N-esfera

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2-sphere wireframe as an orthogonal projection

Así como una proyección estereográfica puede proyectar la superficie de una esfera a un plano, también puede proyectar una esfera de 3 grados en 3 espacios. Esta imagen muestra tres direcciones de coordenadas proyectadas a 3 espacios: paralelos (rojo), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde). Debido a la propiedad conformal de la proyección estereográfica, las curvas se intersectan ortogonalmente (en los puntos amarillos) como en 4D. Todas las curvas son círculos: las curvas que intersectan riendo0,0,0,1 tronco tienen un radio infinito (= línea recta).

En matemáticas, una $n$ -esfera o una hiperesfera es un espacio topológico que es homeomorfo a un estándar $n$ -esfera, que es el conjunto de puntos en Espacio euclidiano $(n + 1)$ -dimensional que se sitúa a una distancia constante $r$ desde un punto fijo, llamado centro. Es la generalización de una esfera ordinaria en el espacio tridimensional ordinario. El "radio" de una esfera es la distancia constante de sus puntos al centro. Cuando la esfera tiene radio unitario, lo habitual es llamarla la unidad $n$ -esfera o simplemente la $n$ -esfera por brevedad. En términos de la norma estándar, la esfera $n$ se define como

{displaystyle S^{n}=left{xin mathbb {R} ^{n+1}:leftspexrightfn1derecha,}

y una $n$ -esfera de radio $r se puede definir como$

{displaystyle S^{n}(r)=left{xin mathbb {R} ^{n+1}:leftspexrightfnse=rright.}

La dimensión de $n$ -esfera es $n, y no debe confundirse con la dimensión (n + 1) del espacio euclidiano en el que está incrustado naturalmente. Una esfera n es la superficie o límite de una (n + 1) -bola dimensional.$

En particular:

el par de puntos en los extremos de un segmento de línea (un-dimensional) es un 0-sfera,
un círculo, que es la circunferencia unidimensional de un disco (de dos dimensiones), es una esfera de 1
la superficie bidimensional de una bola tridimensional es una esfera de 2 grados, a menudo simplemente llamada esfera,
el límite tridimensional de un (cuatro-dimensional) 4-ball es un 3-sphere,
el $n - 1$ )-dimensional límite de un ( $n$ -dimensional) $n$ - El balón es un $() n - 1)$ - Esfera.

Para $n \geq 2$ , las esferas $n$ que son variedades diferenciales se pueden caracterizar (hasta un difeomorfismo) como las variedades $n$ -dimensionales simplemente conectadas de curvatura positiva constante. Las $n$ -esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, se pueden construir pegando dos $n$ espacios euclidianos dimensionales juntos, identificando el límite de un n-cubo con un punto, o (inductivamente) formando la suspensión de un $(n - 1)$ -esfera. La 1-esfera es la 1-variedad que es un círculo, que no es simplemente conexo. La esfera 0 es la variedad 0, que ni siquiera está conectada, que consta de dos puntos.

Descripción

Para cualquier número natural $n$ , un $n$ - esfera de radio $r$ se define como el conjunto de puntos en $(n + 1)$ espacio euclidiano-dimensional que se encuentran a una distancia $r$ de algún punto fijo $c$ , donde $r$ puede ser cualquier número real positivo y donde $c$ puede ser cualquier punto en $(n + 1)$ -espacio dimensional. En particular:

una esfera 0 es un par de puntos ${} c - r, c + r}$ , y es el límite de un segmento de línea (1-ball).
a 1 esfera es un círculo de radio $r$ centrado en $c$ , y es el límite de un disco (2-ball).
a 2-sfera es una esfera 2-dimensional ordinaria en el espacio Euclideano tridimensional, y es el límite de una bola ordinaria (3-ball).
a 3-sfera es una esfera 3-dimensional en el espacio Euclideano 4-dimensional.

Coordenadas euclidianas en (n + 1)-espacio

El conjunto de puntos en $() n + 1)$ - espacio, $() x 1, x 2,... x n + 1)$ , que define un $n$ - Esfera, ${displaystyle S^{n}(r)}$ , está representado por la ecuación:

${displaystyle r^{2}=sum ¿Qué?$

donde $c = (c 1, c 2,..., c n +1)$ es un punto central, y $r$ es el radio.

La $n$ -esfera anterior existe en $(n + 1)-espacio euclidiano dimensional y es un ejemplo de una variedad n . El volumen forma ω de una n -esfera de radio r$ está dada por

${displaystyle omega ={1} {r}sum _{j=1}{n+1}(-1)^{j-1}x_{j},dx_{1}wedge cdots wedge dx_{j-1}wedge dx_{j+1}cdotswedge dx_{d}$

donde $*$ es el operador estrella de Hodge; ver Flanders (1989, §6.1) para una discusión y prueba de esta fórmula en el caso $r = 1$ . Como resultado,

${displaystyle drwedge omega =dx_{1}wedge cdots wedge dx_{n+1}$

N-bola

El espacio encerrado por una esfera $n$ se denomina $(n + 1)$ -bola. Una bola $(n + 1)$ está cerrada si incluye la $n -sphere, y está abierta si no incluye la n -sphere.$

Específicamente:

A 1-bola, un segmento de línea, es el interior de una esfera 0.
A 2-bola, un disco, es el interior de un círculo (1-esfera).
A 3-bola, una bola ordinaria, es el interior de una esfera (2-sfera).
A 4-bola es el interior de una 3-fera, etc.

Descripción topológica

Topológicamente, una esfera $n$ se puede construir como una compactación de un punto de $n$ Espacio euclidiano bidimensional. Brevemente, la esfera $n$ se puede describir como $S n = ℝ n \cup {\infty}$ , que es $n$ Espacio euclidiano bidimensional más un único punto que representa el infinito en todas las direcciones. En particular, si se elimina un solo punto de una esfera $n$ , se vuelve homeomorfa a $ℝ n$ . Esto forma la base para la proyección estereográfica.

Volumen y área de superficie

$V n () R)$ y $S n () R)$ son $n$ - volumen dimensional de la bola n y la superficie de la $n$ - esfera incrustada en dimensión $n + 1$ , respectivamente, de radio $R$ .

Las constantes $V n$ y $S n$ (por $R = 1$ , la bola unitaria y la esfera) están relacionados por las recurrencias:

${displaystyle {begin{aligned}V_{0} limit=1 limit_{n+1} {S_{n}{n+1}[6pt]S_{0} V_{n}end{aligned}}$

Las superficies y volúmenes también se pueden dar en forma cerrada:

${displaystyle {begin{aligned}S_{n-1}(R) limit={frac {2,pi ^{frac {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {\fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {\fn}}}} {\fn}}}}}} {\}}}}}} {\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Gamma left ({frac {n} {2}right)}}R^{n-1}[6pt]V_{n}(R) limit={frac {pi ^{frac {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {\fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {\fn}}}} {\fn}}}}}} {\}}}}}} {\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Gamma left ({frac {n}}+1right)}R^{n}end{aligned}}$

Donde $.$ es la función gamma. Las derivaciones de estas ecuaciones se dan en esta sección.

Gráficos de volúmenes (V) y superficies (S) de n-Bolas de radio 1. En [1], arrastre sobre un punto para destacarlo y su valor.

En general, el volumen del $n$ - Bola adentro $n$ -dimensional Espacio euclidiano, y la superficie de la $n$ - Esfera en $() n + 1)$ -dimensional Espacio euclidiano, de radio $R$ , son proporcionales a $n$ el poder del radio, $R$ (con diferentes constantes de proporcionalidad que varían con $n$ ). Escribimos $V n () R) V n R n$ para el volumen del $n$ -ball y $S n () R) S n R n$ para la superficie de la $n$ - esfera, ambos radios $R$ , donde $V n = V n 1)$ y $S n = S n 1)$ son los valores para el caso unidad-radius.

El volumen de la unidad $n$ -ball es máximo en la dimensión cinco, donde comienza a disminuir, y tiende a cero cuando $n$ tiende a infinito. Además, la suma de los volúmenes de $n$ -bolas de dimensiones pares de radio $R$ se puede expresar en forma cerrada:

${displaystyle sum _{n=0}{infty }V_{2n}(R)=e^{pi) R^{2}}$

Para el análogo de dimensión impar,

${displaystyle sum _{n=0}{infty }V_{2n+1}(R)=e^{pi) ¿Qué?$

donde $erf$ es la función de error.

Ejemplos

La bola 0 consiste en un solo punto. La medida de Hausdorff de dimensión 0 es el número de puntos en un conjunto. Asi que,

${displaystyle V_{0}=1.$

La esfera 0 consta de sus dos puntos finales, ${-1,1}$ . Asi que,

${displaystyle S_{0}=2.$

La unidad 1-bola es el intervalo $[-1,1]$ de longitud 2. Entonces,

${displaystyle V_{1}=2.}$

La unidad 1-esfera es el círculo unitario en el plano euclidiano, y este tiene circunferencia (medida unidimensional)

${displaystyle S_{1}=2pi.}$

La región encerrada por la unidad 1-esfera es la 2-bola, o unidad de disco, y tiene área (medida bidimensional)

${displaystyle V_{2}=pi.}$

De manera análoga, en el espacio euclidiano tridimensional, el área de superficie (medida bidimensional) de la unidad 2-esfera está dada por

${displaystyle S_{2}=4pi.}$

y el volumen encerrado es el volumen (medida tridimensional) de la unidad 3-bola, dado por

${displaystyle V_{3}={tfrac {4} {3}pi.}$

Recurrencias

El área de superficie, o propiamente el volumen $n$ -dimensional, del $n$ -esfera en el límite de la $(n + 1)$ -bola de radio $R$ está relacionado con el volumen de la pelota por la ecuación diferencial

${displaystyle S_{n}R^{n}={frac {dV_{n+1}R^{n+1} {dR}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}}}$

o, de manera equivalente, representando la unidad $n$ -ball como una unión de $(n - 1)$ -esferas conchas,

${displaystyle V_{n+1}=int ¿Qué?$

Entonces,

${displaystyle V_{n+1}={frac {S_{n} {n+1}}$

También podemos representar la unidad $(n + 2)$ -esfera como una unión de productos de un círculo (1-esfera) con un $n$ -esfera. Sea $r = cos θ$ y $r 2 + R 2 = 1$ , de modo que $R = sin θ$ y $dR = cos θ dθ$ . Después,

${displaystyle {begin{aligned}S_{n+2} ¿Qué? }{2}S_{1}rcdot S_{n}R^{n},dtheta \[6pt] ¿Qué? } {2}S_{1}cdot S_{n}R^{n}cos theta ,dtheta \[6pt] ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? V_{n+1}.$

Puesto que $S 1 = 2π V 0$ , la ecuacion

${displaystyle S_{n+1}=2pi V_{n}$

se mantiene para todos los $n$ .

Esto completa la derivación de las recurrencias:

${displaystyle {begin{aligned}V_{0} limit=1 limit_{n+1} {S_{n}{n+1}[6pt]S_{0} V_{n}end{aligned}}$

Formularios cerrados

Combinando las recurrencias, vemos que

${displaystyle V_{n+2}=2pi {fnMicroc {V_{n} {n+2}}$

Entonces es simple mostrar por inducción sobre k que,

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {c} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {c} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft}} {f}f}}}f}}}} {c}c}f}}c}c}cccccccccccH0}ccccccccccccccccccccccccccccccH0}ccH0}cH0}cccH0}ccH0}cccH$

donde $!!$ denota el factorial doble, definido para números naturales impares $2 k + 1$ por $(2 k + 1)!! = 1 \times 3 \times 5 \times... \times (2 k - 1) \times (2 k + 1)$ y de manera similar para números pares (2k)!! = 2 × 4 × 6 ×... × (2k − 2) × (2k).

En general, el volumen, en espacio euclidiano $n$ -dimensional, de la unidad $n$ -bola, viene dada por

${displaystyle ¿Qué? {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {\fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {f}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Gamma left ({frac {n}}+1right)}={frac {fnMicrosoft } {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn} {fn}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}}}} {m}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}} {m}}}} {m}}}}} {f}}}}}}} {m} {m}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {l}}}}}}}} {l}}}}} {ppl}}}}}}}} {bml}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {l}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ¡Sí!$

donde $Γ$ es la función gamma, que satisface $Γ(1 / 2) = \sqrt π$ , $Γ(1) = 1$ , y $Γ(x + 1) = x Γ(x), y así Γ(x + 1) = x!, y donde por el contrario definimos x! = Γ(x + 1) para cada x .$

Multiplicando $V n$ por $R n$ , diferenciando con respecto a $R$ , y luego configurando $R = 1$ , obtenemos la forma cerrada

${displaystyle S_{n-1}={frac {fnpi } {fnMicroc {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {\fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {f}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Gamma left ({frac {n}}+1right)}={frac {2pi ^{frac {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}} {\fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}} {f}}} {\fn}}}}} {\fn}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Gamma left.$

para la superficie dimensional (n − 1) de la esfera Sⁿ⁻¹.

Otras relaciones

Las recurrencias se pueden combinar para dar una "dirección inversa" relación de recurrencia para el área de superficie, como se muestra en el diagrama:

${displaystyle S_{n-1}={frac {n}{2pi }S_{n+1}$

$n$ se refiere a la dimensión del espacio euclidiano ambiente, que es también la dimensión intrínseca del sólido cuyo volumen se enumera aquí, pero que es 1 más que la dimensión intrínseca de la esfera cuya superficie está lista aquí. Las flechas rojas curvas muestran la relación entre fórmulas para diferentes $n$ . El coeficiente de fórmula en la punta de cada flecha equivale al coeficiente de fórmula en los tiempos de cola de esa flecha el factor en la punta de flecha (donde el $n$ en la punta de flecha se refiere a $n$ valor que el cabeza de flecha apunta a). Si la dirección de las flechas inferiores fuera revertida, sus puntas de flecha dirían multiplicarse por $2π / n - 2$ . Alternativamente dicho, la superficie $S n + 1$ de la esfera en $n + 2$ dimensiones es exactamente $2 π R$ veces el volumen $V n$ encerrado por la esfera en $n$ dimensiones.

Cambio de índice $n$ a $n - 2$ luego da las relaciones de recurrencia:

${displaystyle {begin{aligned}V_{n} - Sí. {2ccH00} {n-2}S_{n-3}end{aligned}}$

donde $S 0 = 2$ , $V 1 = 2$ , $S 1 = 2 π$ y $V 2 = π$ .

La relación de recurrencia para $V n$ también se puede demostrar mediante la integración con coordenadas polares bidimensionales:

${displaystyle {begin{aligned}V_{n} ¿Qué? ¿Qué? }V_{n-2}left({sqrt {1-r^{2}}right)^{n-2},r,dtheta ,dr[6pt] ¿Qué? ¿Qué? }V_{n-2}left(1-r^{2}right){{{frac {n}{2}}-1},r,dtheta ,dr[6pt] V_{n-2}int ¿Por qué? V_{n-2}left[-{frac {1}left(1-r^{2}right)^{frac} {n}{2}right]_{r=0} {r=1}[6pt] V_{n-2}{frac {1}{n}={frac {2pi} }V_{n-2}$

Coordenadas esféricas

Podemos definir un sistema de coordenadas en un espacio euclidiano $n$ -dimensional que es análogo al sistema de coordenadas esférico definido para el espacio euclidiano tridimensional, en el que las coordenadas consisten en una coordenada radial $r$ , y $n - 1$ coordenadas angulares $φ 1, φ 2,.. φ n -1$ , donde los ángulos $φ 1, φ 2,... φ n -2$ rango sobre $[0,π]$ radianes (o sobre $[0,180]$ grados) y φ_n−1 rangos sobre $[0,2π)$ radianes (o más de $[0,360)$ grados). Si $x i$ son las coordenadas cartesianas, entonces podemos calcular $x 1,... x n$ de $r, φ 1,... φ n -1 con:$

${displaystyle {begin{aligned}x_{1} {1}fnccH00cH00}cH00cH00\cH00}cH00}cnccn}ccH00cH00cH00cH00cH00}ccH00cH00}cH00cH0cH00cH0}cH0cH00cH0cH00cH0cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00cH00\\cH00cH00cH00\cH00\cH00cH00cH00cH00cH00\cH00\]$

Excepto en los casos especiales que se describen a continuación, la transformación inversa es única:

${displaystyle {begin{aligned}r {{x_{n}{2}+{x_{n-1}{2}+cdots [6pt]varphi ################################################################################################################################################################################################################################################################ {x_{1}{sqrt {{x_{n}{2}+{x_{n-1}{2}+cdots ¿Qué? {{x_{n}{2}+{x_{n-1}{2}+cdots [6pt]varphi ################################################################################################################################################################################################################################################################ {x_{2}{sqrt {{x_{n}{2}+{x_{n-1}{2}+cdots ¿Qué? {{x_{n}{2}+{x_{n-1}{2}+cdots {fnMicrosoft Sans Serif}[6pt],,,,,,,,,,,vdots \[6pt]varphi _{n-2} limit=operatorname {arccot} {frac} {x_{n-2}{sqrt {{x_{n}} {2}+{x_{n-1}} {2}} {}} {cH00}} {cH00}}} {cH00}}}}}} {cH00}}}}}} {cH00}}}}}}}} {ccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\cH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\c {fn2} {fn2} {fnK}} {fnK}} {fnK}}} {fn2}} {fn}} {fn}}}}} {fnfnfn}}}} {fnfnfn}}fnKH00}}} {fnfn}}}}}}}}}} {fnfn}}}}}nnnnnnfnfnfnfn\fnfnfn\nfnfnfnfn\fnfnfnfnfnfnfnhnhn\fn\\fnfnfnfn\fnfn\fnfnfnfnfnKfn\fnfn\fnhn {{x_{n}} {2}}}}[6pt] [4]fn1}}\[6pt] ################################################################################################################################################################################################################################################################ {x_{n-1}+{sqrt {x_{n}} {2}+x_{n-1}} {x_{n}}}} {begin{cases}arccos {frac {x_{n-1}{sqrt {{x_{n}} {2}+{x_{n-1}}} {x_{n}gn}gq 0,[6pt]2pi - 'arccos {frac {x_{n-1}{sqrt {{x_{n}} {2}}} {cn-1}}}} {cn}}} {n}}}} {end{cases}}}}}}}}}} {end{aligned}}}}}}}}}}} {ccH00}}}}}}}}} {cccH00}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$

donde si $x k \neq 0$ para algunos $k$ pero todos $x k +1,... x n$ son cero entonces $φ k = 0$ cuando $x k > 0$ , y $φ k = π$ (180 grados) cuando $x k < 0$ .

Hay algunos casos especiales en los que la transformada inversa no es única; $φ k$ para cualquier $k$ será ambiguo siempre que todos $x k, x k +1,... x n$ son cero; en este caso $φ k$ puede elegirse para que sea cero.

Elementos esféricos de volumen y área

Para expresar el elemento de volumen del espacio euclidiano $n$ -dimensional en términos de coordenadas esféricas, primero observe que la matriz jacobiana de la transformación es:

${displaystyle J_{n}={begin{pmatrix}cos(varphi ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft Sans Serif}$

El determinante de esta matriz se puede calcular por inducción. Cuando $n = 2$ , un cálculo sencillo muestra que el determinante es $r . Para n más grandes, observe que J n se puede construir a partir de J n - 1 como sigue. Excepto en la columna n, las filas n - 1 y n de J n son iguales a la fila n - 1 de J n - 1, pero multiplicado por un factor extra de cos φ n - 1 en la fila n - 1 y un factor extra de sen φ n - 1 en la fila n . En la columna n, las filas n - 1 y n de J n son los mismos que la columna n - 1 de la fila n - 1 de J n - 1, pero multiplicado por factores adicionales de sin φ n - 1 en la fila n - 1 y cos φ n - 1 en la fila n, respectivamente. El determinante de J n se puede calcular mediante la expansión de Laplace en la columna final. Por la descripción recursiva de J n, la submatriz formada al eliminar la entrada en (n - 1, n)$ y su fila y columna son casi iguales a $J n - 1$ , excepto que su última fila se multiplica por $sin φ n - 1 . De manera similar, la submatriz formada al eliminar la entrada en (n, n) y su fila y columna son casi iguales a J n - 1, excepto que su última fila se multiplica por cos φ n - 1 . Por lo tanto, el determinante de J n es$

${displaystyle {begin{aligned} WordPressJ_{n} incapacitado=(-1)^{(n-1)+n}(-rsin(varphi _{1})dotsm sin(varphi _{n-2})sin(varphi _{n-1})(sin(varphi) _{n-1}? {fn1} {fn1} {fn1} {fn1}fnfn1}nn1} {n1}n1}nn1}n1nn1}nn1nn1}n1n1n1nn1]nnn1nnn1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn\nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn\]]nnnnnnnnnnn$

La inducción da una expresión de forma cerrada para el elemento de volumen en coordenadas esféricas

${displaystyle {begin{aligned}d^{n}V implica=left sometidadet {frac {partial (x_{i})}{partial left(r,varphi _{j}right)}}right sometidadr,dvarphi ¿Por qué? Dvarphi _{n-1}bun=r^{n-1}sin ^{n-2}(varphi _{1})sin ^{n-3}(varphi _{2})cdots sin(varphi _{n-2}),drvarphi _{1},dvarphi _{2}cdots dvarphi - No.$

La fórmula para el volumen de la $n$ -bola se puede derivar de esto por integración.

Del mismo modo, el elemento de área de superficie de la $(n - 1)$ -esfera de radio $R$ , que generaliza el elemento de área de la 2-esfera, viene dado por

${displaystyle d_{S^{n-1}V=R^{n-1}sin ^{n-2}(varphi _{1})sin ^{n-3}(varphi _{2})cdots sin(varphi _{n-2}),dvarphi _{1},dvarphi _{2}cdots dvarphi _{n-1}.$

La elección natural de una base ortogonal sobre las coordenadas angulares es un producto de polinomios ultraesféricos,

${displaystyle {begin{aligned} {}quad int _{0}pi }sin ^{n-j-1}left(varphi _{j}right)C_{s}{left({fracfrac] {n-j-1}{2}right)}cos left(varphi _{j}right)C_{s'}{left({frac] {n-j-1}{2}right)}cos left(varphi _{j}right),dvarphi _{j}[6pt] Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)Gamma ^{2}left({frac {n-j-1}{2}right)}delta ¿Qué?$

para $j = 1, 2,... n - 2$ , y $e isφ j$ para el ángulo $j = n - 1$ en concordancia con los armónicos esféricos.

Coordenadas poliesféricas

El sistema de coordenadas esféricas estándar surge al escribir $ℝ n$ como el producto $ℝ \times ℝ n - 1$ . Estos dos factores pueden estar relacionados usando coordenadas polares. Para cada punto $x$ de $ℝ n, las coordenadas cartesianas estándar$

${displaystyle mathbf {x} =(x_{1},dotsx_{n}=(y_{1},z_{1},dotsz_{n-1})=(y_{1},mathbf {z}}}}$

puede transformarse en un sistema mixto de coordenadas cartesianas polares:

${displaystyle mathbf {x} =(rsin theta(rcos theta){hat {mathbf {z}}}}}}$

Esto dice que los puntos en $R n$ se puede expresar tomando el rayo comenzando por el origen y pasando ${fnMicrosoft Sans Serif} }=Mathbf {z} Vert mathbf {z} Vert in S^{n-2}$ , girando hacia ${displaystyle (1,0,dots0)}$ por ${displaystyle theta =arcsin Y...$ , y viajar a distancia ${displaystyle r=l} Vert mathbf {x} Vert$ a lo largo del rayo. Repetir esta descomposición eventualmente conduce al sistema de coordenadas esféricas estándar.

Los sistemas de coordenadas poliesféricas surgen de una generalización de esta construcción. El espacio $ℝ n$ se divide como el producto de dos espacios euclidianos de menor dimensión, pero no se requiere que ningún espacio sea una linea Específicamente, suponga que $p$ y $q$ son enteros positivos tales que $n = p + q$ . Entonces $ℝ n = ℝ p \times ℝ q$ . Usando esta descomposición, un punto $x \in ℝ n$ puede escribirse como

${displaystyle mathbf {x} =(x_{1},dotsx_{n}=(y_{1},dotsy_{p},z_{1},dotsz_{q})=(mathbf {y}mathbf {z}}).$

Esto se puede transformar en un sistema mixto de coordenadas cartesianas polares escribiendo:

${displaystyle mathbf {x} =(rsin theta){hat {mathbf {y}}},(rcos theta){hat {mathbf {z}}}}}}}}}$

Aquí. ${displaystyle {hat {fnK}}}$ y ${fnMicrosoft Sans Serif} }$ son los vectores de unidad asociados a $Sí.$ y $z$ . Esto expresa $x$ en términos de ${displaystyle {hat {fn}in} S^{p-1}$ , ${fnMicrosoft Sans Serif} }in S^{q-1}$ , $r \geq 0$ , y un ángulo $Silencio$ . Se puede demostrar que el dominio de $Silencio$ es $[0, 2π)$ si $p = q = 1$ , $[0, π]$ si exactamente uno de $p$ y $q$ 1, y $[0, π/2π]$ si no $p$ ni $q$ son 1. La transformación inversa es

${displaystyle {begin{aligned}r Vert mathbf {x} rVert\theta &=arcsin(lVert mathbf {y} rVert /l Vert mathbf {x} rVert)\ Pulse=arccos(l Vert mathbf {z} rVert /l Vert mathbf {x} rVert)\\\lctan Vert mathbf {y} rVert /l Vert mathbf {z} rVert).end{aligned}}$

Estas divisiones pueden repetirse mientras uno de los factores involucrados tenga dimensión dos o mayor. A Sistema de coordinación poliesférica es el resultado de repetir estas divisiones hasta que no quedan coordenadas cartesianas. Las divisiones después de la primera no requieren una coordinación radial porque los dominios de ${displaystyle {hat {fnK}}}$ y ${fnMicrosoft Sans Serif} }$ son esferas, por lo que las coordenadas de un sistema de coordenadas poliesféricas son un radio no negativo y $n - 1$ ángulos. Los posibles sistemas de coordenadas poliesféricas corresponden a árboles binarios $n$ hojas. Cada nodo de hoja en el árbol corresponde a una división y determina una coordenadas angular. Por ejemplo, la raíz del árbol representa $R n$ , y sus hijos inmediatos representan la primera división en $R p$ y $R q$ . Los nodos de hoja corresponden a coordenadas cartesianas para $S n - 1$ . Las fórmulas para la conversión de coordenadas poliesféricas a coordenadas cartesianas pueden determinarse encontrando los caminos de la raíz a los nodos de hoja. Estas fórmulas son productos con un factor para cada rama tomada por el camino. Para un nodo cuya coordenadas angular correspondiente es $Silencio i$ , tomar la rama izquierda introduce un factor de $pecado θ i$ y tomar la rama derecha introduce un factor $porque θ i$ . La transformación inversa, desde coordenadas poliesféricas hasta coordenadas cartesianas, está determinada por agrupar nodos. Cada par de nodos que tienen un padre común se puede convertir de un sistema de coordenadas polar-cartesiano mixto a un sistema de coordenadas cartesiano utilizando las fórmulas anteriores para una división.

Las coordenadas poliesféricas también tienen una interpretación en términos del grupo ortogonal especial. Una división $ℝ n = ℝ p \times ℝ q$ determina un subgrupo

${displaystyle operatorname {SO} _{p}(mathbb {R})times operatorname {SO} _{q}(mathbb {R})subseteq operatorname {SO} _{n}(mathbb {R}).}$

Este es el subgrupo que deja cada uno de los dos factores ${displaystyle S^{p-1}times S^{q-1}subseteq S^{n-1}$ fijo. Elegir un conjunto de representantes de conjuntos para el cociente es el mismo que elegir ángulos representativos para este paso de la descomposición de coordenadas poliesféricas.

En coordenadas poliesféricas, el volumen se mide en $ℝ n$ y el área se mide en $S n - 1$ son productos. Hay un factor para cada ángulo, y la medida del volumen en $ℝ n$ también tiene un factor para la coordenada radial. La medida del área tiene la forma:

${displaystyle DA_{n-1}=prod ¿Por qué?$

donde los factores $F i$ están determinados por el árbol. Del mismo modo, la medida del volumen es

${displaystyle DV_{n}=r^{n-1},dr,prod ¿Por qué?$

Supongamos que tenemos un nodo del árbol que corresponde a la descomposición $ℝ n 1 + n 2 = ℝ n 1 \times ℝ n 2$ y que tiene la coordenada angular $θ$ . El factor correspondiente $F$ depende de los valores de $n 1$ y $n 2$ . Cuando la medida del área se normaliza para que el área de la esfera sea 1, estos factores son los siguientes. Si $n 1 = n 2 = 1$ , entonces

${displaystyle F(theta)={frac {dtheta } {2pi}}$

Si $n 1 > 1$ y $n 2 = 1$ , y si $B denota la función beta, entonces$

${displaystyle F(theta)={frac {n_{1}-1}theta ##{mathrm {B} {frac} {n_{1} {2} {frac {2}}},dtheta.}$

Si $n 1 = 1$ y $n 2 > 1$ , entonces

${displaystyle F(theta)={cos ^{n_{2}theta }{mathrm {B} ({frac {1}{2}} {frac} {n_{2}}},dtheta.}$

Finalmente, si tanto $n 1$ como $n 2$ son mayores que uno, entonces

${displaystyle F(theta)={frac {sin ^{n_{1}-1}theta)(cos ^{n_{2}-1}theta)}{frac {2}}mathrm {B} ({frac} {frac} {f}f}fnK} {f}f}f} {f} {f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKf}fnK}f}f}f}fnfnfnf}f}f}fnK}fnfnf}fnK}f}fnK}f}}fn {n_{1}{2}} {frac} {n_{2}}},dtheta.}$

Proyección estereográfica

Así como una esfera bidimensional incrustada en tres dimensiones se puede representar en un plano bidimensional mediante una proyección estereográfica, un $n$ - la esfera se puede mapear en un hiperplano $n$ -dimensional por el $n$ -dimensional de la proyección estereográfica. Por ejemplo, el punto $[x, y, z]$ en un plano bidimensional esfera de radio 1 se asigna al punto $[x / 1 - z, y / 1 - z]$ en el plano $xy$ . En otras palabras,

${displaystyle [x,y,z]mapsto left[{frac {x}{1-z}},{frac {y}{1-z}right].}$

Del mismo modo, la proyección estereográfica de una $n$ -esfera $S n$ del radio 1 se asignará a la $(n - 1)$ -dimensional hiperplano $ℝ n -1$ perpendicular a $x n$ -eje como

${displaystyle [x_{1},x_{2},ldotsx_{n}mapsto left[{frac] {x_{1}{1-x_{n}} {frac {x_{2}{1-x_{n}}}ldots{frac Está bien.$

Generando puntos aleatorios

Uniformemente al azar en la (n − 1)-esfera

Un conjunto de puntos distribuidos uniformemente en la superficie de una unidad de 2 esfera generada usando el algoritmo de Marsaglia.

Para generar puntos aleatorios uniformemente distribuidos en la unidad $(n - 1)$ -esfera (es decir, la superficie de la unidad $n$ -ball), Marsaglia (1972) proporciona el siguiente algoritmo.

Generar un vector $n$ -dimensional de desviaciones normales (basta con usar $N(0, 1)$ , aunque en realidad la elección de la varianza es arbitraria), $x = (x 1, x 2,... x n)$ . Ahora calcule el "radio" de este punto:

${displaystyle r={sqrt {x_{1}{2}+x_{2}{2}+cdots - Sí.$

El vector $1 //span> r x se distribuye uniformemente sobre la superficie de la unidad n -bola.$

Una alternativa dada por Marsaglia es seleccionar uniformemente aleatoriamente un punto $x = x 1, x 2,... x n)$ en la unidad n-cube $x i$ independientemente de la distribución uniforme sobre $(-1,1)$ , computación $r$ como arriba, y rechazar el punto y el muestreo si $r \geq 1$ (es decir, si el punto no está en el $n$ -ball), y cuando se obtiene un punto en la bola escalando hasta la superficie esférica por el factor $1 / r$ ; entonces de nuevo $1 / r x$ se distribuye uniformemente sobre la superficie de la unidad $n$ - Bola. Este método se vuelve muy ineficiente para dimensiones superiores, ya que una fracción extremadamente pequeña del cubo de unidad está contenida en la esfera. En diez dimensiones, menos del 2% del cubo está lleno por la esfera, por lo que normalmente se necesitarán más de 50 intentos. En setenta dimensiones, menos que ${displaystyle 10^{-24}$ del cubo está lleno, lo que significa típicamente un trillón de ensayos serán necesarios, mucho más de lo que una computadora podría llevar a cabo.

Uniformemente al azar dentro de la bola n

Con un punto seleccionado uniformemente al azar de la superficie de la unidad $(n - 1)$ -esfera (por ejemplo, usando Marsaglia's algoritmo), solo se necesita un radio para obtener un punto uniformemente al azar desde dentro de la unidad $n$ -ball. Si $u$ es un número generado uniformemente al azar a partir del intervalo $[0, 1]$ y x es un punto seleccionado uniformemente al azar de la unidad $(n - 1)-sphere, luego u 1 ⁄ n x se distribuye uniformemente dentro de la unidad n$ -bola.

Alternativamente, los puntos se pueden muestrear uniformemente dentro de la unidad $n$ -ball mediante una reducción de la unidad $(n + 1)$ -esfera. En particular, si $(x 1, x 2,..., x n +2)$ es un punto seleccionado uniformemente de la unidad $(n + 1)$ -esfera, luego $(x 1, x 2,..., x n)$ se distribuye uniformemente dentro de la unidad $n$ -ball (es decir, simplemente descartando dos coordenadas).

Si $n$ es suficientemente grande, la mayor parte del volumen de $n$ -ball estará contenido en la región muy cerca de su superficie, por lo que un punto seleccionado de ese volumen probablemente también estará cerca de la superficie. Este es uno de los fenómenos que conducen a la llamada maldición de la dimensionalidad que surge en algunas aplicaciones numéricas y de otro tipo.

Esferas específicas

0-sphere: El par de puntos $# R}$ con la topología discreta para algunos $R ■ 0$ . La única esfera que no está conectada con el camino. Paralelamente.
1-sphere: comúnmente llamado círculo. Tiene un grupo fundamental no tripartito. Abelian Lie grupo estructura U(1); el grupo círculo. Homeomorfo a la línea de proyecto real.
2-sphere: Comúnmente simplemente se llama una esfera. Por su compleja estructura, vea la esfera Riemann. Equivalente a la compleja línea proyectiva
3-sphere: Paralelizable, principal U(1)-bundle sobre la estructura de grupo de 2-sphere, Lie Sp(1).
4-sphere: Equivalente a la línea de proyecto cuaternión, HP¹. SO(5)/SO(4).
5-sphere: Principal U(1)-bundle over CP2. SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2). Es indecidable si un dado n- el manifold dimensional es homeomorfico a $S n$ para n≥ 5.
6-sphere: Posee una estructura casi compleja procedente del conjunto de octoniones de unidad pura. SO(7)/SO(6) = G₂/SU(3). La cuestión de si tiene una estructura compleja se conoce como Problema Hopf, después de Heinz Hopf.
7-sphere: Estructura de cuasigrupo topológico como conjunto de octoniones de unidad. Principal Sp(1)-bundle over S⁴Paralelamente. SO(8)/SO(7) = SU(4)/SU(3) = Sp(2)/Sp(1) = Spin(7)/G₂ = Spin(6)/SU(3). La 7-sfera es de especial interés ya que en esta dimensión se descubrieron las primeras esferas exóticas.
8-sphere: Equivalente a la línea de proyecto octoniónico OP¹.
23-sphere: Un envasado de esferas altamente denso es posible en el espacio 24dimensional, que está relacionado con las cualidades únicas de la celosía de Leech.

Esfera octaédrica

La esfera octaédrica n se define de manera similar a la esfera n pero usando la norma 1

${displaystyle S^{n}=left{xin mathbb {R} ^{n+1}:leftfnxrightfnh00}=1derecha}$

En general, toma la forma de un politopo cruzado.

La 1-esfera octaédrica es un cuadrado (sin su interior). El octaedro de 2 esferas es un octaedro regular; de ahí el nombre. La esfera octaédrica n es la unión topológica de n + 1 pares de puntos aislados. Intuitivamente, la unión topológica de dos pares se genera dibujando un segmento entre cada punto de un par y cada punto del otro par; esto produce un cuadrado. Para unir esto con un tercer par, dibuja un segmento entre cada punto del cuadrado y cada punto del tercer par; esto da un octaedro.

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