Movimiento armónico simple

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En mecánica y física, el movimiento armónico simple (a veces abreviado SHM) es un tipo especial de movimiento periódico donde la fuerza restauradora sobre el objeto en movimiento es directamente proporcional a la magnitud del desplazamiento del objeto y actúa hacia la posición de equilibrio del objeto. Da como resultado una oscilación que continúa indefinidamente, si no es inhibida por la fricción o cualquier otra disipación de energía.

El movimiento armónico simple puede servir como modelo matemático para una variedad de movimientos, pero está tipificado por la oscilación de una masa en un resorte cuando está sujeto a la fuerza restauradora elástica lineal dada por la ley de Hooke. El movimiento es sinusoidal en el tiempo y demuestra una sola frecuencia resonante. Otros fenómenos pueden modelarse mediante el movimiento armónico simple, incluido el movimiento de un péndulo simple, aunque para que sea un modelo preciso, la fuerza neta sobre el objeto al final del péndulo debe ser proporcional al desplazamiento (y aun así, es solo una buena aproximación cuando el ángulo de giro es pequeño; ver aproximación de ángulo pequeño). El movimiento armónico simple también se puede utilizar para modelar la vibración molecular.

El movimiento armónico simple proporciona una base para la caracterización del movimiento periódico más complicado a través de las técnicas del análisis de Fourier.

Introducción

El movimiento de una partícula que se desplaza a lo largo de una línea recta con una aceleración cuya dirección es siempre hacia un punto fijo de la línea y cuya magnitud es proporcional a la distancia desde el punto fijo se denomina movimiento armónico simple.

En el diagrama, se muestra un oscilador armónico simple, que consta de un peso unido a un extremo de un resorte. El otro extremo del resorte está conectado a un soporte rígido como una pared. Si el sistema se deja en reposo en la posición de equilibrio, entonces no hay una fuerza neta que actúe sobre la masa. Sin embargo, si la masa se desplaza de la posición de equilibrio, el resorte ejerce una fuerza elástica restauradora que obedece la ley de Hooke.

Matemáticamente, la fuerza restauradora F viene dada por

{displaystyle mathbf {F} =-kmathbf {x},}

donde F es la fuerza elástica restauradora ejercida por el resorte (en unidades SI: N), k es la constante del resorte (N·m), yx es el desplazamiento desde la posición de equilibrio (m).

Para cualquier oscilador armónico mecánico simple:

Cuando el sistema se desplaza de su posición de equilibrio, una fuerza restauradora que obedece la ley de Hooke tiende a restaurar el sistema al equilibrio.

Una vez que la masa se desplaza de su posición de equilibrio, experimenta una fuerza restauradora neta. Como resultado, acelera y comienza a volver a la posición de equilibrio. Cuando la masa se acerca a la posición de equilibrio, la fuerza restauradora disminuye. En la posición de equilibrio, la fuerza restauradora neta desaparece. Sin embargo, en x = 0, la masa tiene cantidad de movimiento debido a la aceleración que le ha impartido la fuerza restauradora. Por lo tanto, la masa continúa más allá de la posición de equilibrio, comprimiendo el resorte. Luego, una fuerza restauradora neta lo desacelera hasta que su velocidad llega a cero, después de lo cual se acelera nuevamente hasta la posición de equilibrio.

Mientras el sistema no tenga pérdida de energía, la masa continúa oscilando. Así, el movimiento armónico simple es un tipo de movimiento periódico. Si se pierde energía en el sistema, entonces la masa exhibe una oscilación amortiguada.

Tenga en cuenta que si el gráfico del espacio real y del espacio de fase no son colineales, el movimiento del espacio de fase se vuelve elíptico. El área encerrada depende de la amplitud y el momento máximo.

Dinámica

En la mecánica newtoniana, para el movimiento armónico simple unidimensional, la ecuación de movimiento, que es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden con coeficientes constantes, se puede obtener mediante la segunda ley de Newton y la ley de Hooke para una masa sobre un resorte.

{displaystyle F_{mathrm {net} }=m{frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=-kx,}

donde m es la masa inercial del cuerpo oscilante, x es su desplazamiento desde la posición de equilibrio (o media) y k es una constante (la constante elástica para una masa sobre un resorte).

Por lo tanto,

{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=-{frac {k}{m}}x,}

Resolver la ecuación diferencial anterior produce una solución que es una función sinusoidal:

{displaystyle x(t)=c_{1}cos left(omega tright)+c_{2}sin left(omega tright),}

donde ${estilo de texto omega ={sqrt {frac {k}{m}}}.}$ El significado de las constantes $c_{1}$ y ${ estilo de visualización c_ {2}}$ se puede encontrar fácilmente: poniendo $t=0$ en la ecuación anterior vemos que ${ estilo de visualización x (0) = c_ {1}}$ , por lo que $c_{1}$ es la posición inicial de la partícula, ${ estilo de visualización c_ {1} = x_ {0}}$ ; tomando la derivada de esa ecuación y evaluando en cero obtenemos que ${displaystyle {dot {x}}(0)=omega c_{2}}$ , por lo que ${ estilo de visualización c_ {2}}$ es la velocidad inicial de la partícula dividida por la frecuencia angular, ${displaystyle c_{2}={frac{v_{0}}{omega }}}$ . Así podemos escribir:

{displaystyle x(t)=x_{0}cos left({sqrt {frac {k}{m}}}tright)+{frac {v_{0}}{sqrt { fracción {k}{m}}}}sin left({sqrt {frac {k}{m}}}tright).}

Esta ecuación también se puede escribir en la forma:

{displaystyle x(t)=Acos left(omega t-varphi right),}

dónde

{displaystyle A={sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}},qquad tan varphi ={frac {c_{2}}{ c_{1}}},;sin varphi ={frac {c_{2}}{A}},;cos varphi ={frac {c_{1}}{A}}}

o equivalente

{displaystyle A=|c_{1}+c_{2}i|,qquadvarphi =arg(c_{1}+c_{2}i)}

En la solución, c ₁ y c ₂ son dos constantes determinadas por las condiciones iniciales (específicamente, la posición inicial en el tiempo t = 0 es c ₁, mientras que la velocidad inicial es c ₂ω), y el origen se establece en el posición de equilibrio. Cada una de estas constantes tiene un significado físico del movimiento: A es la amplitud (desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio), ω = 2 πf es la frecuencia angular y φ es la fase inicial.

Usando las técnicas del cálculo, la velocidad y la aceleración en función del tiempo se pueden encontrar:

{displaystyle v(t)={frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}=-Aomega sin(omega t-varphi),}

Velocidad:

{displaystyle {omega }{sqrt {A^{2}-x^{2}}}}

Velocidad máxima: v = ωA (en el punto de equilibrio)

{displaystyle a(t)={frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=-Aomega ^{2}cos(omega t-varphi).}

Aceleración máxima: Aω (en puntos extremos)

Por definición, si una masa m está bajo MAS, su aceleración es directamente proporcional al desplazamiento.

dónde

{ estilo de visualización omega ^ {2} = { frac {k} {m}}}

Como ω = 2 πf,

{displaystyle f={frac {1}{2pi }}{sqrt {frac {k}{m}}},}

y, dado que T =1/Fdonde T es el período de tiempo,

{displaystyle T=2pi {sqrt {frac {m}{k}}}.}

Estas ecuaciones demuestran que el movimiento armónico simple es isócrono (el período y la frecuencia son independientes de la amplitud y la fase inicial del movimiento).

Energía

Sustituyendo ω pork/metro, la energía cinética K del sistema en el tiempo t es

{displaystyle K(t)={tfrac {1}{2}}mv^{2}(t)={tfrac {1}{2}}momega ^{2}A^{2} sin ^{2}(omega t-varphi)={tfrac {1}{2}}kA^{2}sin ^{2}(omega t-varphi),}

y la energía potencial es

{displaystyle U(t)={tfrac {1}{2}}kx^{2}(t)={tfrac {1}{2}}kA^{2}cos ^{2}( omega t-varphi).}

En ausencia de fricción y otras pérdidas de energía, la energía mecánica total tiene un valor constante

{displaystyle E=K+U={tfrac {1}{2}}kA^{2}.}

Ejemplos

Los siguientes sistemas físicos son algunos ejemplos de oscilador armónico simple.

Misa en un resorte

Una masa m unida a un resorte de constante elástica k exhibe un movimiento armónico simple en un espacio cerrado. La ecuación para describir el período.

muestra que el período de oscilación es independiente de la amplitud, aunque en la práctica la amplitud debería ser pequeña. La ecuación anterior también es válida en el caso de que se aplique una fuerza constante adicional sobre la masa, es decir, la fuerza constante adicional no puede cambiar el período de oscilación.

Movimiento circular uniforme

El movimiento armónico simple puede considerarse la proyección unidimensional del movimiento circular uniforme. Si un objeto se mueve con velocidad angular ω alrededor de un círculo de radio r centrado en el origen del plano xy, entonces su movimiento a lo largo de cada coordenada es un movimiento armónico simple con amplitud r y frecuencia angular ω.

Movimiento oscilatorio

Es el movimiento de un cuerpo cuando se mueve de un lado a otro alrededor de un punto definido. Este tipo de movimiento también se denomina movimiento oscilatorio o movimiento vibratorio. El período de tiempo puede ser calculado por

{displaystyle T=2pi {sqrt {frac {l}{g}}}}

donde l es la distancia desde la rotación hasta el centro de masa del objeto sometido a MAS y g siendo el campo gravitacional constante. Esto es análogo al sistema masa-resorte.

Masa de un péndulo simple

En la aproximación de ángulo pequeño, el movimiento de un péndulo simple se aproxima mediante un movimiento armónico simple. El periodo de una masa unida a un péndulo de longitud l con aceleración gravitacional $gramo$ está dado por

Esto muestra que el período de oscilación es independiente de la amplitud y la masa del péndulo, pero no de la aceleración de la gravedad, $gramo$ por lo tanto, un péndulo de la misma longitud en la Luna oscilaría más lentamente debido a la menor fuerza del campo gravitatorio de la Luna. Debido a que el valor de $gramo$ varía ligeramente sobre la superficie de la tierra, el período de tiempo variará ligeramente de un lugar a otro y también variará con la altura sobre el nivel del mar.

Esta aproximación es precisa solo en ángulos pequeños debido a que la expresión de la aceleración angular α es proporcional al seno del ángulo de desplazamiento:

donde I es el momento de inercia. Cuando θ es pequeño, sen θ ≈ θ y por lo tanto la expresión se convierte en

lo que hace que la aceleración angular sea directamente proporcional a θ, satisfaciendo la definición de movimiento armónico simple. que es un movimiento armónico simple que ocurre cuando la fuerza neta es directamente proporcional al desplazamiento desde la posición media y siempre se dirige hacia la posición media

Yugo escocés

Se puede usar un mecanismo de yugo escocés para convertir entre movimiento de rotación y movimiento alternativo lineal. El movimiento lineal puede tomar varias formas dependiendo de la forma de la ranura, pero el yugo básico con una velocidad de rotación constante produce un movimiento lineal que tiene una forma armónica simple.

de Godwin Emmanuel

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