Movimiento browniano

Paseo aleatorio de 2 dimensiones de un átomo de plata en una superficie Ag(111)

Esta es una simulación del movimiento Browniano de 5 partículas (amarillo) que collide con un gran conjunto de 800 partículas. Las partículas amarillas dejan 5 senderos azules de movimiento aleatorio (pseudo) y uno de ellos tiene un vector de velocidad roja.

Esta es una simulación del movimiento marroniano de una gran partícula (partícula industrial) que choca con un gran conjunto de partículas más pequeñas (moléculas de gas) que se mueven con diferentes velocidades en diferentes direcciones aleatorias.

Movimiento browniano, o pedesis (del griego antiguo: πήδησις /pɛ̌ːdɛːsis/ "saltando"), es el movimiento aleatorio de partículas suspendidas en un medio (un líquido o un gas).

Este patrón de movimiento suele consistir en fluctuaciones aleatorias en la posición de una partícula dentro de un subdominio fluido, seguidas de una reubicación en otro subdominio. Cada reubicación es seguida por más fluctuaciones dentro del nuevo volumen cerrado. Este patrón describe un fluido en equilibrio térmico, definido por una temperatura dada. Dentro de tal fluido, no existe una dirección preferencial de flujo (como en los fenómenos de transporte). Más específicamente, los momentos lineales y angulares generales del fluido permanecen nulos con el tiempo. Las energías cinéticas de los movimientos brownianos moleculares, junto con las de las rotaciones y vibraciones moleculares, se suman al componente calórico de la energía interna de un fluido (el teorema de equipartición).

Este movimiento lleva el nombre del botánico Robert Brown, quien describió por primera vez el fenómeno en 1827, mientras observaba a través de un microscopio el polen de la planta Clarkia pulchella sumergida en agua. En 1905, casi ochenta años después, el físico teórico Albert Einstein publicó un artículo en el que modelaba el movimiento de las partículas de polen como si fueran movidas por moléculas de agua individuales, lo que supuso una de sus primeras contribuciones científicas importantes. La dirección de la fuerza del bombardeo atómico cambia constantemente y, en diferentes momentos, la partícula es golpeada más de un lado que del otro, lo que lleva a la naturaleza aparentemente aleatoria del movimiento. Esta explicación del movimiento browniano sirvió como evidencia convincente de que los átomos y las moléculas existen y fue verificada experimentalmente por Jean Perrin en 1908. Perrin recibió el Premio Nobel de Física en 1926 "por su trabajo sobre la estructura discontinua de la materia".;.

Las interacciones de muchos cuerpos que generan el patrón browniano no pueden resolverse mediante un modelo que tenga en cuenta todas las moléculas involucradas. En consecuencia, solo se pueden emplear modelos probabilísticos aplicados a poblaciones moleculares para describirlo. Dos de estos modelos de la mecánica estadística, debido a Einstein y Smoluchowski, se presentan a continuación. Otra clase de modelos puramente probabilísticos es la clase de los modelos de procesos estocásticos. Existen secuencias de procesos estocásticos tanto más simples como más complicados que convergen (en el límite) al movimiento browniano (ver camino aleatorio y teorema de Donsker).

Historia

Reproducido del libro de Jean Baptiste Perrin, Les Atomes, se muestran tres trazados del movimiento de partículas colloidales de radio 0,53 μm, como se ve debajo del microscopio. Posiciones exitosas cada 30 segundos se unen por segmentos de línea recta (el tamaño de la malla es de 3.2 μm).

El filósofo y poeta romano Lucrecio' poema científico "Sobre la naturaleza de las cosas" (c. 60 a. C.) tiene una descripción notable del movimiento de las partículas de polvo en los versículos 113–140 del Libro II. Él usa esto como una prueba de la existencia de los átomos:

Observa lo que sucede cuando los rayos solares son admitidos en un edificio y arrojan luz sobre sus lugares sombríos. Verás una multitud de pequeñas partículas que se mezclan de muchas maneras... su baile es una indicación real de los movimientos subyacentes de la materia que están ocultos de nuestra vista... Se origina con los átomos que se mueven de sí mismos [es decir, espontáneamente]. Entonces los pequeños cuerpos compuestos que son menos eliminados del ímpetu de los átomos se ponen en movimiento por el impacto de sus golpes invisibles y a su vez cañones contra cuerpos ligeramente más grandes. Así que el movimiento se levanta de los átomos y gradualmente emerge al nivel de nuestros sentidos para que esos cuerpos estén en movimiento que vemos en los rayos del sol, movidos por golpes que permanecen invisibles.

Aunque el movimiento de mezcla y volteo de las partículas de polvo es causado en gran parte por las corrientes de aire, el movimiento brillante y oscilante de las pequeñas partículas de polvo es causado principalmente por la verdadera dinámica browniana; Lucrecio "describe y explica perfectamente el movimiento browniano con un ejemplo erróneo".

Mientras que Jan Ingenhousz describió el movimiento irregular de las partículas de polvo de carbón en la superficie del alcohol en 1785, el descubrimiento de este fenómeno a menudo se atribuye al botánico Robert Brown en 1827. Brown estaba estudiando los granos de polen de la planta Clarkia pulchella suspendida en agua bajo un microscopio cuando observó partículas diminutas, expulsadas por los granos de polen, ejecutando un movimiento nervioso. Al repetir el experimento con partículas de materia inorgánica, pudo descartar que el movimiento estuviera relacionado con la vida, aunque su origen aún no se había explicado.

La primera persona en describir las matemáticas detrás del movimiento browniano fue Thorvald N. Thiele en un artículo sobre el método de los mínimos cuadrados publicado en 1880. Louis Bachelier lo siguió de forma independiente en 1900 en su tesis doctoral "La teoría de la especulación", en el que presentó un análisis estocástico de los mercados de acciones y opciones. El modelo de movimiento browniano del mercado de valores se cita a menudo, pero Benoit Mandelbrot rechazó su aplicabilidad a los movimientos del precio de las acciones en parte porque son discontinuos.

Albert Einstein (en uno de sus artículos de 1905) y Marian Smoluchowski (1906) llamaron la atención de los físicos sobre la solución del problema y la presentaron como una forma de confirmar indirectamente la existencia de átomos y moléculas. Sus ecuaciones que describen el movimiento browniano fueron posteriormente verificadas por el trabajo experimental de Jean Baptiste Perrin en 1908.

Teorías de la mecánica estadística

La teoría de Einstein

La teoría de Einstein tiene dos partes: la primera parte consiste en la formulación de una ecuación de difusión para partículas brownianas, en la que el coeficiente de difusión está relacionado con el desplazamiento cuadrático medio de una partícula browniana, mientras que la segunda parte consiste en relacionar el coeficiente de difusión con cantidades físicas medibles. De esta manera, Einstein pudo determinar el tamaño de los átomos y cuántos átomos hay en un mol, o el peso molecular en gramos de un gas. De acuerdo con la ley de Avogadro, este volumen es el mismo para todos los gases ideales, que es de 22.414 litros a temperatura y presión estándar. El número de átomos contenidos en este volumen se denomina número de Avogadro, y la determinación de este número equivale al conocimiento de la masa de un átomo, ya que esta última se obtiene dividiendo la masa molar del gas por el Avogadro constante.

Las curvas típicas en forma de campana de la difusión de partículas marrones. La distribución comienza como función Dirac delta, indicando que todas las partículas se encuentran en el origen a la vez t = 0. As t aumenta, la distribución se aplana (aunque permanece en forma de campana), y finalmente se vuelve uniforme en el límite que el tiempo va a la infinidad.

La primera parte del argumento de Einstein fue determinar la distancia que viaja una partícula browniana en un intervalo de tiempo determinado. La mecánica clásica no puede determinar esta distancia debido a la enorme cantidad de bombardeos que sufrirá una partícula browniana, aproximadamente del orden de 10¹⁴ colisiones por segundo.

Consideró el aumento de posiciones de partículas en el tiempo ${displaystyle tau }$ en una sola dimensión (x) espacio (con las coordenadas elegidas para que el origen se encuentra en la posición inicial de la partícula) como una variable aleatoria (${displaystyle Delta }$) con una función de densidad de probabilidad ${displaystyle varphi (Delta)}$ (es decir, ${displaystyle varphi (Delta)}$ es la densidad de probabilidad para un salto de magnitud ${displaystyle Delta }$, es decir, la densidad de probabilidad de la partícula que aumenta su posición desde ${displaystyle x}$ a ${displaystyle x+Delta }$ en el intervalo de tiempo ${displaystyle tau }$). Además, asumiendo la conservación del número de partículas, amplió la densidad del número ${displaystyle rho (x,t+tau)}$ (número de partículas por volumen de unidad alrededor ${displaystyle x}$A la vez ${displaystyle t+tau }$ en una serie Taylor,

$${displaystyle {begin{aligned}rho (x,t)+tau {frac {partial rho (x,t)}{partial t}}+cdots ={} limitrho (x,t+tau)={} limitint ¿Por qué? Delta =mathbb {E} _{Delta }[rho (x+Deltat)]={} {cdot int _{-infty }infty }varphi (Delta),mathrm {d} Delta +{frac {partial rho }{partial x}cdot int Delta cdot varphi (Delta),mathrm {d} Delta \c}+{frac {partial ^{2}rho # {partial x^{2}}cdot int _{-infty. {Delta ^{2}{2}cdot varphi (Delta),mathrm {d} Delta +cdots \={} limitrho (x,t)cdot 1+0+{frac {partial ^{2}rho }{2}}cdot int. {Delta ^{2}{2}cdot varphi (Delta),mathrm {d} Delta +cdots end{aligned}}$$

donde la segunda igualdad es por definición ${displaystyle varphi }$. El integral en el primer término es igual a uno por la definición de probabilidad, y el segundo y otros términos (es decir, primeros y otros momentos extraños) desaparecen debido a la simetría espacial. Lo que queda da lugar a la siguiente relación:

$${displaystyle {frac {partial rho }{partial {fnK}cdot int _{-infty }{frac {2}}cdot int _{-infty }{infty }{frac {Delta ^{2}{2,tau }}cdot varphi (Delta),mathrm} Delta +{text{alta-orden incluso momentos.}}}$$

Donde el coeficiente después del Laplaciano, el segundo momento de probabilidad de desplazamiento ${displaystyle Delta }$, se interpreta como difusividad de masas D:

$${displaystyle D=int _{-infty }{infty }{frac {Delta ^{2}}{2,tau }cdot varphi (Delta),mathrm {d} Delta.}}$$

Entonces la densidad de las partículas brownianas ρ en el punto x en el tiempo t satisface la ecuación de difusión:

$${displaystyle {frac {partial rho }{partial }=Dcdot {frac {partial ^{2}rho }{partial x^{2}}}}}$$

Suponiendo que N partículas parten del origen en el tiempo inicial t = 0, la ecuación de difusión tiene la solución

$${displaystyle rho (x,t)={frac {N}{sqrt {4pi Dt}}e^{-{frac} {x^{2} {4Dt}}}}$$

Esta expresión (que es una distribución normal con la media ${displaystyle mu =0}$ y diferencia ${displaystyle sigma ^{2}=2Dt}$ generalmente llamado movimiento Brownian ${displaystyle B_{t}$) permitió a Einstein calcular los momentos directamente. El primer momento es visto desaparecer, lo que significa que la partícula marroniana es igualmente probable que se mueva a la izquierda ya que es para moverse a la derecha. El segundo momento es, sin embargo, no-vanishing, dado por

$${displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif}=2,D,t.}$$

Esta ecuación expresa el desplazamiento cuadrático medio en términos del tiempo transcurrido y la difusividad. A partir de esta expresión Einstein argumentó que el desplazamiento de una partícula browniana no es proporcional al tiempo transcurrido, sino a su raíz cuadrada. Su argumento se basa en un cambio conceptual del "conjunto" de partículas brownianas al "single" Partícula browniana: podemos hablar tanto del número relativo de partículas en un solo instante como del tiempo que tarda una partícula browniana en llegar a un punto dado.

La segunda parte de la teoría de Einstein relaciona la constante de difusión con cantidades medibles físicamente, como el desplazamiento cuadrático medio de una partícula en un intervalo de tiempo determinado. Este resultado permite la determinación experimental del número de Avogadro y por tanto del tamaño de las moléculas. Einstein analizó un equilibrio dinámico que se establece entre fuerzas opuestas. La belleza de su argumento es que el resultado final no depende de las fuerzas involucradas en el establecimiento del equilibrio dinámico.

En su tratamiento original, Einstein consideró un experimento de presión osmótica, pero se puede llegar a la misma conclusión de otras formas.

Considere, por ejemplo, partículas suspendidas en un líquido viscoso en un campo gravitacional. La gravedad tiende a establecer las partículas, mientras que la difusión actúa para homogenizarlas, conduciéndolas a regiones de menor concentración. Bajo la acción de la gravedad, una partícula adquiere una velocidad descendente v = μmg, donde m es la masa de la partícula, g es la aceleración debido a la gravedad, y μ es la movilidad de la partícula en el fluido. George Stokes había demostrado que la movilidad de una partícula esférica con radio r es ${displaystyle mu ={tfrac {1}{6pi eta r}}$, donde . es la viscosidad dinámica del fluido. En un estado de equilibrio dinámico, y bajo la hipótesis de fluido isotérmico, las partículas se distribuyen de acuerdo con la distribución barométrica

$${displaystyle rho =rho _{o},e^{-{frac {m,g,h}{k_{rm} ♪♪$$

Donde *** − ***_o es la diferencia de densidad de partículas separadas por una diferencia de altura, de ${displaystyle h=z-z_{o}$, k_B es la constante de Boltzmann (la relación de la constante de gas universal, R, a la constante Avogadro, N_A), y T es la temperatura absoluta.

La distribución de equilibrio para partículas de gamboge muestra la tendencia de los gránulos a desplazarse a regiones de menor concentración cuando se ven afectadas por la gravedad.

El equilibrio dinámico se establece porque cuanto más las partículas son atraídas por la gravedad, mayor es la tendencia de las partículas a migrar a regiones de menor concentración. El flujo viene dado por la ley de Fick,

$${displaystyle J=-D{frac {drho } {dh}}}$$

donde J = ρv. Introduciendo la fórmula para ρ, encontramos que

$${displaystyle v={frac}{k_{rm} {B}T}}.$$

En un estado de equilibrio dinámico, esta velocidad también debe ser igual a v = μmg. Ambas expresiones para v son proporcionales a mg, reflejando que la derivación es independiente del tipo de fuerzas consideradas. De manera similar, se puede derivar una fórmula equivalente para partículas cargadas idénticas de carga q en un campo eléctrico uniforme de magnitud E, donde mg se reemplaza por la fuerza electrostática qE. Igualando estas dos expresiones se obtiene la relación de Einstein para la difusividad, independiente de mg o qE u otras fuerzas similares:

$${displaystyle {frac {fnMicroc} {x^{2}}{2t}=D=mu k_{rm} {B}T={frac} # ¿Qué?.$$

Aquí la primera igualdad se deriva de la primera parte de la teoría de Einstein, la tercera igualdad se deriva de la definición de la constante de Boltzmann como k_B = < i>R / N_A, y la cuarta igualdad se deriva de la fórmula de Stokes para la movilidad. Al medir el desplazamiento cuadrático medio durante un intervalo de tiempo junto con la constante universal de los gases R, la temperatura T, la viscosidad η y la partícula radio r, se puede determinar la constante de Avogadro N_A.

El tipo de equilibrio dinámico propuesto por Einstein no era nuevo. Ya había sido señalado previamente por J. J. Thomson en su serie de conferencias en la Universidad de Yale en mayo de 1903 que el equilibrio dinámico entre la velocidad generada por un gradiente de concentración dado por la ley de Fick y la velocidad debida a la variación del gradiente parcial La presión causada cuando los iones se ponen en movimiento "nos brinda un método para determinar la constante de Avogadro que es independiente de cualquier hipótesis sobre la forma o el tamaño de las moléculas, o de la forma en que actúan entre sí& #34;.

Una expresión idéntica a la fórmula de Einstein para el coeficiente de difusión también fue encontrada por Walther Nernst en 1888 en la que expresó el coeficiente de difusión como la relación de la presión osmótica con la relación de la fuerza friccional y la velocidad a la que da lugar. El primero fue equiparado a la ley de van 't Hoff mientras que el último fue dado por la ley de Stokes. Escribe ${displaystyle k'=p_{o}/k}$ para el coeficiente de difusión k ', donde ${displaystyle p_{o}$ es la presión osmótica y k es la relación de la fuerza friccional con la viscosidad molecular que asume es dada por la fórmula de Stokes para la viscosidad. Presentando la ley de gas ideal por volumen de unidad para la presión osmótica, la fórmula se vuelve idéntica a la de Einstein. El uso de la ley de Stokes en el caso de Nernst, así como en Einstein y Smoluchowski, no es estrictamente aplicable ya que no se aplica al caso en que el radio de la esfera es pequeño en comparación con el camino libre medio.

Al principio, las predicciones de la fórmula de Einstein aparentemente fueron refutadas por una serie de experimentos realizados por Svedberg en 1906 y 1907, que dieron desplazamientos de las partículas de 4 a 6 veces el valor predicho, y por Henri en 1908 quien encontró desplazamientos 3 veces mayores que los predichos por la fórmula de Einstein. Pero las predicciones de Einstein finalmente se confirmaron en una serie de experimentos realizados por Chaudesaigues en 1908 y Perrin en 1909. La confirmación de la teoría de Einstein constituyó un progreso empírico para la teoría cinética del calor. En esencia, Einstein demostró que el movimiento puede predecirse directamente a partir del modelo cinético del equilibrio térmico. La importancia de la teoría residía en el hecho de que confirmaba la explicación de la teoría cinética de la segunda ley de la termodinámica como una ley esencialmente estadística.

Modelo de Smoluchowski

La teoría de Smoluchowski del movimiento Browniano comienza de la misma premisa que la de Einstein y deriva la misma distribución de probabilidad ***()x, t) para el desplazamiento de una partícula Brownian a lo largo de la x en el tiempo t. Por lo tanto, tiene la misma expresión para el desplazamiento cuadrado medio: ${displaystyle {overline {Delta x)}}}}$. Sin embargo, cuando lo relaciona con una partícula de masa m moverse a una velocidad ${displaystyle u}$ que es el resultado de una fuerza friccional gobernada por la ley de Stokes, encuentra

${displaystyle {overline {Delta x)}}=2Dt=t{frac {32}{81}{frac {mu^{2}}{pimu a}=t{27}{frac}{frac {frac {f}{2}} {f} {f} {c} {c} {c}} {c}}} {c} {c}}} {c} {c}}}}} {c} {c} {c}}} {cc}}} {c}}} {cc}}}}}}}}} {c}}}} {cccccccccccccccccccccccccccccccccccc}}}}}}$

Donde μ es el coeficiente de viscosidad, y ${displaystyle a}$ es el radio de la partícula. Asociar la energía cinética ${displaystyle mu^{2}/2}$ con la energía térmica RT/N, la expresión para el desplazamiento cuadrado medio es 64/27 veces que se encuentra por Einstein. La fracción 27/64 fue comentada por Arnold Sommerfeld en su necrología en Smoluchowski: "El coeficiente numérico de Einstein, que difiere de Smoluchowski por 27/64, sólo se puede poner en duda."

Smoluchowski intenta responder a la pregunta de por qué una partícula browniana debe ser desplazada por bombardeos de partículas más pequeñas cuando las probabilidades de golpearla en las direcciones delantera y trasera son iguales. Si la probabilidad de m ganancias y n − m pérdidas sigue una distribución binomial,

${displaystyle P_{m,n}={binom {n} {m}}2^{-n}$

con probabilidades a priori iguales de 1/2, la ganancia total media es

${displaystyle {fn}=sum} ##{m={frac {fn} {fn} {fn} {fn} {fnnn} {fnn}nnn}nn}left[left({frac} {fnnnnn} {fnn}} {nnnn}}n} {cH00}}}n} {n}}}n}n}n}}n}nn}n}n}n}n}n}nnnnnnn}nnnnnnnn}nnnnnnnnnnnnnn}nnnnnnnn}nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn}n}nnnnn}nnnnn}nnnnnnnnnnnnnnnnn}n}n}n}nnnnnnnnnnn ¡Sí!$

Si n es lo suficientemente grande como para que la aproximación de Stirling se pueda usar en la forma

${displaystyle n!approx left({frac {n}right)}{n}{n}{sqrt {2pi n}}}}$

entonces la ganancia total esperada será

${displaystyle {fn}approx {fnMicroc} {2n}{pi}}}}$

mostrando que aumenta como la raíz cuadrada de la población total.

Supongamos que una partícula browniana de masa M está rodeada de partículas más ligeras de masa m que viajan a una velocidad u. Entonces, razona Smoluchowski, en cualquier colisión entre partículas circundantes y brownianas, la velocidad transmitida a estas últimas será mu/M. Esta relación es del orden de 10⁻⁷ cm/s. Pero también hay que tener en cuenta que en un gas habrá más de 10¹⁶ colisiones en un segundo, y aún mayores en un líquido donde esperamos que haya 10^{20< /sup> colisión en un segundo. Algunas de estas colisiones tenderán a acelerar la partícula browniana; otros tenderán a desacelerarla. Si hay un exceso medio de un tipo de colisión u otro del orden de 108 a 1010 colisiones en un segundo, entonces la velocidad de la partícula browniana puede estar entre 10 y 1000 cm/s. Por lo tanto, aunque existan las mismas probabilidades de colisiones hacia adelante y hacia atrás, habrá una tendencia neta a mantener la partícula browniana en movimiento, tal como lo predice el teorema de la boleta.}

Estas órdenes de magnitud no son exactas porque no tienen en cuenta la velocidad de la partícula marroniana, U, que depende de las colisiones que tienden a acelerar y desacelerar. El más grande U es, el mayor será las colisiones que lo retrasarán para que la velocidad de una partícula marroniana nunca pueda aumentar sin límite. Podría ocurrir tal proceso, equivaldría a un movimiento perpetuo del segundo tipo. Y como se aplica la equipartición de energía, la energía cinética de la partícula marroniana, ${displaystyle MU^{2}/2}$, será igual, en promedio, a la energía cinética de la partícula del fluido circundante, ${displaystyle mu^{2}/2}$.

En 1906, Smoluchowski publicó un modelo unidimensional para describir una partícula en movimiento browniano. El modelo asume colisiones con M ≫ m donde M es la masa de la partícula de prueba y m la masa de una de las partículas individuales que componen el fluido. Se supone que las colisiones de partículas se limitan a una dimensión y que es igualmente probable que la partícula de prueba sea golpeada desde la izquierda que desde la derecha. También se supone que cada colisión siempre imparte la misma magnitud de ΔV. Si N_R es el número de colisiones desde la derecha y N_L el número de colisiones desde la izquierda, entonces después de N colisiones, la velocidad de la partícula habrá cambiado en ΔV(2N_R − < i>N). Entonces, la multiplicidad está simplemente dada por:

${fnMicrosoft {fnh} {fnh00} {fnMicrosoft} {fn}} {\fn}}}} {fn}\fnfnfnfnfnfnfn}}\fnfnfnh00fnh00fnfnfnh}}}}fn}}}}}}}\\\\\\\\fnKfnKfn}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnh00fn}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\fn}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\ {R}}={frac} {N}{N_{rm ¡No! !$

y el número total de estados posibles viene dado por 2^N. Por lo tanto, la probabilidad de que la partícula sea golpeada desde la derecha N_R veces es:

${displaystyle P_{N}(N_{rm) {R}={frac} ¡No! ¡No! !$

Como resultado de su simplicidad, el modelo 1D de Smoluchowski solo puede describir cualitativamente el movimiento browniano. Para una partícula realista que experimenta un movimiento browniano en un fluido, muchas de las suposiciones no se aplican. Por ejemplo, la suposición de que en promedio ocurre un número igual de colisiones desde la derecha que desde la izquierda se desmorona una vez que la partícula está en movimiento. Además, habría una distribución de diferentes ΔVs posibles en lugar de siempre uno solo en una situación realista.

Otros modelos de física usando ecuaciones diferenciales parciales

La ecuación de difusión produce una aproximación de la evolución temporal de la función de densidad de probabilidad asociada a la posición de la partícula que se encuentra bajo un movimiento browniano bajo la definición física. La aproximación es válida en plazos cortos.

La evolución temporal de la posición de la partícula browniana se describe mejor mediante la ecuación de Langevin, una ecuación que implica un campo de fuerza aleatorio que representa el efecto de las fluctuaciones térmicas del disolvente sobre la partícula.

El desplazamiento de una partícula que experimenta un movimiento browniano se obtiene resolviendo la ecuación de difusión en condiciones de contorno apropiadas y encontrando el valor eficaz de la solución. Esto muestra que el desplazamiento varía como la raíz cuadrada del tiempo (no linealmente), lo que explica por qué los resultados experimentales previos sobre la velocidad de las partículas brownianas dieron resultados sin sentido. Se asumió incorrectamente una dependencia temporal lineal.

Sin embargo, en escalas de tiempo muy cortas, el movimiento de una partícula está dominado por su inercia y su desplazamiento será linealmente dependiente del tiempo: Δx = vΔ t. Entonces, la velocidad instantánea del movimiento browniano se puede medir como v = Δx/Δt, cuando Δt << τ, donde τ es el tiempo de relajación del impulso. En 2010, se midió con éxito la velocidad instantánea de una partícula browniana (una microesfera de vidrio atrapada en el aire con pinzas ópticas). Los datos de velocidad verificaron la distribución de velocidad de Maxwell-Boltzmann y el teorema de equipartición para una partícula browniana.

Astrofísica: movimiento estelar dentro de las galaxias

En la dinámica estelar, un cuerpo masivo (estrella, agujero negro, etc.) puede experimentar el movimiento marroniano mientras responde a las fuerzas gravitatorias de las estrellas circundantes. La velocidad de los rms V del objeto masivo, de masa M, está relacionado con la velocidad rms ${displaystyle v_{star }$ de las estrellas de fondo por

${displaystyle MV^{2}approx mv_{star } {2}$

Donde ${displaystyle mll M}$ es la masa de las estrellas de fondo. La fuerza gravitatoria del objeto masivo hace que las estrellas cercanas se muevan más rápido de lo contrario, aumentando ambas ${displaystyle v_{star }$ y V. La velocidad Browniana de Sgr A*, el agujero negro supermasivo en el centro de la Vía Láctea, se predice de esta fórmula a menos de 1 km s⁻¹.

Matemáticas

En matemáticas, el movimiento browniano se describe mediante el proceso de Wiener, un proceso estocástico de tiempo continuo llamado así en honor a Norbert Wiener. Es uno de los procesos de Lévy más conocidos (procesos estocásticos de càdlàg con incrementos independientes estacionarios) y ocurre con frecuencia en matemáticas puras y aplicadas, economía y física.

Una sola realización del movimiento tridimensional de Brownian para los tiempos 0 ≤t≤ 2

El proceso de Wiener W_t se caracteriza por cuatro hechos:

1. W₀ = 0
2. W_t es casi seguro continuo
3. W_t ha incrementos independientes
4. ${displaystyle ¿Qué?$ (por ${displaystyle 0leq sleq t}$).

${displaystyle {mathcal {N}(musigma ^{2}}$ denota la distribución normal con valor esperado μ y diferencia σ². La condición que tiene incrementos independientes significa que si ${displaystyle 0leq [S_{1}] S_{2}$ entonces ${displaystyle ¿Qué?$ y ${displaystyle ¿Qué?$ son variables aleatorias independientes. Además, para alguna filtración ${fnMicrosoft Sans}$, ${displaystyle ¿Qué?$ es ${fnMicrosoft Sans}$ mensurable para todos ${displaystyle tgeq 0}$.

Una caracterización alternativa del proceso de Wiener es la llamada Caracterización ligera que dice que el proceso de Wiener es un martingale casi seguro con W₀ = 0 y variación cuadrática ${displaystyle No.$.

Una tercera caracterización es que el proceso de Wiener tiene una representación espectral como una serie sine cuyos coeficientes son independientes ${displaystyle {Mathcal {N}(0,1)}$ variables al azar. Esta representación se puede obtener utilizando el teorema Karhunen-Loève.

El proceso de Wiener se puede construir como el límite de escala de una caminata aleatoria u otros procesos estocásticos de tiempo discreto con incrementos independientes estacionarios. Esto se conoce como el teorema de Donsker. Al igual que el paseo aleatorio, el proceso de Wiener es recurrente en una o dos dimensiones (lo que significa que regresa casi con seguridad a cualquier vecindad fija del origen infinitamente a menudo) mientras que no es recurrente en dimensiones tres y superiores. A diferencia del paseo aleatorio, es invariante en escala.

La evolución temporal de la posición de la propia partícula browniana puede describirse aproximadamente mediante una ecuación de Langevin, una ecuación que implica un campo de fuerza aleatorio que representa el efecto de las fluctuaciones térmicas del disolvente sobre la partícula browniana. En escalas de tiempo largas, el movimiento browniano matemático está bien descrito por una ecuación de Langevin. En escalas de tiempo pequeñas, los efectos de inercia prevalecen en la ecuación de Langevin. Sin embargo, el movimiento browniano matemático está exento de tales efectos de inercia. Los efectos de inercia deben considerarse en la ecuación de Langevin, de lo contrario, la ecuación se vuelve singular. por lo que simplemente eliminar el término de inercia de esta ecuación no daría una descripción exacta, sino un comportamiento singular en el que la partícula no se mueve en absoluto.

Estadísticas

El movimiento browniano se puede modelar mediante una caminata aleatoria.

En el caso general, el movimiento browniano es un proceso de Markov y se describe mediante ecuaciones integrales estocásticas.

Caracterización de Lévy

El matemático francés Paul Lévy demostró el siguiente teorema, que da una condición necesaria y suficiente para un proceso estocástico continuo de valores Rⁿ X para ser en realidad un movimiento browniano n-dimensional. Por lo tanto, la condición de Lévy puede usarse como una definición alternativa del movimiento browniano.

Sea X = (X₁,..., X_n ) ser un proceso estocástico continuo en un espacio de probabilidad (Ω, Σ, P) tomando valores en Rⁿ . Entonces los siguientes son equivalentes:

1. X es una moción de Brownian con respecto a P, es decir, la ley X con respecto a P es lo mismo que la ley de un n-dimensional Movimiento de Brownian, es decir, la medida de avance X_Alternativa()P) es la medida clásica de Wiener en C₀([0, + mujeres);Rⁿ).
2. ambos
   1. X es un martingale con respecto a P (y su propia filtración natural); y
   2. para todos 1 ≤i,j≤n, X_i()t)X_j()t) −δ_ijt es un martingale con respecto a P (y su propia filtración natural), donde δ_ij denota el Kronecker delta.

Contenido espectral

El contenido espectral de un proceso estocástico ${displaystyle X_{t}$ se puede encontrar de la densidad espectral de potencia, formalmente definida como

$${displaystyle S(omega)=lim _{Tto infty }{frac Mathbb {E} left{fnMicrosoft ¿Qué? No, no.$$

Donde ${displaystyle mathbb {E}$ representa el valor esperado. La densidad espectral de poder del movimiento marroniano se encuentra

$${displaystyle S_{BM}(omega)={frac {4D}{omega ^{2}}}}$$

Donde ${displaystyle D}$ es el coeficiente de difusión de ${displaystyle X_{t}$. Para las señales naturales, el contenido espectral se puede encontrar a partir de la densidad espectral de potencia de una sola realización, con tiempo finito disponible, es decir,

$${displaystyle S^{(1)}(omegaT)={frac {1}{T}left permanently ¿Qué? #X_{t}dtright eterna^{2}$$

que para una realización individual de una trayectoria de movimiento marroniano, se considera que tiene valor esperado ${displaystyle mu _{BM}(omegaT)}$

$${displaystyle mu _{BM}(omegaT)={frac {4D}{omega ^{2}}}left[1-{frac {sinleft(omega Tright)}{omega T}right]}}}}}}}} {m]$$

y diferencia ${displaystyle sigma _{2}(omegaT)}$

$${displaystyle sigma ¿Por qué? {f}{4}}left[1-{Big (}6-cos left(fTright)}{frac {2sleft(fTright)}{Big)}{frac {2sin left(fTright)}{5fT}}}+{frac}{frac}}{s}}}{s}}}}}}}{f}}}}}{f}}{f}}}}}{f}{f}}}{f}{f}}{f}}}}}}}}}}}}}}}}{f}}}}{f} {f}{f}}}}}}}}}}}}}}{f}{f}}}}}{f}}}}{f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {Big (}17-cos left(2fTright)-16cos left(fTright){Big)}}{10f^{2}T^{2}right].}$$

Para tiempos de realización lo suficientemente largos, el valor esperado del espectro de poder de una sola trayectoria converge a la densidad espectral de poder definida formalmente ${displaystyle S(omega)}$, pero su coeficiente de variación ${displaystyle gamma ={sigma }/mu }$ tiende a ${displaystyle {sqrt {5}/2}$. Esto implica la distribución de ${displaystyle S^{(1)}(omegaT)}$ es amplio incluso en el límite de tiempo infinito.

Variedad de Riemann

Movimiento marroniano en una esfera

El generador infinitesimal (y por lo tanto el operador característico) de un movimiento marroniano en Rⁿ se calcula fácilmente para ser 1⁄2Δ, donde Δ denota el operador de Laplace. En el procesamiento de imágenes y la visión de la computadora, el operador laplaciano se ha utilizado para diversas tareas como la detección de bloques y bordes. Esta observación es útil para definir el movimiento marroniano sobre un m-dimensional Manifold RiemannianoM,g): a Brownian motion on M se define como una difusión sobre M cuyo operador característico ${displaystyle {fnMithcal}}$ en las coordenadas locales x_i, 1 ≤i≤m, se da por 1⁄2Δ_LB, donde Δ_LB es el operador de Laplace-Beltrami dado en las coordenadas locales por

${displaystyle Delta _{mathrm {}={frac {1}{sqrt {det(g)}}sum {fnK} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft}}}sum _{j=1} {m} {f}{f}{m}{f}{m}{f}}{m}}}{m}}{f}{f}}}}{m}}}}{m}}}}{m}}}{m}{m}{f}{f}{f}}}}}{f}}}{f}}}}}}{f}}{f}}} {f} {f}{f}}}}}}}}}}}}}}}}}{m}}}}{f}}{f}{f}{f}{f}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}{ - Sí.$

donde [g^ij] = [g_ij ]⁻¹ en el sentido de la inversa de una matriz cuadrada.

Escape estrecho

El problema de escape estrecho es un problema omnipresente en biología, biofísica y biología celular que tiene la siguiente formulación: una partícula browniana (ion, molécula o proteína) está confinada a un dominio delimitado (un compartimento o una célula) por un límite reflectante, excepto por una pequeña ventana a través de la cual puede escapar. El problema de escape estrecho es el de calcular el tiempo medio de escape. Este tiempo diverge a medida que la ventana se reduce, lo que hace que el cálculo sea un problema de perturbación singular.