Multiplicación cruzada

En matemáticas, específicamente en aritmética elemental y álgebra elemental, dada una ecuación entre dos fracciones o expresiones racionales, se puede multiplicar de forma cruzada para simplificar la ecuación o determinar el valor de una variable.

El método también se conoce ocasionalmente como el método "cruza el corazón" método porque se pueden dibujar líneas que se asemejan al contorno de un corazón para recordar qué cosas multiplicar.

Dada una ecuación como

${\fnMicroc} {a}{b}={\frac} {c}{d},}$

donde b y d< /span> no son cero, se puede realizar una multiplicación cruzada para obtener

${\displaystyle ad=bc\quad {\text{or}\quad a={\frac} {bc}{d}.}$

En geometría euclidiana se puede lograr el mismo cálculo considerando las proporciones como las de triángulos similares.

Procedimiento

En la práctica, el método de multiplicación cruzada significa que multiplicamos el numerador de cada (o uno) de los lados por el denominador del otro lado, cruzando efectivamente los términos:

${\displaystyle {\frac {\fn}\nwarrow {\fnMic {c} {\fnMic}\fnMid {\fnMic}\fnMid {\fnMic} {a}{b}\nearrow {\fnMic} {\fnMicroc}}}$

La justificación matemática del método proviene del siguiente procedimiento matemático más largo. Si comenzamos con la ecuación básica

${\fnMicroc} {a}{b}={\frac} {c}{d},}$

Podemos multiplicar los términos de cada lado por el mismo número y los términos seguirán siendo iguales. Por lo tanto, si multiplicamos la fracción de cada lado por el producto de los denominadores de ambos lados—bd—obtenemos

${\displaystyle {\frac}\times Los tiempos bd.$

Podemos reducir las fracciones a sus términos más bajos observando que las dos apariciones de b en el lado izquierdo se cancelan, al igual que las dos apariciones de d en el lado derecho, dejando

${\displaystyle ad=bc,}$

y podemos dividir ambos lados de la ecuación por cualquiera de los elementos (en este caso usaremos d) obteniendo

${\displaystyle a={\frac {bc}{d}.}$

Otra justificación de la multiplicación cruzada es la siguiente. Comenzando con la ecuación dada

${\fnMicroc} {a}{b}={\frac} {c}{d},}$

multiplicar por d< span class="sr-only">/d = 1 en el izquierda y por b/b = 1 a la derecha, conseguir

${\displaystyle {\frac}\times {\fnMicroc {d} {d}={\frac} {c} {d}\times {\frac} {b}}}$

y así

${\displaystyle {\frac {}{bd}={\frac} {cb}{db}}$

Cancelar el denominador común bd = db, saliendo

${\displaystyle ad=cb.}$

Cada paso de estos procedimientos se basa en una propiedad única y fundamental de las ecuaciones. La multiplicación cruzada es un atajo, un procedimiento fácilmente comprensible que se puede enseñar a los estudiantes.

Usar

Este es un procedimiento común en matemáticas, usado para reducir fracciones o calcular un valor para una variable dada en una fracción. Si tenemos una ecuación

${\displaystyle {\frac {x}{b}={\frac} {c}{d},}$

donde x es una variable que estamos interesados en resolver, podemos usar la multiplicación cruzada para determinar eso

${\displaystyle x={\frac {bc}{d}.}$

Por ejemplo, supongamos que queremos saber qué distancia recorrerá un automóvil en 7 horas, si sabemos que su velocidad es constante y que ya recorrió 90 millas en las últimas 3 horas. Al convertir el problema verbal en razones, obtenemos

${\displaystyle {\frac {x}{7\text{hours}}={\frac {90\text{miles}}{3\ {\texto {horas}}}}}$

Rendimiento de multiplicación cruzada

${\displaystyle x={\frac {\text{hours}\times 90\\text{miles}}{3\text{hours}}}}}} }$

y así

${\displaystyle x=210\text{miles}}$

Solución alternativa

90 millas/ 3 horas=30 mph

Entonces, 30 mph × 7 horas = 210 millas.

Tenga en cuenta que incluso las ecuaciones simples como

${\displaystyle a={\frac {x} {d}}$

se resuelven mediante multiplicación cruzada, ya que el término b que falta es implícitamente igual a 1:

${\fnMicroc} {a}{1}={\frac} {x} {d}}$

Cualquier ecuación que contenga fracciones o expresiones racionales se puede simplificar multiplicando ambos lados por el mínimo común denominador. Este paso se llama borrar fracciones.

Regla de tres

La regla de tres era una versión abreviada histórica de una forma particular de multiplicación cruzada que podía enseñarse a los estudiantes de memoria. Se consideró el apogeo de la educación matemática colonial y todavía figura en el plan de estudios nacional francés para la educación secundaria y en el plan de estudios de educación primaria de España.

Para una ecuación de la forma

${\fnMicroc} {a}{b}={\frac} {c}{x},}$

donde la variable a evaluar está en el denominador de la derecha, la regla de tres establece que

${\displaystyle x={\frac {bc}{a}}$

En este contexto, a se conoce como el extremo de la proporción, y < span class="texhtml mvar" style="font-style:italic;">b y c se llaman los medios.

Esta regla ya era conocida por los matemáticos chinos antes del siglo II CE, aunque no se usó en Europa hasta mucho más tarde.

Cocker's Arithmetick, el principal libro de texto del siglo XVII, introduce su análisis de la regla de tres con el problema: "Si 4 yardas de tela cuestan 12 chelines, ¿cuánto costarán 6 yardas a esa tasa?" ?" La regla de tres da la respuesta directa a este problema; mientras que en la aritmética moderna, lo resolveríamos introduciendo una variable x para representar el costo de 6 yardas de tela, anotando la ecuacion

${\displaystyle {\frac {4\text{yards}}{12\ {\text{shillings}}}={\frac {6\\\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}} {\fnMicrosoft Sans Serif}}} {\fnMicrosoft Sans Serif}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn$

y luego usar multimultiplicación para calcular x:

${\displaystyle x={\frac {12\text{shillings}\times 6\text{yards} {\4\text{yards}}=18\ {\text{shillings}}}$

Un manuscrito anónimo fechado en 1570 decía: "La multiplicación es aflicción, / La división es tan mala; / La regla de tres me desconcierta, / y la práctica me vuelve loco."

Charles Darwin se refiere a su uso de la regla de tres para estimar el número de especies en un género recién discernido. En una carta a William Darwin Fox en 1855, Charles Darwin declaró: "No tengo fe en nada que no sea la medición real y la Regla de Tres". Karl Pearson adoptó esta declaración como lema de su recién fundada revista Biometrika.

Doble regla de tres

Una extensión de la regla de tres fue la doble regla de tres, que implicaba encontrar un valor desconocido donde se conocen cinco valores en lugar de otros tres.

Un ejemplo de tal problema podría ser Si 6 constructores pueden construir 8 casas en 100 días, ¿cuántos días les tomaría a 10 constructores construir 20 casas al mismo ritmo?, y esto puede ser configurado como

${\fnMicroc {\fnMicroc} {8\\fnMicrosoft Sans Serif}{100\ {\text{days}} {6\text{builders}}}={\frac {\frac {20\text{houses}}{x}}{10\text{builders}}}}}}}}}}} {\fnMissss {\fnMissss}}$

que, con multimultiplicación dos veces, da

${\displaystyle x={\frac {20\text{houses}\times 100\\text{days}\times 6\text{builders}} {8\text{houses}\times 10\text{builders}}}=150\ {\text{days}}$

La canción de Lewis Carroll incluye las líneas "Pensó que vio una puerta de jardín / que abrió con una llave: / Miró de nuevo, y encontró que era / Una doble regla de tres".