Muestreo (procesamiento de señales)

Representación de muestreo de señales. La señal continua S()t) está representado con una línea de color verde mientras que las muestras discretas son indicadas por las líneas verticales azules.

En el procesamiento de señales, el muestreo es la reducción de una señal de tiempo continuo a una señal de tiempo discreto. Un ejemplo común es la conversión de una onda de sonido en una secuencia de "muestras". Una muestra es un valor de la señal en un momento y/o espacio; esta definición difiere del uso del término en estadísticas, que se refiere a un conjunto de dichos valores.

Un muestreador es un subsistema u operación que extrae muestras de una señal continua. Un muestreador ideal teórico produce muestras equivalentes al valor instantáneo de la señal continua en los puntos deseados.

La señal original se puede reconstruir a partir de una secuencia de muestras, hasta el límite de Nyquist, pasando la secuencia de muestras a través de un tipo de filtro de paso bajo llamado filtro de reconstrucción.

Teoría

Se pueden muestrear funciones de espacio, tiempo o cualquier otra dimensión, y de manera similar en dos o más dimensiones.

Para funciones que varían con el tiempo, sea S(t) una función continua (o "señal") para ser muestreada, y sea el muestreo se realizará midiendo el valor de la función continua cada T segundos, lo que se denomina intervalo de muestreo o período de muestreo. Entonces la función muestreada viene dada por la sucesión:

S()nT), para valores enteros de n.

La frecuencia de muestreo o tasa de muestreo, f_s, es el número promedio de muestras obtenidas en un segundo, por lo tanto f_s = 1/ T, con la unidad muestras por segundo, a veces denominado hertz, por ejemplo, p. 48 kHz son 48 000 muestras por segundo.

La reconstrucción de una función continua a partir de muestras se realiza mediante algoritmos de interpolación. La fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon es matemáticamente equivalente a un filtro de paso bajo ideal cuya entrada es una secuencia de funciones delta de Dirac que se modulan (multiplican) por los valores de muestra. Cuando el intervalo de tiempo entre muestras adyacentes es una constante (T), la secuencia de funciones delta se denomina peine de Dirac. Matemáticamente, el peine de Dirac modulado es equivalente al producto de la función peine con s(t). Esa abstracción matemática a veces se denomina muestreo de impulso.

La mayoría de las señales muestreadas no se almacenan y reconstruyen simplemente. La fidelidad de una reconstrucción teórica es una medida común de la eficacia del muestreo. Esa fidelidad se reduce cuando s(t) contiene componentes de frecuencia cuya longitud de ciclo (período) es inferior a 2 intervalos de muestra (consulte Aliasing). El límite de frecuencia correspondiente, en ciclos/seg (hercios), es 0,5 ciclo/muestra × f_s muestras/seg = f_s/2, conocida como la frecuencia de Nyquist del muestreador. Por lo tanto, s(t) suele ser la salida de un filtro de paso bajo, funcionalmente conocido como filtro anti-aliasing. Sin un filtro anti-aliasing, las frecuencias más altas que la frecuencia de Nyquist influirán en las muestras de una manera que el proceso de interpolación malinterpretará.

Consideraciones prácticas

En la práctica, la señal continua se muestrea mediante un convertidor de analógico a digital (ADC), un dispositivo con varias limitaciones físicas. Esto da como resultado desviaciones de la reconstrucción teóricamente perfecta, denominadas colectivamente distorsión.

Se pueden producir varios tipos de distorsión, entre ellos:

• Aliasing. Una cantidad de alias es inevitable porque sólo funciones teóricas, infinitamente largas, no pueden tener contenido de frecuencia por encima de la frecuencia Nyquist. Aliasing se puede hacer arbitrariamente pequeño utilizando un orden suficientemente grande del filtro antialiasing.
• El error de apertura resulta del hecho de que la muestra se obtiene como un promedio de tiempo dentro de una región de muestreo, en lugar de ser igual al valor de señal en el instante de muestreo. En una muestra basada en capacitores y circuito de retención, los errores de abertura son introducidos por múltiples mecanismos. Por ejemplo, el condensador no puede rastrear instantáneamente la señal de entrada y el condensador no puede ser instantáneamente aislado de la señal de entrada.
• Disparo o desviación de los intervalos de tiempo de muestra precisos.
• Noise, incluido el ruido del sensor térmico, el ruido del circuito analógico, etc.
• Error de límite de la tasa del flujo, causado por la incapacidad del valor de entrada ADC para cambiar suficientemente rápido.
• La cuantificación como consecuencia de la precisión finita de palabras que representan los valores convertidos.
• Error debido a otros efectos no lineales de la asignación de tensión de entrada al valor de salida convertido (además de los efectos de la cuantificación).

Aunque el uso de sobremuestreo puede eliminar por completo el error de apertura y el alias al sacarlos de la banda de paso, esta técnica no se puede usar en la práctica por encima de unos pocos GHz y puede ser prohibitivamente costosa en frecuencias mucho más bajas. Además, si bien el sobremuestreo puede reducir el error de cuantificación y la no linealidad, no puede eliminarlos por completo. En consecuencia, los ADC prácticos en frecuencias de audio normalmente no muestran aliasing, error de apertura y no están limitados por el error de cuantificación. En cambio, domina el ruido analógico. En frecuencias de RF y microondas donde el sobremuestreo no es práctico y los filtros son costosos, el error de apertura, el error de cuantificación y el aliasing pueden ser limitaciones significativas.

La fluctuación, el ruido y la cuantificación a menudo se analizan modelándolos como errores aleatorios agregados a los valores de muestra. Los efectos de retención de integración y de orden cero se pueden analizar como una forma de filtrado de paso bajo. Las no linealidades de ADC o DAC se analizan reemplazando el mapeo de función lineal ideal con una función no lineal propuesta.

Aplicaciones

Muestreo de audio

El audio digital utiliza modulación de código de pulso (PCM) y señales digitales para la reproducción de sonido. Esto incluye conversión de analógico a digital (ADC), conversión de digital a analógico (DAC), almacenamiento y transmisión. En efecto, el sistema al que comúnmente se hace referencia como digital es, de hecho, un análogo de tiempo discreto y nivel discreto de un análogo eléctrico anterior. Si bien los sistemas modernos pueden ser bastante sutiles en sus métodos, la principal utilidad de un sistema digital es la capacidad de almacenar, recuperar y transmitir señales sin pérdida de calidad.

Cuando es necesario capturar audio que cubra todo el rango de 20 a 20 000 Hz del oído humano, como cuando se graba música o muchos tipos de eventos acústicos, las formas de onda de audio se muestrean normalmente a 44,1 kHz (CD), 48 kHz, 88,2 kHz o 96 kHz. El requisito de aproximadamente el doble de la tasa es una consecuencia del teorema de Nyquist. Las frecuencias de muestreo superiores a aproximadamente 50 kHz a 60 kHz no pueden proporcionar más información útil para los oyentes humanos. Los primeros fabricantes de equipos de audio profesionales eligieron frecuencias de muestreo en la región de 40 a 50 kHz por este motivo.

Ha habido una tendencia en la industria hacia frecuencias de muestreo mucho más allá de los requisitos básicos: como 96 kHz e incluso 192 kHz. Aunque las frecuencias ultrasónicas son inaudibles para los humanos, grabar y mezclar a frecuencias de muestreo más altas es efectivo para eliminar la distorsión que puede ser causado por el alias de foldback. Por el contrario, los sonidos ultrasónicos pueden interactuar y modular la parte audible del espectro de frecuencia (distorsión de intermodulación), degradando la fidelidad. Una ventaja de las frecuencias de muestreo más altas es que pueden relajar los requisitos de diseño del filtro de paso bajo para ADC y DAC, pero con los convertidores delta-sigma de sobremuestreo modernos, esta ventaja es menos importante.

La Audio Engineering Society recomienda una frecuencia de muestreo de 48 kHz para la mayoría de las aplicaciones, pero reconoce 44,1 kHz para discos compactos (CD) y otros usos de consumo, 32 kHz para aplicaciones relacionadas con la transmisión y 96 kHz para un mayor ancho de banda o anti- filtrado de alias. Tanto Lavry Engineering como J. Robert Stuart afirman que la frecuencia de muestreo ideal sería de unos 60 kHz, pero dado que no es una frecuencia estándar, recomendamos 88,2 o 96 kHz para fines de grabación.

Una lista más completa de frecuencias de muestreo de audio comunes es:

Profundidad de bits

El audio normalmente se graba con una profundidad de 8, 16 y 24 bits, lo que produce una relación señal-ruido de cuantificación (SQNR) máxima teórica para una onda sinusoidal pura de, aproximadamente, 49,93 dB, 98,09 dB y 122,17 dB. El audio con calidad de CD utiliza muestras de 16 bits. El ruido térmico limita el número real de bits que se pueden utilizar en la cuantificación. Pocos sistemas analógicos tienen una relación señal/ruido (SNR) superior a 120 dB. Sin embargo, las operaciones de procesamiento de señales digitales pueden tener un rango dinámico muy alto, por lo que es común realizar operaciones de mezcla y masterización con una precisión de 32 bits y luego convertirlas a 16 o 24 bits para su distribución.

Muestreo de voz

Las señales de voz, es decir, las señales destinadas a transmitir solo el habla humana, generalmente se pueden muestrear a una velocidad mucho más baja. Para la mayoría de los fonemas, casi toda la energía está contenida en el rango de 100 Hz a 4 kHz, lo que permite una frecuencia de muestreo de 8 kHz. Esta es la frecuencia de muestreo utilizada por casi todos los sistemas de telefonía, que utilizan las especificaciones de cuantificación y muestreo G.711.

Muestreo de vídeo

La televisión de definición estándar (SDTV) utiliza 720 x 480 píxeles (525 líneas NTSC de EE. UU.) o 720 x 576 píxeles (625 líneas PAL de Reino Unido) para el área de imagen visible.

La televisión de alta definición (HDTV) utiliza 720p (progresivo), 1080i (entrelazado) y 1080p (progresivo, también conocido como Full-HD).

En el vídeo digital, la frecuencia de muestreo temporal se define como la frecuencia de fotogramas, o más bien, la frecuencia de campo, en lugar del reloj de píxeles nocional. La frecuencia de muestreo de la imagen es la tasa de repetición del período de integración del sensor. Dado que el período de integración puede ser significativamente más corto que el tiempo entre repeticiones, la frecuencia de muestreo puede ser diferente de la inversa del tiempo de muestreo:

• 50 Hz – PAL video
• 60 / 1.001 Hz ~= 59.94 Hz – video NTSC

Los convertidores de video digital a analógico funcionan en el rango de megahercios (desde ~3 MHz para escaladores de video compuesto de baja calidad en las primeras consolas de juegos, hasta 250 MHz o más para la salida VGA de mayor resolución).

Cuando el video analógico se convierte en video digital, se produce un proceso de muestreo diferente, esta vez en la frecuencia de píxeles, correspondiente a una frecuencia de muestreo espacial a lo largo de las líneas de exploración. Una tasa de muestreo de píxeles común es:

• 13.5 MHz – CCIR 601, D1 video

El muestreo espacial en la otra dirección está determinado por el espaciado de las líneas de exploración en el ráster. Las velocidades de muestreo y las resoluciones en ambas direcciones espaciales se pueden medir en unidades de líneas por altura de imagen.

El alias espacial de los componentes de video luma o chroma de alta frecuencia se muestra como un patrón muaré.

Muestreo 3D

El proceso de representación de volumen muestra una cuadrícula 3D de vóxeles para producir representaciones 3D de datos (tomográficos) cortados. Se supone que la cuadrícula 3D representa una región continua del espacio 3D. La representación de volumen es común en las imágenes médicas, la tomografía computarizada de rayos X (CT/CAT), la resonancia magnética nuclear (RMN) y la tomografía por emisión de positrones (PET) son algunos ejemplos. También se utiliza para tomografía sísmica y otras aplicaciones.

Los dos gráficos principales representan Fourier transforma de dos funciones diferentes que producen los mismos resultados cuando se muestra a un ritmo particular. La función de banda base se muestra más rápido que su tasa de Nyquist, y la función de bandpass está submuestrada, convirtiéndola efectivamente en banda base. Los gráficos inferiores indican cómo se crean resultados espectrales idénticos por los alias del proceso de muestreo.

Submuestreo

Cuando una señal de paso de banda se muestrea más lentamente que su tasa de Nyquist, las muestras no se distinguen de las muestras de un alias de baja frecuencia de la señal de alta frecuencia. A menudo, esto se hace a propósito de tal manera que el alias de frecuencia más baja satisfaga el criterio de Nyquist, porque la señal de paso de banda aún se representa de forma única y es recuperable. Este submuestreo también se conoce como muestreo de paso de banda, muestreo armónico, muestreo de IF y conversión directa de IF a digital.

Sobremuestreo

El sobremuestreo se usa en la mayoría de los convertidores de analógico a digital modernos para reducir la distorsión que presentan los convertidores de digital a analógico prácticos, como una retención de orden cero en lugar de idealizaciones como la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon.

Muestreo complejo

muestreo complejo (o muestreo I/Q) es el muestreo simultáneo de dos formas de onda diferentes, pero relacionadas, resultando en pares de muestras que posteriormente se tratan como números complejos. Cuando una forma de onda,s^ ^ ()t),{displaystyle{hat {s}(t),}es la transformación Hilbert de la otra forma de onda,s()t),{displaystyles(t),,}la función de valor complejo,sa()t)≜ ≜ s()t)+i⋅ ⋅ s^ ^ ()t),{displaystyle s_{a}(t)triangleq s(t)+icdot {hat {}(t),}se llama una señal analítica, cuya transformación Fourier es cero para todos los valores negativos de la frecuencia. En ese caso, la tasa de Nyquist para una onda sin frecuencias ≥B se puede reducir a B (complex samples/sec), en lugar de 2B (muestras reales/seg). Más aparentemente, la forma equivalente de onda de banda base,sa()t)⋅ ⋅ e− − i2π π B2t,{displaystyle s_{a}(t)cdot e^{-i2pi {fnMicroc {B}{2}t},}también tiene una tasa de Nyquist B, porque todo su contenido de frecuencia no cero se cambia en el intervalo [-B/2, B/2).

Aunque las muestras de valor complejo se pueden obtener como se describe anteriormente, también se crean manipulando muestras de una forma de onda de valor real. Por ejemplo, la forma equivalente de onda de banda base se puede crear sin calcular explícitamente s^ ^ ()t),{displaystyle {hat {}(t),}mediante el procesamiento de la secuencia del producto,[s()nT)⋅ ⋅ e− − i2π π B2Tn],{displaystyleleft[s(nT)cdot e^{-i2pi {fnMicroc {B} {fn}}}} a través de un filtro digital de baja velocidad cuya frecuencia de corte es B/2. La computación sólo cada otra muestra de la secuencia de salida reduce la tasa de muestra acorde con la tasa reducida de Nyquist. El resultado es la mitad de las muestras de valor complejo como el número original de muestras reales. No se pierde información, y la forma original de onda s(t) se puede recuperar, si es necesario.