Movimiento orbital (cuántico)

El movimiento orbital cuántico implica el movimiento mecánico cuántico de partículas rígidas (como los electrones) alrededor de alguna otra masa o sobre sí mismas. En mecánica clásica, el movimiento orbital de un objeto se caracteriza por su momento angular orbital (el momento angular alrededor del eje de rotación) y su momento angular de giro, que es el momento angular del objeto alrededor de su propio centro de masa. . En mecánica cuántica existen momentos angulares orbitales y de espín análogos que describen el movimiento orbital de una partícula, representados como operadores de la mecánica cuántica en lugar de vectores.

La paradoja del principio de incertidumbre de Heisenberg y la naturaleza ondulatoria de las partículas subatómicas hacen que el movimiento exacto de una partícula sea imposible de representar utilizando la mecánica clásica. La órbita de un electrón alrededor de un núcleo es un excelente ejemplo de movimiento orbital cuántico. Mientras que el modelo de Bohr describe el movimiento del electrón como un movimiento circular uniforme, análogo al movimiento circular clásico, en realidad su ubicación en el espacio se describe mediante funciones de probabilidad. Cada función de probabilidad tiene un nivel de energía promedio diferente y corresponde a la probabilidad de encontrar el electrón en un orbital atómico específico, que son funciones que representan regiones tridimensionales alrededor del núcleo. La descripción del movimiento orbital como funciones de probabilidad para partículas ondulatorias en lugar de las trayectorias específicas de los cuerpos en órbita es la diferencia esencial entre el movimiento orbital de la mecánica cuántica y el clásico.

Momento angular orbital

En mecánica cuántica, la posición de un electrón en el espacio está representada por su función de onda espacial y especificada por tres variables (como ocurre con las coordenadas cartesianas x, y y z). El cuadrado de la función de onda de un electrón en un punto dado del espacio es proporcional a la probabilidad de encontrarlo en ese punto, y cada función de onda está asociada a una energía particular. Hay funciones de onda permitidas limitadas y, por lo tanto, energías de partículas permitidas limitadas en un sistema mecánico cuántico; Las funciones de onda son soluciones de la ecuación de Schrödinger.

Para átomos similares al hidrógeno, la función de onda espacial tiene la siguiente representación:

↑ ↑ nlm()r,Silencio Silencio ,φ φ )=Rnl()r)Ylm()Silencio Silencio ,φ φ ){displaystyle psi _{nlm}(r,thetaphi)=R_{nl}(r)Y_{l} {m}(thetaphi)}

Los electrones no "orbitan" el núcleo en el sentido clásico del impulso angular, sin embargo hay un análogo mecánico cuántico a la representación matemática de L = r × p en la mecánica clásica. En la mecánica cuántica, estos vectores son reemplazados por operadores; el operador de impulso angular se define como el producto transversal del operador de posición y el operador de impulso, que se define como p^ ^ =− − i▪ ▪ Silencio Silencio {displaystyle {hat {}=-ihbar nabla}.

Al igual que en la mecánica clásica, la ley de conservación del momento angular sigue siendo válida.

Girar

Un electrón se considera un cargo de punto. El movimiento de esta carga sobre el núcleo atómico produce un momento dipolo magnético que puede orientarse en un campo magnético externo, como con resonancia magnética. El análogo clásico a este fenómeno sería una partícula cargada que se mueve alrededor de un bucle circular, que constituye un dipolo magnético. El momento magnético y el impulso angular de esta partícula serían proporcionales entre sí por la constante γ γ 0{displaystyle gamma _{0}, la relación gimagnética. Sin embargo, a diferencia de los cuerpos en la mecánica clásica un electrón lleva una propiedad intrínseca llamada spin, que crea un momento magnético adicional (spin).

El momento angular total de una partícula es la suma de su momento angular orbital y de su momento angular de espín.

El giro de una partícula generalmente se representa en términos de operadores de giro. Resulta que las partículas que componen la materia ordinaria (protones, neutrones, electrones, quarks, etc.) tienen un espín 1/2. Sólo existen dos niveles de energía (vectores propios del hamiltoniano) para un estado de espín 1/2: "arriba" girar, o +1/2, y "abajo" girar, o -1/2.

Mostrando así que la propiedad cuántica inherente a la cuantificación de energía es un resultado directo del espín del electrón.

Orbitales atómicos

Utilizando los formalismos de la mecánica ondulatoria desarrollados por el físico Erwin Schrödinger en 1926, la distribución de cada electrón se describe mediante una onda estacionaria tridimensional. Esto fue motivado por el trabajo del matemático del siglo XVIII Adrien Legendre.

La distribución espacial de un electrón sobre un núcleo está representada por tres números cuánticos: n,l{displaystyle n,l} y ml{displaystyle m_{l}. Estos tres números describen el orbital atómico del electrón, que es la región del espacio ocupado por el electrón. Cada conjunto de estos números constituye un proyectil principal con un número específico de sub shells, cada uno con un número específico de órbitas. Roughly speaking, the principle quantum number n{displaystyle n} describe la distancia promedio de un electrón del núcleo. El número cuántico azimutal l{displaystyle l} describe la forma relativa de la región del espacio (orbital) ocupada por el electrón. Finalmente, Número de cuántico magnético ml{displaystyle m_{l} describe la orientación relativa del orbital con respecto a un campo magnético aplicado. Los valores permitidos de l{displaystyle l} y ml{displaystyle m_{l} depende del valor n{displaystyle n}.

Movimiento orbital de electrones en átomos hidrogénicos

El modelo físico más simple de comportamiento de electrones en un átomo es un electron en hidrógeno. Para que una partícula permanezca en órbita, debe estar vinculada a su centro de rotación por algún potencial eléctrico radial. En este sistema, los electrones que orbitan un núcleo atómico están vinculados al núcleo a través del Potencial de Coulomb, dado por V()r)=e24π π ε ε 01r{displaystyle V(r)={2}{4piepsilon _{0}}{frac}}{frac {1} {} {}}}. Clásicamente, la energía del electrón que orbita un núcleo se daría como la suma de las energías cinéticas y potenciales. El modelo Bohr de un átomo hidrogénico es un modelo clásico de movimiento circular uniforme. Su Hamiltoniano está escrito así, como HBohr=▪ ▪ 22mSilencio Silencio 2− − e24π π ε ε 01r{displaystyle ¿Qué? ¿Por qué? {1} {} {}}}. El primer término es la energía cinética del electrón (clásicamente dado como p22m{displaystyle {frac {f}{2m}} {fnK}} {fnK}} {fnK}}}} {fn}}}}}}} {fnK}}}}} {fnK}}}}}}} {f}}}}}}}}, donde en la mecánica cuántica hemos reemplazado el impulso clásico p{displaystyle p} con el operador de impulso p=− − i▪ ▪ Silencio Silencio {displaystyle p=-ihbar nabla }. El segundo mandato representa el potencial de Coulomb. Las energías modelo Bohr, que son eigenvalues del Bohr Hamiltonian, son de orden α α 2mc2{displaystyle alpha ^{2}mc^{2}, donde α α {displaystyle alpha } es la constante de estructura fina sin unidad, definida como α α ↑ ↑ e24π π ε ε 0▪ ▪ c. . 1137.036{displaystyle alpha equiv {frac {e^{2}{4pi epsilon - ¿Por qué?. (Desde α α {displaystyle alpha } es mucho menos de 1, correcciones de energía con más factores α α {displaystyle alpha } son cambios de orden significativamente más pequeños).

Sin embargo, se deben hacer algunas revisiones al modelo simplificado de Bohr de un electrón en el átomo de hidrógeno para tener en cuenta los efectos de la mecánica cuántica. Estas revisiones del movimiento del electrón en un átomo de hidrógeno son algunos de los ejemplos más omnipresentes de movimiento orbital de la mecánica cuántica. Ordenadas de mayor a menor orden de corrección de las energías de Bohr, las revisiones son:

1. Moción del núcleo (de orden) α α 4mc2{displaystyle alpha ^{4}mc^{2})
2. Estructura fina (de orden) α α 4mc2{displaystyle alpha ^{4}mc^{2}) o el efecto Zeeman en la presencia de un gran campo magnético
   1. Corrección relativa
   2. Acoplamiento de giro-orbit
3. Cambio de cordero (de orden) α α 5mc2{displaystyle alpha ^{5}mc^{2}): Esto se asocia con la cuantificación del campo eléctrico
4. Hiperfinamiento (de orden) mmpα α 4mc2{displaystyle {frac {m}{m_{p}alpha ^{4}mc^{2})

Para cada revisión, primero se reescribe el hamiltoniano y luego se calculan los niveles de energía desplazados utilizando la teoría de perturbaciones.

Movimiento del núcleo

El núcleo no es realmente perfectamente estacionario en el espacio; el Potencial Coulomb lo atrae al electrón con fuerza igual y opuesta que ejerce sobre el electrón. Sin embargo, el núcleo es mucho más masivo que el electrón orbitante, por lo que su aceleración hacia el electrón es muy pequeña en relación con la aceleración del electrón hacia él, permitiendo que sea modelado también como un Esto se explica por la sustitución de la masa (m) en el Bohr Hamiltonian por la masa reducida (μ μ {displaystyle mu }) del sistema.

Estructura fina

1. Corrección relativa: El primer término en el Hamiltoniano representa la energía cinética del electrón en el átomo. Sin embargo, viene de la expresión clásica para la energía cinética T=p22m{displaystyle T={frac {fnK}} {2m}}} {cH00}}} {cH00}}} {cH}}}} {c}}}}}}} {c}}}}} {cH}}}}}}}} {c}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}. Sin embargo, a pesar de que el electrón se mueve a velocidades relativistas. La energía cinética relativista se da como la diferencia entre la energía cinética total del electrón y su energía restante, T=mc21− − ()v/c)2− − mc2{displaystyle T={frac {mc}{2}{sqrt {1-(v/c)^{2}}}}-mc^{2}}}}. Expresando T en términos del impulso relativista del electrón y Taylor expandiéndose en poderes del pequeño número pmc{displaystyle {frac {}{mc}}, produce una nueva expresión para la energía cinética que treduce al término clásico al primer orden: T=p22m− − p48m3c2+...{displaystyle T={frac {fnMicroc} {fnMicroc} {fnK}} {8m^{3}c^{2}}+}}} {c}} {c}}} {c}}} {c}} {c}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {. Dando la corrección de orden más bajo al Hamiltonian como Hr. . =− − p48m3c2{displaystyle ¿Qué? {fnK}} {8m} {3}c} {2}}}} {c}} {c}} {c}}} {c}}}} {c}}}}}} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}} {}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {c}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c} {c} {c}}} {}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}. En la teoría de la perturbación no negativa, la primera corrección de orden a los niveles de energía se da por el valor de expectativa H. . {displaystyle H^{prime} en el estado no perturbado. Er1=. . ↑ ↑ SilencioHr. . Silencio↑ ↑ . . {displaystyle ¿Por qué?, y para los estados no perturbados la ecuación Schrödinger lee p2↑ ↑ =2m()E− − v)↑ ↑ {displaystyle p^{2}psi =2m(E-v)psi }. Ponerlos juntos, la corrección a la energía es Er1=− − 12mc2[E2− − 2E. . V. . +. . V2. . ]{displaystyle E_{2mc} [E^{2}-2Elangle Vrangle +langle V^{2}rangle]. Sustituyendo en el potencial de Coulomb y simplificando, obtenemos Er1=− − ()En)22mc2[4nl+1/2− − 3]{displaystyle ¿Qué? {4n}{l+1/2}-3rbrack.
2. Coupling Spin-Orbit: Cada electron spin-1/2 se comporta como un momento magnético; la presencia de un campo magnético ejerce un par que tiende a alinear su momento magnético μ μ {displaystyle mu } con la dirección del campo. Desde el marco de referencia del electrón, el protón está alrededor de él; esta carga positiva orbitante crea un campo magnético B en su marco. Los cálculos relativos dan el momento magnético del electrón como μ μ → → e=− − emS→ → {displaystyle {vec {fnfnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\fn\\\\\\fn\\\\\\\\fn\\\\fn\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }_{e}=-{frac {e}{m}{vec} {S}}, donde S es la vuelta del electrón. El Hamiltoniano por un momento magnético se da como H=− − μ μ → → ⋅ ⋅ B→ → {displaystyle H=-{vec {mu}cdot {vec}El campo magnético del protón se puede derivar de la Ley Biot-Savart, configurando el protón como un bucle de corriente continua desde la perspectiva del electrón: B→ → =14π π ε ε 0emc2r3L→ → {displaystyle {vec}={frac} {1}{4piepsilon ¿Qué? {} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {fn}}}}}}}}}} { {L}}. Con un factor adicional de 1/2 para dar cuenta de Thomas Precession, que explica el hecho de que el marco del electrón no es inercial, el Hamiltonian es Hso. . =()e28π π ε ε 0)1m2c2r3S→ → ⋅ ⋅ L→ → {displaystyle ¿Qué? {L}}. Después de algunos cálculos de los eigenvalues S→ → ⋅ ⋅ L→ → {displaystyle {vec}cdot {vec}}, los niveles de energía se encuentranEso1=()En)2mc2n[j()j+1)− − l()l+1)− − 3/4]l()l+1/2)()l+1){displaystyle ¿Qué?.

Después de contabilizar toda estructura fina, los niveles de energía del átomo hidrogénico se etiquetan como: Eso1=13.6eVn2[1+α α 2n2()nj+1/2− − 34)]{displaystyle ¿Qué? {n}{j+1/2}-{frac} {3}{4})rbrack }

El efecto Zeeman

Cuando un átomo se coloca en un campo magnético externo uniforme B, los niveles de energía se cambian. Este fenómeno cambia al Hamiltonian con el factor Hz. . =e2m()L→ → +2S→ → )⋅ ⋅ B→ → ext{displaystyle H_{z} {prime {fnMicroc} {fnK}}}cdot {fnh}cdot {fnh}_{ext}, donde L es el impulso angular del electrón y S es su giro.

En presencia de un campo magnético débil, la estructura fina domina y el término Zeeman Hamiltonian es tratado como la perturbación a los Hamiltonianos inturbados, que es una suma de los Hamiltonianos Bohr y Fine Structure. Las correcciones Zeeman a la energía se encuentran Ez1=μ μ BgJBextmj{displaystyle E_{z} {1}=mu ¿Por qué?, donde μ μ B↑ ↑ e▪ ▪ 2m=5.788× × 10− − 5eV/T{displaystyle mu _{B}equiv {frac {ehbar {2m}=5.788times 10^{-}5eV/T}Es el imán Bohr.

En un campo magnético fuerte, el efecto Zeeman domina y el Hamiltoniano no perturbado se toma para ser HBohr+HZ. . {displaystyle ¿Qué?, con la corrección Hfs. . {displaystyle H_{fs} {prime }. Los niveles de energía corregidos se etiquetan como: Efs1=13.6eVn3α α 2[34n− − ()l()l+1)− − mlmsl()l+1/2)()l+1))]{displaystyle ¿Por qué? ^{2}lbrack {frac {3}{4n}-({frac {l(l+1)-m_{l}{l(l+1/2)(l+1)}} - ¿Qué?.

División hiperfina

El protón también constituye un dipolo magnético débil, y la división hiperfinanciera describe el efecto se debe a la interacción entre los momentos dipolos magnéticos del electrón y el protón. Este efecto da lugar a cambios de nivel energético Ehf1=μ μ 0gpe23π π mpmea3. . S→ → p⋅ ⋅ S→ → e. . {displaystyle E_{hf}{1}={frac {mu {0}g_{2}{3pi} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnK}cdot {fnh}rangle }. Se llama acoplamiento de espina espina porque implica el producto de punto entre las espinas del electrón y el protón.

Aplicaciones

El efecto Einstein-de Haas describe el fenómeno en el que un cambio en este momento magnético hace que el electrón gire. De manera similar, el efecto Barnett describe la magnetización del electrón resultante del giro sobre su eje. Ambos efectos demuestran el estrecho vínculo entre el movimiento orbital mecánico clásico y cuántico.