Multiplicación

Cuatro bolsas con tres mármoles por bolsa da doce mármoles (4 × 3 = 12).

La multiplicación también se puede considerar como escalada. Aquí vemos 2 siendo multiplicado por 3 utilizando escalado, dando 6 como resultado.

Animación para la multiplicación 2 × 3 = 6.

4 × 5 = 20. El gran rectángulo se compone de 20 plazas, cada una 1 unidad por 1 unidad.

Área de un paño 4.5m × 2,5m = 11.25m²; 41/2 × 21/2 = 111/4

Multiplicación (a menudo indicada por el símbolo de cruz ×, por el operador de punto de la línea media ⋅, por yuxtaposición o, en computadoras, por un asterisco *) es una de las cuatro operaciones matemáticas elementales de la aritmética, siendo las otras la suma, la resta y la división. El resultado de una operación de multiplicación se llama producto.

La multiplicación de números enteros se puede considerar como una suma repetida; es decir, la multiplicación de dos números equivale a sumar tantas copias de uno de ellos, el multiplicando, como la cantidad del otro, el multiplicador. Ambos números pueden denominarse factores.

a× × b=b+⋯ ⋯ +b⏟ ⏟ aveces{displaystyle atimes b=underbrace {b+cdots +b} _{a{text{ times}}}}}

Por ejemplo, 4 multiplicado por 3, a menudo escrito como 3× × 4{displaystyle 3times 4} y se habla como "3 veces 4", se puede calcular agregando 3 copias de 4 juntas:

3× × 4=4+4+4=12{displaystyle 3times 4=4+4=12}

Aquí, 3 (el multiplicador) y 4 (el multiplicando) son los factores, y 12 es el producto.

Una de las principales propiedades de la multiplicación es la propiedad conmutativa, que establece en este caso que sumar 3 copias de 4 da el mismo resultado que sumar 4 copias de 3:

4× × 3=3+3+3+3=12{displaystyle 4times 3=3+3+3=12}

Por lo tanto, la designación de multiplicador y multiplicando no afecta el resultado de la multiplicación.

Las generalizaciones sistemáticas de esta definición básica definen la multiplicación de números enteros (incluidos los números negativos), números racionales (fracciones) y números reales.

La multiplicación también se puede visualizar como contar objetos dispuestos en un rectángulo (para números enteros) o como encontrar el área de un rectángulo cuyos lados tienen unas longitudes dadas. El área de un rectángulo no depende de qué lado se mida primero, una consecuencia de la propiedad conmutativa.

El producto de dos medidas es un nuevo tipo de medida. Por ejemplo, multiplicar las longitudes de los dos lados de un rectángulo da su área. Dicho producto es objeto de análisis dimensional.

La operación inversa de la multiplicación es la división. Por ejemplo, dado que 4 multiplicado por 3 es igual a 12, 12 dividido por 3 es igual a 4. De hecho, la multiplicación por 3, seguida de la división por 3, da como resultado el número original. La división de un número distinto de 0 por sí mismo es igual a 1.

La multiplicación también se define para otros tipos de números, como los números complejos, y para construcciones más abstractas, como las matrices. Para algunas de estas construcciones más abstractas, el orden en el que se multiplican los operandos es importante. En Producto (matemáticas) se proporciona una lista de los diferentes tipos de productos utilizados en matemáticas.

Notación y terminología

En aritmética, la multiplicación se escribe a menudo usando el signo de multiplicación (ya sea × o × × {displaystyle times }) entre los términos (es decir, en notación de infijo). Por ejemplo,

2× × 3=6{displaystyle 2times 3=6} ("dos veces tres iguales seis")

3× × 4=12{displaystyle 3times 4=12}

2× × 3× × 5=6× × 5=30{displaystyle 2times 3times 5=6times 5=30}

2× × 2× × 2× × 2× × 2=32{displaystyle 2times 2times 2times 2times 2=32}

Hay otras notaciones matemáticas para la multiplicación:

• Reducir la confusión entre el signo de multiplicación × y la variable común x, la multiplicación también se denota por los signos de punto, generalmente un punto de media posición (período raramente):

5⋅ ⋅ 2{displaystyle 5cdot 2} o 5.3{displaystyle 5,,3}

La notación de punto medio, codificada en Unicode como U+22C5 ⋅ DOT OPERATOR, ahora es estándar en los Estados Unidos y otros países donde el período se utiliza como punto decimal. Cuando el personaje del operador de puntos no es accesible, se utiliza el interpunct (·). En otros países que utilizan una coma como marca decimal, ya sea el período o un punto medio se utiliza para la multiplicación.

Históricamente, en el Reino Unido e Irlanda, el punto medio fue utilizado a veces para el decimal para evitar que desaparezca en la línea gobernada, y el período / punto completo fue utilizado para la multiplicación. Sin embargo, dado que el Ministerio de Tecnología decidió utilizar el período como punto decimal en 1968, y desde entonces la norma SI ha sido ampliamente adoptada, este uso se encuentra ahora sólo en las revistas más tradicionales, como por ejemplo El Lancet.

• En álgebra, la multiplicación que implica variables se escribe a menudo como una yuxtaposición (por ejemplo, xSí.{displaystyle xy} para x{displaystyle x} veces Sí.{displaystyle y} o 5x{displaystyle 5x} por cinco veces x{displaystyle x}), también llamado multiplicación implícita. La notación también se puede utilizar para cantidades que están rodeadas de paréntesis (por ejemplo, 5()2){displaystyle 5(2)}, ()5)2{displaystyle (5)2} o ()5)()2){displaystyle (5)(2)} por cinco veces dos). Este uso implícito de la multiplicación puede causar ambigüedad cuando las variables concatenadas coinciden con el nombre de otra variable, cuando un nombre variable delante de una paréntesis puede confundirse con un nombre de función, o en la determinación correcta del orden de operaciones.
• En la multiplicación vectorial, hay una distinción entre la cruz y los símbolos del punto. El símbolo de la cruz generalmente denota la toma de un producto cruzado de dos vectores, dando como resultado un vector, mientras que el punto denota tomando el producto de punto de dos vectores, resultando en un escalar.

En programación informática, el asterisco (como en 5*2) sigue siendo la notación más común. Esto se debe al hecho de que, históricamente, la mayoría de las computadoras estaban limitadas a conjuntos de caracteres pequeños (como ASCII y EBCDIC) que carecían de un signo de multiplicación (como ⋅ o ×), mientras que el asterisco aparecía en todos los teclados. Este uso se originó en el lenguaje de programación FORTRAN.

Los números que se multiplican generalmente se llaman los "factores". El número que se multiplica es el "multiplicand", y el número por el que se multiplica es el "multiplier". Por lo general, el multiplicador se coloca primero y el multiplicador se coloca segundo; sin embargo, a veces el primer factor es el multiplicador y el segundo el multiplicador. Además, como resultado de la multiplicación no depende del orden de los factores, la distinción entre "multiplicand" y "multiplier" es útil sólo a un nivel muy elemental y en algunos algoritmos de multiplicación, como la multiplicación larga. Por lo tanto, en algunas fuentes, el término "multiplicand" se considera como un sinónimo de "factor". En álgebra, un número que es el multiplicador de una variable o expresión (por ejemplo, el 3 en 3xSí.2{displaystyle 3xy^{2}) se llama un coeficiente.

El resultado de una multiplicación se llama producto. Cuando un factor es un entero, el producto es un múltiple del otro o del producto de los otros. Así 2× × π π {displaystyle 2times pi} es un múltiple de π π {displaystyle pi}, como es 5133× × 486× × π π {displaystyle 5133times 486timespis}. Un producto de enteros es un múltiplo de cada factor; por ejemplo, 15 es el producto de 3 y 5 y es ambos un múltiplo de 3 y un múltiplo de 5.

Definiciones

El producto de dos números o la multiplicación entre dos números se puede definir para casos especiales comunes: números enteros, números naturales, fracciones, números reales, números complejos y cuaterniones.

Producto de dos números naturales

3 por 4 es 12

Colocando varias piedras en un patrón rectangular con r{displaystyle r} filas y s{displaystyle s} columnas da

r⋅ ⋅ s=.. i=1sr=r+r+⋯ ⋯ +r⏟ ⏟ sveces=.. j=1rs=s+s+⋯ ⋯ +s⏟ ⏟ rveces{displaystyle rcdot s=sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ {r+r+cdots +r} _{text{ times}=sum ################################################################################################################################################################################################################################################################ {s+s+cdots +s} ¿Por qué?

piedras.

Producto de dos enteros

Los enteros permiten números positivos y negativos. Su producto viene determinado por el producto de sus cantidades positivas, combinado con el signo derivado de la siguiente regla:

× × − − +− − +− − +− − +{displaystyle {begin{y:i}{ c durable}hline times ' - ¿Qué?

(Esta regla es una consecuencia necesaria de exigir la distributividad de la multiplicación sobre la suma, y no es una regla adicional).

En palabras, tenemos:

• Un número negativo multiplicado por un número negativo es positivo,
• Un número negativo multiplicado por un número positivo es negativo,
• Un número positivo multiplicado por un número negativo es negativo,
• Un número positivo multiplicado por un número positivo es positivo.

Producto de dos fracciones

Dos fracciones se pueden multiplicar multiplicando sus numeradores y denominadores:

zn⋅ ⋅ z.n.=z⋅ ⋅ z.n⋅ ⋅ n.{fnK}cdot {fnMicroc {fn}={frac} {Zcdot z}{ncdot n'}}

Producto de dos números reales

La definición rigurosa del producto de dos números reales es un subproducto de la Construcción de los números reales. Esta construcción implica que, para cada número real a existe un conjunto A de un número racional tal que a es el límite superior mínimo de los elementos de A:

a=Supx▪ ▪ Ax.{displaystyle a=sup _{xin A}x.}

Si b es otro número real que es el límite más alto de B, el producto a⋅ ⋅ b{displaystyle acdot b}se define como

a⋅ ⋅ b=Supx▪ ▪ A,Sí.▪ ▪ Bx⋅ ⋅ Sí..{displaystyle acdot b=sup _{xin A,yin B}xcdot Sí.

Esta definición no depende de una elección particular A y b. Es decir, si se cambian sin cambiar su límite inferior superior, entonces el límite inferior superior que define a⋅ ⋅ b{displaystyle acdot b} no ha cambiado.

Producto de dos números complejos

Dos números complejos pueden ser multiplicados por la ley distributiva y el hecho de que i2=− − 1{displaystyle I^{2}=-1}, como sigue:

()a+bi)⋅ ⋅ ()c+di)=a⋅ ⋅ c+a⋅ ⋅ di+bi⋅ ⋅ c+b⋅ ⋅ d⋅ ⋅ i2=()a⋅ ⋅ c− − b⋅ ⋅ d)+()a⋅ ⋅ d+b⋅ ⋅ c)i{fnMicrosoft Sans Serif}(a+b,i)cdot (c+d,i) limit=acdot c+acdot d,i+b,icdot c+bcdot dcdot i^{2}i}cdotcdot}

Un número complejo en coordenadas polares.

El significado geométrico de la multiplicación compleja se puede entender reescribiendo números complejos en coordenadas polares:

a+bi=r⋅ ⋅ ()#⁡ ⁡ ()φ φ )+ipecado⁡ ⁡ ()φ φ ))=r⋅ ⋅ eiφ φ {displaystyle a+b,i=rcdot (cos(varphi)+isin(varphi)=rcdot e^{ivarphi }

Además,

c+di=s⋅ ⋅ ()#⁡ ⁡ ()↑ ↑ )+ipecado⁡ ⁡ ()↑ ↑ ))=s⋅ ⋅ ei↑ ↑ ,{displaystyle c+d,i=scdot (cos(psi)+isin(psi)=scdot e^{ipsi },}

de donde se obtiene

()a⋅ ⋅ c− − b⋅ ⋅ d)+()a⋅ ⋅ d+b⋅ ⋅ c)i=r⋅ ⋅ s⋅ ⋅ ei()φ φ +↑ ↑ ).{displaystyle (acdot c-bcdot d)+(acdot d+bcdot c)i=rcdot scdot e^{i(varphi +psi)}.}

El significado geométrico es que las magnitudes se multiplican y los argumentos se suman.

Producto de dos cuaterniones

El producto de dos quaternions se puede encontrar en el artículo sobre quaternions. Nota, en este caso, que a⋅ ⋅ b{displaystyle acdot b} y b⋅ ⋅ a{displaystyle bcdot a} son en general diferentes.

Cálculo

El Mono Educado – un juguete de estaño fechado 1918, utilizado como "calculador de multiplicación". Por ejemplo: poner los pies del mono a 4 y 9, y obtener el producto – 36 – en sus manos.

Muchos métodos comunes para multiplicar números usando lápiz y papel requieren una tabla de multiplicar de productos de números pequeños memorizados o consultados (generalmente dos números cualesquiera del 0 al 9). Sin embargo, un método, el algoritmo de multiplicación campesina, no lo hace. El siguiente ejemplo ilustra "multiplicación larga" (el "algoritmo estándar", "multiplicación de escuela primaria"):

 23958233
× 5830
—————————————
00000000 (= 23.958.2233 × 0)
71874699 (= 23.958.2233 × 30)
191665864 (= 23.958.2233 × 800)
+ 119791165 (= 23.958.2233 × 5.000)
—————————————
139676498390 (= 139.676.498.390)

En algunos países, como Alemania, la multiplicación anterior se representa de manera similar pero con el producto original en posición horizontal y el cálculo comienza con el primer dígito del multiplicador:

23958233 · 5830
—————————————
119791165
191665864
71874699
00000000
—————————————
139676498390

Multiplicar números a más de un par de decimales a mano es tedioso y propenso a errores. Los logaritmos comunes se inventaron para simplificar tales cálculos, ya que sumar logaritmos equivale a multiplicar. La regla de cálculo permitió que los números se multiplicaran rápidamente hasta aproximadamente tres lugares de precisión. A principios del siglo XX, las calculadoras mecánicas, como la Marchant, automatizaron la multiplicación de números de hasta 10 dígitos. Las computadoras y calculadoras electrónicas modernas han reducido en gran medida la necesidad de multiplicar a mano.

Algoritmos históricos

Los métodos de multiplicación se documentaron en los escritos del antiguo Egipto, Civilizaciones griega, india y china.

El hueso de Ishango, fechado entre 18 000 y 20 000 a. C., puede insinuar un conocimiento de la multiplicación en la era del Paleolítico Superior en África Central, pero esto es especulativo.

Egipcios

El método egipcio de multiplicación de números enteros y fracciones, que está documentado en el papiro matemático Rhind, era mediante sumas y duplicaciones sucesivas. Por ejemplo, para encontrar el producto de 13 y 21 había que duplicar 21 tres veces, obteniendo 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168. Entonces se podría encontrar el producto completo agregando los términos apropiados que se encuentran en la secuencia de duplicación:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Babilonias

Los babilonios usaban un sistema numérico posicional sexagesimal, análogo al sistema decimal actual. Por lo tanto, la multiplicación babilónica era muy similar a la multiplicación decimal moderna. Debido a la relativa dificultad de recordar 60 × 60 productos diferentes, los matemáticos babilónicos emplearon tablas de multiplicar. Estas tablas consistían en una lista de los primeros veinte múltiplos de un determinado número principal n: n, 2n,..., 20n; seguido de los múltiplos de 10n: 30n 40n y 50n. Luego, para calcular cualquier producto sexagesimal, digamos 53n, solo se necesita sumar 50n y 3n calculados a partir de la tabla.

Chino

38 × 76 = 2888

En el texto matemático Zhoubi Suanjing, anterior al 300 a. Los matemáticos chinos emplearon el cálculo de varillas que implicaba sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de valores posicionales. Los chinos ya usaban una tabla de multiplicación decimal al final del período de los Reinos Combatientes.

Métodos modernos

Producto de 45 y 256. Note el orden de los numerales en 45 se revierte en la columna izquierda. El paso de carga de la multiplicación se puede realizar en la etapa final del cálculo (en negrita), devolviendo el producto final de 45 × 256 = 11520. Esta es una variante de la multiplicación de Lattice.

Brahmagupta describió por primera vez el método moderno de multiplicación basado en el sistema numérico hindú-árabe. Brahmagupta dio reglas para la suma, resta, multiplicación y división. Henry Burchard Fine, entonces profesor de matemáticas en la Universidad de Princeton, escribió lo siguiente:

Los indios son los inventores no sólo del propio sistema decimal posicional, sino de la mayoría de los procesos involucrados en el cálculo elemental con el sistema. La adición y la resta realizaron como se realizan hoy en día; la multiplicación que hicieron de muchas maneras, la nuestra entre ellos, pero la división hicieron cumbrosía.

Al Khwarizmi introdujo estos algoritmos aritméticos decimales de valor posicional en los países árabes a principios del siglo IX y Fibonacci los popularizó en el mundo occidental en el siglo XIII.

Método de cuadrícula

La multiplicación por el método de la cuadrícula, o el método de la caja, se usa en las escuelas primarias de Inglaterra y Gales y en algunas áreas de los Estados Unidos para ayudar a enseñar cómo funciona la multiplicación de varios dígitos. Un ejemplo de multiplicar 34 por 13 sería colocar los números en una cuadrícula de la siguiente manera:

×	30	4
5	150	20
10	300	40
3	90	12

y luego agregue las entradas.

Algoritmos informáticos

El método clásico de multiplicar dos n- Los números de dígitos requieren n² multiplicaciones de dígitos. Los algoritmos de multiplicación han sido diseñados que reducen el tiempo de cálculo considerablemente al multiplicar grandes números. Los métodos basados en la transformación discreta Fourier reducen la complejidad computacional a O()n log n log n). En 2016, el factor log n fue reemplazado por una función que aumenta mucho más lento, aunque todavía no constante. En marzo de 2019, David Harvey y Joris van der Hoeven presentaron un papel presentando un algoritmo de multiplicación entero con una complejidad O()nlog⁡ ⁡ n).{displaystyle O(nlog n).} El algoritmo, también basado en la rápida transformación de Fourier, se conjetura para ser asintoticamente óptimo. El algoritmo no es prácticamente útil, ya que sólo se vuelve más rápido para multiplicar números extremadamente grandes (que tienen más que 2¹⁷²⁹¹² bits).

Productos de medidas

Uno solo puede sumar o restar significativamente cantidades del mismo tipo, pero las cantidades de diferentes tipos se pueden multiplicar o dividir sin problemas. Por ejemplo, cuatro bolsas con tres canicas cada una se pueden considerar como:

[4 bolsas] × [3 mármoles por bolsa] = 12 mármoles.

Cuando se multiplican dos medidas, el producto es de un tipo según los tipos de medidas. La teoría general viene dada por el análisis dimensional. Este análisis se aplica de forma rutinaria en física, pero también tiene aplicaciones en finanzas y otros campos aplicados.

Un ejemplo común en física es el hecho de que multiplicar la velocidad por el tiempo da como resultado la distancia. Por ejemplo:

50 kilómetros por hora × 3 horas = 150 kilómetros.

En este caso, las unidades de hora se cancelan, dejando el producto con solo unidades de kilómetro.

Otros ejemplos de multiplicaciones que involucran unidades incluyen:

2,5 metros × 4,5 metros = 11,25 metros cuadrados

11 metros/segundos × 9 segundos = 99 metros

4.5 residentes por casa × 20 casas = 90 residentes

Producto de una secuencia

Notación pi mayúscula

El producto de una secuencia de factores se puede escribir con el símbolo del producto ∏ ∏ {displaystyle textstyle prod }, que deriva de la letra mayúscula Alternativa (pi) en el alfabeto griego (como el símbolo de la summación) .. {displaystyle textstyle sum } se deriva de la letra griega. El significado de esta notación es dado por

∏ ∏ i=14()i+1)=()1+1)()2+1)()3+1)()4+1),{displaystyle prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1),(2+1),(3+1),(4+1)}

lo que resulta en

∏ ∏ i=14()i+1)=120.{displaystyle prod _{i=1} {4}(i+1)=120}

En tal notación, la variable i representa un número entero variable, llamado índice de multiplicación, que va desde el valor más bajo 1 indicado en el subíndice al valor superior 4 dado por el superíndice. El producto se obtiene multiplicando todos los factores obtenidos al sustituir el índice de multiplicación por un número entero entre los valores inferior y superior (los límites incluidos) en la expresión que sigue al operador del producto.

Más generalmente, la notación se define como

∏ ∏ i=mnxi=xm⋅ ⋅ xm+1⋅ ⋅ xm+2⋅ ⋅ ⋯ ⋯ ⋅ ⋅ xn− − 1⋅ ⋅ xn,{displaystyle prod - ¿Qué? x_{m+1}cdot x_{m+2}cdot ,cdots ,,cdot x_{n-1}cdot x_{n},}

donde m y n son números enteros o expresiones que se evalúan como números enteros. En el caso de que m = n, el valor del producto es el mismo que el del factor único x_m; si m > n, el producto es un producto vacío cuyo valor es 1, independientemente de la expresión de los factores.

Propiedades de la notación pi mayúscula

Por definición,

∏ ∏ i=1nxi=x1⋅ ⋅ x2⋅ ⋅ ...... ⋅ ⋅ xn.{displaystyle prod ¿Por qué? x_{2}cdot ldots cdot x_{n}

Si todos los factores son idénticos, un producto de n factores es equivalente a una exponenciación:

∏ ∏ i=1nx=x⋅ ⋅ x⋅ ⋅ ...... ⋅ ⋅ x=xn.{displaystyle prod _{i=1}{n}x=xcdot xcdot ldots cdot x=x^{n}

La asociatividad y la conmutatividad de la multiplicación implican

∏ ∏ i=1nxiSí.i=()∏ ∏ i=1nxi)()∏ ∏ i=1nSí.i){displaystyle prod _{i=1}{n}{x_{i}=left(prod) ¿Por qué? ¿Qué? y

()∏ ∏ i=1nxi)a=∏ ∏ i=1nxia{displaystyle left(prod ¿Por qué? ¿Qué?

si a es un entero no negativo, o si todo xi{displaystyle x_{i}} son números reales positivos, y

∏ ∏ i=1nxai=x.. i=1nai{displaystyle prod _{i=1}{n}x^{a_{i}=x^{sum ¿Qué?

si todo ai{displaystyle A_{i} son enteros no negativos, o si x es un número real positivo.

Infinidad de productos

También se pueden considerar productos de infinitos términos; estos se llaman productos infinitos. Notacionalmente, esto consiste en reemplazar n arriba por el símbolo de Infinito ∞. El producto de tal secuencia infinita se define como el límite del producto de los primeros términos n, ya que n crece sin límite. Es decir,

∏ ∏ i=mJUEGO JUEGO xi=limn→ → JUEGO JUEGO ∏ ∏ i=mnxi.{displaystyle prod _{i=m}{infty }x_{i}=lim _{nto infty }prod ¿Qué?

De manera similar, se puede reemplazar m con infinito negativo y definir:

∏ ∏ i=− − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO xi=()limm→ → − − JUEGO JUEGO ∏ ∏ i=m0xi)⋅ ⋅ ()limn→ → JUEGO JUEGO ∏ ∏ i=1nxi),{displaystyle prod _{i=-infty }x_{i}=left(lim) _{mto - Entendido. ¿Por qué? ¿Qué?

siempre que existan ambos límites.

Exponenciación

Cuando se repite la multiplicación, la operación resultante se conoce como exponenciación. Por ejemplo, el producto de tres factores de dos (2×2×2) es "dos elevado a la tercera potencia", y se denota por 2³, un dos con un superíndice tres. En este ejemplo, el número dos es la base y el tres es el exponente. En general, el exponente (o superíndice) indica cuántas veces aparece la base en la expresión, de modo que la expresión

an=a× × a× × ⋯ ⋯ × × a⏟ ⏟ n{displaystyle a^{n}=underbrace {atimes atimes cdots times a} _{n}}

indica que se van a multiplicar n copias de la base a. Esta notación se puede utilizar siempre que se sepa que la multiplicación es asociativa de potencias.

Propiedades

Multiplicación de números 0-10. Etiquetas de línea = multiplicando. Eje X = multiplicador. Eje Y = producto.
La extensión de este patrón en otros cuadrantes da la razón por la cual un número negativo veces un número negativo produce un número positivo.
Tenga en cuenta también cómo la multiplicación por cero causa una reducción en la dimensionalidad, como lo hace la multiplicación por una matriz singular donde el determinante es 0. En este proceso, se pierde información y no se puede recuperar.

Para números reales y complejos, que incluyen, por ejemplo, números naturales, enteros y fracciones, la multiplicación tiene ciertas propiedades:

Propiedad mercantil

El orden en el que se multiplican dos números no importa:

x⋅ ⋅ Sí.=Sí.⋅ ⋅ x.{displaystyle xcdot y=ycdot x.}

Propiedad asociativa

Las expresiones únicamente que implican multiplicación o adición son invariantes con respecto al orden de operaciones:

()x⋅ ⋅ Sí.)⋅ ⋅ z=x⋅ ⋅ ()Sí.⋅ ⋅ z){displaystyle (xcdot y)cdot z=xcdot (ycdot z)}

Propiedad distributiva

Mantiene con respecto a la multiplicación sobre la adición. Esta identidad es de primera importancia en simplificar las expresiones algebraicas:

x⋅ ⋅ ()Sí.+z)=x⋅ ⋅ Sí.+x⋅ ⋅ z{displaystyle xcdot (y+z)=xcdot y+xcdot z}

Elemento de identidad

La identidad multiplicativa es 1; todo multiplicado por 1 es en sí mismo. Esta característica de 1 es conocida como propiedad privada:

x⋅ ⋅ 1=x{displaystyle xcdot 1=x}

Propiedad de 0

Cualquier número multiplicado por 0 es 0. Esto es conocido como Propiedad cero de multiplicación:

x⋅ ⋅ 0=0{displaystyle xcdot 0=0}

Negación

−1 veces cualquier número es igual al aditivo inverso de ese número.

()− − 1)⋅ ⋅ x=()− − x){displaystyle (-1)cdot x=(-x)} Donde ()− − x)+x=0{displaystyle (-x)+x=0}

–1 veces – 1 es 1.

()− − 1)⋅ ⋅ ()− − 1)=1{displaystyle (-1)cdot (-1)=1}

Elemento inverso

Cada número x, excepto 0, tiene un inverso multiplicativo, 1x{displaystyle {frac}{x}}, tal que x⋅ ⋅ ()1x)=1{displaystyle xcdot left({frac {1}{x}right)=1}.

Conservación del orden

Multiplicación por un número positivo preserva el orden:

Para a ■ 0, si b ■ c entonces ab ■ ac.

Multiplicación por un número negativo revierte el orden:

Para a 0, si b ■ c entonces ab. ac.

Los números complejos no tienen un pedido compatible con la adición y la multiplicación.

Otros sistemas matemáticos que incluyen una operación de multiplicación pueden no tener todas estas propiedades. Por ejemplo, la multiplicación no es, en general, conmutativa para matrices y cuaterniones.

Axiomas

En el libro Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano propuso axiomas para la aritmética basados en sus axiomas para los números naturales. La aritmética de Peano tiene dos axiomas para la multiplicación:

x× × 0=0{displaystyle xtimes 0=0}

x× × S()Sí.)=()x× × Sí.)+x{displaystyle xtimes S(y)=(xtimes y)+x}

Aquí S(y) representa el sucesor de y; es decir, el número natural que sigue a y. Las diversas propiedades, como la asociatividad, se pueden demostrar a partir de estos y otros axiomas de la aritmética de Peano, incluida la inducción. Por ejemplo, S(0), denotado por 1, es una identidad multiplicativa porque

x× × 1=x× × S()0)=()x× × 0)+x=0+x=x.{displaystyle xtimes 1=xtimes S(0)=(xtimes 0)+x=0+x=x.}

Los axiomas para números enteros generalmente los definen como clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales. El modelo se basa en tratar (x,y) como equivalente a x − y cuando x e y se tratan como números enteros. Por tanto, tanto (0,1) como (1,2) son equivalentes a −1. El axioma de multiplicación para números enteros definido de esta manera es

()xp,xm)× × ()Sí.p,Sí.m)=()xp× × Sí.p+xm× × Sí.m,xp× × Sí.m+xm× × Sí.p).{displaystyle (x_{p},,x_{m})times (y_{p},,y_{m})=(x_{p}times Y... Y... Y...

La regla de que −1 × −1 = 1 se puede deducir de

()0,1)× × ()0,1)=()0× × 0+1× × 1,0× × 1+1× × 0)=()1,0).{displaystyle (0,1)times (0,1)=(0times 0+1times 1,,0times 1+1times 0)=(1,0).}

La multiplicación se extiende de manera similar a los números racionales y luego a los números reales.

Multiplicación con teoría de conjuntos

El producto de números enteros no negativos se puede definir con la teoría de conjuntos usando números cardinales o los axiomas de Peano. Vea a continuación cómo extender esto para multiplicar números enteros arbitrarios y luego números racionales arbitrarios. El producto de números reales se define en términos de productos de números racionales; ver construcción de los números reales.

Multiplicación en teoría de grupos

Hay muchos conjuntos que, bajo la operación de multiplicación, satisfacen los axiomas que definen la estructura del grupo. Estos axiomas son el cierre, la asociatividad y la inclusión de un elemento de identidad e inversos.

Un ejemplo simple es el conjunto de números racionales distintos de cero. Aquí tenemos la identidad 1, a diferencia de los grupos bajo la suma donde la identidad es típicamente 0. Tenga en cuenta que con los racionales, debemos excluir el cero porque, bajo la multiplicación, no tiene un inverso: no hay un número racional que se pueda multiplicar. por cero para dar como resultado 1. En este ejemplo, tenemos un grupo abeliano, pero no siempre es así.

Para ver esto, considere el conjunto de matrices cuadradas invertibles de una dimensión dada sobre un campo dado. Aquí, es sencillo verificar el cierre, la asociatividad y la inclusión de la identidad (la matriz de identidad) y las inversas. Sin embargo, la multiplicación de matrices no es conmutativa, lo que demuestra que este grupo no es abeliano.

Otro hecho que vale la pena notar es que los números enteros bajo la multiplicación no forman un grupo, incluso si excluimos el cero. Esto se ve fácilmente por la inexistencia de un inverso para todos los elementos que no sean 1 y −1.

La multiplicación en la teoría del grupo suele ser notada por un punto o por la yuxtaposición (la omisión de un símbolo de operación entre elementos). Así que elemento multiplicador a por elemento b podría ser notado como a ⋅ ⋅ {displaystyle cdot } b o ab. Al referirse a un grupo a través de la indicación del conjunto y la operación, se utiliza el punto. Por ejemplo, nuestro primer ejemplo podría ser indicado por ()Q/{}0},⋅ ⋅ ){displaystyle left(mathbb {Q} /{0},cdot right)}.

Multiplicación de diferentes tipos de números

Los números pueden contar (3 manzanas), ordenar (la 3 manzana) o medir (3,5 pies de alto); A medida que la historia de las matemáticas ha progresado desde contar con los dedos hasta modelar la mecánica cuántica, la multiplicación se ha generalizado a tipos de números más complicados y abstractos, y a cosas que no son números (como las matrices) o que no se parecen mucho a los números (como cuaterniones).

Integers

N× × M{displaystyle Ntimes M} es la suma de N copias de M cuando N y M son números enteros positivos. Esto da el número de cosas en un array N amplia y amplia M alto. La generalización a números negativos puede hacerse por

N× × ()− − M)=()− − N)× × M=− − ()N× × M){displaystyle Ntimes (-M)=(-N)times M=-(Ntimes M)} y

()− − N)× × ()− − M)=N× × M{displaystyle (-N)times (-M)=Ntimes M}

Las mismas reglas de signos se aplican a números racionales y reales.

Números racionales

Generalización a fracciones AB× × CD{displaystyle {frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} es multiplicando los numeradores y denominadores respectivamente: AB× × CD=()A× × C)()B× × D){displaystyle {frac}times {frac}={frac}}={frac} {(Atimes C)}{(Btimes D)}}. Esto da el área de un rectángulo AB{displaystyle {frac {fnK}} {fnK}} {fnK}}}} {fnK}}} alto y alto CD{displaystyle {frac} {f}} {fnK}}} ancho, y es el mismo que el número de cosas en un array cuando los números racionales suceden ser números enteros.

Números reales

Los números reales y sus productos pueden definirse en términos de secuencias de números racionales.

Números complejos

Considerando números complejos z1{displaystyle z_{1} y z2{displaystyle z_{2} como pares ordenados de números reales ()a1,b1){displaystyle (a_{1},b_{1}} y ()a2,b2){displaystyle (a_{2},b_{2}}, el producto z1× × z2{displaystyle z_{1}times z_{2} es ()a1× × a2− − b1× × b2,a1× × b2+a2× × b1){displaystyle (a_{1}times a_{2}-b_{1}times b_{2},a_{1}times b_{2}+a_{2}times b_{1}}. Esto es lo mismo que para los reales a1× × a2{displaystyle a_{1}times a_{2} cuando partes imaginarias b1{displaystyle B_{1} y b2{displaystyle B_{2} son cero.

Equivalentemente, denotando − − 1{displaystyle {sqrt {}} como i{displaystyle i}, tenemos z1× × z2=()a1+b1i)()a2+b2i)=()a1× × a2)+()a1× × b2i)+()b1× × a2i)+()b1× × b2i2)=()a1a2− − b1b2)+()a1b2+b1a2)i.{displaystyle z_{1}times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i) (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}times a_{2})+(a_{1}times b_{2}i)+(b_{1}times a_{2}i)+(b_{1}_{2}i}i} {2} {2}*

Alternativamente, en forma trigonométrica, si z1=r1()#⁡ ⁡ φ φ 1+ipecado⁡ ⁡ φ φ 1),z2=r2()#⁡ ⁡ φ φ 2+ipecado⁡ ⁡ φ φ 2){displaystyle z_{1}=r_{1}(cos phi _{1}+isin phi _{1}),z_{2}=r_{2}(cos phi _{2}+isin phi _{2}}}}, entoncesz1z2=r1r2()#⁡ ⁡ ()φ φ 1+φ φ 2)+ipecado⁡ ⁡ ()φ φ 1+φ φ 2)).{textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(cos(phi _{1}+phi _{2})+isin(phi _{1}+phi _{2})). }

Otras generalizaciones

Ver Multiplicación en la teoría de grupo, arriba, y grupo multiplicativo, que por ejemplo incluye multiplicación de matriz. Un concepto muy general y abstracto de la multiplicación es como la operación "multiplicativamente denotada" (segundo) binaria en un anillo. Un ejemplo de un anillo que no es cualquiera de los sistemas de números anteriores es un anillo polinomio (puede agregar y multiplicar polinomios, pero los polinomios no son números en ningún sentido habitual).

División

A menudo división, xSí.{displaystyle {frac {x}{y}}, es lo mismo que la multiplicación por un inverso, x()1Sí.){displaystyle xleft {fnMicroc}right)}. Multiplicación para algunos tipos de "números" puede tener división correspondiente, sin inversos; en un dominio integral x puede no tener inverso "1x{displaystyle {frac}{x}}pero xSí.{displaystyle {frac {x}{y}} puede definirse. En un anillo de división hay inversos, pero xSí.{displaystyle {frac {x}{y}} puede ser ambiguo en anillos no conmutativos desde x()1Sí.){displaystyle xleft {fnMicroc}right)} no es lo mismo que ()1Sí.)x{displaystyle left {frac}right)x}.