Monomorfismo

En el contexto de álgebra abstracta o álgebra universal, a monomorfismo es un homomorfismo inyectable. Un monomorfismo X a Y a menudo se denota con la notación X.. Y{displaystyle X 'hookrightarrow Sí..

En el marco más general de la teoría de categorías, un monomorfismo (también llamado morfismo mónico o mono) es un cancelador por la izquierda. morfismo Es decir, una flecha f: X → Y tal que para todos los objetos Z y todos los morfismos g₁, g ₂: Z → X,

f∘ ∘ g1=f∘ ∘ g2⟹ ⟹ g1=g2.{displaystyle fcirc g_{1}=fcirc G_{2}implies G_{1}=g_{2}

Los monomorfismos son una generalización categórica de funciones inyectivas (también llamadas "funciones uno a uno"); en algunas categorías las nociones coinciden, pero los monomorfismos son más generales, como en los ejemplos siguientes.

El dual categórico de un monomorfismo es un epimorfismo, es decir, un monomorfismo en una categoría C es un epimorfismo en la categoría dual C^op. Cada sección es un monomorfismo y cada retracción es un epimorfismo.

Relación con la invertibilidad

Los morfismos invertibles de izquierda son necesariamente monicos: si l es un inverso izquierdo f (que significa) l es un morfismo y l∘ ∘ f=idX{displaystyle lcirc f=operatorname {id} ¿Qué?), entonces f es monic, como

f∘ ∘ g1=f∘ ∘ g2⇒ ⇒ l∘ ∘ f∘ ∘ g1=l∘ ∘ f∘ ∘ g2⇒ ⇒ g1=g2.{displaystyle fcirc g_{1}=fcirc G_{2}Rightarrow lcirc fcirc G_{1}=lcirc fcirc g_{2} Derecho G_{1}=g_{2}

Un morfismo invertible a la izquierda se denomina mono dividido o sección.

Sin embargo, un monomorfismo no necesita ser invertible por la izquierda. Por ejemplo, en la categoría Grupo de todos los grupos y homomorfismos de grupo entre ellos, si H es un subgrupo de G entonces la inclusión f: H → G es siempre un monomorfismo; pero f tiene un inverso por la izquierda en la categoría si y solo si H tiene un complemento normal en G.

Un morfismo f: X → Y es mónico si y solo si el mapa inducido f_∗: Hom(Z, X) → Hom(Z, Y), definido por f_∗(h) = f ∘ h para todos los morfismos h: Z → X, es inyectiva para todos los objetos Z.

Ejemplos

Todo morfismo en una categoría concreta cuya función subyacente es inyectiva es un monomorfismo; en otras palabras, si los morfismos son en realidad funciones entre conjuntos, entonces cualquier morfismo que sea una función uno a uno será necesariamente un monomorfismo en el sentido categórico. En la categoría de conjuntos también se cumple lo contrario, por lo que los monomorfismos son exactamente los morfismos inyectivos. Lo contrario también se cumple en la mayoría de las categorías de álgebras que ocurren naturalmente debido a la existencia de un objeto libre en un generador. En particular, es cierto en las categorías de todos los grupos, de todos los anillos y en cualquier categoría abeliana.

Sin embargo, en general no es cierto que todos los monomorfismos deban ser inyectivos en otras categorías; es decir, hay escenarios en los que los morfismos son funciones entre conjuntos, pero uno puede tener una función que no es inyectiva y sin embargo es un monomorfismo en el sentido categórico. Por ejemplo, en la categoría Div de grupos divisibles (abelianos) y homomorfismos de grupo entre ellos hay monomorfismos que no son inyectivos: considere, por ejemplo, el mapa de cocientes q: Q → Q/Z, donde Q es el racionales bajo suma, Z los enteros (también considerados un grupo bajo suma), y Q/Z es el grupo cociente correspondiente. Este no es un mapa inyectivo, ya que, por ejemplo, cada número entero se asigna a 0. Sin embargo, es un monomorfismo en esta categoría. Esto se sigue de la implicación q ∘ h = 0 ⇒ h = 0, que ahora demostrará. Si h: G → Q, donde G es algún grupo divisible, y q ∘ h = 0, entonces h (x) ∈ Z, ∀ x ∈ G. Ahora arregla algo de x ∈ G. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que h(x) ≥ 0 (de lo contrario, elija −x en su lugar). Entonces, sea n = h(x) + 1, ya que G es un grupo divisible, existe algún y ∈ G tal que x = ny, entonces h(x) = n h(y). A partir de esto, y 0 ≤ h(x) < h(x) + 1 = n, se sigue que

<math alttext="{displaystyle 0leq {frac {h(x)}{h(x)+1}}=h(y)0≤ ≤ h()x)h()x)+1=h()Sí.).1{displaystyle 0leq {h(x)}{h(x)}=h(y) won1}<img alt="0 leq frac{h(x)}{h(x) + 1} = h(y)

Dado que h(y) ∈ Z, se deduce que h(y) = 0, y por lo tanto h(x) = 0 = h(−x), ∀ x ∈ G. Esto dice que h = 0, como se desee.

Para pasar de esa implicación al hecho de que q es un monomorfismo, asuma que q ∘ f = q ∘ g para algunos morfismos f, g: G → Q, donde G es un grupo divisible. Entonces q ∘ (f − g) = 0, donde (f − g): x ↦ f(x) − g(x). (Dado que (f − g)(0) = 0, y (f − g)(x + y) = (f − g)(x) + (f − g)(y), se sigue que (f − g) ∈ Hom(G, Q)). De la implicación que acabamos de probar, q ∘ (f − g) = 0 ⇒ f − g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G, f(x) = g(x) ⇔ f = g. Por lo tanto, q es un monomorfismo, como se afirma.

Propiedades

• En un topos, cada mono es un ecualizador, y cualquier mapa que sea monico y épico es un isomorfismo.
• Cada isomorfismo es monico.

Conceptos relacionados

También hay conceptos útiles de homomorfismo regular, monomorfismo extremo, monomorfismo inmediato, monomorfismo fuerte y monomorfismo dividido.

• Se dice que un monomorfismo es ordinario si es un ecualizador de un par de morfismos paralelos.
• Un monomorfismo μ μ {displaystyle mu } se dice que extremal si en cada representación μ μ =φ φ ∘ ∘ ε ε {displaystyle mu =varphi circ varepsilon }, donde ε ε {displaystyle varepsilon } es un epimorfismo, el morfismo ε ε {displaystyle varepsilon } es automáticamente un isomorfismo.
• Un monomorfismo μ μ {displaystyle mu } se dice que inmediata si en cada representación μ μ =μ μ .∘ ∘ ε ε {displaystyle mu =mu 'circ varepsilon }, donde μ μ .{displaystyle mu} es un monomorfismo y ε ε {displaystyle varepsilon } es un epimorfismo, el morfismo ε ε {displaystyle varepsilon } es automáticamente un isomorfismo.
• 
  Un monomorfismo μ μ :C→ → D{displaystyle mu:Cto D} se dice que fuerte si para cualquier epimorfismo ε ε :A→ → B{displaystyle varepsilon: Ato B} y cualquier morfismo α α :A→ → C{displaystyle alpha:Ato C} y β β :B→ → D{displaystyle beta:Bto D} tales que β β ∘ ∘ ε ε =μ μ ∘ ∘ α α {displaystyle beta circ varepsilon =mu circ alpha }, existe un morfismo δ δ :B→ → C{displaystyle delta: Bto C} tales que δ δ ∘ ∘ ε ε =α α {displaystyle delta circ varepsilon =alpha } y μ μ ∘ ∘ δ δ =β β {displaystyle mu circ delta =beta }.
• Un monomorfismo μ μ {displaystyle mu } se dice que división si existe un morfismo ε ε {displaystyle varepsilon } tales que ε ε ∘ ∘ μ μ =1{displaystyle varepsilon circ mu =1} (en este caso ε ε {displaystyle varepsilon } se llama un inverso del lado izquierdo para μ μ {displaystyle mu }).

Terminología

Los términos complementarios monomorfismo y epimorfismo fueron introducidos originalmente por Nicolas Bourbaki; Bourbaki usa monomorfismo como abreviatura de una función inyectiva. Los primeros teóricos de categorías creían que la generalización correcta de la inyectividad al contexto de las categorías era la propiedad de cancelación dada anteriormente. Si bien esto no es exactamente cierto para los mapas monic, está muy cerca, por lo que ha causado pocos problemas, a diferencia del caso de los epimorfismos. Saunders Mac Lane intentó hacer una distinción entre lo que llamó monomorfismos, que eran mapas en una categoría concreta cuyos mapas subyacentes de conjuntos eran inyectivos, y mapas mónicos, que son monomorfismos en el sentido categórico de la palabra. Esta distinción nunca llegó a ser de uso general.

Otro nombre para el monomorfismo es extensión, aunque también tiene otros usos.