Multiplicación por el método de cuadrícula

El método de cuadrícula (también conocido como el método de la caja) de multiplicación es un método introductorio a los cálculos de multiplicación de varios dígitos que involucran números mayores que diez. Debido a que a menudo se enseña en la educación matemática a nivel de escuela primaria o escuela elemental, este algoritmo a veces se denomina método de la escuela secundaria.

En comparación con la multiplicación larga tradicional, el método de cuadrícula se diferencia en que divide claramente la multiplicación y la suma en dos pasos y en que depende menos del valor posicional.

Aunque es menos eficiente que el método tradicional, se considera que la multiplicación en cuadrícula es más fiable, ya que los niños tienen menos probabilidades de cometer errores. La mayoría de los alumnos aprenderán el método tradicional una vez que se sientan cómodos con el método en cuadrícula; pero el conocimiento del método en cuadrícula sigue siendo un "recurso" útil en caso de confusión. También se sostiene que, dado que cualquiera que haga muchas multiplicaciones hoy en día utilizaría una calculadora de bolsillo, la eficiencia por sí misma es menos importante; igualmente, dado que esto significa que la mayoría de los niños utilizarán el algoritmo de multiplicación con menos frecuencia, es útil que se familiaricen con un método más explícito (y, por lo tanto, más memorable).

El uso del método de cuadrícula ha sido estándar en la enseñanza de las matemáticas en las escuelas primarias de Inglaterra y Gales desde la introducción de una Estrategia Nacional de Aritmética con su "hora de aritmética" en la década de 1990. También se puede encontrar incluido en varios planes de estudio en otros lugares. Esencialmente, el mismo enfoque de cálculo, pero sin la disposición explícita de cuadrícula, también se conoce como el algoritmo de productos parciales o método de productos parciales.

El método de la cuadrícula se puede introducir pensando en cómo sumar la cantidad de puntos en una matriz regular, por ejemplo, la cantidad de cuadrados de chocolate en una barra de chocolate. A medida que el tamaño del cálculo se hace más grande, resulta más fácil comenzar a contar de diez en diez y representar el cálculo como un cuadro que se puede subdividir, en lugar de dibujar una multitud de puntos.

En el nivel más simple, se les puede pedir a los alumnos que apliquen el método a un cálculo como 3 × 17. Al dividir (particionar) el 17 como (10 + 7), esta multiplicación desconocida se puede calcular como la suma de dos multiplicaciones simples:

×	10	7
3	30	21

Entonces 3 × 17 = 30 + 21 = 51.

Esta es la estructura de "cuadrícula" o "cuadrícula" que le da el nombre al método de multiplicación.

Ante una multiplicación ligeramente mayor, como 34 × 13, se puede animar inicialmente a los alumnos a que también la descompongan en decenas. Así, al expandir 34 como 10 + 10 + 10 + 4 y 13 como 10 + 3, el producto 34 × 13 podría representarse:

×	10	10	10	4
10	100	100	100	40
3	30	30	30	12

Al sumar el contenido de cada fila, resulta evidente que el resultado final del cálculo es (100 + 100 + 100 + 40) + (30 + 30 + 30 + 12) = 340 + 102 = 442.

Una vez que los alumnos se sienten cómodos con la idea de dividir todo el producto en contribuciones de casillas separadas, es un paso natural agrupar las decenas, de modo que el cálculo 34 × 13 se convierta en

×	30	4
10	300	40
3	90	12

dando la adición

300 40 90 + 12 —— 442

Entonces 34 × 13 = 442.

Esta es la forma más habitual de realizar un cálculo en cuadrícula. En países como el Reino Unido, donde la enseñanza del método en cuadrícula es habitual, los alumnos pueden pasar un período considerable de tiempo realizando cálculos como el anterior hasta que el método les resulte totalmente cómodo y familiar.

El método de cuadrícula se aplica directamente a los cálculos que implican números mayores.

Por ejemplo, para calcular 345 × 28, el estudiante podría construir la cuadrícula con seis multiplicaciones sencillas

×	300	40	5
20	6000	800	100
8	2400	320	40

Para encontrar la respuesta 6900 + 2760 = 9660.

Sin embargo, en esta etapa (al menos en la práctica docente estándar actual en el Reino Unido) los alumnos pueden empezar a sentirse alentados a realizar dicho cálculo utilizando la forma tradicional de multiplicación larga sin tener que dibujar una cuadrícula.

La multiplicación larga tradicional se puede relacionar con una multiplicación en cuadrícula en la que solo uno de los números se divide en decenas y unidades para multiplicarlas por separado:

×	345
20	6900
8	2760

El método tradicional es, en definitiva, más rápido y mucho más compacto, pero requiere dos multiplicaciones significativamente más difíciles con las que los alumnos pueden tener dificultades al principio. En comparación con el método de cuadrícula, la multiplicación larga tradicional también puede ser más abstracta y menos manifiestamente clara, por lo que a algunos alumnos les resulta más difícil recordar qué se debe hacer en cada etapa y por qué. Por lo tanto, se puede animar a los alumnos durante un período considerable a utilizar el método de cuadrícula más simple junto con el método de multiplicación larga tradicional más eficiente, como control y como alternativa.

Si bien no se enseña normalmente como método estándar para multiplicar fracciones, el método de cuadrícula se puede aplicar fácilmente a casos simples en los que es más fácil encontrar un producto al descomponerlo.

Por ejemplo, el cálculo 2⁠1/2⁠ × 1⁠1/2⁠ se puede realizar utilizando el método de cuadrícula

×	2	⁠1/2⁠
1	2	⁠1/2⁠
⁠1/2⁠	1	⁠1/4⁠

para encontrar que el producto resultante es 2 + ⁠1/2⁠ + 1 + ⁠1/4⁠ = 3⁠3/4⁠

El método de cuadrícula también se puede utilizar para ilustrar la multiplicación de un producto de binomios, como (a + 3)(b + 2), un tema estándar en álgebra elemental (aunque no se suele estudiar hasta la escuela secundaria):

×	a	3
b	ab	3b
2	2a	6

Por lo tanto (a + 3)(b + 2) = ab + 3b + 2a + 6.

Las CPU de 32 bits normalmente carecen de una instrucción para multiplicar dos enteros de 64 bits. Sin embargo, la mayoría de las CPU admiten una instrucción de "multiplicación con desbordamiento", que toma dos operandos de 32 bits, los multiplica y coloca el resultado de 32 bits en un registro y el desbordamiento en otro, lo que da como resultado un acarreo. Por ejemplo, estas incluyen la instrucción umull agregada en el conjunto de instrucciones ARMv4t o la instrucción pmuludq agregada en SSE2 que opera en los 32 bits inferiores de un registro SIMD que contiene dos líneas de 64 bits.

En las plataformas que admiten estas instrucciones, se utiliza una versión ligeramente modificada del método de cuadrícula. Las diferencias son:

1. En lugar de operar en múltiples de 10, son operados en enteros de 32 bits.
2. En lugar de los bits superiores multiplicados por diez, son multiplicados por 0x100000000. Esto se hace generalmente cambiando a la izquierda por 32 o colocando el valor en un registro específico que representa los 32 bits más altos.
3. Cualquier valor que miente por encima de la 64a parte está truncado. Esto significa que no es necesario multiplicar los bits más altos, porque el resultado será desplazado fuera del rango de 64 bits. Esto también significa que sólo se requiere una multiplicación de 32 bits para los múltiplos superiores.

×	b	a
d	-	ad
c	bc	ac

Esta sería la rutina en C:

#include Identificado.huint64_t multiplica multiplica multiplica multiplica multiplica multiplica()uint64_t ab, uint64_t cd){} /* Estos turnos y máscaras son generalmente implícitos, como enteros de 64 bits * se pasan a menudo como 2 registros de 32 bits. */ uint32_t b = ab " 32, a = ab " ¿Qué?; uint32_t d = cd " 32, c = cd " ¿Qué?; /* multiplicar con desbordamiento */ uint64_t ac = ()uint64_t)a * ()uint64_t)c; uint32_t alto = ac " 32; * Reflujo */ uint32_t bajo = ac " ¿Qué?; /* 32 bits se multiplican y se añaden a trozos altos */ alto += ()a * d); /* añadir ad */ alto += ()b * c); /* añadir bc */ /* multiplicar por 0x100000000 (a través del turno izquierdo) y añadir a los bits bajos con un binario o. */ Regreso (()uint64_t)alto c) c) 32) Silencio bajo;}

Esta sería la rutina en el ensamblado ARM:

multiplicar: @ a = r0 @ b = r1 @ c = r2 @ d = r3 empujar {}r4, lr} @ respaldo r4 y lr a el pila umull r12, lr, r2, r0 @ multiplica multiplica multiplica multiplica multiplica multiplica r2 y r0, tienda el resultado dentro r12 y el desbordamiento dentro lr mla r4, r2, r1, lr @ multiplica multiplica multiplica multiplica multiplica multiplica r2 y r1, añadir lr, y tienda dentro r4 mla r1, r3, r0, r4 @ multiplica multiplica multiplica multiplica multiplica multiplica r3 y r0, añadir r4, y tienda dentro r1 @ El valor es cambiado izquierda implícitamente porque el @ alto bits de a 64-bit entero son devuelto dentro r1. mov r0, r12 @ Set el bajo bits de el Regreso valor a r12 ()ac) pop {}r4, lr} @ restauración r4 y lr desde el pila bx lr @ Regreso el bajo y alto bits dentro r0 y r1 respectivamente

Matemáticamente, la capacidad de descomponer una multiplicación de esta manera se conoce como ley distributiva, que puede expresarse en álgebra como la propiedad de que a(b+c) = ab + ac. El método de cuadrícula utiliza la propiedad distributiva dos veces para desarrollar el producto, una para el factor horizontal y otra para el factor vertical.

Históricamente, el cálculo en cuadrícula (ligeramente modificado) fue la base de un método llamado multiplicación reticular, que era el método estándar de multiplicación de varios dígitos desarrollado en las matemáticas árabes e hindúes medievales. La multiplicación reticular fue introducida en Europa por Fibonacci a principios del siglo XIII junto con los propios números arábigos; aunque, al igual que los números, las formas que sugirió para calcular con ellos tardaron en llegar a aplicarse inicialmente. Los huesos de Napier fueron una ayuda para el cálculo introducida por el escocés John Napier en 1617 para facilitar los cálculos con el método reticular.

• algoritmo de multiplicación
• Tabla de Multiplicación

• Rob Eastaway y Mike Askew, Matemáticas para mamás y papás, Square Peg, 2010. ISBN 978-0-224-08635-6. pp. 140–153.

• Larga multiplicación − El método Box, Matemáticas en línea.
• Larga multiplicación y división, BBC GCSE Bitesize