Movimiento de rotación

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

La rotación alrededor de un eje fijo es un caso especial de movimiento de rotación. La hipótesis del eje fijo excluye la posibilidad de que un eje cambie su orientación y no puede describir fenómenos como el bamboleo o la precesión. De acuerdo con el teorema de rotación de Euler, la rotación simultánea a lo largo de varios ejes estacionarios al mismo tiempo es imposible; si se fuerzan dos rotaciones al mismo tiempo, aparecerá un nuevo eje de rotación.

Este artículo asume que la rotación también es estable, por lo que no se requiere torsión para mantenerla en marcha. La cinemática y la dinámica de rotación alrededor de un eje fijo de un cuerpo rígido son matemáticamente mucho más simples que las de la rotación libre de un cuerpo rígido; son completamente análogas a las del movimiento lineal a lo largo de una sola dirección fija, lo que no es cierto para la rotación libre de un cuerpo rígido. Las expresiones para la energía cinética del objeto y para las fuerzas en las partes del objeto también son más simples para la rotación alrededor de un eje fijo que para el movimiento de rotación general. Por estas razones, la rotación alrededor de un eje fijo generalmente se enseña en los cursos de introducción a la física después de que los estudiantes dominan el movimiento lineal; la generalidad completa del movimiento de rotación no suele enseñarse en las clases de física introductoria.

Traslación y rotación

Un cuerpo rígido es un objeto de extensión finita en el que todas las distancias entre las partículas componentes son constantes. No existe un cuerpo verdaderamente rígido; Las fuerzas externas pueden deformar cualquier sólido. Entonces, para nuestros propósitos, un cuerpo rígido es un sólido que requiere grandes fuerzas para deformarlo apreciablemente.

Un cambio en la posición de una partícula en el espacio tridimensional puede especificarse completamente mediante tres coordenadas. Un cambio en la posición de un cuerpo rígido es más complicado de describir. Puede considerarse como una combinación de dos tipos distintos de movimiento: movimiento de traslación y movimiento circular.

El movimiento de traslación pura ocurre cuando cada partícula del cuerpo tiene la misma velocidad instantánea que cualquier otra partícula; entonces el camino trazado por cualquier partícula es exactamente paralelo al camino trazado por cualquier otra partícula en el cuerpo. Bajo el movimiento de traslación, el cambio en la posición de un cuerpo rígido se especifica completamente mediante tres coordenadas como x, y y z que dan el desplazamiento de cualquier punto, como el centro de masa, fijo al cuerpo rígido.

El movimiento puramente rotacional ocurre si cada partícula en el cuerpo se mueve en un círculo alrededor de una sola línea. Esta línea se llama eje de rotación. Entonces los radios vectores desde el eje hasta todas las partículas experimentan el mismo desplazamiento angular al mismo tiempo. No es necesario que el eje de rotación atraviese el cuerpo. En general, cualquier rotación se puede especificar completamente mediante los tres desplazamientos angulares con respecto a los ejes de coordenadas rectangulares x, y y z. Cualquier cambio en la posición del cuerpo rígido está completamente descrito por tres coordenadas de traslación y tres de rotación.

Se puede llegar a cualquier desplazamiento de un cuerpo rígido sometiendo primero el cuerpo a un desplazamiento seguido de una rotación o, por el contrario, a una rotación seguida de un desplazamiento. Ya sabemos que para cualquier conjunto de partículas, ya sea que estén en reposo unas con respecto a otras, como en un cuerpo rígido, o en movimiento relativo, como los fragmentos que explotan de un caparazón, la aceleración del centro de masa está dada por $F_{{{mathrm {net}}}}=Ma_{{{mathrm {cm}}}};!$

donde M es la masa total del sistema y a _cm es la aceleración del centro de masa. Queda la cuestión de describir la rotación del cuerpo alrededor del centro de masa y relacionarla con las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. La cinemática y la dinámica del movimiento de rotación alrededor de un solo eje se asemejan a la cinemática y la dinámica del movimiento de traslación; el movimiento de rotación alrededor de un solo eje incluso tiene un teorema de trabajo-energía análogo al de la dinámica de partículas.

Cinemática

Desplazamiento angular

Una partícula se mueve en un círculo de radio $r$ . Habiendo movido una longitud de arco $s$ , su posición angular es $theta$ relativa a su posición original, donde $theta ={frac{s}{r}}$ .

En matemáticas y física es convencional usar la unidad natural radianes en lugar de grados o revoluciones. Las unidades se convierten de la siguiente manera: ${displaystyle {begin{aligned}1{text{ revolución }}&=360^{circ }=2pi {text{ radianes y}}\1{text{ rad}}&= {frac {180^{circ}}{pi}}aprox. 57,27^{circ}.end{alineado}}}$

Un desplazamiento angular es un cambio en la posición angular: $Delta theta =theta _{{2}}-theta _{{1}},!$

donde $Delta theta$ es el desplazamiento angular, $theta _ {1}$ es la posición angular inicial y $theta _ {2}$ es la posición angular final.

Velocidad angular

El cambio en el desplazamiento angular por unidad de tiempo se llama velocidad angular con dirección a lo largo del eje de rotación. El símbolo de la velocidad angular es $omega$ y las unidades suelen ser rad s. La velocidad angular es la magnitud de la velocidad angular. $overline {omega }={frac {Delta theta }{Delta t}}={frac {theta _{2}-theta _{1}}{t_{2}-t_{1 }}}.$

La velocidad angular instantánea viene dada por $omega (t)={frac {dtheta}{dt}}.$

Usando la fórmula para la posición angular y dejando $v={frac{ds}{dt}}$ , también tenemos $omega ={frac{dtheta}{dt}}={frac {v}{r}},$

donde $v$ es la velocidad de traslación de la partícula.

La velocidad angular y la frecuencia están relacionadas por ${displaystyle omega ={2pif}!}$ .

Aceleración angular

Una velocidad angular cambiante indica la presencia de una aceleración angular en un cuerpo rígido, típicamente medida en rad s. La aceleración angular promedio $overline {alfa}$ en un intervalo de tiempo Δ t viene dada por $overline {alpha }={frac {Delta omega }{Delta t}}={frac {omega _{2}-omega _{1}}{t_{2}-t_{1 }}}.$

La aceleración instantánea α (t) viene dada por $alpha (t)={frac {domega }{dt}}={frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}.$

Por tanto, la aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular, así como la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad.

La aceleración de traslación de un punto sobre el objeto que gira está dada por $a=ralfa,!$

donde r es el radio o la distancia desde el eje de rotación. Esta es también la componente tangencial de la aceleración: es tangencial a la dirección de movimiento del punto. Si esta componente es 0, el movimiento es un movimiento circular uniforme y la velocidad cambia solo de dirección.

La aceleración radial (perpendicular a la dirección del movimiento) viene dada por $a_{{{mathrm {R}}}}={frac {v^{2}}{r}}=omega ^{2}r!$ .

Está dirigido hacia el centro del movimiento de rotación y, a menudo, se denomina aceleración centrípeta.

La aceleración angular es causada por el par, que puede tener un valor positivo o negativo de acuerdo con la convención de frecuencia angular positiva y negativa. La relación entre el par y la aceleración angular (cuán difícil es arrancar, detener o cambiar de otro modo la rotación) viene dada por el momento de inercia: $T=Ialfa$ .

Ecuaciones de cinemática

Cuando la aceleración angular es constante, las cinco cantidades desplazamiento angular, $theta$ velocidad angular inicial $omega _{1}$ , velocidad angular final $omega _{2}$ , aceleración angular $alfa$ y tiempo $t$ pueden relacionarse mediante cuatro ecuaciones de cinemática: ${displaystyle {begin{alineado}omega_{2}&=omega_{1}+alpha t\theta &=omega_{1}t+{frac {1}{2}} alpha t^{2}\omega _{2}^{2}&=omega _{1}^{2}+2alpha theta \theta &={frac {1}{ 2}}left(omega _{2}+omega _{1}right)tend{alineado}}}$

Dinámica

Momento de inercia

El momento de inercia de un objeto, simbolizado por $yo$ , es una medida de la resistencia del objeto a los cambios en su rotación. El momento de inercia se mide en kilogramo metro² (kg m). Depende de la masa del objeto: al aumentar la masa de un objeto aumenta el momento de inercia. También depende de la distribución de la masa: distribuir la masa más lejos del centro de rotación aumenta en mayor grado el momento de inercia. Para una sola partícula de masa $metro$ a una distancia $r$ del eje de rotación, el momento de inercia viene dado por $Yo=señor^{2}.$

Esfuerzo de torsión

El par ${ símbolo de negrita { tau}}$ es el efecto de torsión de una fuerza F aplicada a un objeto giratorio que está en la posición r de su eje de rotación. Matemáticamente, ${boldsymbol {tau}}=mathbf {r} times mathbf {F},$

donde × denota el producto vectorial. Un momento de torsión neto que actúa sobre un objeto producirá una aceleración angular del objeto de acuerdo con ${boldsymbol {tau}}=I{boldsymbol {alpha}},$

tal como F = m a en dinámica lineal.

El trabajo realizado por un momento de torsión que actúa sobre un objeto es igual a la magnitud del momento de torsión por el ángulo a través del cual se aplica el momento de torsión: $W=tautheta.!$

La potencia de un par es igual al trabajo realizado por el par por unidad de tiempo, por lo tanto: $P=tauomega.!$

Momento angular

El momento angular $mathbf{L}$ es una medida de la dificultad de llevar un objeto giratorio al reposo. esta dado por ${displaystyle mathbf {L} =sum mathbf {r} times mathbf {p} }$ para todas las partículas en el objeto.

El momento angular es el producto del momento de inercia y la velocidad angular: ${mathbf {L}}=I{boldsymbol {omega }},$

tal como p = m v en dinámica lineal.

El análogo del momento lineal en el movimiento de rotación es el momento angular. Cuanto mayor sea el momento angular del objeto giratorio, como un trompo, mayor será su tendencia a seguir girando.

El momento angular de un cuerpo giratorio es proporcional a su masa y a la rapidez con la que gira. Además, el momento angular depende de cómo se distribuya la masa con respecto al eje de rotación: cuanto más alejada esté la masa del eje de rotación, mayor será el momento angular. Un disco plano, como un tocadiscos, tiene menos momento angular que un cilindro hueco de la misma masa y velocidad de rotación.

Al igual que el momento lineal, el momento angular es una cantidad vectorial y su conservación implica que la dirección del eje de giro tiende a permanecer sin cambios. Por esta razón, el trompo permanece en posición vertical mientras que uno estacionario se cae inmediatamente.

La ecuación del momento angular se puede usar para relacionar el momento de la fuerza resultante sobre un cuerpo alrededor de un eje (a veces llamado torque) y la velocidad de rotación alrededor de ese eje.

El par y el momento angular están relacionados de acuerdo con ${boldsymbol {tau}}={frac {d{mathbf {L}}}{dt}},$

así como F = d p / dt en dinámica lineal. En ausencia de un momento de torsión externo, el momento angular de un cuerpo permanece constante. La conservación del momento angular se demuestra notablemente en el patinaje artístico: al acercar los brazos al cuerpo durante un giro, el momento de inercia disminuye y, por lo tanto, la velocidad angular aumenta.

Energía cinética

La energía cinética ${displaystyle K_{text{rot}}}$ debida a la rotación del cuerpo está dada por ${displaystyle K_{text{rot}}={frac {1}{2}}Iomega ^{2},}$

como ${displaystyle K_{text{trans}}={tfrac {1}{2}}mv^{2}}$ en la dinámica lineal.

La energía cinética es la energía del movimiento. La cantidad de energía cinética de traslación que se encuentra en dos variables: la masa del objeto ( $metro$ ) y la velocidad del objeto ( $v$ ) como se muestra en la ecuación anterior. La energía cinética siempre debe ser cero o un valor positivo. Mientras que la velocidad puede tener un valor positivo o negativo, la velocidad al cuadrado siempre será positiva.

Expresión vectorial

El desarrollo anterior es un caso especial de movimiento de rotación general. En el caso general, el desplazamiento angular, la velocidad angular, la aceleración angular y el par se consideran vectores.

Se considera que un desplazamiento angular es un vector, apuntando a lo largo del eje, de magnitud igual a la de $Delta theta$ . Se usa una regla de la mano derecha para encontrar en qué dirección apunta a lo largo del eje; si los dedos de la mano derecha están doblados para apuntar en la dirección en que el objeto ha girado, entonces el pulgar de la mano derecha apunta en la dirección del vector.

El vector de velocidad angular también apunta a lo largo del eje de rotación de la misma manera que los desplazamientos angulares que provoca. Si un disco gira en sentido antihorario visto desde arriba, su vector de velocidad angular apunta hacia arriba. De manera similar, el vector de aceleración angular apunta a lo largo del eje de rotación en la misma dirección que apuntaría la velocidad angular si la aceleración angular se mantuviera durante mucho tiempo.

El vector de par apunta a lo largo del eje alrededor del cual el par tiende a provocar la rotación. Para mantener la rotación alrededor de un eje fijo, el vector de par total debe estar a lo largo del eje, de modo que solo cambie la magnitud y no la dirección del vector de velocidad angular. En el caso de una bisagra, solo la componente del vector torque a lo largo del eje tiene un efecto sobre la rotación, otras fuerzas y torques son compensados por la estructura.

Ejemplos y aplicaciones

Velocidad angular constante

El caso más simple de rotación alrededor de un eje fijo es el de velocidad angular constante. Entonces el par total es cero. Para el ejemplo de la Tierra girando alrededor de su eje, hay muy poca fricción. Para un ventilador, el motor aplica un par para compensar la fricción. Al igual que el ventilador, los equipos que se encuentran en la industria de producción en masa demuestran la rotación alrededor de un eje fijo de manera efectiva. Por ejemplo, se utiliza un torno de husillos múltiples para rotar el material sobre su eje para aumentar efectivamente la productividad de las operaciones de corte, deformación y torneado. El ángulo de rotación es una función lineal del tiempo, cuyo módulo 360° es una función periódica.

Un ejemplo de esto es el problema de dos cuerpos con órbitas circulares.

Fuerza centrípeta

La tensión de tracción interna proporciona la fuerza centrípeta que mantiene unido un objeto giratorio. Un modelo de cuerpo rígido desprecia la deformación que lo acompaña. Si el cuerpo no es rígido, esta tensión hará que cambie de forma. Esto se expresa como el cambio de forma del objeto debido a la "fuerza centrífuga".

Los cuerpos celestes que giran uno alrededor del otro a menudo tienen órbitas elípticas. El caso especial de las órbitas circulares es un ejemplo de rotación alrededor de un eje fijo: este eje es la línea que pasa por el centro de masa perpendicular al plano de movimiento. La fuerza centrípeta es proporcionada por la gravedad, ver también problema de dos cuerpos. Por lo general, esto también se aplica a un cuerpo celeste que gira, por lo que no es necesario que sea sólido para mantenerse unido, a menos que la velocidad angular sea demasiado alta en relación con su densidad. (Sin embargo, tenderá a achatarse). Por ejemplo, un cuerpo de agua celeste giratorio debe tardar al menos 3 horas y 18 minutos en girar, independientemente de su tamaño, o el agua se separará. Si la densidad del fluido es mayor el tiempo puede ser menor. Véase período orbital.

Contenido relacionado

Más resultados...