Movilidad electrónica

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Cantidad en física de estado sólido

En física del estado sólido, la movilidad electrónica caracteriza la rapidez con la que un electrón puede moverse a través de un metal o semiconductor cuando es empujado o atraído por un campo eléctrico. Existe una cantidad análoga para los agujeros, llamada movilidad de los agujeros. El término movilidad de portadores se refiere en general a la movilidad tanto de electrones como de huecos.

La movilidad de electrones y huecos son casos especiales de movilidad eléctrica de partículas cargadas en un fluido bajo un campo eléctrico aplicado.

Cuando un campo eléctrico E se aplica a través de un pedazo de material, los electrones responden moviendo con una velocidad promedio llamada la velocidad de deriva, ${displaystyle v_{d}}$ . Luego la movilidad electron μ se define como

{displaystyle v_{d}=mu E.}

La movilidad de los electrones casi siempre se especifica en unidades de cm2/(V⋅s). Esto es diferente de la unidad SI de movilidad, m2/(V⋅s). Están relacionados por 1 m²/(V⋅s) = 10⁴ cm²/(V⋅s).

La conductividad es proporcional al producto de la movilidad y la concentración de portadores. Por ejemplo, la misma conductividad podría provenir de un pequeño número de electrones con alta movilidad para cada uno, o de un gran número de electrones con pequeña movilidad para cada uno. Para los semiconductores, el comportamiento de los transistores y otros dispositivos puede ser muy diferente dependiendo de si hay muchos electrones con baja movilidad o pocos electrones con alta movilidad. Por tanto, la movilidad es un parámetro muy importante para los materiales semiconductores. Casi siempre, una mayor movilidad conduce a un mejor rendimiento del dispositivo, en igualdad de condiciones.

La movilidad de los semiconductores depende de las concentraciones de impurezas (incluidas las concentraciones de donantes y aceptores), la concentración de defectos, la temperatura y las concentraciones de electrones y huecos. También depende del campo eléctrico, particularmente en campos elevados cuando se produce saturación de velocidad. Puede determinarse por el efecto Hall o inferirse del comportamiento del transistor.

Introducción

Velocidad de deriva en un campo eléctrico

Sin ningún campo eléctrico aplicado, en un sólido, los electrones y los huecos se mueven aleatoriamente. Por lo tanto, en promedio no habrá movimiento general de los portadores de carga en ninguna dirección particular a lo largo del tiempo.

Sin embargo, cuando se aplica un campo eléctrico, cada electrón o hueco es acelerado por el campo eléctrico. Si el electrón estuviera en el vacío, se aceleraría a una velocidad cada vez mayor (lo que se denomina transporte balístico). Sin embargo, en un sólido, el electrón se dispersa repetidamente de defectos cristalinos, fonones, impurezas, etc., de modo que pierde algo de energía y cambia de dirección. El resultado final es que el electrón se mueve con una velocidad promedio finita, llamada velocidad de deriva. Este movimiento neto de electrones suele ser mucho más lento que el movimiento aleatorio que ocurre normalmente.

Los dos portadores de carga, electrones y huecos, normalmente tendrán diferentes velocidades de deriva para el mismo campo eléctrico.

El transporte cuasi balístico es posible en sólidos si los electrones se aceleran a lo largo de una distancia muy pequeña (tan pequeña como el camino libre medio), o durante un tiempo muy corto (tan corto como el tiempo libre medio). En estos casos, la velocidad de deriva y la movilidad no son significativas.

Definición y unidades

La movilidad de los electrones está definida por la ecuación:

{displaystyle v_{d}=mu _{e}E.}

E es la magnitud del campo eléctrico aplicado a un material,
v_d es la magnitud de la velocidad de deriva de electrones (en otras palabras, la velocidad de deriva de electrones) causada por el campo eléctrico, y
μ_e es la movilidad de electrones.

La movilidad del agujero se define mediante una ecuación similar:

{displaystyle v_{d}=mu _{h}E.}

Por lo general, la velocidad de deriva de los electrones en un material es directamente proporcional al campo eléctrico, lo que significa que la movilidad de los electrones es constante (independiente del campo eléctrico). Cuando esto no es cierto (por ejemplo, en campos eléctricos muy grandes), la movilidad depende del campo eléctrico.

La unidad SI de velocidad es m/s y la unidad SI de campo eléctrico es V/m. Por lo tanto, la unidad SI de movilidad es (m/s)/(V/m) = m2/(V⋅s). Sin embargo, la movilidad se expresa mucho más comúnmente en cm²/(V⋅s) = 10⁻⁴ m²/(V⋅s) .

La movilidad suele ser una función importante de las impurezas del material y la temperatura, y se determina empíricamente. Los valores de movilidad normalmente se presentan en forma de tabla o gráfico. La movilidad también es diferente para los electrones y los huecos en un material determinado.

Derivación

Empezando con la Segunda Ley de Newton:

{displaystyle a=F/m_{e}^{*}}

a es la aceleración entre colisiones.
F es la fuerza eléctrica ejercida por el campo eléctrico, y
${displaystyle m_{e}^{*}}$ es la masa efectiva de un electrón.

Dado que la fuerza sobre el electrón es −eE:

{displaystyle a=-{frac {eE}{m_{e}^{*}}}}

Esta es la aceleración del electrón entre colisiones. Por tanto, la velocidad de deriva es:

{displaystyle v_{d}=atau _{c}=-{frac {etau _{c}}{m_{e}^{*}}}E,}

{displaystyle tau _{c}}

Dado que sólo nos importa cómo cambia la velocidad de deriva con el campo eléctrico, agrupamos los términos sueltos para obtener

{displaystyle v_{d}=-mu _{e}E,}

{displaystyle mu _{e}={frac {etau _{c}}{m_{e}^{*}}}}

Del mismo modo, para los agujeros tenemos

{displaystyle v_{d}=mu _{h}E,}

{displaystyle mu _{h}={frac {etau _{c}}{m_{h}^{*}}}}

Relación con la densidad de corriente

La densidad de corriente resultante de un campo eléctrico se puede calcular a partir de la velocidad de deriva. Considere una muestra con área transversal A, longitud l y concentración de electrones de n. La corriente transportada por cada electron debe ser ${displaystyle -ev_{d}}$ , para que la densidad total de corriente debida a electrones sea dada por:

{displaystyle J_{e}={frac {I_{n}}{A}}=-env_{d}}

{displaystyle v_{d}}

{displaystyle J_{e}=enmu _{e}E}

{displaystyle J_{h}=epmu _{h}E}

{displaystyle mu _{h}}

La densidad de corriente total es la suma de los componentes de electrones y huecos:

{displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(enmu _{e}+epmu _{h})E}

Relación con la conductividad

Previamente hemos derivado la relación entre la movilidad de los electrones y la densidad de corriente.

{displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(enmu _{e}+epmu _{h})E}

{displaystyle J=sigma E}

{displaystyle sigma }

{displaystyle sigma =enmu _{e}+epmu _{h}}

{displaystyle sigma =e(nmu _{e}+pmu _{h})}

Relación con la difusión de electrones

En una región donde n y p varían con la distancia, se superpone una corriente de difusión a la debida a la conductividad. Esta corriente de difusión se rige por la Ley de Fick:

{displaystyle F=-D_{text{e}}nabla n}

F es el flujo.
D_e es el coeficiente de difusión o la difusividad
${displaystyle nabla n}$ es el gradiente de concentración de electrones

El coeficiente de difusión de un portador de carga está relacionado con su movilidad mediante la relación de Einstein. Para un sistema clásico (por ejemplo, gas Boltzmann), se lee:

{displaystyle D_{text{e}}={frac {mu _{text{e}}k_{mathrm {B} }T}{e}}}

k_B es la constante de Boltzmann
T es la temperatura absoluta
e es la carga eléctrica de un electrón

Para un metal, descrito por un gas de Fermi (líquido de Fermi), se debe utilizar la versión cuántica de la relación de Einstein. Normalmente, la temperatura es mucho menor que la energía de Fermi; en este caso se debe utilizar la siguiente fórmula:

{displaystyle D_{text{e}}={frac {mu _{text{e}}E_{F}}{e}}}

E_F es la energía fermi

Ejemplos

La movilidad típica de los electrones a temperatura ambiente (300 K) en metales como el oro, el cobre y la plata es de 30 a 50 cm²/(V⋅s). La movilidad de los portadores en los semiconductores depende del dopaje. En el silicio (Si) la movilidad de los electrones es del orden de 1.000, en el germanio alrededor de 4.000 y en el arseniuro de galio hasta 10.000 cm²/(V⋅s). Las movilidades de los agujeros son generalmente más bajas y oscilan entre aproximadamente 100 cm²/(V⋅s) en arseniuro de galio, hasta 450 en silicio y 2000 en germanio.

Se ha encontrado una movilidad muy alta en varios sistemas ultrapuros de baja dimensión, como los gases de electrones bidimensionales (2DEG) (35 000 000 cm²/(V⋅s) a baja temperatura), el carbono nanotubos (100.000 cm²/(V⋅s) a temperatura ambiente) y grafeno independiente (200.000 cm²/(V⋅s) a baja temperatura). Los semiconductores orgánicos (polímeros, oligómeros) desarrollados hasta ahora tienen movilidades de portadores inferiores a 50 cm²/(V⋅s) y, normalmente, inferiores a 1, mientras que los materiales de buen rendimiento se miden por debajo de 10.

Lista de las movilidades más altas medida [cm²/(V⋅s)]
Material	Movilidad de electrones	Movilidad del casco
Heteroestructuras AlGaAs/GaAs	35,000,000	5,800,000
Grafo independiente	200.000
Carbon nanotubes	79.000
Cubic boron arsenide (c-BAs)	1.600
Silicio cristalino	1.400	450
Silicona policristalina	100
Metales (Al, Au, Cu, Ag)	10–50
Material 2D (MoS₂)	10–50
Orgánicos	8.6	43
Silicio amorfo	~1

Dependencia de campo eléctrico y saturación de velocidad

En campos bajos, la velocidad de deriva v_d es proporcional al campo eléctrico E, así que movilidad μ es constante. Este valor μ se llama movilidad de bajo nivel.

Sin embargo, a medida que aumenta el campo eléctrico, la velocidad de la portadora aumenta de forma sublineal y asintótica hacia un valor máximo posible, llamado velocidad de saturación v_{sat. Por ejemplo, el valor de v_sat es del orden de 1×10⁷ cm/s tanto para electrones como para huecos en Si. Es del orden de 6×10⁶ cm/s para Ge. Esta velocidad es una característica del material y una fuerte función del dopaje o niveles de impurezas y la temperatura. Es una de las propiedades clave de los materiales y dispositivos semiconductores que determina el límite máximo de velocidad de respuesta y frecuencia de un dispositivo como un transistor.}

Este fenómeno de saturación de velocidad resulta de un proceso llamado dispersión óptica de fonones. En campos elevados, los portadores se aceleran lo suficiente como para ganar suficiente energía cinética entre colisiones para emitir un fonón óptico, y lo hacen muy rápidamente, antes de acelerarse nuevamente. La velocidad que alcanza el electrón antes de emitir un fonón es:

{displaystyle {frac {m^{*}v_{text{emit}}^{2}}{2}}approx hbar omega _{text{phonon (opt.)}}}

⋅_phonon(opt.)E_{phonon (opt.)}v_emisiónv_emisión

La saturación de velocidad no es el único comportamiento posible en el campo alto. Otro es el efecto Gunn, donde un campo eléctrico suficientemente alto puede provocar una transferencia de electrones a intervalos, lo que reduce la velocidad de deriva. Esto es inusual; aumentar el campo eléctrico casi siempre aumenta la velocidad de deriva o la deja sin cambios. El resultado es una resistencia diferencial negativa.

En el régimen de saturación de velocidad (u otros efectos de alto campo), la movilidad es una función importante del campo eléctrico. Esto significa que la movilidad es un concepto algo menos útil, en comparación con simplemente discutir directamente la velocidad de deriva.

Relación entre dispersión y movilidad

Recuerde que, por definición, la movilidad depende de la velocidad de deriva. El principal factor que determina la velocidad de deriva (aparte de la masa efectiva) es el tiempo de dispersión, es decir, cuánto tiempo el campo eléctrico acelera balísticamente al portador hasta que se dispersa (choca) con algo que cambia su dirección y/o energía. Las fuentes más importantes de dispersión en materiales semiconductores típicos, que se analizan a continuación, son la dispersión de impurezas ionizadas y la dispersión de fonones acústicos (también llamada dispersión reticular). En algunos casos, otras fuentes de dispersión pueden ser importantes, como la dispersión de impurezas neutras, la dispersión de fonones ópticos, la dispersión de superficies y la dispersión de defectos.

La dispersión elástica significa que la energía se conserva (casi) durante el evento de dispersión. Algunos procesos de dispersión elástica son la dispersión de fonones acústicos, la dispersión de impurezas, la dispersión piezoeléctrica, etc. En la dispersión de fonones acústicos, los electrones se dispersan del estado k al k', mientras emiten o absorber un fonón del vector de onda q. Este fenómeno suele modelarse asumiendo que las vibraciones de la red provocan pequeños cambios en las bandas de energía. El potencial adicional que causa el proceso de dispersión se genera por las desviaciones de las bandas debido a estas pequeñas transiciones desde posiciones congeladas de la red.

Dispersión de impurezas ionizadas

Los semiconductores están dopados con donantes y/o aceptores, que normalmente están ionizados y, por tanto, están cargados. Las fuerzas de Coulomb desviarán un electrón o un agujero que se acerque a la impureza ionizada. Esto se conoce como dispersión de impurezas ionizadas. La cantidad de desviación depende de la velocidad del portador y de su proximidad al ion. Cuanto más dopado esté un material, mayor será la probabilidad de que un portador colisione con un ion en un tiempo determinado, menor será el tiempo libre medio entre colisiones y menor será la movilidad. Al determinar la fuerza de estas interacciones debido a la naturaleza de largo alcance del potencial de Coulomb, otras impurezas y portadores libres hacen que el rango de interacción con los portadores se reduzca significativamente en comparación con la interacción de Coulomb simple.

Si estos dispersores están cerca de la interfaz, la complejidad del problema aumenta debido a la existencia de defectos y trastornos en el cristal. Los centros de captura de carga que dispersan a los transportistas se forman en muchos casos debido a defectos asociados con bonos colgantes. La dispersión ocurre porque después de atrapar una carga, el defecto se carga y, por lo tanto, comienza a interactuar con los portadores gratuitos. Si los portadores dispersos están en la capa de inversión en la interfaz, la dimensionalidad reducida de los portadores hace que el caso difiera del caso de dispersión de impurezas en masa, ya que los portadores se mueven sólo en dos dimensiones. La rugosidad interfacial también provoca una dispersión de corto alcance que limita la movilidad de los electrones cuasi bidimensionales en la interfaz.

Dispersión de celosía (fonón)

A cualquier temperatura por encima del cero absoluto, los átomos que vibran crean ondas de presión (acústicas) en el cristal, que se denominan fonones. Al igual que los electrones, los fonones pueden considerarse partículas. Un fonón puede interactuar (chocar) con un electrón (o hueco) y dispersarlo. A mayor temperatura, hay más fonones y, por tanto, aumenta la dispersión de electrones, lo que tiende a reducir la movilidad.

Dispersión piezoeléctrica

El efecto piezoeléctrico sólo puede ocurrir en semiconductores compuestos debido a su naturaleza polar. Es pequeño en la mayoría de los semiconductores, pero puede provocar campos eléctricos locales que provocan la dispersión de los portadores al desviarlos; este efecto es importante principalmente a bajas temperaturas, donde otros mecanismos de dispersión son débiles. Estos campos eléctricos surgen de la distorsión de la celda unitaria básica cuando se aplica tensión en ciertas direcciones en la red.

Dispersión de rugosidad superficial

La dispersión de la rugosidad de la superficie causada por el desorden interfacial es una dispersión de corto alcance que limita la movilidad de los electrones cuasi bidimensionales en la interfaz. A partir de micrografías electrónicas de transmisión de alta resolución, se ha determinado que la interfaz no es abrupta a nivel atómico, pero la posición real del plano interfacial varía una o dos capas atómicas a lo largo de la superficie. Estas variaciones son aleatorias y provocan fluctuaciones de los niveles de energía en la interfaz, lo que luego provoca dispersión.

dispersión de aleaciones

En los semiconductores compuestos (aleaciones), que son muchos materiales termoeléctricos, la dispersión causada por la perturbación del potencial cristalino debido al posicionamiento aleatorio de especies de átomos sustitutos en una subred relevante se conoce como dispersión de aleación. Esto solo puede suceder en aleaciones ternarias o superiores, ya que su estructura cristalina se forma reemplazando aleatoriamente algunos átomos en una de las subredes (subred) de la estructura cristalina. Generalmente, este fenómeno es bastante débil, pero en ciertos materiales o circunstancias, puede convertirse en un efecto dominante que limite la conductividad. En materiales a granel, normalmente se ignora la dispersión de la interfaz.

Dispersión inelástica

Durante los procesos de dispersión inelástica, se produce un importante intercambio de energía. Al igual que ocurre con la dispersión de fonones elásticos, también en el caso inelástico, el potencial surge de las deformaciones de las bandas de energía causadas por vibraciones atómicas. Los fonones ópticos que causan dispersión inelástica generalmente tienen una energía en el rango de 30 a 50 meV, en comparación, las energías de los fonones acústicos suelen ser inferiores a 1 meV, pero algunos pueden tener una energía del orden de 10 meV. Hay un cambio significativo en la energía del portador durante el proceso de dispersión. Los fonones ópticos o acústicos de alta energía también pueden causar dispersión en intervalos o entre bandas, lo que significa que la dispersión no está limitada dentro de un solo valle.

Dispersión electrón-electrón

Debido al principio de exclusión de Pauli, se puede considerar que los electrones no interactúan si su densidad no excede el valor 10¹⁶~10¹⁷ cm^{− 3} o valor del campo eléctrico 10³ V/cm. Sin embargo, significativamente por encima de estos límites, la dispersión electrón-electrón comienza a dominar. El largo alcance y la no linealidad del potencial de Coulomb que rige las interacciones entre electrones hacen que estas interacciones sean difíciles de abordar.

Relación entre movilidad y dispersión del tiempo

Un modelo simple proporciona la relación aproximada entre el tiempo de dispersión (tiempo promedio entre eventos de dispersión) y la movilidad. Se supone que después de cada evento de dispersión, el movimiento del portador es aleatorio, por lo que tiene una velocidad promedio cero. Después de eso, acelera uniformemente en el campo eléctrico, hasta que se dispersa nuevamente. La movilidad de deriva promedio resultante es:

{displaystyle mu ={frac {q}{m^{*}}}{overline {tau }}}

qmτ

Si la masa efectiva es anisotrópica (dependiente de la dirección), m* es la masa efectiva en la dirección del campo eléctrico.

La regla de Matthiessen

Normalmente, está presente más de una fuente de dispersión, por ejemplo, impurezas y fonones reticulares. Normalmente es una muy buena aproximación combinar sus influencias utilizando la "regla de Matthiessen" (desarrollado a partir del trabajo de Augustus Matthiessen en 1864):

{displaystyle {frac {1}{mu }}={frac {1}{mu _{rm {impurities}}}}+{frac {1}{mu _{rm {lattice}}}}.}

{displaystyle mu _{rm {impurities}}}

{displaystyle mu _{rm {lattice}}}

{displaystyle {frac {1}{mu }}={frac {1}{mu _{rm {impurities}}}}+{frac {1}{mu _{rm {lattice}}}}+{frac {1}{mu _{rm {defects}}}}+cdots.}

{displaystyle {frac {1}{tau }}={frac {1}{tau _{rm {impurities}}}}+{frac {1}{tau _{rm {lattice}}}}+{frac {1}{tau _{rm {defects}}}}+cdots.}

τ_impurezas

La regla de Matthiessen es una aproximación y no es universalmente válida. Esta regla no es válida si los factores que afectan la movilidad dependen unos de otros, porque las probabilidades de dispersión individuales no pueden sumarse a menos que sean independientes entre sí. El tiempo medio de vuelo libre de un transportista y, por tanto, el tiempo de relajación, es inversamente proporcional a la probabilidad de dispersión. Por ejemplo, la dispersión reticular altera la velocidad promedio de los electrones (en la dirección del campo eléctrico), lo que a su vez altera la tendencia a dispersar impurezas. Existen fórmulas más complicadas que intentan tener en cuenta estos efectos.

Dependencia de la movilidad con la temperatura

Típica dependencia de temperatura de la movilidad
	Si	Ge	GaAs
Electrones	∝T ^−2.4	∝T ^−1.7	∝T ^1.0−
Holes	∝T ^−2.2	∝T ^−2.3	∝T ^−2.1

Con la temperatura creciente, la concentración de fonón aumenta y causa una mayor dispersión. Por lo tanto lattice dispersa disminuye la movilidad del portador cada vez más a temperatura más alta. Los cálculos teóricos revelan que la movilidad en semiconductores no polares, como el silicio y el germanio, está dominada por la interacción acústica del fono. Se espera que la movilidad resultante sea proporcional a T ^−3/2, mientras que se espera que la movilidad debido a la dispersión de fono óptico sea proporcional a T ^1/2−. Experimentalmente, los valores de la dependencia de temperatura de la movilidad en Si, Ge y GaAs se enumeran en la tabla.

As ${textstyle {frac {1}{tau }}propto leftlangle vrightrangle Sigma }$ , donde ${displaystyle Sigma }$ es la sección de la cruz dispersa para electrones y agujeros en un centro de dispersión y ${displaystyle leftlangle vrightrangle }$ es un promedio térmico (Boltzmann estadística) sobre todas las velocidades de electrones o agujeros en la banda de conducción inferior o la banda superior de valence, la dependencia de temperatura de la movilidad se puede determinar. Aquí se utiliza la siguiente definición para la sección de la cruz dispersa: número de partículas dispersas en ángulo sólido dΩ por unidad tiempo dividido por número de partículas por área por hora (intensidad de identificación), que proviene de la mecánica clásica. Como las estadísticas de Boltzmann son válidas para semiconductores ${displaystyle leftlangle vrightrangle sim {sqrt {T}}}$ .

Para dispersión de fonones acústicos, para temperaturas bien por encima de la temperatura de Debye, la sección transversal estimada de la_ph se determina desde el cuadrado de la amplitud vibracional promedio de un fono para ser proporcional a T. La dispersión de defectos cargados (donantes ionizados o aceptadores) conduce a la sección transversal ${displaystyle {Sigma }_{text{def}}propto {leftlangle vrightrangle }^{-4}}$ . Esta fórmula es la sección de distribución de la cruz para "Rutherford scattering", donde una carga de punto (carrier) pasa por otra carga de punto (defecto) experimentando la interacción de Coulomb.

Las dependencias de temperatura de estos dos mecanismos de dispersión en semiconductores pueden determinarse combinando fórmulas para τ, CEP y ${displaystyle leftlangle vrightrangle }$ , para ser para la dispersión de fonones acústicos ${displaystyle {mu }_{ph}sim T^{-3/2}}$ y de defectos cargados ${displaystyle {mu }_{text{def}}sim T^{3/2}}$ .

Sin embargo, el efecto de la dispersión de impurezas ionizadas disminuye al aumentar la temperatura porque aumentan las velocidades térmicas promedio de los portadores. Así, los portadores pasan menos tiempo cerca de una impureza ionizada a su paso y, por tanto, se reduce el efecto de dispersión de los iones.

Estos dos efectos operan simultáneamente sobre los transportistas a través de la regla de Matthiessen. A temperaturas más bajas, domina la dispersión de impurezas ionizadas, mientras que a temperaturas más altas domina la dispersión de fonones y la movilidad real alcanza un máximo a una temperatura intermedia.

Semiconductores desordenados

Mientras que en los materiales cristalinos los electrones pueden describirse mediante funciones de onda extendidas sobre todo el sólido, este no es el caso en sistemas con un desorden estructural apreciable, como los semiconductores policristalinos o amorfos. Anderson sugirió que más allá de un valor crítico de desorden estructural, los estados de los electrones estarían localizados. Los estados localizados se describen como confinados a una región finita del espacio real, normalizables y que no contribuyen al transporte. Los estados extendidos se extienden sobre la extensión del material, no son normalizables y contribuyen al transporte. A diferencia de los semiconductores cristalinos, la movilidad generalmente aumenta con la temperatura en los semiconductores desordenados.

Múltiples capturas y liberaciones

Mott más tarde desarrolló el concepto de un borde de movilidad. Esta es una energía ${displaystyle E_{C}}$ , por encima de lo cual los electrones sufren una transición de estados localizados a estados deslocalizados. En esta descripción, llamada múltiples capturas y liberación, los electrones son sólo capaces de viajar cuando en estados extendidos, y están constantemente atrapados y liberados de los estados localizados de baja energía. Debido a que la probabilidad de que un electrón sea liberado de una trampa depende de su energía térmica, la movilidad puede ser descrita por una relación de Arrhenius en tal sistema:

{displaystyle mu =mu _{0}exp left(-{frac {E_{text{A}}}{k_{text{B}}T}}right)}

Donde ${displaystyle mu _{0}}$ es un prefactor de movilidad, ${displaystyle E_{text{A}}}$ es energía de activación, ${displaystyle k_{text{B}}}$ es la constante de Boltzmann, y ${displaystyle T}$ es temperatura. La energía de activación se evalúa normalmente midiendo la movilidad como función de la temperatura. La energía Urbach se puede utilizar como un proxy para la energía de activación en algunos sistemas.

Salto de rango variable

A baja temperatura, o en sistema con un gran grado de trastorno estructural (como sistemas totalmente amorfos), los electrones no pueden acceder a estados deslocalizados. En tal sistema, los electrones sólo pueden viajar por túneles para un sitio a otro, en un proceso llamado de rango variable. En la teoría original de los saltos de rango variable, desarrollada por Mott y Davis, la probabilidad ${displaystyle P_{ij}}$ , de un electron hopping de un sitio ${displaystyle i}$ , a otro sitio ${displaystyle j}$ , depende de su separación en el espacio ${displaystyle r_{ij}}$ , y su separación en energía ${displaystyle Delta E_{ij}}$ .

{displaystyle P_{ij}=P_{0}exp left(-2alpha r_{ij}-{frac {Delta E_{ij}}{k_{B}T}}right)}

Aquí. ${displaystyle P_{0}}$ es un prefactor asociado con la frecuencia fonónica en el material, y ${displaystyle alpha }$ es el parámetro de superposición de la función de onda. La movilidad en un sistema gobernado por el acaparamiento de rango variable se puede mostrar como:

{displaystyle mu =mu _{0}exp left(-left[{frac {T_{0}}{T}}right]^{-1/(d+1)}right)}

Donde ${displaystyle mu _{0}}$ es un prefactor de movilidad, ${displaystyle T_{0}}$ es un parámetro (con dimensiones de temperatura) que cuantifica el ancho de los estados localizados, y ${displaystyle d}$ es la dimensionalidad del sistema.

Medición de la movilidad de los semiconductores

Movilidad en sala

Conjunto de medición del efecto Hall para agujeros

Configuración de medición del efecto Hall para electrones

La movilidad de los transportistas se mide más comúnmente mediante el efecto Hall. El resultado de la medición se denomina "movilidad Hall" (es decir, "movilidad inferida de una medición del efecto Hall").

Considere una muestra de semiconductor con una sección transversal rectangular como se muestra en las figuras, una corriente fluye en la dirección x y se aplica un campo magnético en la dirección z. -dirección. La fuerza de Lorentz resultante acelerará los electrones (materiales tipo n) o huecos (materiales tipo p) en la dirección (−y). , según la regla de la mano derecha y establezca un campo eléctrico ξ_y. Como resultado, hay un voltaje a través de la muestra, que se puede medir con un voltímetro de alta impedancia. Este voltaje, V_H, se llama voltaje Hall. V_H es negativo para el material tipo n y positivo para el material tipo p.

Matemáticamente, la fuerza de Lorentz que actúa sobre una carga q está dada por

Para electrones:

{displaystyle {vec {F}}_{Hn}=-q({vec {v}}_{n}times {vec {B}}_{z})}

Para agujeros:

{displaystyle {vec {F}}_{Hp}=+q({vec {v}}_{p}times {vec {B}}_{z})}

En estado estacionario, esta fuerza está equilibrada por la fuerza establecida por el voltaje Hall, de modo que no hay fuerza neta sobre los portadores en la dirección y. Para los electrones,

{displaystyle {vec {F}}_{y}=(-q){vec {xi }}_{y}+(-q)[{vec {v}}_{n}times {vec {B}}_{z}]=0}

{displaystyle Rightarrow -qxi _{y}+qv_{x}B_{z}=0}

{displaystyle xi _{y}=v_{x}B_{z}}

Para los electrones, el campo apunta en la dirección −y, y para los huecos, apunta en la dirección +y.

La corriente de electrones I es dado por ${displaystyle I=-qnv_{x}tW}$ . Subsidio v_x en la expresión ._Sí.,

{displaystyle xi _{y}=-{frac {IB}{nqtW}}=+{frac {R_{Hn}IB}{tW}}}

Donde R_Hn es el coeficiente Hall para el electrón, y se define como

{displaystyle R_{Hn}=-{frac {1}{nq}}}

Desde ${displaystyle xi _{y}={frac {V_{H}}{W}}}$

{displaystyle R_{Hn}=-{frac {1}{nq}}={frac {V_{Hn}t}{IB}}}

Del mismo modo, para agujeros

{displaystyle R_{Hp}={frac {1}{pq}}={frac {V_{Hp}t}{IB}}}

Desde el coeficiente Hall, podemos obtener la movilidad del transportista de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{aligned}mu _{n}&=left(-nqright)mu _{n}left(-{frac {1}{nq}}right)\&=-sigma _{n}R_{Hn}\&=-{frac {sigma _{n}V_{Hn}t}{IB}}end{aligned}}}

Del mismo modo,

{displaystyle mu _{p}={frac {sigma _{p}V_{Hp}t}{IB}}}

Aquí el valor de V_Hp (voltaje Hall), t (grosor de la muestra), I ( corriente) y B (campo magnético) se pueden medir directamente, y las conductividades σ_n o σ_p son conocidos o pueden obtenerse midiendo la resistividad.

Movilidad por efecto de campo

La movilidad también se puede medir utilizando un transistor de efecto de campo (FET). El resultado de la medición se denomina "movilidad por efecto de campo" (es decir, "movilidad inferida de una medición del efecto de campo").

La medición puede funcionar de dos maneras: desde mediciones en modo de saturación o mediciones de región lineal. (Consulte MOSFET para obtener una descripción de los diferentes modos o regiones de operación).

Usando el modo de saturación

En esta técnica, para cada voltaje de puerta fijo V_GS, el voltaje de fuente drenaje V_DS aumenta hasta que la corriente I_D satura. A continuación, se traza la raíz cuadrada de esta corriente saturada frente al voltaje de la puerta y se mide la pendiente m_sat. Entonces la movilidad es:

{displaystyle mu =m_{text{sat}}^{2}{frac {2L}{W}}{frac {1}{C_{i}}}}

LWC_i

{displaystyle I_{D}={frac {mu C_{i}}{2}}{frac {W}{L}}(V_{GS}-V_{th})^{2}.}

V_T

Usando la región lineal

En esta técnica, el transistor se opera en la región lineal (o "modo ohmico"), donde V_DS es pequeño y ${displaystyle I_{D}propto V_{GS}}$ con pendiente m_lin. Entonces la movilidad es:

{displaystyle mu =m_{text{lin}}{frac {L}{W}}{frac {1}{V_{DS}}}{frac {1}{C_{i}}}.}

{displaystyle I_{D}=mu C_{i}{frac {W}{L}}left((V_{GS}-V_{th})V_{DS}-{frac {V_{DS}^{2}}{2}}right)}

_DS_G

Movilidad óptica

La movilidad de electrones puede determinarse a partir de mediciones de técnica de reflexión foto láser sin contacto. Se realiza una serie de mediciones de reflexión fotográfica a medida que la muestra se pasa a través del enfoque. La longitud de difusión de electrones y el tiempo de recombinación se determinan por un ajuste regresivo a los datos. Entonces la relación Einstein se utiliza para calcular la movilidad.

Movilidad de terahercios

La movilidad de los electrones se puede calcular a partir de la medición de una sonda de terahercios resuelta en el tiempo. Los pulsos de láser de femtosegundo excitan el semiconductor y la fotoconductividad resultante se mide utilizando una sonda de terahercios, que detecta cambios en el campo eléctrico de terahercios.

Tiempo resuelto conductividad de microondas (TRMC)

Se puede evaluar un proxy para la movilidad de portadores de carga utilizando conductividad de microondas resolviendo el tiempo (TRMC). Un láser óptico pulsado se utiliza para crear electrones y agujeros en un semiconductor, que luego se detectan como un aumento de la fotoconductancia. Con conocimiento de la absorción de la muestra, dimensiones y fluencia láser incidente, el parámetro ${displaystyle phi Sigma mu =phi (mu _{e}+mu _{h})}$ puede ser evaluado, donde ${displaystyle phi }$ es el rendimiento de la generación de portadores (entre 0 y 1), ${displaystyle mu _{e}}$ es la movilidad del electrón y ${displaystyle mu _{h}}$ es la movilidad del agujero. ${displaystyle phi Sigma mu }$ tiene las mismas dimensiones que la movilidad, pero el tipo de portador (electro o agujero) está oscurecido.

Doping concentration dependence in heavily-doped silicon

Los portadores de carga en los semiconductores son los electrones y los huecos. Su número está controlado por las concentraciones de elementos impuros, es decir, la concentración de dopaje. Por tanto, la concentración de dopaje tiene una gran influencia sobre la movilidad del portador.

Aunque hay una dispersión considerable en los datos experimentales, para materiales no compensados (sin dopaje de contadores) para sustratos fuertemente dopados (es decir, ${displaystyle 10^{18}mathrm {cm} ^{-3}}$ y arriba), la movilidad en silicio se caracteriza a menudo por la relación empírica:

{displaystyle mu =mu _{o}+{frac {mu _{1}}{1+left({frac {N}{N_{text{ref}}}}right)^{alpha }}}}

NN_DN_AN_ref

Aerolíneas mayoritarias:

{displaystyle mu _{n}(N_{D})=65+{frac {1265}{1+left({frac {N_{D}}{8.5times 10^{16}}}right)^{0.72}}}}

{displaystyle mu _{p}(N_{A})=48+{frac {447}{1+left({frac {N_{A}}{6.3times 10^{16}}}right)^{0.76}}}}

Aerolíneas minoritarias:

{displaystyle mu _{n}(N_{A})=232+{frac {1180}{1+left({frac {N_{A}}{8times 10^{16}}}right)^{0.9}}}}

{displaystyle mu _{p}(N_{D})=130+{frac {370}{1+left({frac {N_{D}}{8times 10^{17}}}right)^{1.25}}}}

Estas ecuaciones se aplican sólo al silicio y sólo en condiciones de campo bajo.

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