Música y matemáticas

La teoría musical analiza el tono, el ritmo y la estructura de la música. Utiliza las matemáticas para estudiar elementos de la música como el tempo, la progresión de acordes, la forma y el compás. El intento de estructurar y comunicar nuevas formas de componer y escuchar música ha dado lugar a aplicaciones musicales de la teoría de conjuntos, el álgebra abstracta y la teoría de números.

Si bien la teoría musical no tiene una base axiomática en las matemáticas modernas, la base del sonido musical se puede describir matemáticamente (utilizando la acústica) y exhibe "una notable variedad de propiedades numéricas".

Aunque se sabe que los antiguos chinos, indios, egipcios y mesopotámicos estudiaron los principios matemáticos del sonido, los pitagóricos (en particular Filolao y Arquitas) de la antigua Grecia fueron los primeros investigadores que se sabe que estudiaron la expresión de las escalas musicales en términos de proporciones numéricas, en particular las proporciones de números enteros pequeños. Su doctrina central era que "toda la naturaleza consiste en armonía que surge de los números".

Desde la época de Platón, la armonía se consideraba una rama fundamental de la física, hoy conocida como acústica musical. Los primeros teóricos indios y chinos muestran enfoques similares: todos intentaron demostrar que las leyes matemáticas de los armónicos y los ritmos eran fundamentales no solo para nuestra comprensión del mundo sino también para el bienestar humano. Confucio, al igual que Pitágoras, consideraba que los pequeños números 1, 2, 3 y 4 eran la fuente de toda perfección.

Sin los límites de la estructura rítmica –una disposición fundamental, igual y regular de la repetición de pulsos, el acento, la frase y la duración– la música no sería posible. El uso musical moderno de términos como metro y medida también refleja la importancia histórica de la música, junto con la astronomía, en el desarrollo del conteo, la aritmética y la medición exacta del tiempo y la periodicidad que son fundamentales para la física.

Los elementos de la forma musical suelen construir proporciones estrictas o estructuras hipermétricas (potencias de los números 2 y 3).

La forma musical es el plan con el que se amplía una pieza musical breve. El término "plan" también se utiliza en arquitectura, con la que a menudo se compara la forma musical. Al igual que el arquitecto, el compositor debe tener en cuenta la función a la que se destina la obra y los medios disponibles, practicando la economía y haciendo uso de la repetición y el orden. Los tipos comunes de forma conocidos como binarios y ternarios ("dobles" y "triples") demuestran una vez más la importancia de los pequeños valores integrales para la inteligibilidad y el atractivo de la música.

Una escala musical es un conjunto discreto de tonos que se utilizan para crear o describir música. La escala más importante en la tradición occidental es la escala diatónica, pero se han utilizado y propuesto muchas otras en diversas épocas históricas y partes del mundo. Cada tono corresponde a una frecuencia particular, expresada en hercios (Hz), a veces denominada ciclos por segundo (c.p.s.). Una escala tiene un intervalo de repetición, normalmente la octava. La octava de cualquier tono se refiere a una frecuencia exactamente el doble de la del tono dado.

Las superoctavas sucesivas son tonos que se encuentran en frecuencias cuatro, ocho, dieciséis veces, etc., de la frecuencia fundamental. Los tonos en frecuencias de la mitad, un cuarto, un octavo, etc. de la frecuencia fundamental se denominan suboctavas. No existe ningún caso en la armonía musical en el que, si se considera que un tono dado es acorde, sus octavas se consideren de otra manera. Por lo tanto, cualquier nota y sus octavas generalmente se encontrarán con nombres similares en los sistemas musicales (por ejemplo, todas se llamarán do o la o sa, según sea el caso).

Cuando se expresa como un ancho de banda de frecuencia, una octava A2–A3 abarca desde 110 Hz hasta 220 Hz (span=110 Hz). La octava siguiente abarcará desde 220 Hz hasta 440 Hz (span=220 Hz). La tercera octava abarcará desde 440 Hz hasta 880 Hz (span=440 Hz) y así sucesivamente. Cada octava sucesiva abarca el doble del rango de frecuencia de la octava anterior.

Dado que a menudo nos interesan las relaciones o proporciones entre las notas (conocidas como intervalos) en lugar de las notas precisas en sí mismas al describir una escala, es habitual referirse a todas las notas de la escala en términos de su proporción con respecto a una nota en particular, a la que se le asigna el valor de uno (a menudo escrito 1/1), generalmente una nota que funciona como la tónica de la escala. Para comparar el tamaño de los intervalos, a menudo se utilizan centésimas.

Común mandato	Ejemplo Nombre	Hz	Múltiplo de fundamentales	Relación dentro de la octava	Cents dentro de la octava
Fundamental	A2	110	${\displaystyle 1x}$	${\displaystyle 1/1=1x}$	0
Octave	A3	220	${\displaystyle 2x}$	${\displaystyle 2/1=2x}$	1200
				${\displaystyle 2/2=1x}$	0
Quinta perfecta	E4	330	${\displaystyle 3x}$	${\displaystyle 3/2=1.5x}$	702
Octave	A4	440	${\displaystyle 4x}$	${\displaystyle 4/2=2x}$	1200
				${\displaystyle 4/4=1x}$	0
Tercera	C▪5	550	${\displaystyle 5x}$	${\displaystyle 5/4=1.25x}$	386
Quinta perfecta	E5	660	${\displaystyle 6x}$	${\displaystyle 6/4=1.5x}$	702
Séptimo armónico	G5	770	${\displaystyle 7x}$	${\displaystyle 7/4=1.75x}$	969
Octave	A5	880	${\displaystyle 8x}$	${\displaystyle 8/4=2x}$	1200
				${\displaystyle 8/8=1x}$	0

Existen dos familias principales de sistemas de afinación: el temperamento igual y la afinación justa. Las escalas de temperamento igual se construyen dividiendo una octava en intervalos que son iguales en una escala logarítmica, lo que da como resultado escalas perfectamente divididas de manera uniforme, pero con proporciones de frecuencias que son números irracionales. Las escalas justas se construyen multiplicando frecuencias por números racionales, lo que da como resultado proporciones simples entre frecuencias, pero con divisiones de escala que son desiguales.

Una diferencia importante entre las afinaciones de temperamento igual y las afinaciones de temperamento simple son las diferencias en el pulso acústico cuando dos notas suenan juntas, lo que afecta la experiencia subjetiva de consonancia y disonancia. Ambos sistemas, y la gran mayoría de la música en general, tienen escalas que se repiten en el intervalo de cada octava, que se define como una relación de frecuencia de 2:1. En otras palabras, cada vez que se duplica la frecuencia, la escala dada se repite.

A continuación se muestran archivos Ogg Vorbis que demuestran la diferencia entre la entonación justa y el temperamento igual. Es posible que deba reproducir las muestras varias veces antes de poder detectar la diferencia.

• Dos ondas sine jugados consecutivamente – esta muestra tiene medio paso a 550 Hz (C▪ en la escala de inscripción justa), seguido de un paso medio a 554.37 Hz (C▪ en la escala de temperamento igual).
• Las mismas dos notas, puestas contra un pedal A440 – esta muestra consiste en un "diad". La nota inferior es una constante A (440 Hz en cualquier escala), la nota superior es una C▪ en la escala igual-temperada para el primero 1", y un C▪ en la escala de intonación justa para el último 1". Las diferencias de fase facilitan la detección de la transición que en la muestra anterior.

La afinación de 5 límites, la forma más común de entonación justa, es un sistema de afinación que utiliza tonos que son armónicos de números regulares de una única frecuencia fundamental. Esta fue una de las escalas que presentó Johannes Kepler en su Harmonices Mundi (1619) en relación con el movimiento planetario. La misma escala fue presentada en forma transpuesta por el matemático y teórico musical escocés, Alexander Malcolm, en 1721 en su "Tratado de música: especulativa, práctica e histórica", y por el teórico Jose Wuerschmidt en el siglo XX. Una forma de esta escala se utiliza en la música del norte de la India.

El compositor estadounidense Terry Riley también utilizó la forma invertida de esta escala en su obra "Harp of New Albion". La entonación justa da mejores resultados cuando hay poca o ninguna progresión de acordes: las voces y otros instrumentos tienden a la entonación justa siempre que sea posible. Sin embargo, da dos intervalos de tonos enteros diferentes (9:8 y 10:9) porque un instrumento de afinación fija, como un piano, no puede cambiar de tono. Para calcular la frecuencia de una nota en una escala dada en términos de proporciones, la proporción de frecuencias se multiplica por la frecuencia tónica. Por ejemplo, con una tónica de A4 (A natural sobre C central), la frecuencia es 440 Hz, y una quinta afinada justamente por encima de ella (E5) es simplemente 440×(3:2) = 660 Hz.

La afinación pitagórica se basa únicamente en las consonancias perfectas, la octava (perfecta), la quinta perfecta y la cuarta perfecta. Por lo tanto, la tercera mayor no se considera una tercera sino un dítono, literalmente "dos tonos", y es (9:8)² = 81:64, en lugar del independiente y armónico 5:4 = 80:64 que se encuentra directamente debajo. Un tono entero es un intervalo secundario, que se deriva de dos quintas perfectas menos una octava, (3:2)²/2 = 9:8.

La tercera mayor justa, 5:4 y la tercera menor, 6:5, son una coma sintónica, 81:80, aparte de sus equivalentes pitagóricos 81:64 y 32:27 respectivamente. Según Carl Dahlhaus (1990, p. 187), "la tercera dependiente se ajusta a la afinación pitagórica, la tercera independiente a la afinación armónica de los intervalos".

La música occidental de práctica común no suele poder tocarse con una entonación justa, sino que requiere una escala temperada sistemáticamente. El temperamento puede incluir las irregularidades del buen temperamento o construirse como un temperamento regular, ya sea alguna forma de temperamento igual o algún otro temperamento regular de tono medio, pero en todos los casos incluirá las características fundamentales del temperamento de tono medio. Por ejemplo, la raíz del acorde ii, si se afina una quinta por encima de la dominante, sería un tono mayor entero (9:8) por encima de la tónica. Sin embargo, si se afina una tercera menor (6:5) por debajo de un grado de subdominancia justo de 4:3, el intervalo desde la tónica equivaldría a un tono menor entero (10:9). El temperamento de tono medio reduce la diferencia entre 9:8 y 10:9. Su relación, (9:8)/(10:9) = 81:80, se trata como un unísono. El intervalo 81:80, llamado coma sintónica o coma de Dídimo, es la coma clave del temperamento metódico.

En el temperamento igual, la octava se divide en partes iguales en la escala logarítmica. Si bien es posible construir una escala de temperamento igual con cualquier número de notas (por ejemplo, el sistema de tonos árabe de 24 tonos), el número más común es 12, que compone la escala cromática de temperamento igual. En la música occidental, se asume comúnmente una división en doce intervalos a menos que se especifique lo contrario.

Para la escala cromática, la octava se divide en doce partes iguales, cada semitono (medio paso) es un intervalo de la raíz duodécima de dos, de modo que doce de estos semitonos iguales suman exactamente una octava. Con los instrumentos con trastes es muy útil utilizar el temperamento igual para que los trastes se alineen uniformemente a lo largo de las cuerdas. En la tradición musical europea, el temperamento igual se utilizó para la música de laúd y guitarra mucho antes que para otros instrumentos, como los teclados musicales. Debido a esta fuerza histórica, el temperamento igual de doce tonos es ahora el sistema de entonación dominante en el mundo occidental y en gran parte del mundo no occidental.

Se han utilizado escalas de temperamento igual y se han construido instrumentos utilizando otros números de intervalos iguales. El temperamento igual de 19, propuesto y utilizado por primera vez por Guillaume Costeley en el siglo XVI, utiliza 19 tonos igualmente espaciados, lo que ofrece mejores terceras mayores y terceras menores mucho mejores que el temperamento igual de 12 semitonos normal, a costa de una quinta más bemol. El efecto general es el de una mayor consonancia. El temperamento igual de veinticuatro, con veinticuatro tonos igualmente espaciados, está muy extendido en la pedagogía y la notación de la música árabe. Sin embargo, en teoría y en la práctica, la entonación de la música árabe se ajusta a proporciones racionales, a diferencia de las proporciones irracionales de los sistemas de temperamento igual.

Si bien en los sistemas de entonación árabes no existe ninguna analogía con el cuarto de tono igualmente temperado, con frecuencia se dan analogías con un tres cuartos de tono, o segunda neutra. Sin embargo, estas segundas neutras varían ligeramente en sus proporciones según el maqam y la geografía. De hecho, el historiador de música árabe Habib Hassan Touma ha escrito que "la amplitud de la desviación de este paso musical es un ingrediente crucial en el sabor peculiar de la música árabe. Templar la escala dividiendo la octava en veinticuatro cuartos de tono de igual tamaño sería renunciar a uno de los elementos más característicos de esta cultura musical".

El temperamento igual de 53 surge de la casi igualdad de 53 quintas perfectas con 31 octavas, y fue observado por Jing Fang y Nicholas Mercator.

La teoría de conjuntos musicales utiliza el lenguaje de la teoría matemática de conjuntos de una manera elemental para organizar objetos musicales y describir sus relaciones. Para analizar la estructura de una pieza musical (normalmente atonal) utilizando la teoría de conjuntos musicales, normalmente se empieza con un conjunto de tonos, que podrían formar motivos o acordes. Aplicando operaciones sencillas como la transposición y la inversión, se pueden descubrir estructuras profundas en la música. Las operaciones como la transposición y la inversión se denominan isometrías porque preservan los intervalos entre los tonos de un conjunto.

Ampliando los métodos de la teoría de conjuntos musicales, algunos teóricos han utilizado el álgebra abstracta para analizar la música. Por ejemplo, las clases de tonos en una octava temperada forman un grupo abeliano con 12 elementos. Es posible describir la entonación justa en términos de un grupo abeliano libre.

La teoría de la transformación es una rama de la teoría musical desarrollada por David Lewin. La teoría permite una gran generalidad porque pone énfasis en las transformaciones entre objetos musicales, en lugar de en los objetos musicales en sí.

Los teóricos también han propuesto aplicaciones musicales de conceptos algebraicos más sofisticados. La teoría de los temperamentos regulares se ha desarrollado ampliamente con una amplia gama de matemáticas sofisticadas, por ejemplo, asociando cada temperamento regular con un punto racional en un Grassmaniano.

La escala cromática tiene una acción libre y transitiva del grupo cíclico ${\displaystyle \mathbb {Z} {Z}$, con la acción que se define mediante la transposición de notas. Así que la escala cromática se puede considerar como un torsor para el grupo.

Algunos compositores han incorporado la proporción áurea y los números de Fibonacci en sus obras.

El matemático y musicólogo Guerino Mazzola ha utilizado la teoría de categorías (teoría de topos) como base de la teoría musical, que incluye el uso de la topología como base para una teoría del ritmo y los motivos, y la geometría diferencial como base para una teoría del fraseo, el tempo y la entonación musicales.

• Albert Einstein - Pinanista y violinista completo.
• Art Garfunkel (Simon & Garfunkel) – Masters in Mathematics Education, Columbia University
• Brian May (Queen) - BSc (Hons) en Matemáticas y Física, Doctorado en Astrofísica, ambos del Imperial College de Londres.
• Dan Snaith – Matemáticas de doctorado, Imperial College London
• Delia Derbyshire - BA en matemáticas y música de Cambridge.
• Jonny Buckland (Coldplay) - Astronomía y matemáticas estudiadas en University College London.
• Kit Armstrong - Grado en música y MSc en matemáticas.
• Manjul Bhargava - Juega la tabla, ganó la Medalla Fields en 2014.
• Phil Alvin (Los Blasters) – Matemáticas, Universidad de California, Los Angeles
• Philip Glass - Matemáticas y filosofía estudiadas en la Universidad de Chicago.
• Tom Lehrer - Matemáticas BA de la Universidad de Harvard.
• William Herschel - Astronomer y tocó el oboe, violín, harpsichord y órgano. Compuso 24 sinfonías y muchos conciertos, así como una música de la iglesia.
• Jerome Hines - Cinco artículos publicados en Revista Matemática 1951–6.
• Donald Knuth - Knuth es organista y compositor. En 2016 completó una pieza musical para órgano titulado Fantasia Apocalyptica. Fue inaugurado en Suecia el 10 de enero de 2018

Portal de música

• Dahlhaus, Carl. 1990 Wagners Konzeption des musikalischen Dramas. Deutscher Taschenbuch Verlag. Kassel: Bärenreiter. ISBN 9783423045384; ISBN 9783761845387.
• Ivor Grattan-Guinness (1995) "Mozart 18, Beethoven 32: sombras ocultas de enteros en música clásica", páginas 29 a 47 en Historia de las matemáticas: Estados del Arte, Joseph W. Dauben, Menso Folkerts, Eberhard Knobloch y Hans Wussing editores, Academic Press ISBN 0-12-204055-4

• Matemáticas frescas para la música caliente - Una primera introducción a las matemáticas para los teóricos de la música por Guerino Mazzola, Maria Mannone, Yan Pang, Springer, 2016, ISBN 3319429353
• Música: Oferta Matemática por Dave Benson, Cambridge University Press, 2006, ISBN 0521619998

• Música axiomática Theory by S.M. Nemati
• Música y Matemáticas de Thomas E. Fiore
• Escala Musical Doce-Tone.
• Sonantometría o música como disciplina matemática.
• Música: Oferta Matemática por Dave Benson.
• Nicolaus Mercator use of Ratio Theory in Music at Convergence
• La bola de vidrio juego Hermann Hesse dio a la música y las matemáticas un papel crucial en el desarrollo de su Glass Bead Game.
• Armonía y Proporción. Pitágoras, Música y Espacio.
• "Álgebra y música de la luz"
• Notefreqs — Una tabla completa de frecuencias y ratios de notas para midi, piano, guitarra, bajo y violín. Incluye mediciones de fret (en cm y pulgadas) para instrumentos de construcción.
• Matemáticas & Música, BBC Radio 4 discusión con Marcus du Sautoy, Robin Wilson & Ruth TatlowEn nuestro tiempo, 25 de mayo de 2006)
• Measuring note similarity with positive defined kernels, Measuring note similarity with positive defined kernels