Multiplicación inversa

La función recíproca: Sí. 1/x. Por todos x excepto 0, Sí. representa su inverso multiplicativo. El gráfico forma una hiperbola rectangular.

En matemáticas, un inverso multiplicativo o recíproco para un número x, denotado por 1/x o x⁻¹, es un número que cuando se multiplica por x produce la identidad multiplicativa, 1. El inverso multiplicativo de una fracción a /b es b/a. Para el inverso multiplicativo de un número real, divide 1 por el número. Por ejemplo, el recíproco de 5 es un quinto (1/5 o 0,2), y el recíproco de 0,25 es 1 dividido por 0,25, o 4. La función recíproca, la función f(x) que asigna x a 1/x, es uno de los ejemplos más simples de una función que es su propia inversa (una involución).

Multiplicar por un número es lo mismo que dividir por su recíproco y viceversa. Por ejemplo, la multiplicación por 4/5 (o 0,8) dará el mismo resultado que la división por 5/4 (o 1,25). Por lo tanto, la multiplicación por un número seguida de la multiplicación por su recíproco da como resultado el número original (ya que el producto del número y su recíproco es 1).

El término recíproco era de uso común al menos desde la tercera edición de Encyclopædia Britannica (1797) para describir dos números cuyo producto es 1; las cantidades geométricas en proporción inversa se describen como recíproca en una traducción de 1570 de Euclides's Elementos.

En la frase inverso multiplicativo, el calificador multiplicativo a menudo se omite y luego se entiende tácitamente (en contraste con el inverso aditivo). Los inversos multiplicativos se pueden definir en muchos dominios matemáticos, así como en números. En estos casos puede ocurrir que ab ≠ ba; luego "inverso" típicamente implica que un elemento es a la vez un inverso izquierdo y derecho.

La notación f ⁻¹ a veces también se usa para la función inversa de la función f, que para la mayoría de las funciones no es igual a el inverso multiplicativo. Por ejemplo, el inverso multiplicativo 1/(sin x) = (sin x)⁻¹ es la cosecante de x, y no el seno inverso de x indicado por sin⁻¹ x o arcosen x. La diferencia terminológica recíproco versus inverso no es suficiente para hacer esta distinción, ya que muchos autores prefieren la convención de nomenclatura opuesta, probablemente por razones históricas (por ejemplo, en francés, la función inversa se llama preferentemente la biyección réciproque).

Ejemplos y contraejemplos

En los números reales, el cero no tiene recíproco (la división por cero no está definida) porque ningún número real multiplicado por 0 produce 1 (el producto de cualquier número con cero es cero). Con la excepción del cero, los recíprocos de todo número real son reales, los recíprocos de todo número racional son racionales y los recíprocos de todo número complejo son complejos. La propiedad de que todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo es parte de la definición de un campo, del cual estos son todos ejemplos. Por otro lado, ningún entero que no sea 1 y −1 tiene un recíproco entero, por lo que los enteros no son un campo.

En aritmética modular, también se define el inverso multiplicativo modular de a: es el número x tal que ax ≡ 1 (modificación n). Este inverso multiplicativo existe si y solo si a y n son coprimos. Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 4 porque 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11). Se puede usar el algoritmo euclidiano extendido para calcularlo.

Los sedeniones son un álgebra en la que todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, pero que no obstante tiene divisores de cero, es decir, elementos distintos de cero x, y tales que xy = 0.

Una matriz cuadrada tiene una inversa si y solo si su determinante tiene una inversa en el anillo de coeficientes. El mapa lineal que tiene la matriz A⁻¹ con respecto a alguna base es entonces la función inversa del mapa que tiene como matriz A en el misma base. Así, las dos nociones distintas de la inversa de una función están fuertemente relacionadas en este caso, pero aún no coinciden, ya que la inversa multiplicativa de Ax sería (Ax)⁻¹, no A⁻¹x.

Estas dos nociones de una función inversa coinciden a veces, por ejemplo para la función f()x)=xi=eiIn⁡ ⁡ ()x){displaystyle f(x)=x^{i}=e^{iln(x)} Donde In{displaystyle ln } es la rama principal del logaritmo complejo y <math alttext="{displaystyle e^{-pi }<|x|e− − π π .SilencioxSilencio.eπ π {displaystyle e^{-pi}Seguido bajo palabra<img alt="{displaystyle e^{-pi }<|x|:

()()1/f)∘ ∘ f)()x)=()1/f)()f()x))=1/()f()f()x)))=1/eiIn⁡ ⁡ ()eiIn⁡ ⁡ ()x))=1/eiiIn⁡ ⁡ ()x)=1/e− − In⁡ ⁡ ()x)=x{displaystyle ((1/f)circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x))))=1/e^{iln(e^{iln(x)}=1/e^{iiln(x)}=1/e^{-ln(x)}=x}.

Las funciones trigonométricas están relacionadas por la identidad recíproca: la cotangente es el recíproco de la tangente; la secante es el recíproco del coseno; la cosecante es el recíproco del seno.

Un anillo en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo es un anillo de división; asimismo, un álgebra en la que esto se cumple es un álgebra de división.

Números complejos

Como se mencionó anteriormente, el recíproco de cada número complejo no cero z = a + bi es complejo. Se puede encontrar multiplicando tanto arriba como abajo de 1/z por su complejo conjugado z̄ ̄ =a− − bi{displaystyle {bar}=a-bi} y el uso de la propiedad zz̄ ̄ =.. z.. 2{displaystyle z{bar {z}=fncipesfnK}, el valor absoluto de z cuadrados, que es el número real a² + b²:

1z=z̄ ̄ zz̄ ̄ =z̄ ̄ .. z.. 2=a− − bia2+b2=aa2+b2− − ba2+b2i.{fnMicroc} {1}{z}={frac} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh} {fn} {fnh}} {fnh}} {fn}} {fnh}} {fnh}} {f}}} {fnfnf}}}} {f}}}}} {b}}}}}}}f} {b}}}}f}}}}} {b}}} {b}}}}} {b}}}} {b} {b} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {b} {b} {b} {b} {b}} {b}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {fn}}={f} {fnh} {fnh}}= {fnh}}= {fnK}}= {fn}} {f}}} {fnK}}}}} {fn}}}} {f}} {f}}}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\f}}}f}f}\f}f}f}}fnf}f}f}}\f}f}f}fnfnfnh}fnfnh}fnh}\fnhfnfnf}fnfnfnh}fnhfnh}fnfnh}\fnh}f}fnh {a-bi}{2}+b^{2}}={frac} {a}{2}+b^{2}}-{frac} Yo.

La intuición es que

z̄ ̄ .. z.. {displaystyle {frac {fnMicroc}bar {fn} {fnMicrosoft}} {fnK}} {fnMicrosoft}}}} {fnK}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}} {\fn\\fn\fn\fnMicrosoft}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\fn\\\fn\fnfnfn\fnfnfnfnfnfnfnfn\fnfnfnfnfnHfnfnfnfn\fn\\fn\fnfnhfnfnfnfnfnfn\fnfnfn\fn\fnfn

nos da el complejo conjugado con una magnitud reducida a un valor 1{displaystyle 1}, así que dividir de nuevo .. z.. {displaystyle Torturazfnse] asegura que la magnitud sea ahora igual a la reciproca de la magnitud original también, por lo tanto:

1z=z̄ ̄ .. z.. 2{fnMicroc} {1}{z}={frac} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh}} {fnh} {fnh}} {\fnh}}}}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {\\fn\\fnfnh}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\fn\fn\\\fn\\fn\fnfn\\\\\fnhn\\\fnhnhn\fnhnhnhnhn\\\fn\fn\\fnfn}fn}fn}\\\\\\fn\\\fn

En particular, sizSilenciosidad=1z tiene magnitud unitaria), entonces 1/z=z̄ ̄ {displaystyle 1/z={bar {Z}}. En consecuencia, las unidades imaginarias, ±i, tienen inverso aditivo igual a inverso multiplicativo, y son los únicos números complejos con esta propiedad. Por ejemplo, inversos aditivos y multiplicadores de i son −i) = −i y 1/i =i, respectivamente.

Para un número complejo en forma polar z = r(cos φ + i sin φ) , el recíproco simplemente toma el recíproco de la magnitud y el negativo del ángulo:

1z=1r()#⁡ ⁡ ()− − φ φ )+ipecado⁡ ⁡ ()− − φ φ )).{displaystyle {frac {1}={frac {1}}left(cos(-varphi)+isin(-varphi)right).}

Intuición geométrica para la integral de 1/x. Las tres integrales de 1 a 2, de 2 a 4, y de 4 a 8 son todas iguales. Cada región es la región anterior a la mitad vertical y doble horizontalmente. Extender esto, la integral de 1 a 2^k es k la integral de 1 a 2, así como ln 2^k = k ln 2.

Cálculo

En cálculo real, la derivada de 1/x = x⁻¹ viene dada por la regla de la potencia con la potencia −1:

ddxx− − 1=()− − 1)x()− − 1)− − 1=− − x− − 2=− − 1x2.[displaystyle {frac {dx}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{frac {1}{x^{2}}}}

La regla de la potencia para integrales (fórmula de cuadratura de Cavalieri) no se puede usar para calcular la integral de 1/x, porque hacerlo resultaría en una división por 0:

∫ ∫ dxx=x00+C{displaystyle int {frac {dx}{x}={frac} {x^{0} {0}}+C}

∫ ∫ 1adxx=In⁡ ⁡ a,{displaystyle int _{1} {frac {dx}=ln a,}

∫ ∫ dxx=In⁡ ⁡ x+C.{displaystyle int {frac {dx}{x}=ln x+C.}

ddSí.eSí.=eSí.{textstyle {frac {} {y}e} {y}=e} {y}}

x=eSí.{displaystyle x=e^{y}

Sí.=In⁡ ⁡ x{displaystyle y=ln x}

dxdSí.=x⇒ ⇒ dxx=dSí.⇒ ⇒ ∫ ∫ dxx=∫ ∫ dSí.=Sí.+C=In⁡ ⁡ x+C.{displaystyle {begin{aligned} {frac {dx}=xquad} Rightarrow quad {frac {dx}=dy[10mu] Rightarrow quad int {frac {dx}=int dy=y+C=ln x+C.end{aligned}}}

Algoritmos

El recíproco se puede calcular a mano con el uso de la división larga.

Computing the reciprocal is important in many division algoritmos, since the quotient a/b puede ser computado por el primer cálculo 1/b y luego multiplicarlo por a. Observando que f()x)=1/x− − b{displaystyle f(x)=1/x-b} tiene cero x 1/b, el método de Newton puede encontrar ese cero, comenzando con una conjetura x0{displaystyle x_{0} y iterando usando la regla:

xn+1=xn− − f()xn)f.()xn)=xn− − 1/xn− − b− − 1/xn2=2xn− − bxn2=xn()2− − bxn).{displaystyle ¿Por qué? {1/x_{n}-b}{1/x_{n}=2x_{n}}-bx_{n}{2}=x_{n}(2-bx_{n}).}

Esto continúa hasta que se alcanza la precisión deseada. Por ejemplo, supongamos que deseamos calcular 1/17 ≈ 0.0588 con 3 dígitos de precisión. Tomando x₀ = 0.1, se produce la siguiente secuencia:

x₁ = 0,1(2 - 17 × 0.1) = 0,03

x₂ = 0,03(2 – 17 × 0,03) = 0,0447

x₃ = 0,0447(2 – 17 × 0,0447) ♥ 0,0554

x₄ = 0,0554(2 − 17 × 0,0554)

x₅ = 0,0586(2 – 17 × 0,0586)

Se puede encontrar una suposición inicial típica redondeando b a una potencia cercana de 2 y luego usando cambios de bits para calcular su recíproco.

En matemáticas constructivas, para que un número real x tenga un recíproco, no es suficiente que x ≠ 0. En su lugar, debe darse un racional número r tal que 0 < r < |x|. En términos del algoritmo de aproximación descrito anteriormente, esto es necesario para probar que el cambio en y eventualmente se volverá arbitrariamente pequeño.

Gráfico de fx) x^x muestra el mínimo (1/e, e^−1e).

Esta iteración también se puede generalizar a un tipo más amplio de inversas; por ejemplo, matrices inversas.

Recíprocos de números irracionales

Cada número real o complejo excluyendo cero tiene una reciprocidad, y los recíprocos de ciertos números irracionales pueden tener propiedades especiales importantes. Ejemplos incluyen la reciprocidad de e (Entendido 0,367879) y la relación de oro recíproca (Entendido 0,18034). El primer recíproco es especial porque ningún otro número positivo puede producir un número menor cuando se pone en el poder de sí mismo; f()1/e){displaystyle f(1/e)} es el mínimo mundial f()x)=xx{displaystyle f(x)=x^{x}. El segundo número es el único número positivo que es igual a su recíproco más uno:φ φ =1/φ φ +1{displaystyle varphi =1/varphi +1}. Su inverso aditivo es el único número negativo que es igual a su menos recíproco uno:− − φ φ =− − 1/φ φ − − 1{displaystyle -varphi =-1/varphi -1}.

La función 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">f()n)=n+()n2+1),n▪ ▪ N,n■0{textstyle f(n)=n+{sqrt {(n^{2}+1)}},nin mathbb {N}n {0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9728e24193ee1d4b61ba68cb30ba3c0dfbd1bb8" style="vertical-align: -1.005ex; width:36.038ex; height:3.343ex;"/> da un número infinito de números irracionales que difieren con su recíproco por un entero. Por ejemplo, f()2){displaystyle f(2)} es el irracional 2+5{displaystyle 2+{sqrt {}}. Su reciprocidad 1/()2+5){displaystyle 1/(2+{sqrt {}}} es − − 2+5{displaystyle -2+{sqrt {}}, exactamente 4{displaystyle 4} menos. Tales números irracionales comparten una propiedad evidente: tienen la misma parte fraccional que su reciproca, ya que estos números difieren por un entero.

Otras observaciones

Si la multiplicación es asociativa, un elemento x con un inverso multiplicativo no puede ser un divisor de cero (x es un divisor de cero si algún y, xy = 0). Para ver esto, basta con multiplicar la ecuación xy = 0 por la inversa de x (a la izquierda) y luego simplificar usando la asociatividad. En ausencia de asociatividad, los sedeniones proporcionan un contraejemplo.

Lo contrario no es válido: no se garantiza que un elemento que no sea un divisor de cero tenga un inverso multiplicativo. Dentro de Z, todos los números enteros excepto −1, 0, 1 son ejemplos; no son divisores de cero ni tienen inversos en Z. Sin embargo, si el anillo o el álgebra son finitos, entonces todos los elementos a que no son divisores de cero tienen un inverso (izquierdo y derecho). Porque, primero observe que el mapa f(x) = ax debe ser inyectivo: f(x) = f(y) implica x = y:

ax=aSí.⇒ ⇒ ax− − aSí.=0⇒ ⇒ a()x− − Sí.)=0⇒ ⇒ x− − Sí.=0⇒ ⇒ x=Sí..{displaystyle {begin{aligned}ax limit=ay Rightarrow > quad ax-ay=0\ Rightarrow &quad a(x-y)=0 Rightarrow &quad x-y=0\\fnuncióquad Rightarrow &quad x=y.end{aligned}}}}

Los elementos distintos se asignan a elementos distintos, por lo que la imagen consta del mismo número finito de elementos y el mapa es necesariamente sobreyectivo. Específicamente, ƒ (a saber, la multiplicación por a) debe asignar algún elemento x a 1, ax = 1, por lo que x es el inverso de a.

Aplicaciones

La expansión del recíproco 1/q en cualquier base también puede actuar como fuente de números pseudoaleatorios, si q es un "adecuado&# 34; primo seguro, un primo de la forma 2p + 1 donde p también es un primo. La expansión producirá una secuencia de números pseudoaleatorios de longitud q − 1.