Necesidad y suficiencia

En lógica y matemáticas, necesidad y suficiencia son términos utilizados para describir una relación condicional o implicativa entre dos enunciados. Por ejemplo, en la sentencia condicional: "Si P entonces Q", Q es necesario para P, porque la verdad de Q está garantizado por la verdad de P (equivalentemente, es imposible tener P sin Q). Del mismo modo, P es suficiente para Q, porque P siendo verdadero siempre implica que Q es cierto, pero P no ser cierto no siempre implica que Q no es cierto.

En general, una condición necesaria es aquella que debe darse para que se dé otra condición, mientras que una condición suficiente es aquella que produce dicha condición. La afirmación de que una afirmación es "necesaria y suficiente" condición de otra significa que la primera afirmación es verdadera si y sólo si la segunda es verdadera. Es decir, las dos afirmaciones deben ser simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas.

En inglés ordinario (también lenguaje natural) "necesario" y "suficiente" indican relaciones entre condiciones o estados de cosas, no enunciados. Por ejemplo, ser varón es una condición necesaria para ser hermano, pero no es suficiente, mientras que ser hermano varón es una condición necesaria y suficiente para ser hermano. Cualquier enunciado condicional consta de al menos una condición suficiente y al menos una condición necesaria.

Definiciones

En la declaración condicional, "si S, entonces N", la expresión representada por S se llama el antecedente, y la expresión representada por N se llama el consecuente. Esta declaración condicional se puede escribir de varias formas equivalentes, como "N si S", "S solo si N", "S implica N", "N está implícito en S", S → N < span class="texhtml">S ⇒ N y "N siempre que S ".

En la situación anterior de "N siempre que S," Se dice que S es una condición necesaria para N. En lenguaje común, esto es equivalente a decir que si la declaración condicional es una declaración verdadera, entonces el consecuente N debe ser verdadero—si S debe ser verdadera (consulte la tercera columna de la "tabla de verdad" inmediatamente debajo). En otras palabras, el antecedente S no puede ser verdadero sin que N sea verdadero. En la situación inversa de "Si N, entonces S," por ejemplo, para que alguien se llame Sócrates, es necesario que ese alguien sea N amado Del mismo modo, para que los seres humanos vivan, es necesario que tengan aire.

También se puede decir que S es una condición suficiente para N (consulte de nuevo la tercera columna de la tabla de verdad inmediatamente debajo). Si el enunciado condicional es verdadero, entonces si S es verdadero, N debe ser verdadero; mientras que si el enunciado condicional es verdadero y N es verdadero, entonces S puede ser verdadero o falso. En términos comunes, "la verdad de S garantiza la verdad de N". Por ejemplo, continuando con el ejemplo anterior, se puede decir que saber que alguien se llama Sócrates es suficiente para saber que alguien tiene un N nombre.

A necesarios y suficientes condición requiere que ambas implicaciones ${displaystyle SRightarrow N}$ y ${displaystyle NRightarrow S}$ (este último de los cuales también puede ser escrito como ${displaystyle SLeftarrow N}$Espera. La primera implicación sugiere que S es una condición suficiente N, mientras que la segunda implicación sugiere que S es una condición necesaria para N. Esto se expresa como "S es necesario y suficiente para N ", "S si N ", o ${displaystyle SLeftrightarrow N.$.

Tabla de la verdad

S	N	${displaystyle SRightarrow N}$	${displaystyle SLeftarrow N}$	${displaystyle SLeftrightarrow N.$
T	T	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

Necesidad

El sol que está por encima del horizonte es una condición necesaria para la luz solar directa; pero no es una condición suficiente, ya que algo más puede estar arrojando una sombra, por ejemplo, la luna en el caso de un eclipse.

La afirmación de que Q es necesaria para P es coloquialmente equivalente a "P no puede ser verdadera a menos que Q es verdadero" o "si Q es falso, entonces P es falso". Por contraposición, esto es lo mismo que "siempre que P es verdadera, también lo es Q".

La relación lógica entre P y Q se expresa como "si P, entonces Q " y denotado "P ⇒ Q" (P implica Q). También puede expresarse como cualquiera de "P solo si Q", "Q, si < i>P", "Q siempre que P" y "Q cuando P". A menudo se encuentran, en la prosa matemática, por ejemplo, varias condiciones necesarias que, en conjunto, constituyen una condición suficiente (es decir, individualmente necesarias y conjuntamente suficientes), como se muestra en el Ejemplo 5.

Ejemplo 1

Para que sea verdad que "Juan es un soltero", es necesario que también sea cierto que

1. soltero,
2. Hombre,
3. adulto,

ya que decir "Juan es soltero" implica que Juan tiene cada uno de esos tres predicados adicionales.

Ejemplo 2

Para los números enteros mayores de dos, ser extraño es necesario para ser primo, ya que dos es el único número entero que es uniforme y primo.

Ejemplo 3

Considere el trueno, el sonido causado por el relámpago. Uno dice que el trueno es necesario para el relámpago, ya que el relámpago nunca ocurre sin el trueno. Siempre que hay relámpagos, hay truenos. El trueno no causa el relámpago (ya que el relámpago causa trueno), pero porque el relámpago siempre viene con truenos, decimos que el trueno es necesario para el relámpago. (Eso es, en su sentido formal, la necesidad no implica causalidad.)

Ejemplo 4

Ser al menos 30 años es necesario para servir en el Senado de Estados Unidos. Si tienes menos de 30 años, entonces es imposible que seas senador. Es decir, si eres senador, sigue que debes tener al menos 30 años.

Ejemplo 5

En álgebra, para algunos conjuntos S junto con una operación ${displaystyle star }$ formar un grupo, es necesario que ${displaystyle star }$ ser asociativo. También es necesario que S incluir un elemento especial e por cada uno x dentro S, es el caso de que e ${displaystyle star }$ x y x ${displaystyle star }$ e ambos iguales x. También es necesario que para cada x dentro S existe un elemento correspondiente x′′, tal que ambos x ${displaystyle star }$ x′′ y x′′ ${displaystyle star }$ x igual al elemento especial e. Ninguna de estas tres condiciones necesarias por sí sola es suficiente, pero la conjunción de los tres es.

Suficiencia

Que un tren funciona a tiempo puede ser una condición suficiente para llegar a tiempo (si uno aborda el tren y sale a tiempo, entonces uno llegará a tiempo); pero no siempre es una condición necesaria, ya que hay otras formas de viajar (si el tren no funciona a tiempo, uno podría llegar a tiempo a través de otros medios de transporte).

Si P es suficiente para Q, entonces saber que P es verdadero es motivo suficiente para concluir que Q es cierto; sin embargo, saber que P es falso no satisface la necesidad mínima de concluir que Q es falso.

La relación lógica se expresa, como antes, como "si P, entonces Q" o "P ⇒ Q". Esto también se puede expresar como "P solo si Q", "P implica Q " o varias otras variantes. Puede darse el caso de que varias condiciones suficientes, tomadas en conjunto, constituyan una sola condición necesaria (es decir, individualmente suficiente y conjuntamente necesaria), como se ilustra en el ejemplo 5.

Ejemplo 1

"Juan es un rey" implica que Juan es varón. Así que saber que Juan es un rey es suficiente para saber que es un varón.

Ejemplo 2

Un número siendo divisible por 4 es suficiente (pero no necesario) para que sea uniforme, pero ser divisible por 2 es suficiente y necesario para que sea uniforme.

Ejemplo 3

Una ocurrencia de truenos es una condición suficiente para la aparición de relámpagos en el sentido de que escuchar truenos, y reconocerlo sin ambigüedad como tal, justifica concluir que ha habido un rayo.

Ejemplo 4

Si el Congreso de los Estados Unidos aprueba un proyecto de ley, la firma del proyecto de ley del presidente es suficiente para hacerlo legal. Tenga en cuenta que el caso de que el presidente no firmara el proyecto de ley, por ejemplo ejerciendo un veto presidencial, no significa que el proyecto de ley no se haya convertido en ley (por ejemplo, podría haberse convertido en ley a través de una anulación del Congreso).

Ejemplo 5

Que el centro de una tarjeta de juego debe ser marcado con una sola pala grande (aquí) es suficiente para que la tarjeta sea un as. Otras tres condiciones suficientes son que el centro de la tarjeta se marque con un solo diamante (♦), corazón (♥), o club (♣). Ninguna de estas condiciones es necesaria para que la tarjeta sea un as, pero su disyunción es, ya que ninguna tarjeta puede ser un as sin cumplir al menos (de hecho, exactamente) una de estas condiciones.

Relación entre necesidad y suficiencia

Estar en la región púrpura es suficiente para estar en A, pero no necesario. Estar en A es necesario para estar en la región púrpura, pero no suficiente. Estar en A y estar en B es necesario y suficiente para estar en la región púrpura.

Una condición puede ser necesaria o suficiente sin ser la otra. Por ejemplo, ser un mamífero ()N) es necesario pero no suficiente ser humano ()S), y que un número ${displaystyle x}$ es racional ()S) es suficiente pero no necesario ${displaystyle x}$ ser un número real ()N) (ya que hay números reales que no son racionales).

Una condición puede ser tanto necesaria como suficiente. Por ejemplo, en la actualidad, "hoy es el 4 de julio" es una condición necesaria y suficiente para "hoy es el Día de la Independencia en los Estados Unidos". De manera similar, una condición necesaria y suficiente para la invertibilidad de una matriz M es que M tenga un determinante distinto de cero.

Matemáticamente hablando, la necesidad y la suficiencia son duales entre sí. Para cualquier afirmación S y N, la afirmación de que "N es necesaria para S" es equivalente a la afirmación de que "S es suficiente para N". Otra faceta de esta dualidad es que, como se ilustra arriba, las conjunciones (usando 'y') de condiciones necesarias pueden lograr la suficiencia, mientras que las disyunciones (usando 'o') de condiciones suficientes pueden lograr la necesidad.. Para una tercera faceta, identifique cada predicado matemático N con el conjunto T(N) de objetos, eventos o declaraciones para los cuales N es cierto; entonces afirmar la necesidad de N para S es equivalente a afirmar que T(N) es un superconjunto de < i>T(S), mientras que afirmar la suficiencia de S para N es equivalente a afirmar que T(S) es un subconjunto de T(N).

Psicológicamente hablando, la necesidad y la suficiencia son aspectos clave de la visión clásica de los conceptos. Según la teoría clásica de los conceptos, la forma en que las mentes humanas representan una categoría X da lugar a un conjunto de condiciones individualmente necesarias que definen X. Juntas, estas condiciones individualmente necesarias son suficientes para ser X. Esto contrasta con la teoría probabilística de los conceptos que establece que ninguna característica definitoria es necesaria o suficiente, sino que las categorías se asemejan a una estructura de árbol genealógico.

Necesidad y suficiencia simultáneas

Decir que P es necesario y suficiente para Q es decir dos cosas:

1. que P es necesario Q, ${displaystyle PLeftarrow Q}$, y eso P es suficiente para Q, ${displaystyle PRightarrow Q}$.
2. equivalentemente, puede entenderse que P y Q es necesario para el otro, ${displaystyle PRightarrow Qland QRightarrow P}$, que también puede ser declarado como cada uno es suficiente para o implicación el otro.

Uno puede resumir cualquier, y por lo tanto todos, de estos casos por la declaración "P si Q", que es denotado por ${displaystyle PLeftrightarrow Q}$, mientras que los casos nos dicen que ${displaystyle PLeftrightarrow Q}$ es idéntico a ${displaystyle PRightarrow Qland QRightarrow P}$.

Por ejemplo, en teoría de grafos un grafo G se llama bipartito si es posible asignar a cada uno de sus vértices el color negro o blanco de tal forma que cada arista de G tiene un extremo de cada color. Y para que cualquier grafo sea bipartito, es condición necesaria y suficiente que no contenga ciclos de longitud impar. Por lo tanto, descubrir si un gráfico tiene ciclos impares indica si es bipartito y viceversa. Un filósofo podría caracterizar este estado de cosas así: 'Aunque los conceptos de bipartididad y ausencia de ciclos impares difieren en intención, tienen una extensión idéntica.

En matemáticas, los teoremas a menudo se expresan en la forma "P es verdadera si y solo si Q es verdadera".

Porque, como se explica en la sección anterior, la necesidad de uno para el otro es equivalente a la suficiencia del otro para el primero, por ejemplo. ${displaystyle PLeftarrow Q}$ equivale a ${displaystyle QRightarrow P}$, si P es necesario y suficiente para Q, entonces Q es necesario y suficiente para P. Podemos escribir ${displaystyle PLeftrightarrow Qequiv QLeftrightarrow P}$ y decir que las declaraciones "P es verdad si y sólo si Q, es cierto" y "Q es verdad si y sólo si P es verdad" son equivalentes.