Multivector

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Elemento de un álgebra exterior

En álgebra multilineal, un multivector, a veces llamado número de Clifford o multor, es un elemento del álgebra exterior Λ(V) de un espacio vectorial V. Esta álgebra es graduada, asociativa y alterna, y consta de combinaciones lineales de vectores simples k (también conocidos como descomponibles k-vectores o k-blades) de la forma

v1∧ ∧ ⋯ ⋯ ∧ ∧ vk,{displaystyle v_{1}wedge cdots wedge v_{k}

Donde v1,... ... ,vk{displaystyle v_{1},ldotsv_{k} están dentro V.

A k-vector es una combinación lineal que es homogénea grado k (todos los términos son k-Blades para el mismo k). Dependiendo de los autores, un "multivector" puede ser un k-vector o cualquier elemento del álgebra exterior (cualquier combinación lineal k-bladas con valores potencialmente diferentes k).

En geometría diferencial, un vector k es un vector en el álgebra exterior del espacio vectorial tangente; es decir, es un tensor antisimétrico obtenido tomando combinaciones lineales del producto exterior de k vectores tangentes, para algún número entero k ≥ 0. Una forma k diferencial es un vector k en el álgebra exterior del dual del espacio tangente, que también es el dual del álgebra exterior. del espacio tangente.

Para k = 0, 1, 2 y 3, k-vectores a menudo se denominan respectivamente escalares, vectores, bivectores y trivectores; son respectivamente duales a formas 0, formas 1, formas 2 y formas 3.

Producto exterior

El producto exterior (también llamado producto de cuña) utilizado para construir multivectores es multilineal (lineal en cada entrada), asociativo y alterno. Esto significa que para los vectores u, v y w en un espacio vectorial V y para los escalares α, β, el producto exterior tiene las propiedades:

  • Linear en una entrada: u∧ ∧ ()α α v+β β w)=α α u∧ ∧ v+β β u∧ ∧ w;{displaystyle mathbf {u} wedge (alpha mathbf {v} +beta mathbf {w})=alpha mathbf {u} wedge mathbf {v} + beta mathbf {u} wedge mathbf {w};}
  • Associative: ()u∧ ∧ v)∧ ∧ w=u∧ ∧ ()v∧ ∧ w);{displaystyle (mathbf {u} wedge mathbf {v})wedge mathbf {w} =mathbf {u} wedge (mathbf {v} wedge mathbf {w});}
  • Suplente: u∧ ∧ u=0.{displaystyle mathbf {u} wedge mathbf {u} =0.}

El producto exterior de k vectores o una suma de dichos productos (para un único k) se denomina multivector de grado k, o un vector k. El grado máximo de un multivector es la dimensión del espacio vectorial V.

La linealidad en cualquiera de las entradas junto con la propiedad alterna implica linealidad en la otra entrada. La multilinealidad del producto exterior permite expresar un multivector como una combinación lineal de productos exteriores de vectores base de V. El producto exterior de k vectores base de V es la forma estándar de construir cada elemento base para el espacio de k-vectores, que tiene dimensión (nk) en el álgebra exterior de un espacio vectorial n-dimensional.

Área y volumen

El vector k obtenido del producto exterior de k vectores separados en un espacio n-dimensional tiene componentes que definen el (k − 1)-volúmenes del paralelotopo k abarcados por los vectores. La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de estos componentes define el volumen del paralelotopo k.

Los siguientes ejemplos muestran que un bivector en dos dimensiones mide el área de un paralelogramo, y la magnitud de un bivector en tres dimensiones también mide el área de un paralelogramo. De manera similar, un trivector en tres dimensiones mide el volumen de un paralelepípedo.

Es fácil comprobar que la magnitud de un tres vectores en cuatro dimensiones mide el volumen del paralelepípedo abarcado por estos vectores.

Multivectores en R2

Las propiedades de los multivectores se pueden ver considerando el espacio vectorial bidimensional V = R2. Sean los vectores base e1 y e2, por lo que u y v están dados por

u=u1e1+u2e2,v=v1e1+v2e2,{displaystyle mathbf {u} =u_{1}mathbf {e} _{1}+u_{2}mathbf {e} _{2},quad mathbf {v} =v_{1}mathbf {e} ¿Qué?

y el multivector u ∧ v, también llamado bivector, se calcula como

u∧ ∧ v = Silenciou1v1u2v2Silencio ()e1∧ ∧ e2).{displaystyle mathbf {u} wedge mathbf {v} = {begin{vmatrix}u_{1} limitv_{1}u_{2} {2}end{vmatrix}\}\ (mathbf {e} _{1}wedge mathbf {e} _{2}). }

Las barras verticales indican el determinante de la matriz, que es el área del paralelogramo abarcada por los vectores u y v. La magnitud de u ∧ v es el área de este paralelogramo. Observe que debido a que V tiene dimensión dos, el bivector base e1 ∧ e 2 es el único multivector en ΛV.

La relación entre la magnitud de un multivector y el área o volumen abarcado por los vectores es una característica importante en todas las dimensiones. Además, la versión funcional lineal de un multivector que calcula este volumen se conoce como forma diferencial.

Multivectores en R3

Se pueden ver más características de los multivectores considerando el espacio vectorial tridimensional V = R3 . En este caso, sean los vectores base e1, e2 y e3, por lo que u, v y w están dados por

u=u1e1+u2e2+u3e3,v=v1e1+v2e2+v3e3,w=w1e1+w2e2+w3e3,{displaystyle {begin{aligned}mathbf {u}=u_{1}mathbf {e} ¿Qué? ¿Por qué? _{1}+v_{2}mathbf {e} _{2}+v_{3}mathbf {e} _{3}, limitmathbf {w} ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué?

y el bivector u ∧ v se calcula como

u∧ ∧ v = Silenciou2v2u3v3Silencio()e2∧ ∧ e3)+Silenciou1v1u3v3Silencio()e1∧ ∧ e3)+Silenciou1v1u2v2Silencio()e1∧ ∧ e2).{displaystyle mathbf {u} wedge mathbf {v} = {begin{vmatrix}u_{2} limitv_{2}u_{3} {3}end{vmatrix}left(mathbf {e} _{2}wedge mathbf {e} {}} ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{3}derecha)+{begin{vmatrix}u_{1} {1}u_{2}end{vmatrix}}left(mathbf {e} _{1}wedge mathbf {e} _{2}derecho). }

Los componentes de este bivector son los mismos que los componentes del producto vectorial. La magnitud de este bivector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

Esto muestra que la magnitud del bivector u ∧ v es el área del paralelogramo abarcada por los vectores u y v tal como se encuentra en el espacio tridimensional V. Los componentes del bivector son las áreas proyectadas del paralelogramo en cada uno de los tres planos de coordenadas.

Observe que debido a que V tiene dimensión tres, hay un vector base de tres en ΛV. Calcular los tres vectores.

u∧ ∧ v∧ ∧ w = Silenciou1v1w1u2v2w2u3v3w3Silencio()e1∧ ∧ e2∧ ∧ e3).{displaystyle mathbf {u} wedge mathbf {v} wedge mathbf {w} = {begin{2}u_{2}u_{3} {3}}u_{3}u_{2} {3}u_{2}u_{3} {3} {3}end{vmatrix}}}left(mathbf {e} {}}}{1}}}e} {3}{3} {} {} {} {}}}}}}}} {}} {} {}}}}}}}} {}}}} {} {} {}}}}}} {}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}} {}}}}}}} {} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { }
Derivación del producto externo triple

u∧ ∧ v∧ ∧ w=()u∧ ∧ v)∧ ∧ w=()Silenciou2v2u3v3Silencio()e2∧ ∧ e3)+Silenciou1v1u3v3Silencio()e1∧ ∧ e3)+Silenciou1v1u2v2Silencio()e1∧ ∧ e2))∧ ∧ ()w1e1+w2e2+w3e3)=Silenciou2v2u3v3Silencio()e2∧ ∧ e3)∧ ∧ ()w1e1+w2e2+w3e3)+Silenciou1v1u3v3Silencio()e1∧ ∧ e3)∧ ∧ ()w1e1+w2e2+w3e3)+Silenciou1v1u2v2Silencio()e1∧ ∧ e2)∧ ∧ ()w1e1+w2e2+w3e3)=Silenciou2v2u3v3Silencio()e2∧ ∧ e3)∧ ∧ w1e1+Silenciou2v2u3v3Silencio()e2∧ ∧ e3)∧ ∧ w2e2+Silenciou2v2u3v3Silencio()e2∧ ∧ e3)∧ ∧ w3e3e2∧ ∧ e2=0;e3∧ ∧ e3=0+Silenciou1v1u3v3Silencio()e1∧ ∧ e3)∧ ∧ w1e1+Silenciou1v1u3v3Silencio()e1∧ ∧ e3)∧ ∧ w2e2+Silenciou1v1u3v3Silencio()e1∧ ∧ e3)∧ ∧ w3e3e1∧ ∧ e1=0;e3∧ ∧ e3=0+Silenciou1v1u2v2Silencio()e1∧ ∧ e2)∧ ∧ w1e1+Silenciou1v1u2v2Silencio()e1∧ ∧ e2)∧ ∧ w2e2+Silenciou1v1u2v2Silencio()e1∧ ∧ e2)∧ ∧ w3e3e1∧ ∧ e1=0;e2∧ ∧ e2=0=Silenciou2v2u3v3Silencio()e2∧ ∧ e3)∧ ∧ w1e1+Silenciou1v1u3v3Silencio()e1∧ ∧ e3)∧ ∧ w2e2+Silenciou1v1u2v2Silencio()e1∧ ∧ e2)∧ ∧ w3e3=− − w1Silenciou2v2u3v3Silencio()e2∧ ∧ e1∧ ∧ e3)− − w2Silenciou1v1u3v3Silencio()e1∧ ∧ e2∧ ∧ e3)+w3Silenciou1v1u2v2Silencio()e1∧ ∧ e2∧ ∧ e3)=w1Silenciou2v2u3v3Silencio()e1∧ ∧ e2∧ ∧ e3)− − w2Silenciou1v1u3v3Silencio()e1∧ ∧ e2∧ ∧ e3)+w3Silenciou1v1u2v2Silencio()e1∧ ∧ e2∧ ∧ e3)=()w1Silenciou2v2u3v3Silencio− − w2Silenciou1v1u3v3Silencio+w3Silenciou1v1u2v2Silencio)()e1∧ ∧ e2∧ ∧ e3)=Silenciou1v1w1u2v2w2u3v3w3Silencio()e1∧ ∧ e2∧ ∧ e3){displaystyle {begin{aligned} limitmathbf {u} wedge mathbf {v} wedge mathbf {w} =(mathbf {u} wedge mathbf {v})wedge mathbf {w} {c}c}cc}cccccccc}cc}u_{3} {3}end{vmatrix}left(mathbf {e} _{2}e}dge mathbf {e}} {cH}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cc}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Por qué? ¿Qué? {2}={3}c}cH00}cH00}cH00}cH0}cH}cH30}c}cH30}ccH0}cH0}cH0}cH0} {cH00}cH00}cH00}cH0} ¿Qué? {2}+{3}mcH0}cH00}cH00}cH0}cH0}cH30}cH30}cH30}cH0}cH0}cH0}cH0}cH0}cH0} ¿Qué? - ¿Por qué? ¿Qué? {cHFF}\cH00}cH00}cH00}cH00}cH0}cH0}ccH30}cH0}cH0}cH0}cH0}cH0}cH0}cH00}cH00}cH0} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {f}f} {f} {f} {f}}f}f} {f} {f}} {f}} {f}}} {f} {f}} {f}}f}f}f}f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}c}f}f}f}f}f}f}f}f}c}f}c}c}c}c}c}c}c}c}cccccccc}cH0}f}cH0}f}cc}ccH0}cc}c}c}c ¿Qué? ###### {begin{vmatrix}u_{1} {1}u_{3}u_{3} {3} {3}end{vmatrix}left(mathbf {e} {1}wedge mathbf {e} {} {}}} {3}{3}{3}}}b}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {1}u_{3}end{vmatrix}}left(mathbf {e} _{1}e}e} {3}end{vmatrix}}}left(mathbf {e}{1}e}e}derecho)derecho] ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ###### {begin{vmatrix}u_{1} {1}u_{2} {2}end{2}vmatrix}left(mathbf {e} {1}e}wedgemathbf {e} {} {}} {i} {cH0}cH00}cH0}cH0}cH00}cH0}cH0}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH0}cH00}cH00}cH00}c}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00} ¿Qué? {begin{vmatrix}u_{1} {1}u_{2} {2}end{vmatrix}}left(mathbf {e} _{1}e}wedge mathbf {e} _{2}right)wedge w_{2}mathbf {e} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0}} {0} {0}} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0}} {0} {cH} {} {} {}}} {b}}} {0}}} {0}}} {b}} {}} {}} {}}}} {}}}}}}} {}}} {b}}}} {} {}} {} {} {b}}}} {}}}}} {} {} {}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {} {} {} {}}}}} {} {} {} {b}}} {} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}} {2}=0\ {}={} {begin{vmatrix}u_{2} {2}u_{3} {3} {3}end{vmatrix}left(mathbf {e} _{2}e}wedgemathbf {e} {}}}} {b}b}cH0} {c}c}}}c}cH0}c}cH0}c}c}c}cH0}c}cH0}ccH0}ccH0}cccH0}c}c}c}cH0cH0}cH0}cH0}ccH0ccH0cH0cH0cH0cH0cH0}cH0cccH0cH0cH0}ccH0} {1}u_{3}end{vmatrix}}left(mathbf {e} {1}wedge mathbf {e} {e}} {c}cH0}cH0}cH0}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH0}cH00}cH0}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}cH ################################################################################################################################################################################################################################################################ ######## {}{1} {begin{vmatrix}u_{2} limitv_{2}u_{3} {3} {3}end{vmatrix}left(mathbf {e} _{2}wedge mathbf {e} {e} {1}}}f}f}f}}f} {f}}f}}f}}}}}}f}}}f}}f} {f}}f}}}f}}}f}}}f}}}f}}}f}}}f}}}}}}f} {f} {f}}}f}}}}}}f}}}f} {f}f}f}}}}f}f}}f} {f}}f}}f}}f}f}}f}}f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f} {f} {f} {f} {f}}} {f}} {f} {f} {f} {f}}}} {f}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}} {f}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f}}}}}}}}f} {f}}}}}}}}}}f} {f}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f} {f} {f} {f}} {f}} {f} {f} {f}} {f}} {f}} {f} {f}}}} {f}}} {f}}}} {f} {f}f}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f}}}} {f}} {f} {f} {f}} {f} {f} {f} {f}f} {f}f}f}}}}}}}}}}}}}}

Esto muestra que la magnitud de los tres vectores u ∧ v ∧ w es el volumen del paralelepípedo atravesado por los tres vectores u, v y w.

En espacios de dimensiones superiores, los tres vectores componentes son proyecciones del volumen de un paralelepípedo sobre los tres espacios coordinados, y la magnitud de los tres vectores es el volumen del paralelepípedo tal como se asienta en los espacios de dimensiones superiores. espacio dimensional.

Coordenadas de Grassmann

En esta sección, consideramos multivectores en un espacio proyectivo Pn, que proporcionan un conjunto conveniente de coordenadas para líneas, planos y hiperplanos que tienen propiedades similares a las coordenadas homogéneas de puntos, llamadas coordenadas de Grassmann.

Los puntos en un espacio proyectivo real Pn se definen como líneas que pasan por el origen del espacio vectorial Rn+1. Por ejemplo, el plano proyectivo P2 es el conjunto de líneas que pasan por el origen de R3. Por lo tanto, los multivectores definidos en Rn+1 pueden verse como multivectores en P n.

Una forma conveniente de ver un multivector en Pn es examinarlo en un componente afín de Pn, que es la intersección de las líneas que pasan por el origen de Rn+1 con un hiperplano seleccionado, como H: xn+1 = 1. Las líneas que pasan por el origen de R3 intersectan el plano E: z = 1 para definir una versión afín del plano proyectivo al que solo le faltan los puntos para los cuales z = 0, llamados puntos en el infinito.

Multivectores en P2

Los puntos en el componente afín E: z = 1 del plano proyectivo tienen coordenadas x = (x, y, 1). Una combinación lineal de dos puntos p = (p1, p2, 1) y q = (q1, q2, 1) define un plano en R3 que corta a E en la línea que une p y q. El multivector p ∧ q define un paralelogramo en R3 dado por

p∧ ∧ q = ()p2− − q2)()e2∧ ∧ e3)+()p1− − q1)()e1∧ ∧ e3)+()p1q2− − q1p2)()e1∧ ∧ e2).{displaystyle mathbf {p} wedge mathbf {q} = (p_{2}-q_{2})(mathbf {e} _{2}wedge mathbf {e} _{3})+(p_{1}-q_{1})(mathbf {e} _{3})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})(mathbf {e} _{1}wedge mathbf {e} _{2}). }

Observe que la sustitución de αp + βq para p multiplica este multivector por una constante. Por lo tanto, las componentes de p ∧ q son coordenadas homogéneas para el plano que pasa por el origen de R3.

El conjunto de puntos x = (x, y, 1) en la recta que pasa por p y q es la intersección del plano definido por p ∧ q con el avión E: z = 1. Estos puntos satisfacen x ∧ p ∧ q = 0, es decir,

x∧ ∧ p∧ ∧ q = ()xe1+Sí.e2+e3)∧ ∧ ()()p2− − q2)()e2∧ ∧ e3)+()p1− − q1)()e1∧ ∧ e3)+()p1q2− − q1p2)()e1∧ ∧ e2))=0,{displaystyle mathbf {x} wedge mathbf {p} wedge mathbf {q} = (xmathbf {e} - Sí. ¿Por qué? ¿Por qué?

que simplifica a la ecuación de una recta

λ λ :x()p2− − q2)+Sí.()p1− − q1)+()p1q2− − q1p2)=0.{displaystyle lambda:x(p_{2}-q_{2})+y(p_{1}-q_{1})+(p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2})=0}

Esta ecuación se satisface con los puntos x = αp + βq para valores reales de α y β.

Los tres componentes de p ∧ q que definen la línea λ se llaman las coordenadas de Grassmann de la línea. Debido a que tres coordenadas homogéneas definen tanto un punto como una línea, se dice que la geometría de los puntos es dual a la geometría de las líneas en el plano proyectivo. A esto se le llama principio de dualidad.

Multivectores en P3

Espacio proyectivo tridimensional, P3 consta de todas las líneas que pasan por el origen de R4. Sea el hiperplano tridimensional, H: w = 1, el componente afín del espacio proyectivo definido por los puntos x = (x, y, z, 1). El multivector p ∧ q ∧ r define un paralelepípedo en R4 dado por

p∧ ∧ q∧ ∧ r=Silenciop2q2r2p3q3r3111Silencioe2∧ ∧ e3∧ ∧ e4+Silenciop1q1r1p3q3r3111Silencioe1∧ ∧ e3∧ ∧ e4+Silenciop1q1r1p2q2r2111Silencioe1∧ ∧ e2∧ ∧ e4+Silenciop1q1r1p2q2r2p3q3r3Silencioe1∧ ∧ e2∧ ∧ e3.{displaystyle mathbf {p} wedge mathbf {q} wedge mathbf {r} ={begin{vmatrix}p_{2} limitq_{2}p_{2}p_{3} limitr_{3}1}1 limit1} {vmatrix} {e} _{2}wedge mathbf {e} _{3}wedge mathbf {e} {4}+{begin{vmatrix}p_{1} limit_{1} {1}p_{3} {3} limitq_{3} {3}1}1} {3}1}m1}mátrix}mathbf {e} _{1}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}c}cH {4}+{begin{vmatrix}p_{1} limit_{1} {1}p_{2} limitq_{2} limitr_{2}1}1 limit1}end{vmatrix}mathbf {e} _{1}m}dgemathbf {e} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {e} _{1}wedge mathbf {e} _{2}wedge mathbf {e} _{3}

Observe que la sustitución de αp + βq + γr por p multiplica este multivector por una constante. Por lo tanto, las componentes de p ∧ q ∧ r son coordenadas homogéneas para el 3- espacio a través del origen de R4.

Un plano en el componente afín H: w = 1 es el conjunto de puntos x = (x, y, z, 1) en la intersección de H con el espacio triple definido por p ∧ q ∧ r. Estos puntos satisfacen x ∧ p ∧ q ∧ r = 0, es decir,

x∧ ∧ p∧ ∧ q∧ ∧ r=()xe1+Sí.e2+ze3+e4)∧ ∧ p∧ ∧ q∧ ∧ r=0,{displaystyle mathbf {x} wedge mathbf {p} wedge mathbf {q} wedge mathbf {r} =(xmathbf {e} - Sí. - ¿Qué? _{3}+mathbf {e} _{4})wedge mathbf {p} wedge mathbf {q} wedge mathbf {r} =0,}

que simplifica a la ecuación de un plano

λ λ :xSilenciop2q2r2p3q3r3111Silencio+Sí.Silenciop1q1r1p3q3r3111Silencio+zSilenciop1q1r1p2q2r2111Silencio+Silenciop1q1r1p2q2r2p3q3r3Silencio=0.{displaystyle {2} {0} {0} {0} {0} {0} {0} {0}

Esta ecuación se satisface con los puntos x = αp + βq + γr para valores reales de α, β y γ.

Los cuatro componentes de p ∧ q ∧ r que definen el plano λ se denominan coordenadas de Grassmann del plano. Debido a que cuatro coordenadas homogéneas definen tanto un punto como un plano en el espacio proyectivo, la geometría de los puntos es dual a la geometría de los planos.

Una recta como unión de dos puntos: En el espacio proyectivo la recta λ que pasa por dos puntos p y q puede verse como la intersección del espacio afín H: w = 1 con el plano x = αp + βq en R4. El multivector p ∧ q proporciona coordenadas homogéneas para la línea

λ λ :p∧ ∧ q=()p1e1+p2e2+p3e3+e4)∧ ∧ ()q1e1+q2e2+q3e3+e4),=Silenciop1q111Silencioe1∧ ∧ e4+Silenciop2q211Silencioe2∧ ∧ e4+Silenciop3q311Silencioe3∧ ∧ e4+Silenciop2q2p3q3Silencioe2∧ ∧ e3+Silenciop3q3p1q1Silencioe3∧ ∧ e1+Silenciop1q1p2q2Silencioe1∧ ∧ e2.{displaystyle {begin{aligned}lambda:mathbf {p} wedge mathbf {q} &=(p_{1}mathbf {e} ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? _{3}+mathbf {e} _{4}),\fncip {begin{vmatrix}p_{1} {1}1}1}1}1}1}mthbf {e} _{1}m}e}e}e}e} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {e} {2}wedge mathbf {e} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ {e} {2}wedge mathbf {e} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {e} {fn}e}e}ee}e}e}ee}eeeee} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {e} {fn}fnMitbf {e} {2}end{aligned}}

Éstas se conocen como coordenadas de Plücker de la línea, aunque también son un ejemplo de coordenadas de Grassmann.

Una recta como intersección de dos planos: Una recta μ en el espacio proyectivo también se puede definir como el conjunto de puntos x que forman la intersección de dos planos π y ρ definidos por multivectores de grado tres, por lo que los puntos x son las soluciones de las ecuaciones lineales

μ μ :x∧ ∧ π π =0,x∧ ∧ *** *** =0.{displaystyle mu:mathbf {x} wedge pi =0,mathbf {x} wedge rho =0.}

Para obtener las coordenadas de Plucker de la línea μ, asigne los multivectores π y ρ a sus coordenadas de punto dual usando el método Hodge. operador estrella,

e1=⋆ ⋆ ()e2∧ ∧ e3∧ ∧ e4),− − e2=⋆ ⋆ ()e1∧ ∧ e3∧ ∧ e4),e3=⋆ ⋆ ()e1∧ ∧ e2∧ ∧ e4),− − e4=⋆ ⋆ ()e1∧ ∧ e2∧ ∧ e3),{displaystyle mathbf {e} ### {1}={0} {m} {c} {c}gn}m}e} {} {c}e} {c}c}c}cHFF}-mcHFF} {2}={star }(mathbf {e} _{1}wedge mathbf {e} _{3}wedge mathbf {e} _{4}),mathbf {e} - ¿Por qué? ¿Por qué?

entonces

⋆ ⋆ π π =π π 1e1+π π 2e2+π π 3e3+π π 4e4,⋆ ⋆ *** *** =*** *** 1e1+*** *** 2e2+*** *** 3e3+*** *** 4e4.{displaystyle {star }pi} ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ _{1}+pi _{2}mathbf {e} _{2}+pi _{3}mathbf {e} _{3}+pi _{4}mathbf {e},quad {star }rho ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué? _{4}.

Entonces, las coordenadas de Plücker de la línea μ están dadas por

μ μ :()⋆ ⋆ π π )∧ ∧ ()⋆ ⋆ *** *** )=Silencioπ π 1*** *** 1π π 4*** *** 4Silencioe1∧ ∧ e4+Silencioπ π 2*** *** 2π π 4*** *** 4Silencioe2∧ ∧ e4+Silencioπ π 3*** *** 3π π 4*** *** 4Silencioe3∧ ∧ e4+Silencioπ π 2*** *** 2π π 3*** *** 3Silencioe2∧ ∧ e3+Silencioπ π 3*** *** 3π π 1*** *** 1Silencioe3∧ ∧ e1+Silencioπ π 1*** *** 1π π 2*** *** 2Silencioe1∧ ∧ e2.{displaystyle mu:({star }pi)wedge ({star }rho)={begin{vmatrix}pi) ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? _{2}.

Debido a que las seis coordenadas homogéneas de una línea se pueden obtener a partir de la unión de dos puntos o de la intersección de dos planos, se dice que la línea es autodual en el espacio proyectivo.

Producto Clifford

W. K. Clifford combinó multivectores con el producto interno definido en el espacio vectorial, para obtener una construcción general para números hipercomplejos que incluye los números complejos habituales y los cuaterniones de Hamilton.

El producto de Clifford entre dos vectores u y v es bilineal y asociativo como el producto exterior, y tiene la propiedad adicional de que el multivector uv está acoplado al producto interno u ⋅ v por la relación de Clifford,

uv+vu=2u⋅ ⋅ v.{displaystyle mathbf {u} mathbf {v} # Mathbf {v} mathbf {u} =2mathbf {u} cdot mathbf {v}

La relación de Clifford conserva la propiedad anticonmutación para vectores que son perpendiculares. Esto se puede ver en los vectores unitarios mutuamente ortogonales ei, i = 1,..., n en Rn: relación de Clifford rendimientos

eiej+ejei=2ei⋅ ⋅ ej=δ δ i,j,{displaystyle mathbf {e} ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? - ¿Qué?

lo que muestra que los vectores base se anticonmutan mutuamente,

eiej=− − ejei,iل ل j=1,... ... ,n.{displaystyle mathbf {e} ¿Qué? ¿Por qué?

A diferencia del producto exterior, el producto de Clifford de un vector consigo mismo no es cero. Para ver esto, calcule el producto.

eiei+eiei=2ei⋅ ⋅ ei=2,{displaystyle mathbf {e} ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?

que produce

eiei=1,i=1,... ... ,n.{displaystyle mathbf {e} ¿Qué?

El conjunto de multivectores construido utilizando el producto de Clifford produce un álgebra asociativa conocida como álgebra de Clifford. Se pueden utilizar productos internos con diferentes propiedades para construir diferentes álgebras de Clifford.

Álgebra geométrica

El término k-blade se utilizó en Álgebra de Clifford hasta cálculo geométrico (1984)

Los multivectores desempeñan un papel central en la formulación matemática de la física conocida como álgebra geométrica. Según David Hestenes,

[No-scalar] k- A veces los vencedores se llaman k-blades o simplemente cuchillas, para enfatizar el hecho de que, en contraste con 0-vectores (scalars), tienen "propiedades directas".

En 2003, C. Doran y A. Lasenby utilizaron el término blade para un multivector que puede escribirse como el producto exterior de [un escalar y] un conjunto de vectores. Aquí, mediante la afirmación "Cualquier multivector se puede expresar como la suma de láminas", los escalares se definen implícitamente como 0 láminas.

En álgebra geométrica, un multivector se define como la suma de k-álabes de diferente grado, como la suma de un escalar, un vector y un 2-vector. Una suma de sólo componentes de grado k se denomina vector k o multivector homogéneo.

El elemento de mayor grado en un espacio se llama pseudoescalar.

Si un elemento dado es homogéneo de grado k, entonces es un vector k, pero no necesariamente una hoja k . Tal elemento es una hoja k cuando puede expresarse como el producto exterior de vectores k. Un álgebra geométrica generada por un espacio vectorial de 4 dimensiones ilustra el punto con un ejemplo: la suma de dos palas cualesquiera, una tomada del plano XY y la otra tomada del plano ZW, formará un vector de 2 que no es una de 2 hojas. En un álgebra geométrica generada por un espacio vectorial de dimensión 2 o 3, todas las sumas de 2 palas pueden escribirse como una sola 2 palas.

Ejemplos

Orientación definida por un conjunto ordenado de vectores.
La orientación inversa corresponde a la negación del producto exterior.
Interpretación geométrica del grado n elementos en un álgebra exterior real para n = 0 (punto firmado), 1 (segmento de línea directa o vector), 2 (elemento plano orientado), 3 (volumen orientado). El producto exterior de n vectores se pueden visualizar como cualquier n- forma dimensional (por ejemplo. n- Parallelotope, n-ellipsoid); con magnitud (hipervolume), y orientación definida por eso en su ()n −1)- límites dimensionales y en qué lado está el interior.
  • 0-vectores son escalares;
  • 1-vectores son vectores;
  • 2-vectores son bivectores;
  • ()n − 1)-vectores son pseudovectores;
  • n- Los vencedores son pseudoscalares.

En presencia de una forma de volumen (como un producto interno dado y una orientación), los pseudovectores y pseudoescalares se pueden identificar con vectores y escalares, lo cual es una rutina en el cálculo vectorial, pero sin una forma de volumen esto no se puede hacer sin haciendo una elección arbitraria.

En el álgebra del espacio físico (el álgebra geométrica del 3-espacio euclidiano, utilizado como modelo del espacio-tiempo (3+1), una suma de un escalar y un vector se llama paravector y representa un punto en el espacio-tiempo (el vector el espacio, el escalar el tiempo).

Bivectores

Un bivector es un elemento del producto tensor antisimétrico de un espacio tangente consigo mismo.

En álgebra geométrica, también, un bivector es un elemento de grado 2 (un 2 vectores) resultante del producto de cuña de dos vectores, por lo que es geométricamente un área orientada, de la misma manera un vector es un segmento de línea orientado. Si a y b son dos vectores, el bivector a ∧ b tiene

  • una norma que es su área, dada por
    .a∧ ∧ b.=.a..b.pecado⁡ ⁡ ()φ φ a,b){displaystyle leftfnMitbf {a} wedge mathbf {b} rightfnsifnsiffnMitbf {a} rightfn,seguidafnMitbf {b}justofnf,fnfnhnMientras,fnMientras,f}
  • una dirección: el avión en el que se encuentra esa zona, es decir, el avión determinado por a y b, siempre que sean linealmente independientes;
  • una orientación (de dos), determinada por el orden en que se multiplican los vectores originarios.

Los bivectores están conectados a pseudovectores y se utilizan para representar rotaciones en álgebra geométrica.

Como los bivectores son elementos de un espacio vectorial Λ2V (donde V es un espacio vectorial de dimensión finita con dim V = n), tiene sentido definir un producto interno en este espacio vectorial de la siguiente manera. Primero, escribe cualquier elemento F ∈ Λ2V en términos de una base (ei ∧ ej )1 ≤ i < j ≤ n de Λ2V como

<math alttext="{displaystyle F=F^{ab}mathbf {e} _{a}wedge mathbf {e} _{b}quad (1leq aF=Fabea∧ ∧ eb()1≤ ≤ ac)b≤ ≤ n),{displaystyle F=F^{ab}mathbf {e} _{a}wedge mathbf {e} _{b}quad (1leq aludebleq n),}<img alt="{displaystyle F=F^{ab}mathbf {e} _{a}wedge mathbf {e} _{b}quad (1leq a

donde se utiliza la convención de suma de Einstein.

Ahora define un mapa G: Λ2V × Λ2V → R insistiendo en que

G()F,H):=GabcdFabHcd,{displaystyle G(F,H):=G_{abcd}F^{ab}H^{cd}

Donde Gabcd{displaystyle G_{abcd} son un conjunto de números.

Aplicaciones

Los bivectores desempeñan muchas funciones importantes en física, por ejemplo, en la clasificación de campos electromagnéticos.

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