Negación

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Operación logística

En lógica, negación, también llamado el complemento lógico, es una operación que toma una proposición $P$ a otra proposición "no $P$ ", de pie para " $P$ no es verdad", escrito $neg P$ , ${displaystyle {mathord {sim }}P}$ o $overline{P}$ . Se interpreta intuitivamente como verdadero cuando $P$ es falso, y falso cuando $P$ es verdad. Por lo tanto, la negación es una conexión lógica sin sentido. Puede ser aplicado como una operación sobre nociones, proposiciones, valores de verdad o valores semánticos más generalmente. En la lógica clásica, la negación se identifica normalmente con la función de verdad que toma verdad a falsedad (y viceversa). En la lógica intuitionista, según la interpretación Brouwer–Heyting–Kolmogorov, la negación de una proposición $P$ es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de $P$ .

Definición

Negación clásica es una operación en un valor lógico, típicamente el valor de una proposición, que produce un valor verdadero cuando su operado es falso, y un valor falso cuando su operado es verdad. Así pues, si se formula una declaración $P$ es verdad, entonces $neg P$ (pronunciado "no P") sería entonces falso; y, al contrario, si $neg P$ es verdad, entonces $P$ Sería falso.

La tabla de la verdad $neg P$ es el siguiente:

$P$	${displaystyle neg P}$
Cierto.	Falso
Falso	Cierto.

La negación se puede definir en términos de otras operaciones lógicas. Por ejemplo, $neg P$ puede definirse como ${displaystyle Prightarrow bot }$ (donde) $rightarrow$ es la consecuencia lógica y $bot$ es falsedad absoluta). Por el contrario, uno puede definir $bot$ como ${displaystyle Qland neg Q}$ para cualquier propuesta $Q$ (donde) $land$ es la conjunción lógica). La idea aquí es que cualquier contradicción es falsa, y mientras estas ideas funcionan tanto en la lógica clásica como en la intuición, no trabajan en la lógica paraconsistente, donde las contradicciones no son necesariamente falsas. En la lógica clásica, también tenemos otra identidad, $Prightarrow Q$ puede definirse como ${displaystyle neg Plor Q}$ , donde $lor$ es la disyunción lógica.

Algebraicamente, la negación clásica corresponde a la complementación en un álgebra booleana y la negación intuicionista a la pseudocomplementación en un álgebra de Heyting. Estas álgebras proporcionan una semántica para la lógica clásica e intuicionista, respectivamente.

Notación

La negación de una proposición $p$ se anota de diferentes maneras, en varios contextos de discusión y campos de aplicación. La siguiente tabla documenta algunas de estas variantes:

Notación	Texto de la línea	Vocalización
$neg p$	¬	No p
${displaystyle {mathord {sim }}p}$	~p	No p
$-p$	-p	No p
Np		En p
$p'$	p '	p primo, p complemento
$overline {p}$	̅p	p Bar, Bar p
${displaystyle !p}$	!p	Bang p No p

La notación Np es la notación de Łukasiewicz.

En teoría establecida, $setminus$ también se utiliza para indicar 'no en el conjunto de': ${displaystyle Usetminus A}$ es el conjunto de todos los miembros de $U$ que no son miembros de $A$ .

Independientemente de cómo se notifica o simboliza, la negación $neg P$ se puede leer como "no es el caso que $P$ ", no eso $P$ ", o generalmente más simplemente como "no $P$ ".

Propiedades

Doble negación

Dentro de un sistema de lógica clásica, doble negación, es decir, la negación de la negación de una proposición $P$ , es lógicamente equivalente a $P$ . Expresado en términos simbólicos, ${displaystyle neg neg Pequiv P}$ . En la lógica intuitionista, una proposición implica su doble negación, pero no transversalmente. Esto marca una diferencia importante entre la negación clásica e intuitionista. Algebraicamente, la negación clásica se llama una involución del período dos.

Sin embargo, en la lógica intuitionista, la equivalencia más débil ${displaystyle neg neg neg Pequiv neg P}$ Espera. Esto es porque en la lógica intuitiva, $neg P$ es sólo un cortocircuito para ${displaystyle Prightarrow bot }$ , y también tenemos ${displaystyle Prightarrow neg neg P}$ . Componiendo esa última implicación con triple negación ${displaystyle neg neg Prightarrow bot }$ implica que ${displaystyle Prightarrow bot }$ .

Como resultado, en el caso proposicional, una oración es clásicamente demostrable si su doble negación es intuicionistamente demostrable. Este resultado se conoce como el teorema de Glivenko.

Distributividad

Las leyes de De Morgan proporcionan una forma de distribuir la negación sobre la disyunción y la conjunción:

{displaystyle neg (Plor Q)equiv (neg Pland neg Q)}

, y

{displaystyle neg (Pland Q)equiv (neg Plor neg Q)}

Linealidad

Vamos $oplus$ denota la operación xor lógica. En álgebra booleana, una función lineal es tal que:

Si existe ${displaystyle a_{0},a_{1},dotsa_{n}in {0,1}}$ , ${displaystyle f(b_{1},b_{2},dotsb_{n})=a_{0}oplus (a_{1}land b_{1})oplus dots oplus (a_{n}land b_{n})}$ , para todos ${displaystyle b_{1},b_{2},dotsb_{n}in {0,1}}$ .

Otra forma de expresar esto es que cada variable siempre hace una diferencia en el valor de verdad de la operación, o nunca hace una diferencia. La negación es un operador lógico lineal.

Doble propio

En álgebra booleana, una función autodual es una función tal que:

${displaystyle f(a_{1},dotsa_{n})=neg f(neg a_{1},dotsneg a_{n})}$ para todos ${displaystyle a_{1},dotsa_{n}in {0,1}}$ . Negación es un operador lógico auto dual.

Negaciones de cuantificadores

En la lógica de primer orden, hay dos cuantificadores, uno es el cuantificador universal $forall$ (significa "para todos") y el otro es el cuantificador existencial $exists$ (significa "existe"). La negación de un cuantificador es el otro cuantificador ( ${displaystyle neg forall xP(x)equiv exists xneg P(x)}$ y ${displaystyle neg exists xP(x)equiv forall xneg P(x)}$ ). Por ejemplo, con el predicado P como "x es mortal" y el dominio de x como la colección de todos los humanos, ${displaystyle forall xP(x)}$ significa "una persona x en todos los humanos es mortal" o "todos los humanos son mortales". La negación es ${displaystyle neg forall xP(x)equiv exists xneg P(x)}$ , que significa "hay una persona x en todos los humanos que no son mortales, o "hay alguien que vive para siempre".

Reglas de inferencia

Existen varias formas equivalentes de formular reglas para la negación. Una forma habitual de formular la negación clásica en un entorno natural de deducción es tomar como reglas primitivas de la inferencia Negación (de una derivación de $P$ a ambos $Q$ y $neg Q$ , inferencia $neg P$ ; esta regla también se llama reductio ad absurdum), Eliminación de la negación (de $P$ y $neg P$ inferente $Q$ ; esta regla también se llama ex quo falsodlibet), y Eliminación de la doble negación (de ${displaystyle neg neg P}$ inferente $P$ ). Uno obtiene las reglas para la negación intuitionista de la misma manera pero excluyendo la eliminación de doble negación.

La introducción de la negación afirma que si un absurdo puede ser sacado como conclusión de $P$ entonces $P$ no debe ser el caso (es decir, $P$ es falso (clásicamente) o refutable (intuitistamente) o etc.). La eliminación de la negación declara que cualquier cosa sigue de un absurdo. A veces la eliminación de la negación se formula usando un signo absurdo primitivo $bot$ . En este caso la regla dice que $P$ y $neg P$ sigue un absurdo. Junto con la eliminación de doble negación, uno puede inferir nuestra norma formulada originalmente, a saber, que cualquier cosa sigue de un absurdo.

Típicamente la negación intuitionista $neg P$ de $P$ se define como ${displaystyle Prightarrow bot }$ . Luego la introducción y eliminación de la negación son sólo casos especiales de introducción de implicaciones (prueba condicional) y eliminación (modus ponens). En este caso se debe añadir también como una regla primitiva ex quo falsodlibet.

Lenguaje de programación y lenguaje ordinario

Al igual que en matemáticas, la negación se usa en informática para construir enunciados lógicos.

si ()!()r == t){} /*...establecimientos ejecutados cuando r no es igual...*/}

El signo de exclamación "!" significa NO lógico en B, C y lenguajes con una sintaxis inspirada en C como C++, Java, JavaScript, Perl y PHP. "NO" es el operador utilizado en ALGOL 60, BASIC y lenguajes con una sintaxis inspirada en ALGOL o BASIC como Pascal, Ada, Eiffel y Seed7. Algunos lenguajes (C++, Perl, etc.) proporcionan más de un operador para la negación. Algunos lenguajes como PL/I y Ratfor usan ¬ para la negación. La mayoría de los lenguajes modernos permiten acortar la declaración anterior de if (!(r == t)) a if (r != t), lo que permite a veces, cuando el el compilador/intérprete no puede optimizarlo, programas más rápidos.

En informática también existe la negación bit a bit. Esto toma el valor dado y cambia todos los 1 binarios a 0 y 0 a 1. Ver operación bit a bit. Esto se usa a menudo para crear ones' complemento o "~" en C o C++ y complemento a dos (simplemente simplificado a "-" o el signo negativo ya que esto es equivalente a tomar el valor aritmético negativo del número) como básicamente crea el opuesto (valor negativo equivalente) o complemento matemático del valor (cuando ambos valores se suman crean un todo).

Para obtener el valor absoluto (equivalente positivo) de un entero dado, lo siguiente funcionaría como "-" lo cambia de negativo a positivo (es negativo porque "x < 0" da verdadero)

no firmado int abdominales()int x){} si ()x . 0) retorno -x; más retorno x;}

Para demostrar la negación lógica:

no firmado int abdominales()int x){} si ()!()x . 0) retorno x; más retorno -x;}

Invertir la condición y revertir los resultados produce un código que es lógicamente equivalente al código original, es decir, tendrá resultados idénticos para cualquier entrada (tenga en cuenta que dependiendo del compilador utilizado, las instrucciones reales realizadas por la computadora pueden diferir).

Esta convención aparece ocasionalmente en el habla escrita ordinaria, como jerga relacionada con la informática para no. Por ejemplo, la frase !voting significa "no votar". Otro ejemplo es la frase !clue que se usa como sinónimo de "sin pista" o "despistado".

Semántica de Kripke

En la semántica de Kripke, donde los valores semánticos de las fórmulas son conjuntos de mundos posibles, la negación puede interpretarse como una complementación teórica de conjuntos (ver también semántica de mundos posibles para obtener más información).

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