirmó la cuenta.

La primera reunión no oficial del colectivo Bourbaki tuvo lugar el mediodía del lunes 10 de diciembre de 1934, en el Café Grill-Room A. Capoulade, París, en el Barrio Latino. Estuvieron presentes seis matemáticos: Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel y André Weil. La mayor parte del grupo tenía su sede fuera de París y estaba en la ciudad para asistir al Seminario Julia, una conferencia preparada con la ayuda de Gaston Julia en la que se presentaron varios futuros miembros y asociados de Bourbaki. El grupo resolvió escribir colectivamente un tratado sobre análisis, con el propósito de estandarizar la enseñanza del cálculo en las universidades francesas. El proyecto estaba especialmente destinado a reemplazar el texto de Édouard Goursat, que el grupo consideró muy desactualizado, y mejorar su tratamiento de Stokes' Teorema. Los fundadores también estaban motivados por el deseo de incorporar ideas de la escuela de Göttingen, particularmente de los exponentes Hilbert, Noether y B.L. van der Waerden. Además, después de la Primera Guerra Mundial, hubo un cierto impulso nacionalista para salvar a las matemáticas francesas del declive, especialmente en competencia con Alemania. Como dijo Dieudonné en una entrevista: "Sin pretender jactarme, puedo decir que fue Bourbaki quien salvó a las matemáticas francesas de la extinción".

Jean Delsarte se mostró particularmente favorable al aspecto colectivo del proyecto propuesto, y observó que ese estilo de trabajo podría aislar el trabajo del grupo de posibles reclamos individuales posteriores de derechos de autor. Mientras se discutían varios temas, Delsarte también sugirió que el trabajo comenzara en los términos más abstractos y axiomáticos posibles, tratando todos los requisitos matemáticos previos al análisis desde cero. El grupo estuvo de acuerdo con la idea, y esta área fundamental del trabajo propuesto se denominó "Paquete de resumen" (Paquete abstracto). Se adoptaron títulos de trabajo: el grupo se denominó a sí mismo como el Comité para el Tratado de Análisis, y su trabajo propuesto se denominó Tratado de Análisis (Traité d'analizar). En total, el colectivo celebró diez reuniones quincenales preliminares en A. Capoulade antes de su primera conferencia de fundación oficial en julio de 1935. Durante este período inicial, Paul Dubreil, Jean Leray y Szolem Mandelbrojt se unieron y participaron. Dubreil y Leray abandonaron las reuniones antes del verano siguiente y fueron reemplazados respectivamente por los nuevos participantes Jean Coulomb y Charles Ehresmann.

Firma de la fundación oficial de Bourbaki en Besse-en-Chandesse

La conferencia de fundación oficial del grupo se llevó a cabo en Besse-en-Chandesse, del 10 al 17 de julio de 1935. En el momento de la fundación oficial, la membresía consistía en los seis asistentes al primer almuerzo del 10 de diciembre. 1934, junto con Coulomb, Ehresmann y Mandelbrojt. El 16 de julio, los miembros dieron un paseo para aliviar el aburrimiento de procedimientos improductivos. Durante el malestar, algunos decidieron bañarse desnudos en el cercano Lac Pavin, gritando repetidamente "¡Bourbaki!" Al cierre de la primera conferencia oficial, el grupo se rebautizó a sí mismo como 'Bourbaki', en referencia al general y la broma recordada por Weil y otros. Durante 1935, el grupo también resolvió establecer la personalidad matemática de su seudónimo colectivo al publicar un artículo con su nombre. Había que decidir un nombre de pila; se requería un nombre completo para la publicación de cualquier artículo. Con este fin, la esposa de René de Possel, Eveline, "bautizó" el seudónimo con el nombre de pila de Nicolás, convirtiéndose en la 'madrina' de Bourbaki. Esto permitió la publicación de un segundo artículo con material atribuido a Bourbaki, esta vez bajo "his" nombre propio. El padre de Henri Cartan, Élie Cartan, también matemático y partidario del grupo, presentó el artículo a los editores, quienes lo aceptaron.

En el momento de la fundación de Bourbaki, René de Possel y su esposa Eveline estaban en proceso de divorcio. Eveline se volvió a casar con André Weil en 1937 y De Possel dejó el colectivo Bourbaki algún tiempo después. Esta secuencia de eventos ha provocado especulaciones de que De Possel dejó el grupo debido al nuevo matrimonio, sin embargo, esta sugerencia también ha sido criticada como posiblemente históricamente inexacta, ya que se supone que De Possel permaneció activo en Bourbaki durante años después del matrimonio de André. a Eveline.

Segunda Guerra Mundial

El trabajo de Bourbaki se desaceleró significativamente durante la Segunda Guerra Mundial, aunque el grupo sobrevivió y luego floreció. Algunos miembros de Bourbaki eran judíos y, por lo tanto, se vieron obligados a huir de ciertas partes de Europa en determinados momentos. Weil, que era judío, pasó el verano de 1939 en Finlandia con su esposa Eveline, como invitados de Lars Ahlfors. Debido a su viaje cerca de la frontera, las autoridades finlandesas sospecharon que la pareja era espía soviética cerca del inicio de la Guerra de Invierno, y André fue arrestado más tarde. Según una anécdota, Weil habría sido ejecutado de no haber sido por la mención de pasada de su caso a Rolf Nevanlinna, quien pidió que se conmutara la sentencia de Weil. Sin embargo, la exactitud de este detalle es dudosa. Weil llegó a los Estados Unidos en 1941, luego pasó otro período de enseñanza en São Paulo de 1945 a 1947 antes de instalarse en la Universidad de Chicago de 1947 a 1958 y finalmente en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde pasó el resto de su carrera. Aunque Weil permaneció en contacto con el colectivo Bourbaki y visitó Europa y el grupo periódicamente después de la guerra, su nivel de participación con Bourbaki nunca volvió al que tenía en el momento de la fundación.

Laurent Schwartz, miembro de la segunda generación de Bourbaki, también era judío y encontró trabajo como profesor de matemáticas en la zona rural de Vichy, Francia. Moviéndose de pueblo en pueblo, Schwartz planeó sus movimientos para evadir la captura por parte de los nazis. En una ocasión, Schwartz se encontró atrapado durante la noche en cierto pueblo, ya que su esperado transporte a casa no estaba disponible. Había dos posadas en el pueblo: una cómoda y bien equipada y otra muy pobre sin calefacción y con malas camas. El instinto de Schwartz le dijo que se quedara en la pobre posada; Durante la noche, los nazis allanaron la posada buena y dejaron la posada pobre sin controlar.

Mientras tanto, Jean Delsarte, católico, fue movilizado en 1939 como capitán de una batería de reconocimiento de audio. Se vio obligado a liderar la retirada de la unidad desde el noreste de Francia hacia el sur. Al pasar cerca de la frontera suiza, Delsarte escuchó a un soldado decir "Somos el ejército de Bourbaki"; los franceses conocían la retirada del general del siglo XIX. Delsarte había liderado coincidentemente un retiro similar al del homónimo del colectivo.

Después de la guerra hasta el presente

Alexander Grothendieck propuso que Bourbaki revisar su base fundamental en términos de la teoría de la categoría en lugar de establecer la teoría; la propuesta no fue adoptada

Después de la guerra, Bourbaki solidificó el plan de su trabajo y se instaló en una rutina productiva. Bourbaki publicó regularmente volúmenes de Éléments durante las décadas de 1950 y 1960, y disfrutó de su mayor influencia durante este período. Con el tiempo, los miembros fundadores abandonaron gradualmente el grupo, siendo reemplazados lentamente por recién llegados más jóvenes, incluidos Jean-Pierre Serre y Alexander Grothendieck. Serre, Grothendieck y Laurent Schwartz recibieron la Medalla Fields durante la posguerra, en 1954, 1966 y 1950 respectivamente. Los miembros posteriores Alain Connes y Jean-Christophe Yoccoz también recibieron la Medalla Fields, en 1982 y 1994 respectivamente.

La práctica posterior de aceptar premios científicos contrastaba con algunos de los fundadores' puntos de vista. Durante la década de 1930, Weil y Delsarte presentaron una petición contra un "sistema de medallas" científico nacional francés; propuesto por el premio Nobel de física Jean Perrin. Weil y Delsarte sintieron que la institución de tal sistema aumentaría la mezquindad y los celos no constructivos en la comunidad científica. A pesar de esto, el grupo Bourbaki había solicitado con éxito a Perrin una subvención del gobierno para apoyar sus operaciones normales. Al igual que los fundadores, Grothendieck también era reacio a los premios, aunque por razones pacifistas. Aunque Grothendieck recibió la Medalla Fields en 1966, se negó a asistir a la ceremonia en Moscú, en protesta por el gobierno soviético. En 1988, Grothendieck rechazó rotundamente el Premio Crafoord, citando la falta de necesidad personal de aceptar el dinero del premio, la falta de resultados relevantes recientes y la desconfianza general en la comunidad científica.

De ascendencia anarquista judía, Grothendieck sobrevivió al Holocausto y avanzó rápidamente en la comunidad matemática francesa, a pesar de la mala educación durante la guerra. Los maestros de Grothendieck incluyeron a los fundadores de Bourbaki, por lo que se unió al grupo. Durante la membresía de Grothendieck, Bourbaki llegó a un punto muerto con respecto a su enfoque fundacional. Grothendieck abogó por una reformulación del trabajo del grupo utilizando la teoría de categorías como base teórica, en oposición a la teoría de conjuntos. La propuesta finalmente fue rechazada en parte porque el grupo ya se había comprometido con una pista rígida de presentación secuencial, con múltiples volúmenes ya publicados. Después de esto, Grothendieck dejó a Bourbaki 'enfadado'. Los biógrafos del colectivo han descrito la falta de voluntad de Bourbaki para empezar de nuevo en términos de teoría de categorías como una oportunidad perdida.

Durante el período fundacional, el grupo eligió a la editorial parisina Hermann para publicar entregas de los Éléments. Hermann estaba dirigido por Enrique Freymann, un amigo de los fundadores dispuesto a publicar el proyecto del grupo, a pesar del riesgo financiero. Durante la década de 1970, Bourbaki entró en una prolongada batalla legal con Hermann por cuestiones de derechos de autor y pago de regalías. Aunque el grupo Bourbaki ganó la demanda y retuvo los derechos de autor colectivos de los Éléments, la disputa ralentizó la productividad del grupo. El ex miembro Pierre Cartier describió la demanda como una victoria pírrica y dijo: "Como es habitual en las batallas legales, ambas partes perdieron y el abogado se hizo rico". Masson publicó ediciones posteriores de Éléments y Springer publica ediciones modernas. Desde la década de 1980 hasta la de 2000, Bourbaki publicó con muy poca frecuencia, con el resultado de que en 1998 Le Monde declaró al colectivo 'muerto'. Sin embargo, en la década de 2010, Bourbaki reanudó la publicación de Éléments con un capítulo revisado sobre álgebra, los primeros 4 capítulos de un nuevo libro sobre topología algebraica y los dos primeros capítulos de una nueva edición ampliada sobre teoría espectral.

Método de trabajo

En la petición de Armand Borel, el tratamiento de Bourbaki de grupos Lie y álgebras Lie incluía ilustraciones poco realistas, como gráficos de sistemas finitos Coxeter.

Bourbaki realiza conferencias periódicas con el fin de expandir los Éléments; estas conferencias son la actividad central de la vida laboral del grupo. Se asignan subcomités para escribir borradores sobre material específico, y los borradores se presentan más tarde, se debaten enérgicamente y se vuelven a redactar en las conferencias. Se requiere un acuerdo unánime antes de que cualquier material se considere aceptable para su publicación. Una determinada pieza de material puede requerir seis o más borradores durante un período de varios años, y algunos borradores nunca se convierten en un trabajo completo. El proceso de escritura de Bourbaki, por lo tanto, ha sido descrito como 'Sísifo'. Aunque el método es lento, produce un producto final que satisface los estándares de rigor matemático del grupo, una de las principales prioridades de Bourbaki en el tratado. El énfasis de Bourbaki en el rigor fue una reacción al estilo de Henri Poincaré, quien enfatizó la importancia de la intuición matemática fluida a costa de una presentación completa. Durante los primeros años del proyecto, Dieudonné se desempeñó como escriba del grupo y escribió varios borradores finales que finalmente se publicaron. Para este propósito, Dieudonné adoptó un estilo de escritura impersonal que no era el suyo, pero que se utilizó para elaborar material aceptable para todo el grupo. Dieudonné reservó su estilo personal para su propia obra; Como todos los miembros de Bourbaki, Dieudonné también publicó material bajo su propio nombre, incluido Éléments d'analyse de nueve volúmenes, un trabajo explícitamente centrado en el análisis y de una pieza con Bourbaki's intenciones iniciales.

La mayoría de los borradores finales de los Éléments de Bourbaki evitaron cuidadosamente el uso de ilustraciones, favoreciendo una presentación formal basada únicamente en texto y fórmulas. Una excepción a esto fue el tratamiento de los grupos de Lie y las álgebras de Lie (especialmente en los capítulos 4 a 6), que hicieron uso de diagramas e ilustraciones. La inclusión de la ilustración en esta parte de la obra se debe a Armand Borel. Borel era una minoría suiza en un colectivo mayoritariamente francés, y se menospreciaba a sí mismo como 'el campesino suizo', explicando que el aprendizaje visual era importante para el carácter nacional suizo. Cuando se le preguntó sobre la escasez de ilustraciones en el trabajo, el ex miembro Pierre Cartier respondió:

Los Bourbaki eran puritanos, y los puritanos están fuertemente opuestos a las representaciones pictóricas de verdades de su fe. El número de protestantes y judíos en el grupo Bourbaki era abrumador. Y sabes que los protestantes franceses están especialmente cerca de los judíos en espíritu.

—Pierre Cartier

Históricamente, las conferencias se han llevado a cabo en áreas rurales tranquilas. Estos lugares contrastan con los debates animados, a veces acalorados, que se han producido. Laurent Schwartz informó de un episodio en el que Weil golpeó a Cartan en la cabeza con un borrador. El propietario del hotel vio el incidente y asumió que el grupo se dividiría, pero según Schwartz, "la paz se restableció en diez minutos". El estilo de debate histórico y de confrontación dentro de Bourbaki se ha atribuido en parte a Weil, quien creía que las nuevas ideas tienen más posibilidades de nacer en la confrontación que en una discusión ordenada. Schwartz relató otro incidente ilustrativo: Dieudonné insistía en que los espacios vectoriales topológicos debían aparecer en la obra antes de la integración, y cada vez que alguien sugería que se invirtiera el orden, amenazaba a gritos con su dimisión. Esto se convirtió en una broma interna entre el grupo; Sonia, la esposa de Roger Godement, asistió a una conferencia, consciente de la idea, y pidió pruebas. Cuando Sonia llegó a una reunión, un miembro sugirió que la integración debe aparecer antes que los espacios vectoriales topológicos, lo que provocó la reacción habitual de Dieudonné.

A pesar de la cultura histórica de discusiones acaloradas, Bourbaki prosperó a mediados del siglo XX. La capacidad de Bourbaki para mantener un enfoque crítico y colectivo de este tipo ha sido descrita como 'algo inusual', que sorprende incluso a sus propios miembros. En palabras del fundador Henri Cartan, "Que se pueda obtener un producto final es una especie de milagro que ninguno de nosotros puede explicar." Se ha sugerido que el grupo sobrevivió porque sus miembros creían firmemente en la importancia de su proyecto colectivo, a pesar de las diferencias personales. Cuando el grupo superaba dificultades o desarrollaba una idea que les gustaba, a veces decían l'esprit a soufflé ("el espíritu respira"). La historiadora Liliane Beaulieu señaló que el 'espíritu', que podría ser un avatar, la mentalidad grupal en acción, o el 'mismo' Bourbaki, era parte de una cultura y una mitología internas que el grupo utilizó para formar su identidad y realizar su trabajo.

Humor

El humor ha sido un aspecto importante de la cultura del grupo, comenzando con los recuerdos de Weil de las bromas de los estudiantes que involucran a "Bourbaki" y "Poldevia". Por ejemplo, en 1939, el grupo lanzó un anuncio de boda para el matrimonio de "Betti Bourbaki" (hija de Nicolás) a una "H. Pétardo" (H. "Petardos" o "Hector Pétard"), un "cazador de leones". Hector Pétard era en sí mismo un seudónimo, pero no uno acuñado originalmente por los miembros de Bourbaki. El apodo de Pétard fue originado por Ralph P. Boas, Frank Smithies y otros matemáticos de Princeton que conocían el proyecto Bourbaki; inspirados por ellos, los matemáticos de Princeton publicaron un artículo sobre las "matemáticas de la caza del león". Después de conocer a Boas y Smithies, Weil redactó el anuncio de la boda, que contenía varios juegos de palabras matemáticos. El boletín interno de Bourbaki, La Tribu, a veces se ha publicado con subtítulos humorísticos para describir una conferencia determinada, como "El Congreso Extraordinario de Old Fogies" (donde cualquiera mayor de 30 años era considerado un tonto) o "El Congreso de la Motorización del Asno al Trote" (una expresión utilizada para describir el desarrollo rutinario de una prueba o proceso matemático).

Durante las décadas de 1940 y 1950, la American Mathematical Society recibió solicitudes de membresía individual de Bourbaki. Fueron rechazados por JR Kline, quien entendió que la entidad era un colectivo, invitándolos a volver a solicitar la membresía institucional. En respuesta, Bourbaki lanzó el rumor de que Ralph Boas no era una persona real, sino un seudónimo colectivo de los editores de Mathematical Reviews con los que Boas había estado afiliado. El motivo de apuntar a Boas era que conocía al grupo en sus primeros días, cuando eran menos estrictos con el secreto, y los describió como un colectivo en un artículo para la Encyclopædia Britannica. En noviembre de 1968, se publicó un obituario simulado de Nicolas Bourbaki durante uno de los seminarios.

El grupo desarrolló algunas variantes de la palabra "Bourbaki" para uso interno. El sustantivo "Bourbaki" puede referirse al grupo propiamente dicho o a un miembro individual, p. "André Weil era un Bourbaki." "Bourbakist" a veces se usa para referirse a miembros, pero también denota asociados, simpatizantes y entusiastas. Para "burbakizar" destinado a tomar un texto pobre existente y mejorarlo a través de un proceso de edición.

La cultura del humor de Bourbaki se ha descrito como un factor importante en la cohesión social del grupo y su capacidad para sobrevivir, suavizando las tensiones del acalorado debate. A partir de 2023, una cuenta de Twitter registrada a nombre de "Betty_Bourbaki" proporciona actualizaciones periódicas sobre la actividad del grupo.

Obras

El trabajo de Bourbaki incluye una serie de libros de texto, una serie de notas de conferencias impresas, artículos de revistas y un boletín interno. La serie de libros de texto Éléments de mathématique (Elementos de matemáticas) es el trabajo central del grupo. El Séminaire Bourbaki es una serie de conferencias que se lleva a cabo regularmente bajo los auspicios del grupo, y las charlas impartidas también se publican como notas de conferencias. Se han publicado artículos de revistas con autoría atribuida a Bourbaki, y el grupo publica un boletín interno La Tribu (La Tribu) que se distribuye a los miembros actuales y anteriores.

Elementos matemáticos

El contenido de Éléments se divide en libros (temas principales de debate), volúmenes (libros físicos individuales) y capítulos, junto con ciertos resúmenes de resultados, notas históricas y otros detalles. Los volúmenes de los Éléments han tenido una historia de publicación compleja. El material se revisó para las nuevas ediciones, se publicó cronológicamente fuera de su secuencia lógica prevista, se agrupó y se dividió de manera diferente en volúmenes posteriores y se tradujo al inglés. Por ejemplo, el segundo libro sobre Álgebra se publicó originalmente en ocho volúmenes en francés: el primero en 1942 era solo el capítulo 1 y el último en 1980 era solo el capítulo 10. Esta presentación se condensó más tarde en cinco volúmenes con los capítulos 1 a 3 en el primer volumen, los capítulos 4 a 7 en el segundo y los capítulos 8 a 10, cada uno restante del tercer al quinto volumen de esa parte del trabajo. La edición en inglés de Álgebra de Bourbaki consta de traducciones de los dos volúmenes en los capítulos 1 a 3 y 4 a 7, y los capítulos 8 a 10 no están disponibles en inglés a partir de 2023.

Cuando los fundadores de Bourbaki comenzaron a trabajar en los Éléments, originalmente lo concibieron como un "tratado sobre análisis", el trabajo propuesto tenía un título provisional de mismo nombre (Traité d'analyse). La parte inicial trataba de manera integral los fundamentos de las matemáticas antes del análisis y se denominó "Paquete abstracto". Con el tiempo, los miembros desarrollaron esta "sección de apertura" del trabajo hasta el punto de que, en cambio, ocuparía varios volúmenes y comprendería una parte importante del trabajo, cubriendo la teoría de conjuntos, el álgebra abstracta y la topología. Una vez que el alcance del proyecto se expandió mucho más allá de su propósito original, el título provisional Traité d'analyse se eliminó a favor de Éléments de mathématique. El inusual y singular "Mathematic" pretendía connotar la creencia de Bourbaki en la unidad de las matemáticas. Los primeros seis libros de los Éléments, que representan la primera mitad del trabajo, están numerados secuencialmente y ordenados lógicamente, y una declaración determinada se establece solo sobre la base de resultados anteriores. Esta primera mitad del trabajo llevaba el subtítulo Les structure fondamentales de l'analyse (Estructuras fundamentales del análisis), que abarca las matemáticas establecidas (álgebra, análisis) en el grupo&#39 estilo de;s. La segunda mitad del trabajo consta de libros sin numerar que tratan áreas modernas de investigación (grupos de Lie, álgebra conmutativa), cada uno de los cuales presupone la primera mitad como una base compartida pero sin dependencia entre sí. Esta segunda mitad del trabajo, que consiste en temas de investigación más nuevos, no tiene un subtítulo correspondiente.

Los volúmenes de los Éléments publicados por Hermann se indexaron por cronología de publicación y se denominaron fascículos: entregas de una gran obra. Algunos volúmenes no contenían las definiciones, pruebas y ejercicios normales de un libro de texto de matemáticas, sino que contenían solo resúmenes de los resultados de un tema determinado, declarados sin pruebas. Estos volúmenes se denominaron Fascicules de résultats, con el resultado de que fascicule puede referirse a un volumen de la edición de Hermann, o a uno de los "resumen" secciones del trabajo (p. ej., Fascicules de résultats se traduce como "Resumen de resultados" en lugar de "Cuenta de resultados", refiriéndose al contenido en lugar de a un artículo específico). volumen). El primer volumen de los Éléments de Bourbaki que se publicó fue el Summary of Results in the Theory of Sets, en 1939. los libros posteriores, Differential and Analytic Manifolds, consistieron solo en dos volúmenes de resúmenes de resultados, sin que se hayan publicado capítulos de contenido.

Las entregas posteriores de Éléments aparecieron con poca frecuencia durante las décadas de 1980 y 1990. En 1983 se publicó un volumen de Álgebra conmutativa (capítulos 8 y 9), y no se publicaron otros volúmenes hasta la aparición del décimo capítulo del mismo libro en 1998. Durante la década de 2010, Bourbaki aumentó su productividad. En 2012 apareció una versión reescrita y ampliada del octavo capítulo de Álgebra, en 2016 se publicaron los primeros cuatro capítulos de un nuevo libro que trata sobre la topología algebraica y los dos primeros capítulos de un libro revisado y ampliado. La edición de Spectral Theory se publicó en 2019 y los tres capítulos restantes (completamente nuevos) aparecieron en la primavera de 2023.

Primer libro del Éléments de mathématique, edición de 1970

Seminaire Bourbaki

El Séminaire Bourbaki se lleva a cabo regularmente desde 1948, y las conferencias son presentadas por miembros y no miembros del colectivo. A partir de 2023, Séminaire Bourbaki ha realizado más de mil conferencias grabadas en su encarnación escrita, indicada cronológicamente por números simples. En el momento de una conferencia de junio de 1999 de Jean-Pierre Serre sobre el tema de los grupos de Lie, el total de conferencias dadas en la serie ascendía a 864, lo que corresponde a aproximadamente 10.000 páginas de material impreso.

Artículos

Damodar Kosambi autorizó el primer artículo atribuyendo material a "Bourbaki"

Varios artículos de revistas han aparecido en la literatura matemática con material o autoría atribuida a Bourbaki; a diferencia de los Éléments, generalmente fueron escritos por miembros individuales y no elaborados a través del proceso habitual de consenso grupal. A pesar de esto, el ensayo de Jean Dieudonné "La arquitectura de las matemáticas" se ha conocido como el manifiesto de Bourbaki. Dieudonné abordó el tema de la sobreespecialización en matemáticas, al que opuso la unidad inherente de las matemáticas (en contraposición a las matemáticas) y propuso las estructuras matemáticas como herramientas útiles que se pueden aplicar a varias materias, mostrando sus rasgos comunes.. Para ilustrar la idea, Dieudonné describió tres sistemas diferentes en aritmética y geometría y mostró que todos podían describirse como ejemplos de un grupo, un tipo específico de estructura (algebraica). Dieudonné describió el método axiomático como "el 'sistema de Taylor' para matemáticas" en el sentido de que podría ser utilizado para resolver problemas de manera eficiente. Tal procedimiento implicaría identificar estructuras relevantes y aplicar el conocimiento establecido sobre la estructura dada al problema específico en cuestión.

• Kosambi, Damodar (1931). "Sobre una generalización del segundo teorema de Bourbaki". Bulletin of the Academy of Sciences of the United Provinces of Agra and Oudh, Allahabad, India. 1: 145–47. doi:10.1007/978-81-322-3676-4_6. ISBN 978-81-322-3674-0. Kosambi atribuyó material en el artículo a "D. Bourbaki", la primera mención del eponímico Bourbaki en la literatura.
• Bourbaki, Nicolas (1935). "Sur un théorème de Carathéodory et la mesure dans les espaces topologiques". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 201: 1309-11. Autor presentador: André Weil.
• —— (1938). "Sur les espaces de Banach". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 206: 1701-04. Autor presentador: Jean Dieudonné.
• ——; Dieudonné, Jean (1939). "Nota de tératopologie II". Revue scientifique (O, "Revisue rose"): 180-81. Autor presentador: Jean Dieudonné. Segundo en una serie de tres artículos.
• —— (1941). "Espaces minimaux et espaces complètement séparés". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 212: 215-18. Autor presentador: Jean Dieudonné o André Weil.
• —— (1948). "L'architecture des mathématiques". En Le Lionnais, François (ed.). Les grands courants de la pensée mathématique. Actes Sud. pp. 35–47. Autor presentador: Jean Dieudonné.
• —— (1949). "Fundaciones de Matemáticas para el Matemático Trabajador". Journal of Symbolic Logic. 14 (1): 1–8. doi:10.2307/2268971. JSTOR 2268971. S2CID 26516355. Autor presentador: André Weil.
• —— (1949). "Sur le théorème de Zorn". Archiv der Mathematik. 2 (6): 433–37. doi:10.1007/BF02036949. S2CID 117826806. Autor presentador: Henri Cartan o Jean Dieudonné.
• —— (1950). "La Arquitectura de las Matemáticas". American Mathematical Mensual. 57 (4): 221–32. doi:10.1080/00029890.1950.11999523. JSTOR 2305937. Autor presentador: Jean Dieudonné. Traducción autorizada del capítulo del libro L'architecture des mathématiques, apareciendo en inglés como un artículo de la revista.
• —— (1950). "Sur certains espaces vectoriels topologiques". Annales de l'Institut Fourier. 2: 5-16. doi:10.5802/aif.16. Autores: Jean Dieudonné y Laurent Schwartz.

La Tribu

La Tribu es el boletín interno de Bourbaki, distribuido a los miembros actuales y anteriores. El boletín generalmente documenta conferencias y actividades recientes de una manera humorística e informal, a veces incluyendo poesía. El miembro Pierre Samuel escribió las secciones narrativas del boletín durante varios años. Bourbaki ha puesto a disposición del público las primeras ediciones de La Tribu y documentos relacionados.

La historiadora Liliane Beaulieu examinó La Tribu y los otros escritos de Bourbaki, y describió el humor y el lenguaje privado del grupo como un "arte de la memoria" que es específico para el grupo y sus métodos de operación elegidos. Debido al secreto y la organización informal del grupo, los recuerdos individuales a veces se registran de manera fragmentaria y pueden no tener importancia para otros miembros. Por otro lado, el origen predominantemente francés de los miembros de la ENS, junto con las historias del período inicial y los éxitos del grupo, crean una cultura y una mitología compartidas que se aprovechan para la identidad del grupo. La Tribu suele enumerar a los miembros presentes en una conferencia, junto con los visitantes, familiares u otros amigos presentes. Descripciones humorísticas de la ubicación o "accesorios" (automóviles, bicicletas, binoculares, etc.) también pueden servir como dispositivos mnemotécnicos.

Membresía

Desde 2000, Bourbaki ha tenido "alrededor de cuarenta" miembros Históricamente, el grupo ha contado entre diez y doce miembros en un momento dado, aunque se limitó breve (y oficialmente) a nueve miembros en el momento de la fundación. La membresía de Bourbaki se ha descrito en términos de generaciones:

Bourbaki era siempre un grupo muy pequeño de matemáticos, típicamente numerando alrededor de doce personas. Su primera generación fue la de los padres fundadores, los que crearon el grupo en 1934: Weil, Cartan, Chevalley, Delsarte, de Possel y Dieudonné. Otros se unieron al grupo, y otros dejaron sus filas, de modo que algunos años más tarde hubo alrededor de doce miembros, y ese número permaneció aproximadamente constante. Laurent Schwartz fue el único matemático que se unió a Bourbaki durante la guerra, por lo que se considera una generación intermedia. Después de la guerra, varios miembros se unieron: Jean-Pierre Serre, Pierre Samuel, Jean-Louis Koszul, Jacques Dixmier, Roger Godement y Sammy Eilenberg. Estas personas constituyeron la segunda generación de Bourbaki. En la década de 1950, la tercera generación de matemáticos se unió a Bourbaki. Estas personas incluyeron a Alexandre Grothendieck, François Bruhat, Serge Lang, el matemático estadounidense John Tate, Pierre Cartier, y el matemático suizo Armand Borel.

Después de las primeras tres generaciones, hubo aproximadamente veinte miembros posteriores, sin incluir a los participantes actuales. Bourbaki tiene la costumbre de mantener en secreto su membresía actual, una práctica destinada a garantizar que su producción se presente como un esfuerzo colectivo y unificado bajo el seudónimo de Bourbaki, no atribuible a ningún autor (por ejemplo, para fines de derechos de autor o pago de regalías). Este secreto también tiene por objeto disuadir la atención no deseada que podría interrumpir las operaciones normales. Sin embargo, los ex miembros discuten libremente las prácticas internas de Bourbaki al momento de su partida.

Se invita a los miembros potenciales a conferencias y se los trata como conejillos de indias, un proceso destinado a evaluar la capacidad matemática del recién llegado. En caso de acuerdo entre el grupo y el cliente potencial, el cliente potencial finalmente se convierte en miembro de pleno derecho. Se supone que el grupo tiene un límite de edad: se espera que los miembros activos se jubilen a los 50 años (o aproximadamente). En una conferencia de 1956, Cartan leyó una carta de Weil que proponía una "desaparición gradual" de los miembros fundadores, obligando a los miembros más jóvenes a asumir la plena responsabilidad de las operaciones de Bourbaki. Se supone que esta regla resultó en un cambio completo de personal para 1958. Sin embargo, la historiadora Liliane Beaulieu ha criticado la afirmación. Informó nunca haber encontrado una afirmación escrita de la regla y ha indicado que ha habido excepciones. Se piensa que el límite de edad expresa los fundadores' intención de que el proyecto continúe indefinidamente, operado por personas en su mejor capacidad matemática: en la comunidad matemática, existe la creencia generalizada de que los matemáticos producen su mejor trabajo cuando son jóvenes. Entre los miembros de pleno derecho no existe una jerarquía oficial; todos operan como iguales y tienen la capacidad de interrumpir los procedimientos de la conferencia en cualquier momento o cuestionar cualquier material presentado. Sin embargo, André Weil ha sido descrito como "primero entre iguales" durante el período de fundación, y se le dio cierta deferencia. Por otro lado, el grupo también se burló de la idea de que los miembros mayores deberían recibir un mayor respeto.

A las conferencias de Bourbaki también han asistido los miembros' familiares, amigos, matemáticos visitantes y otros no miembros del grupo. No se sabe que Bourbaki haya tenido miembros femeninos.

Jean Dieudonné, miembro fundador

Jean-Pierre Serre, miembro de segunda generación

Alexander Grothendieck, miembro de tercera generación, dejó Bourbaki sobre un desacuerdo sobre la teoría de conjuntos versus la teoría de la categoría

Armand Borel, miembro de tercera generación

Hyman Bass, miembro posterior

Influencia y crítica

Bourbaki influyó en las matemáticas del siglo XX y tuvo cierto impacto interdisciplinario en las humanidades y las artes, aunque el alcance de esta última influencia es motivo de controversia. El grupo ha sido elogiado y criticado por su método de presentación, su estilo de trabajo y su elección de temas matemáticos.

Influencia

Bourbaki introdujo notaciones para el conjunto vacío, así como un símbolo de curva peligrosa significaba indicar material difícil

Bourbaki introdujo varias notaciones matemáticas que han permanecido en uso. Weil tomó la carta Ø del alfabeto noruego y lo usó para denotar el conjunto vacío, ∅ ∅ {displaystyle varnothing }. Esta notación apareció por primera vez en el Resumen de Resultados Teoría de conjuntos, y permanece en uso. Las palabras inyector, subjetivo y bijetivo fueron introducidas para referirse a funciones que satisfacen ciertas propiedades. Bourbaki usó lenguaje simple para ciertos objetos geométricos, nombrarlos pavés (piedras de pavimento) y boules (ballos) en contra de "parallelotopes" o "hiperspheroids". Del mismo modo en su tratamiento de los espacios vectores topológicos, Bourbaki definió un barril como un conjunto convexo, equilibrado, absorbente y cerrado. El grupo estaba orgulloso de esta definición, creyendo que la forma de un barril de vino tipificó las propiedades del objeto matemático. Bourbaki también empleó un símbolo de "dobla peligrosa" ☡ en los márgenes de su texto para indicar un material especialmente difícil. Bourbaki disfrutó de su mayor influencia durante los años 50 y 1960, cuando las entregas de los Éléments fueron publicados con frecuencia.

Bourbaki tuvo cierta influencia interdisciplinaria en otros campos, incluida la antropología y la psicología. Esta influencia fue en el contexto del estructuralismo, una escuela de pensamiento en las humanidades que enfatiza las relaciones entre los objetos sobre los objetos mismos, perseguido en varios campos por otros intelectuales franceses. En 1943, André Weil conoció al antropólogo Claude Lévi-Strauss en Nueva York, donde ambos emprendieron una breve colaboración. En Lévi-Strauss' Weil escribió un breve apéndice que describía las reglas del matrimonio para cuatro clases de personas dentro de la sociedad aborigen australiana, utilizando un modelo matemático basado en la teoría de grupos. El resultado se publicó como apéndice en Lévi-Strauss' Elementary Structures of Kinship, una obra que examina las estructuras familiares y el tabú del incesto en las culturas humanas. En 1952, Jean Dieudonné y Jean Piaget participaron en una conferencia interdisciplinaria sobre estructuras matemáticas y mentales. Dieudonné describió las "estructuras madre" en términos del proyecto de Bourbaki: composición, vecindad y orden. Piaget dio entonces una charla sobre los procesos mentales de los niños, y consideró que los conceptos psicológicos que acababa de describir eran muy similares a los matemáticos que acababa de describir Dieudonné. Según Piaget, los dos estaban "impresionados el uno con el otro". Al psicoanalista Jacques Lacan le gustó el estilo de trabajo colaborativo de Bourbaki y propuso un grupo colectivo similar en psicología, idea que no se concretó.

Bourbaki también fue citado por filósofos postestructuralistas. En su trabajo conjunto Anti-Edipo, Gilles Deleuze y Félix Guattari presentaron una crítica al capitalismo. Los autores citaron el uso por parte de Bourbaki del método axiomático (con el propósito de establecer la verdad) como un claro contraejemplo de los procesos de gestión que, en cambio, buscan la eficiencia económica. Los autores decían de las axiomáticas de Bourbaki que "no forman un sistema de Taylor", invirtiendo la frase utilizada por Dieudonné en "La arquitectura de las matemáticas". En La condición posmoderna, Jean-François Lyotard criticó la "legitimación del conocimiento", el proceso por el cual las declaraciones se aceptan como válidas. Como ejemplo, Lyotard citó a Bourbaki como un grupo que produce conocimiento dentro de un sistema de reglas determinado. Lyotard contrastó el estilo jerárquico y "estructuralista&#34 de Bourbaki; matemáticas con la teoría de las catástrofes de René Thom y los fractales de Benoit Mandelbrot, expresando preferencia por esta última "ciencia posmoderna" que problematizó las matemáticas con "fracta, catástrofes y paradojas pragmáticas".

Aunque el biógrafo Amir Aczel enfatizó la influencia de Bourbaki en otras disciplinas a mediados del siglo XX, Maurice Mashaal moderó las afirmaciones de la influencia de Bourbaki en los siguientes términos:

Mientras que las estructuras de Bourbaki eran a menudo mencionadas en conferencias de ciencias sociales y publicaciones de la era, parece que no jugaron un papel real en el desarrollo de estas disciplinas. David Aubin, historiador científico que analizó el papel de Bourbaki en el movimiento estructuralista de Francia, cree que el papel de Bourbaki era el de un "conector cultural". Según Aubin, mientras Bourbaki no tenía ninguna misión fuera de las matemáticas, el grupo representaba una especie de vínculo entre los diversos movimientos culturales de la época. Bourbaki proporcionó una definición simple y relativamente precisa de conceptos y estructuras, que filósofos y científicos sociales creían que eran fundamentales dentro de sus disciplinas y en puentes entre diferentes áreas de conocimiento. A pesar de la naturaleza superficial de estos vínculos, las diversas escuelas de pensamiento estructuralista, incluyendo Bourbaki, pudieron apoyarse mutuamente. Por lo tanto, no es una coincidencia que estas escuelas sufrieron un declive simultáneo a finales del decenio de 1960.

—Maurice Mashaal, citando a David Aubin

El impacto del "estructuralismo" sobre las propias matemáticas también fue criticado. El historiador matemático Leo Corry argumentó que el uso de estructuras matemáticas por parte de Bourbaki no era importante dentro de los Éléments, ya que se estableció en la Teoría de conjuntos y se citó con poca frecuencia después. Corry describió el "estructural" visión de las matemáticas promovida por Bourbaki como una 'imagen del conocimiento', una concepción sobre una disciplina científica, en oposición a un elemento en el 'cuerpo de conocimiento' de la disciplina, que se refiere a los resultados científicos reales en la propia disciplina.

Bourbaki también tuvo cierta influencia en las artes. El colectivo literario Oulipo se fundó el 24 de noviembre de 1960 en circunstancias similares a las de la fundación de Bourbaki, con los miembros inicialmente reunidos en un restaurante. Aunque varios miembros de Oulipo eran matemáticos, el propósito del grupo era crear literatura experimental jugando con el lenguaje. Oulipo empleaba con frecuencia técnicas de escritura restringidas basadas en matemáticas, como el método S+7. El miembro de Oulipo, Raymond Queneau, asistió a una conferencia de Bourbaki en 1962.

En 2016, un grupo anónimo de economistas escribió en colaboración una nota en la que denunciaba mala conducta académica por parte de los autores y el editor de un artículo publicado en American Economic Review. La nota fue publicada bajo el nombre de Nicolas Bearbaki en homenaje a Nicolas Bourbaki.

En 2018, el dúo musical estadounidense Twenty One Pilots lanzó un álbum conceptual llamado Trench. El marco conceptual del álbum fue la mítica ciudad de "Dema" gobernado por nueve "obispos"; uno de los obispos se llamaba "Nico", abreviatura de Nicolas Bourbaki. Otro de los obispos se llamaba André, que puede referirse a André Weil. Tras el lanzamiento del álbum, hubo un aumento en las búsquedas en Internet de 'Nicolas Bourbaki'.

Alabanza

El trabajo de Bourbaki ha sido elogiado por algunos matemáticos. En una reseña de un libro, Emil Artin describió los Éléments en términos amplios y positivos:

Nuestro tiempo es testigo de la creación de una obra monumental: una exposición de toda la matemática actual. Por otra parte esta exposición se hace de tal manera que el vínculo común entre las distintas ramas de las matemáticas se vuelven claramente visibles, que el marco que apoya toda la estructura no es adecuado para volverse obsoleto en un tiempo muy corto, y que puede absorber fácilmente nuevas ideas.

—Emil Artin

Entre los volúmenes de los Éléments, el trabajo de Bourbaki sobre Lie Groups y Lie Algebras ha sido identificado como "excelente", habiéndose convertido en una referencia estándar sobre el tema.. En particular, el ex miembro Armand Borel describió el volumen con los capítulos 4 a 6 como "uno de los libros más exitosos de Bourbaki". El éxito de esta parte del trabajo se ha atribuido al hecho de que los libros se escribieron mientras los principales expertos en el tema eran miembros de Bourbaki.

Jean-Pierre Bourguignon expresó su aprecio por Séminaire Bourbaki y dijo que había aprendido una gran cantidad de material en sus conferencias y que consultaba sus notas impresas con regularidad. También elogió a los Éléments por contener "algunas pruebas soberbias y muy inteligentes".

Crítica

Bourbaki también ha sido criticado por varios matemáticos, incluidos sus propios antiguos miembros, por diversas razones. Las críticas han incluido la elección de la presentación de ciertos temas dentro de los Éléments a expensas de otros, disgusto por el método de presentación de determinados temas, disgusto por el estilo de trabajo del grupo y una percepción mentalidad elitista en torno al proyecto de Bourbaki y sus libros, especialmente durante los años más productivos del colectivo en las décadas de 1950 y 1960.

Las deliberaciones de Bourbaki sobre los Éléments resultaron en la inclusión de algunos temas, mientras que otros no fueron tratados. Cuando se le preguntó en una entrevista de 1997 sobre temas que quedaron fuera de los Éléments, el ex miembro Pierre Cartier respondió:

En esencia no hay análisis más allá de los cimientos: nada sobre ecuaciones diferenciales parciales, nada sobre probabilidad. Tampoco hay nada sobre la combinatoria, nada sobre la topología algebraica, nada sobre la geometría concreta. Y Bourbaki nunca consideró seriamente la lógica. Dieudonné mismo era muy vocal contra la lógica. Cualquier cosa relacionada con la física matemática está totalmente ausente del texto de Bourbaki.

—Pierre Cartier

Aunque Bourbaki había decidido tratar las matemáticas desde sus cimientos, la solución final del grupo en términos de teoría de conjuntos estuvo acompañada de varios problemas. Los miembros de Bourbaki eran matemáticos en lugar de lógicos y, por lo tanto, el colectivo tenía un interés limitado en la lógica matemática. Como decían los propios miembros de Bourbaki del libro sobre teoría de conjuntos, fue escrito 'con dolor y sin placer, pero teníamos que hacerlo'. Dieudonné comentó personalmente en otra parte que al noventa y cinco por ciento de los matemáticos "no les importa un bledo" para la lógica matemática. En respuesta, el lógico Adrian Mathias criticó duramente el marco fundacional de Bourbaki y señaló que no tenía en cuenta los resultados de Gödel.

Bourbaki también influyó en New Math, una reforma fallida en la educación matemática occidental en los niveles primario y secundario, que enfatizaba la abstracción sobre los ejemplos concretos. A mediados del siglo XX, la reforma en la educación matemática básica fue impulsada por la necesidad percibida de crear una fuerza laboral con conocimientos matemáticos para la economía moderna y también para competir con la Unión Soviética. En Francia, esto condujo a la Comisión Lichnerowicz de 1967, encabezada por André Lichnerowicz e incluyendo algunos miembros (actuales y anteriores) de Bourbaki. Aunque los miembros de Bourbaki habían reformado previamente (e individualmente) la enseñanza de las matemáticas a nivel universitario, tenían una participación menos directa en la implementación de las Nuevas Matemáticas en los niveles primario y secundario. Las nuevas reformas de Matemáticas dieron como resultado un material de instrucción que era incomprensible tanto para los estudiantes como para los maestros, y que no cumplía con las necesidades cognitivas de los estudiantes más jóvenes. El intento de reforma fue duramente criticado por Dieudonné y también por el breve miembro fundador de Bourbaki, Jean Leray. Aparte de los matemáticos franceses, las reformas francesas también recibieron duras críticas del matemático nacido en la Unión Soviética Vladimir Arnold, quien argumentó que en su época como estudiante y profesor en Moscú, la enseñanza de las matemáticas estaba firmemente arraigada en el análisis y la geometría, y entretejida con problemas de mecánica clásica; por lo tanto, las reformas francesas no pueden ser un intento legítimo de emular la educación científica soviética. En 1997, mientras hablaba en una conferencia sobre la enseñanza de las matemáticas en París, comentó sobre Bourbaki al afirmar: "los matemáticos genuinos no se juntan, pero los débiles necesitan pandillas para sobrevivir". y sugirió que el vínculo de Bourbaki sobre la "súper abstracción" era similar a los grupos de matemáticos del siglo XIX que se habían unido por el antisemitismo.

Benoit Mandelbrot estaba entre los críticos de Bourbaki

Dieudonné luego lamentó que el éxito de Bourbaki hubiera contribuido al esnobismo de las matemáticas puras en Francia, a expensas de las matemáticas aplicadas. En una entrevista, dijo: “Es posible decir que no hubo matemáticas aplicadas serias en Francia durante cuarenta años después de Poincaré. Incluso hubo un esnobismo por las matemáticas puras. Cuando uno notaba a un estudiante talentoso, le decía 'Deberías hacer matemáticas puras'. Por otro lado, uno le aconsejaría a un estudiante mediocre que hiciera matemáticas aplicadas mientras pensaba: "¡Es todo lo que puede hacer!"... La verdad es en realidad lo contrario. No puedes hacer un buen trabajo en matemáticas aplicadas hasta que puedas hacer un buen trabajo en matemáticas puras." Claude Chevalley confirmó una cultura elitista dentro de Bourbaki, describiéndola como "una certeza absoluta de nuestra superioridad sobre otros matemáticos". Alexander Grothendieck también confirmó una mentalidad elitista dentro de Bourbaki. Algunos matemáticos, especialmente geómetras y matemáticos aplicados, encontraron sofocante la influencia de Bourbaki. La decisión de Benoit Mandelbrot de emigrar a los Estados Unidos en 1958 estuvo motivada en parte por el deseo de escapar de la influencia de Bourbaki en Francia.

Varias críticas relacionadas con los Éléments se han referido a su público objetivo y la intención de su presentación. Los volúmenes de Éléments comienzan con una nota para el lector que dice que la serie "toma las matemáticas al principio y brinda pruebas completas" y que "el método de exposición que hemos elegido es axiomático y abstracto, y normalmente procede de lo general a lo particular". A pesar del lenguaje inicial, la audiencia a la que se dirige Bourbaki no son principiantes absolutos en matemáticas, sino estudiantes universitarios, estudiantes de posgrado y profesores que están familiarizados con los conceptos matemáticos. Claude Chevalley dijo que los Éléments son "inútiles para un principiante", y Pierre Cartier aclaró que "El malentendido fue que debería ser un libro de texto para todos. Ese fue el gran desastre."

La obra se divide en dos mitades. Mientras que la primera mitad, las Structures fondamentales de l'analyse, trata temas establecidos, la segunda mitad trata áreas de investigación modernas como el álgebra conmutativa y la teoría espectral. Esta división en la obra está relacionada con un cambio histórico en la intención del tratado. El contenido de Éléments' consta de teoremas, pruebas, ejercicios y comentarios relacionados, material común en los libros de texto de matemáticas. A pesar de esta presentación, la primera mitad no se escribió como una investigación original sino como una presentación reorganizada del conocimiento establecido. En este sentido, la primera mitad de Éléments' se parecía más a una enciclopedia que a una serie de libros de texto. Como comentó Cartier, "el malentendido fue que muchas personas pensaron que debería ser enseñado de la forma en que estaba escrito en los libros. Puedes pensar en los primeros libros de Bourbaki como una enciclopedia de matemáticas... Si lo consideras como un libro de texto, es un desastre."

La presentación estricta y ordenada del material en la primera mitad de Éléments' estaba destinada a formar la base para futuras adiciones. Sin embargo, los avances en la investigación matemática moderna han resultado difíciles de adaptar en términos del esquema organizativo de Bourbaki. Esta dificultad se ha atribuido a la naturaleza fluida y dinámica de la investigación en curso que, al ser nueva, no está resuelta o comprendida en su totalidad. El estilo de Bourbaki ha sido descrito como un paradigma científico particular que ha sido superado en un cambio de paradigma. Por ejemplo, Ian Stewart citó a Vaughan Jones' trabajo novedoso en la teoría de nudos como un ejemplo de topología que se realizó sin depender del sistema de Bourbaki. La influencia de Bourbaki ha disminuido con el tiempo; este declive se ha atribuido en parte a la ausencia de ciertos temas modernos, como la teoría de categorías, en el tratado.

Aunque múltiples críticas han señalado las deficiencias del proyecto colectivo, una también ha señalado su fortaleza: Bourbaki fue "víctima de su propio éxito" en el sentido de que logró lo que se había propuesto, logrando su objetivo original de presentar un tratado completo sobre matemáticas modernas. Estos factores llevaron al biógrafo Maurice Mashaal a concluir su tratamiento de Bourbaki en los siguientes términos:

Tal empresa merece admiración por su amplitud, por su entusiasmo y desinterés, por su fuerte carácter colectivo. A pesar de algunos errores, Bourbaki añadió un poco a "el honor del espíritu humano". En una época en que los deportes y el dinero son grandes ídolos de la civilización, esta no es una virtud pequeña.

—Maurice Mashaal