Multiplicación escalar

Multiplicación escalar de un vector por un factor de 3 estira el vector hacia fuera.

Las multiplicaciones de escalar -a y 2a de un vector a

En matemáticas, la multiplicación escalar es una de las operaciones básicas que definen un espacio vectorial en álgebra lineal (o más generalmente, un módulo en álgebra abstracta). En contextos geométricos comunes, la multiplicación escalar de un vector euclidiano real por un número real positivo multiplica la magnitud del vector, sin cambiar su dirección. El término "escalar" deriva de este uso: un escalar es lo que escala vectores. La multiplicación escalar es la multiplicación de un vector por un escalar (donde el producto es un vector), y debe distinguirse del producto interno de dos vectores (donde el producto es un escalar).

Definición

En general, si K es un campo y V es un espacio vectorial sobre K, entonces la multiplicación escalar es una función de K × V a V. El resultado de aplicar esta función a k en K y v en V se denota kv.

Propiedades

La multiplicación escalar obedece las siguientes reglas (vector en negrita):

• Aditividad en el cuero cabelludo: (c + d)v = cv + dv;
• Aditividad en el vector: c()v + w) cv + cw;
• Compatibilidad de producto de los cuero cabelludos con multiplicación escalar: (cd)v = c()dv);
• Multiplicar por 1 no cambia un vector: 1v = v;
• Multiplicación por 0 da el vector cero: 0v = 0;
• Multiplicación por −1 da el inverso aditivo: (−1)v =v.

Aquí, + es una suma en el campo o en el espacio vectorial, según corresponda; y 0 es la identidad aditiva en cualquiera. La yuxtaposición indica la multiplicación escalar o la operación de multiplicación en el campo.

Interpretación

La multiplicación escalar puede verse como una operación binaria externa o como una acción del campo en el espacio vectorial. Una interpretación geométrica de la multiplicación escalar es que estira o contrae vectores por un factor constante. Como resultado, produce un vector en la misma dirección o en dirección opuesta al vector original pero de diferente longitud.

Como caso especial, V puede tomarse como K mismo y la multiplicación escalar puede tomarse simplemente como la multiplicación en el campo.

Cuando V es Kⁿ, la multiplicación escalar es equivalente a la multiplicación de cada componente con el escalar, y puede definirse como tal.

La misma idea se aplica si K es un anillo conmutativo y V es un módulo sobre K. K puede incluso ser una plataforma, pero entonces no hay inversa aditiva. Si K no es conmutativo, las distintas operaciones multiplicación escalar izquierda cv y multiplicación escalar derecha vc puede definirse.

Multiplicación escalar de matrices

La multiplicación escalar izquierda de una matriz A con un escalar λ da otra matriz del mismo tamaño que A. Se denota por λA, cuyas entradas de λA están definidos por

()λ λ A)ij=λ λ ()A)ij,{displaystyle (lambda mathbf {A})_{ij}=lambda left(mathbf {A} right)_{ij},}

explícitamente:

λ λ A=λ λ ()A11A12⋯ ⋯ A1mA21A22⋯ ⋯ A2m⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ An1An2⋯ ⋯ Anm)=()λ λ A11λ λ A12⋯ ⋯ λ λ A1mλ λ A21λ λ A22⋯ ⋯ λ λ A2m⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ λ λ An1λ λ An2⋯ ⋯ λ λ Anm).{displaystyle lambda mathbf {A} =lambda {begin{pmatrix}A_{11}Condenadoscdots " A_{1m}A_{21} limitA_{22} limitcdots "2m}\vdots "ddots " \A_{n1} {begin{pmatrix}lambda A_{11} limitlambda A_{12} limitcdots > A_{1m}\\lambda A_{21} tardelambda A_{22} limitcdots > A_{2m}\\vdots >ddots > \lambda A_{n1} limitlambda A_{n2} limitcdots > ¿Qué?

Del mismo modo, aunque no existe una definición ampliamente aceptada, la multiplicación escalar derecha de una matriz A con un escalar λ podría definirse como

()Aλ λ )ij=()A)ijλ λ ,{displaystyle (mathbf {A} lambda)_{ij}=left(mathbf {A} right)_{ij}lambda ,}

explícitamente:

Aλ λ =()A11A12⋯ ⋯ A1mA21A22⋯ ⋯ A2m⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ An1An2⋯ ⋯ Anm)λ λ =()A11λ λ A12λ λ ⋯ ⋯ A1mλ λ A21λ λ A22λ λ ⋯ ⋯ A2mλ λ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ An1λ λ An2λ λ ⋯ ⋯ Anmλ λ ).{displaystyle mathbf {A} lambda {begin{pmatrix}A_{11} {12} " A_{1m}A_{21} limitA_{22} limitcdots "2m}\vdots "ddots " \A_{n1} "Lambda" ={begin{pmatrix}A_{11}lambda " A_{12}lambda " \A_{21}lambda &A_{22}lambda >cdots >lambda \vdots >vdots > \A_{n1}lambda ' A_{n2}lambda &cdots ' A_{nm}lambda \end{pmatrix},}

Cuando las entradas de la matriz y los escalares son del mismo campo conmutativo, por ejemplo, el campo de números reales o el campo de números complejos, estas dos multiplicaciones son iguales y pueden llamarse simplemente multiplicación escalar. Para matrices sobre un campo más general que no es conmutativo, es posible que no sean iguales.

Para un escalar real y una matriz:

λ λ =2,A=()abcd){displaystyle lambda =2,quad mathbf {A} ={begin{pmatrix}a golpeb\c Puld\\\\end{pmatrix}}}

2A=2()abcd)=()2⋅ ⋅ a2⋅ ⋅ b2⋅ ⋅ c2⋅ ⋅ d)=()a⋅ ⋅ 2b⋅ ⋅ 2c⋅ ⋅ 2d⋅ ⋅ 2)=()abcd)2=A2.{displaystyle 2mathbf {} =2{begin{pmatrix}a trob\c quedód\\\\end{pmatrix}}={begin{pmatrix}2cdot !a golpe2cdot !b2!cdot !cdot !cdot !d\end{pmatrix}={begin{pmatrix}acdot ! !2cc! {begin{pmatrix}aplicarcdot!2\end{pmatrix}={begin{pmatrix}a {pmatrix}a {c >}2=mathbf 2.

Para matrices y escalares de cuaterniones:

λ λ =i,A=()i00j){displaystyle lambda =i,quad mathbf {A} ={begin{pmatrix}i âTMa âTMa {} {}}}}}

i()i00j)=()i200ij)=()− − 100k)ل ل ()− − 100− − k)=()i200ji)=()i00j)i,{}}={begin{pmatrix}i} {}}={pmatrix}={begin{pmatrix}i^{2} {0}}={}={pmatrix}={begin{pmatrix}1}=0}}} {pmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {begin{pmatrix}i^{0}end{pmatrix}={begin{pmatrix}i^{2} {0}}= {end{pmatrix}={begin{pmatrix}i indulge0}j\end{pmatrix}i,}i}

donde i, j, k son las unidades de cuaterniones. La no conmutatividad de la multiplicación de cuaterniones evita la transición de cambiar ij = +k a ji = −k.