Motivo (geometría algebraica)

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Estructura para unificar las teorías de la cohomología

En geometría algebraica, motivos (o, a veces, motivos, según el uso francés) es una teoría propuesta por Alexander Grothendieck en la década de 1960 para unificar la amplia gama de cohomologías de comportamiento similar. teorías como la cohomología singular, la cohomología de De Rham, la cohomología etale y la cohomología cristalina. Filosóficamente, un "motivo" es la "esencia de cohomología" de una variedad.

En la formulación de Grothendieck para variedades lisas de proyecto, un motivo es un triple ${displaystyle (X,p,m)}$ , donde X es una variedad de proyecto suave, ${displaystyle p:Xvdash X}$ es una correspondencia idempotente, y m un entero, sin embargo, tal triple no contiene casi ninguna información fuera del contexto de la categoría de motivos puros de Grothendieck, donde un morfismo de ${displaystyle (X,p,m)}$ a ${displaystyle (Y,q,n)}$ es dada por una correspondencia de grado $n-m$ . Pierre Deligne adopta un enfoque más centrado en objetos Le Groupe Fondamental de la Droite Projective Moins Trois Points. En ese artículo, un motivo es un "sistema de realizaciones" – es decir, un tuple

{displaystyle left(M_{B},M_{mathrm {DR} },M_{mathbb {A} ^{f}},M_{operatorname {cris}p},operatorname {comp} _{mathrm {DR}B},operatorname {comp} _{mathbb {A} ^{f},B},operatorname {comp} _{operatorname {cris} p,mathrm {DR} },W,F_{infty },F,phiphi _{p}right)}

compuesto por módulos

{displaystyle M_{B},M_{mathrm {DR} },M_{mathbb {A} ^{f}},M_{operatorname {cris}p}}

sobre los anillos

{displaystyle mathbb {Q}mathbb {Q}mathbb {A} ^{f},mathbb {Q} _{p},}

respectivamente, varios isomorfismos de comparación

{displaystyle operatorname {comp} _{mathrm {DR}B},operatorname {comp} _{mathbb {A} ^{f},B},operatorname {comp} _{operatorname {cris} p,mathrm {DR} }}

entre los cambios de base obvios de estos módulos, filtraciones ${displaystyle W,F}$ , a ${displaystyle operatorname {Gal} ({overline {mathbb {Q} }},mathbb {Q})}$ - acción $phi$ on ${displaystyle M_{mathbb {A} ^{f}},}$ y un automorfismo "Frobenius" $phi_p$ de ${displaystyle M_{operatorname {cris}p}}$ . Estos datos se modelan en las cohomologías de un proyecto liso $mathbb {Q}$ -variedad y las estructuras y compatibilidades que admiten, y da una idea de qué tipo de información está contenida en un motivo.

Introducción

La teoría de los motivos se conjeturó originalmente como un intento de unificar un conjunto de teorías de cohomología que se multiplicaban rápidamente, incluida la cohomología de Betti, la cohomología de Rham, la cohomología l-ádica y la cohomología cristalina. La esperanza general es que ecuaciones como

[línea proyectiva] = [línea] + [punto]
[plano proyector] = [plano] + [línea] + [punto]

se puede poner sobre una base matemática cada vez más sólida y con un significado profundo. Por supuesto, ya se sabe que las ecuaciones anteriores son verdaderas en muchos sentidos, como en el sentido del complejo CW donde "+" corresponde a la unión de células, y en el sentido de varias teorías de cohomología, donde "+" corresponde a la suma directa.

Desde otro punto de vista, los motivos continúan la secuencia de generalizaciones desde funciones racionales en variedades hasta divisores en variedades y grupos de variedades Chow. La generalización ocurre en más de una dirección, ya que se pueden considerar motivos respecto de más tipos de equivalencia que de equivalencia racional. Las equivalencias admisibles vienen dadas por la definición de una relación de equivalencia adecuada.

Definición de motivos puros

La categoría de motivos puros suele proceder en tres pasos. A continuación describimos el caso de los motivos de Chow ${displaystyle operatorname {Chow} (k)}$ , donde k es cualquier campo.

Primer paso: categoría de correspondencias (grado 0), Corr(k)

Los objetos de ${displaystyle operatorname {Corr} (k)}$ son simplemente variedades de proyecto suaves k. Los morfismos son correspondencias. Generalizan los morfismos de las variedades $Xto Y$ , que se puede asociar con sus gráficos en $Xtimes Y$ , a la dimensión fija Chow cycles on $Xtimes Y$ .

Será útil describir correspondencias de grado arbitrario, aunque morfismos en ${displaystyle operatorname {Corr} (k)}$ son correspondencias de grado 0. En detalle, deja X y Y ser variedades de proyecto lisas y considerar una descomposición X en componentes conectados:

{displaystyle X=coprod _{i}X_{i},qquad d_{i}:=dim X_{i}.}

Si ${displaystyle rin mathbb {Z} }$ , entonces las correspondencias de grado r desde X a Y son

{displaystyle operatorname {Corr} ^{r}(k)(X,Y):=bigoplus _{i}A^{d_{i}+r}(X_{i}times Y),}

Donde ${displaystyle A^{k}(X)}$ denota los ciclos Chow de la codimensión k. Las correspondencias a menudo se denotan usando la nota "⊢", por ejemplo, ${displaystyle alpha:Xvdash Y}$ . Para cualquier ${displaystyle alpha in operatorname {Corr} ^{r}(X,Y)}$ y ${displaystyle beta in operatorname {Corr} ^{s}(Y,Z),}$ su composición se define por

{displaystyle beta circ alpha:=pi _{XZ*}left(pi _{XY}^{*}(alpha)cdot pi _{YZ}^{*}(beta)right)in operatorname {Corr} ^{r+s}(X,Z),}

donde el punto indica el producto en el anillo Chow (es decir, intersección).

Volver a construir la categoría ${displaystyle operatorname {Corr} (k),}$ notar que la composición del grado 0 correspondencias es grado 0. De ahí que definamos los morfismos de ${displaystyle operatorname {Corr} (k)}$ para ser grado 0 correspondencias.

La siguiente asociación es un functor (aquí ${displaystyle Gamma _{f}subseteq Xtimes Y}$ denota el gráfico de $f: Xto Y$ ):

{displaystyle F:{begin{cases}operatorname {SmProj} (k)longrightarrow operatorname {Corr} (k)\Xlongmapsto X\flongmapsto Gamma _{f}end{cases}}}

Como ${displaystyle operatorname {SmProj} (k),}$ la categoría ${displaystyle operatorname {Corr} (k)}$ tiene sumas directas ( $X \oplus Y := X ∐ Y$ ) y productos tensores ( $X \otimes Y := X \times Y$ ). Es una categoría preadditiva. La suma de los morfismos se define por

{displaystyle alpha +beta:=(alphabeta)in A^{*}(Xtimes X)oplus A^{*}(Ytimes Y)hookrightarrow A^{*}left(left(Xcoprod Yright)times left(Xcoprod Yright)right).}

Did you mean:

Second step: category of pure effective Chow motives, Chow Eff(k)

La transición a los motivos se hace tomando el sobre pseudoabeliano de ${displaystyle operatorname {Corr} (k)}$ :

{displaystyle operatorname {Chow} ^{operatorname {eff} }(k):=Split(operatorname {Corr} (k))}

En otras palabras, los motivos Chow efectivos son pares de variedades proyectivas suaves X y correspondencias idempotentes α: X ⊢ X, y los morfismos tienen un cierto tipo de correspondencia:

{displaystyle operatorname {Ob} left(operatorname {Chow} ^{operatorname {eff} }(k)right):={(X,alpha)mid (alpha:Xvdash X)in operatorname {Corr} (k){mbox{ such that }}alpha circ alpha =alpha }.}

{displaystyle operatorname {Mor} ((X,alpha),(Y,beta)):={f:Xvdash Y|fcirc alpha =f=beta circ f}.}

La composición es la composición de correspondencias definida anteriormente, y el morfismo de identidad de (X, α) se define como α: X ⊢ X.

La asociación,

{displaystyle h:{begin{cases}operatorname {SmProj} (k)&longrightarrow operatorname {Chow^{eff}} (k)\X&longmapsto [X]:=(X,Delta _{X})\f&longmapsto [f]:=Gamma _{f}subset Xtimes Yend{cases}}}

donde Δ_X:= [id_X] denota la diagonal de X × X, es un funtor. El motivo [X] suele denominarse motivo asociado a la variedad X.

Según lo previsto, Chow^eff(k) es una categoría pseudoabeliana. La suma directa de motivos efectivos está dada por

{displaystyle ([X],alpha)oplus ([Y],beta):=left(left[Xcoprod Yright],alpha +beta right),}

El producto tensorial de motivos efectivos se define por

{displaystyle ([X],alpha)otimes ([Y],beta):=(Xtimes Y,pi _{X}^{*}alpha cdot pi _{Y}^{*}beta),}

dónde

{displaystyle pi _{X}:(Xtimes Y)times (Xtimes Y)to Xtimes X,quad {text{and}}quad pi _{Y}:(Xtimes Y)times (Xtimes Y)to Ytimes Y.}

También se puede definir el producto tensorial de morfismos. Sea f₁: (X₁, α₁) → (Y₁, β₁) y f₂: (X₂, α₂) → (Y₂, β₂) sean morfismos de motivos. Entonces sea γ₁ ∈ A^*(X₁ × Y₁) y γ₂ ∈ A^*(X₂ × Y₂) sean representantes de f₁ y f₂. Entonces

f_{1}otimes f_{2}:(X_{1},alpha _{1})otimes (X_{2},alpha _{2})vdash (Y_{1},beta _{1})otimes (Y_{2},beta _{2}),qquad f_{1}otimes f_{2}:=pi _{1}^{{*}}gamma _{1}cdot pi _{2}^{{*}}gamma _{2}

donde π_i: X₁ × X₂ × Y₁ × Y₂ → X_i × Y_i son las proyecciones.

Tercer paso: categoría de motivos Chow puros, Chow(k)

Para proceder a los motivos, adjuntamos a Chow^eff(k) una inversa formal (con respecto al producto tensorial) de un motivo llamado motivo de Lefschetz. El efecto es que los motivos se convierten en triples en lugar de pares. El motivo de Lefschetz L es

{displaystyle L:=(mathbb {P} ^{1},lambda),qquad lambda:=pttimes mathbb {P} ^{1}in A^{1}(mathbb {P} ^{1}times mathbb {P} ^{1})}

Si definimos el motivo 1, llamado motivo trivial de Tate, por 1:= h(Spec(k)), entonces la ecuación elegante

{displaystyle [mathbb {P} ^{1}]=mathbf {1} oplus L}

se mantiene, ya que

{displaystyle mathbf {1} cong left(mathbb {P} ^{1},mathbb {P} ^{1}times operatorname {pt} right).}

El tensor inverso del motivo de Lefschetz se conoce como motivo Tate, T:= L⁻¹. Luego definimos la categoría de motivos Chow puros por

{displaystyle operatorname {Chow} (k):=operatorname {Chow} ^{operatorname {eff} }(k)[T]}

Un motivo es entonces un triple

{displaystyle (Xin operatorname {SmProj} (k),p:Xvdash X,nin mathbb {Z})}

tal que los morfismos están dados por correspondencias

{displaystyle f:(X,p,m)to (Y,q,n),quad fin operatorname {Corr} ^{n-m}(X,Y){mbox{ such that }}fcirc p=f=qcirc f,}

y la composición de morfismos proviene de la composición de correspondencias.

Como se pretendía, ${displaystyle operatorname {Chow} (k)}$ es una categoría pseudo-abeliana rígida.

Otro tipo de motivos

Para definir un producto de intersección, los ciclos deben ser "móviles" para que podamos cruzarlos en posición general. Elegir una relación de equivalencia adecuada en ciclos garantizará que cada par de ciclos tenga un par equivalente en posición general que podamos cruzar. Los grupos Chow se definen mediante equivalencia racional, pero son posibles otras equivalencias y cada una define un tipo diferente de motivo. Ejemplos de equivalencias, de más fuerte a más débil, son

Equivalencia racional
Equivalencia algebraica
Smash-nilpotence equivalence (a veces llamada equivalencia Voevodsky)
Equivalencia Homológica (en el sentido de la cohomología Weil)
Equivalencia numérica

La literatura ocasionalmente llama a cada tipo de motivo puro motivo Chow, en cuyo caso un motivo con respecto a la equivalencia algebraica se llamaría equivalencia algebraica del módulo del motivo Chow.

Motivos encontrados

Para un campo de base fijo k, la categoría de motivos mixtos es una categoría de tensor abeliano conjetura ${displaystyle MM(k)}$ , junto con un functor contravariante

{displaystyle operatorname {Var} (k)to MM(k)}

tomando valores en todas las variedades (no sólo en las proyectivas suaves como era el caso de los motivos puros). Esto debería ser tal que la cohomología motívica definida por

{displaystyle operatorname {Ext} _{MM}^{*}(1,?)}

coincide con el predicho por la teoría K algebraica y contiene la categoría de motivos Chow en un sentido adecuado (y otras propiedades). Alexander Beilinson conjeturó la existencia de tal categoría.

En lugar de construir dicha categoría, Deligne propuso construir primero una categoría DM que tenga las propiedades que uno espera para la categoría derivada.

{displaystyle D^{b}(MM(k))}

Recuperar MM de DM se lograría entonces mediante una estructura-t motívica (conjetural).

El estado actual de la teoría es que tenemos una categoría adecuada DM. Esta categoría ya es útil en aplicaciones. La prueba de la conjetura de Milnor de Vladimir Voevodsky, ganadora de la medalla Fields, utiliza estos motivos como ingrediente clave.

Existen diferentes definiciones debido a Hanamura, Levine y Voevodsky. Se sabe que son equivalentes en la mayoría de los casos y a continuación daremos la definición de Voevodsky. La categoría contiene motivos Chow como una subcategoría completa y otorga el motivo "derecho" cohomología motívica. Sin embargo, Voevodsky también muestra que (con coeficientes integrales) no admite una estructura t motívica.

Motivos geométricos mixtos

Notación

Aquí arreglaremos un campo $k$ de característica 0 y dejar ${displaystyle A=mathbb {Q}mathbb {Z} }$ ser nuestro anillo de coeficiente. Set ${displaystyle {mathcal {Var}}/k}$ como categoría de variedades cuasi proyectadas sobre $k$ son esquemas separados de tipo finito. También vamos a dejar ${displaystyle {mathcal {Sm}}/k}$ ser la subcategoría de variedades lisas.

Variedades lisas con correspondencias

Dada una variedad suave $X$ y una variedad $Y$ llamar a un subesquema cerrado integral ${displaystyle Wsubset Xtimes Y}$ que es finito sobre $X$ y subjetivo sobre un componente $Y$ a correspondencia principal desde $X$ a $Y$ . Entonces, podemos tomar el conjunto de correspondencias principales de $X$ a $Y$ y construir un libre $A$ - Mobiliario ${displaystyle C_{A}(X,Y)}$ . Sus elementos se llaman correspondencias finitas. Entonces, podemos formar una categoría aditiva ${displaystyle {mathcal {SmCor}}}$ cuyos objetos son variedades lisas y morfismos se dan por correspondencias suaves. La única parte no-trivial de esta "definición" es el hecho de que necesitamos describir composiciones. Estas son dadas por una fórmula push-pull de la teoría de anillos Chow.

Ejemplos de correspondencias

Ejemplos típicos de las correspondencias principales provienen del gráfico ${displaystyle Gamma _{f}subset Xtimes Y}$ de un morfismo de variedades $f:Xto Y$ .

Localizando la categoría de homotopía

Desde aquí podemos formar la categoría de homotopy ${displaystyle K^{b}({mathcal {SmCor}})}$ de complejos atados de correspondencias suaves. Aquí las variedades suaves serán denotadas $[X]$ . Si localizamos esta categoría con respecto a la subcategoría más pequeña (que significa que está cerrada bajo extensiones) que contiene morfismos

{displaystyle [Xtimes mathbb {A} ^{1}]to [X]}

{displaystyle [Ucap V]{xrightarrow {j_{U}'+j_{V}'}}[U]oplus [V]{xrightarrow {j_{U}-j_{V}}}[X]}

entonces podemos formar la categoría triangulada de motivos geométricos efectivos ${displaystyle {mathcal {DM}}_{text{gm}}^{text{eff}}(k,A).}$ Tenga en cuenta que la primera clase de morfismos están localizando ${mathbb {A}}^{1}$ -homotopies de variedades mientras que el segundo dará la categoría de motivos geométricos mixtos la secuencia Mayer-Vietoris.

Además, tenga en cuenta que esta categoría tiene una estructura tensora dada por el producto de variedades, por lo que ${displaystyle [X]otimes [Y]=[Xtimes Y]}$ .

Invirtiendo el motivo Tate

Usando la estructura triangulada podemos construir un triángulo

{displaystyle mathbb {L} to [mathbb {P} ^{1}]to [operatorname {Spec} (k)]{xrightarrow {[+1]}}}

desde el mapa canónico ${displaystyle mathbb {P} ^{1}to operatorname {Spec} (k)}$ . Vamos a poner ${displaystyle A(1)=mathbb {L} [-2]}$ y llámalo Motivo táte. Tomar el producto de tensor iterativo nos permite construir $A(k)$ . Si tenemos un motivo geométrico eficaz $M$ Dejamos ${displaystyle M(k)}$ denota ${displaystyle Motimes A(k).}$ Además, esto se comporta functorialmente y forma un functor triangulado. Finalmente, podemos definir la categoría de motivos geométricos mixtos ${displaystyle {mathcal {DM}}_{gm}}$ como la categoría de pares ${displaystyle (M,n)}$ para $M$ un eficaz motivo geométrico mixto y $n$ un entero representando el giro por el motivo Tate. Los grupos hom son entonces el colimit

{displaystyle operatorname {Hom} _{mathcal {DM}}((A,n),(B,m))=lim _{kgeq -n,-m}operatorname {Hom} _{{mathcal {DM}}_{gm}^{operatorname {eff} }}(A(k+n),B(k+m))}

Ejemplos de motivos

Motivos de Tate

Hay varios ejemplos elementales de motivos que son fácilmente accesibles. Uno de ellos siendo los motivos de Tate, denotado ${displaystyle mathbb {Q} (n)}$ , ${displaystyle mathbb {Z} (n)}$ , o $A(n)$ , dependiendo de los coeficientes utilizados en la construcción de la categoría de Motivos. Estos son bloques fundamentales en la categoría de motivos porque forman la "otra parte" además de las variedades abelianas.

Motivos de las curvas

El motivo de una curva se puede entender explícitamente con relativa facilidad: su anillo Chow es simplemente

{displaystyle mathbb {Z} oplus {text{Pic}}(C)}

C

Explicación para las no especialistas

(feminine)

Una técnica comúnmente aplicada en matemáticas es estudiar objetos que llevan una estructura particular introduciendo una categoría cuyos morfismos preservan esta estructura. Entonces uno puede preguntarse cuándo dos objetos dados son isomórficos y pedir una relación "particularmente agradable" representativo en cada clase de isomorfismo. La clasificación de variedades algebraicas, es decir, la aplicación de esta idea a variedades algebraicas, es muy difícil debido a la estructura altamente no lineal de los objetos. La cuestión relajada de estudiar variedades hasta el isomorfismo biracional ha llevado al campo de la geometría biracional. Otra forma de abordar la cuestión es asociar a una variedad dada X un objeto de naturaleza más lineal, es decir, un objeto susceptible de utilizar las técnicas del álgebra lineal, por ejemplo un espacio vectorial. Esta "linealización" suele denominarse cohomología.

Existen varias teorías de cohomología importantes, que reflejan diferentes aspectos estructurales de las variedades. La teoría de los motivos (en parte conjetural) es un intento de encontrar una forma universal de linealizar variedades algebraicas, es decir, se supone que los motivos proporcionan una teoría de cohomología que encarna todas estas cohomologías particulares. Por ejemplo, el género de una curva proyectiva suave C, que es un invariante interesante de la curva, es un número entero, que se puede leer en la dimensión del primer grupo de cohomología de Betti de C. Entonces, el motivo de la curva debe contener la información del género. Por supuesto, el género es una invariante bastante burda, por lo que el motivo de C es más que solo este número.

La búsqueda de una cohomología universal

Cada variedad algebraica X tiene un motivo correspondiente [X], por lo que los ejemplos más simples de motivos son:

[punto]
[línea proyectada] = [punto] + [línea]
[plano proyector] = [plano] + [línea] + [punto]

Estas 'ecuaciones' se mantiene en muchas situaciones, concretamente para la cohomología de Rham y la cohomología de Betti, la cohomología l-ádica, el número de puntos sobre cualquier campo finito y en notación multiplicativa para funciones zeta locales.

La idea general es que un motivo tiene la misma estructura en cualquier teoría de cohomología razonable con buenas propiedades formales; en particular, cualquier teoría de la cohomología de Weil tendrá tales propiedades. Existen diferentes teorías de cohomología de Weil, se aplican en diferentes situaciones y tienen valores en diferentes categorías, y reflejan diferentes aspectos estructurales de la variedad en cuestión:

Betti cohomology se define para las variedades sobre (subcampos de) los números complejos, tiene la ventaja de ser definido sobre los enteros y es un invariante topológico
de Rham cohomology (para variedades sobre $mathbb{C}$ ) viene con una estructura de Hodge mixta, es un invariante diferencial-geométrico
La cohomología l-adic (sobre cualquier campo de característica √ l) tiene una acción canónica del grupo Galois, es decir, tiene valores en las representaciones del (absoluto) Grupo Galois
cristalina cohomology

Todas estas teorías de la cohomología comparten propiedades comunes, por ejemplo, la existencia de secuencias Mayer-Vietoris, invariancia de la homotopy ${displaystyle H^{*}(X)cong H^{*}(Xtimes mathbb {A} ^{1}),}$ el producto de X y otros. Además, están vinculados por isomorfismos comparativos, por ejemplo Betti cohomology ${displaystyle H_{text{Betti}}^{*}(X,mathbb {Z} /n)}$ de una variedad suave X sobre $mathbb{C}$ con coeficientes finitos es isomorfo a l- cohomología adictiva con coeficientes finitos.

La teoría de los motivos es un intento de encontrar una teoría universal que encarne todas estas cohomologías particulares y sus estructuras y proporcione un marco para las "ecuaciones" como

[línea proyectiva] = [línea]+[punto].

En particular, calcular el motivo de cualquier variedad X proporciona directamente toda la información sobre las diversas teorías de cohomología de Weil H^*_Betti(X), H^*_DR(X) etc.

A partir de Grothendieck, se ha intentado durante muchos años definir con precisión esta teoría.

Cohomología motívica

La propia

cohomología motívica se inventó antes de la creación de motivos mixtos mediante la teoría K algebraica. La categoría anterior proporciona una manera clara de (re)definirla mediante

{displaystyle H^{n}(X,m):=H^{n}(X,mathbb {Z} (m)):=operatorname {Hom} _{DM}(X,mathbb {Z} (m)[n]),}

Donde n y m son enteros y ${displaystyle mathbb {Z} (m)}$ es m-el poder tensor del objeto Tate ${displaystyle mathbb {Z} (1),}$ que en el escenario de Voevodsky es el complejo ${displaystyle mathbb {P} ^{1}to operatorname {pt} }$ cambiada por -2 y [n] significa el cambio habitual en la categoría triangulada.

Conjeturas relacionadas con motivos

Las conjeturas estándar se formularon por primera vez en términos de la interacción de ciclos algebraicos y teorías de cohomología de Weil. La categoría de motivos puros proporciona un marco categórico para estas conjeturas.

Las conjeturas estándar se consideran comúnmente muy difíciles y abiertas en el caso general. Grothendieck, con Bombieri, mostró la profundidad del enfoque motívico al producir una prueba condicional (muy breve y elegante) de las conjeturas de Weil (que Deligne prueba por diferentes medios), asumiendo que se cumplen las conjeturas estándar.

Por ejemplo, la conjetura estándar de Künneth, que establece la existencia de ciclos algebraicos πⁱ ⊂ X × X induciendo los proyectores canónicos H^*(X) → Hⁱ(X) ↣ H^*(X) (para cualquier cohomología de Weil H) implica que todo motivo puro M se descompone en piezas graduadas de peso n: M = ⨁Gr_nM. La terminología pesos proviene de una descomposición similar de, digamos, la cohomología de De-Rham de variedades proyectivas suaves, ver teoría de Hodge.

Conjetura D, que establece la concordancia de equivalencia numérica y homológica, implica la equivalencia de motivos puros con respecto a la equivalencia homológica y numérica. (En particular, la primera categoría de motivos no dependería de la elección de la teoría de la cohomología de Weil). Jannsen (1992) demostró el siguiente resultado incondicional: la categoría de motivos (puros) sobre un campo es abeliana y semisimple si y sólo si la relación de equivalencia elegida es la equivalencia numérica.

La conjetura de Hodge, puede ser cuidadosamente reformulado utilizando motivos: sostiene si la Realización de Hodge mapear cualquier motivo puro con coeficientes racionales (sobre un subcampo $k$ de $mathbb{C}$ ) a su La estructura de Hodge es un completo functor ${displaystyle H:M(k)_{mathbb {Q} }to HS_{mathbb {Q} }}$ (estructuras de Hodge racional). Aquí el motivo puro significa el motivo puro con respecto a la equivalencia homológica.

Del mismo modo, la conjetura de Tate es equivalente a: la llamada realización de Tate, es decir, cohomología l-adic, es un completo functor ${displaystyle H:M(k)_{mathbb {Q} _{ell }}to operatorname {Rep} _{ell }(operatorname {Gal} (k))}$ (puros motivos hasta la equivalencia homológica, representaciones continuas del grupo absoluto Galois del campo base k), que toma valores en representaciones semi-simples. (Esta última parte es automática en el caso del análogo Hodge).

Formalismo tannakiano y grupo motívico de Galois

Para motivar al grupo motívico de Galois (conjetural), fije un campo k y considere el functor

extensiones separables finitas K de k → conjuntos finitos no vacíos con una (continua) acción transitiva del grupo absoluto Galois k

que mapas K al conjunto (finito) de incrustaciones de K en un cierre algebraico k. En la teoría de Galois este functor se muestra como una equivalencia de categorías. Observe que los campos son 0-dimensionales. Motivos de este tipo se llaman Motivos artísticos. Por $mathbb {Q}$ -linear los objetos anteriores, otra forma de expresar lo anterior es decir que los motivos de Artin son equivalentes a finitos $mathbb {Q}$ - Espacios de actor junto con una acción del grupo Galois.

El objetivo del motivic Galois group es extender la equivalencia anterior a variedades de mayor dimensión. Para ello se utiliza la maquinaria técnica de la teoría de la categoría Tannakian (volviendo a la dualidad Tannaka–Krein, pero una teoría puramente algebraica). Su propósito es arrojar luz sobre la conjetura de Hodge y la conjetura de Tate, las preguntas sobresalientes en la teoría del ciclo algebraico. Arreglar un Weil cohomology theory H. Da un functor de M_num (puros motivos usando equivalencia numérica) a finito-dimensional $mathbb {Q}$ - Espacios vencedores. Se puede demostrar que la categoría anterior es una categoría Tannakian. Suponiendo la equivalencia de la equivalencia homológica y numérica, es decir, la conjetura estándar anterior D, el functor H es un verdadero tensor-functor fiel. Aplicando el formalismo tannakiano, se concluye que M_num es equivalente a la categoría de representaciones de un grupo algebraico G, conocido como el grupo motivic Galois.

El grupo motívico de Galois es para la teoría de los motivos lo que el grupo Mumford-Tate es para la teoría de Hodge. Hablando de nuevo en términos generales, las conjeturas de Hodge y Tate son tipos de teoría invariante (los espacios que son moralmente ciclos algebraicos se seleccionan por invariancia bajo un grupo, si se establecen las definiciones correctas). El grupo motivic Galois tiene la teoría de la representación circundante. (Lo que no es es un grupo de Galois; sin embargo, en términos de la conjetura de Tate y las representaciones de Galois en la cohomología étale, predice la imagen del grupo de Galois o, más exactamente, su álgebra de Lie).

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