Morfismo normal

En la teoría de categorías y sus aplicaciones a las matemáticas, un monomorfismo normal o epimorfismo conormal es un tipo de morfismo que se comporta particularmente bien. Una categoría normal es una categoría en la que todo monomorfismo es normal. Una categoría conormal es aquella en la que todo epimorfismo es conormal.

Definición

Un monomorfismo es normal si es el núcleo de algún morfismo, y un epimorfismo es conormal si es el núcleo de algún morfismo.

Una categoría C es binormal si es tanto normal como conormal. Pero tenga en cuenta que algunos autores utilizarán la palabra "normal" solo para indicar que C es binormal.

Ejemplos

En la categoría de grupos, un monomorfismo f de H a G es normal si y solo si su imagen es un subgrupo normal de G. En particular, si H es un subgrupo de G, entonces el mapa de inclusión i de H a G es un monomorfismo, y será normal si y solo si H es un subgrupo normal de G. De hecho, este es el origen del término "normal" por monomorfismos.

Por otro lado, todo epimorfismo en la categoría de grupos es conormal (ya que es el cokernel de su propio kernel), por lo que esta categoría es conormal.

En una categoría abeliana, todo monomorfismo es el núcleo de su núcleo y todo epimorfismo es el núcleo de su núcleo. Así, las categorías abelianas son siempre binormales. La categoría de grupos abelianos es el ejemplo fundamental de una categoría abeliana y, en consecuencia, todo subgrupo de un grupo abeliano es un subgrupo normal.