Monodromía

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Comportamiento matemático cerca de singularidades

La parte imaginaria del logaritmo complejo. Intentando definir el logaritmo complejo en C {0} da diferentes respuestas a través de diferentes caminos. Esto conduce a un grupo de monodromia cíclica infinita y una cubierta de C {0} por un helicoide (un ejemplo de una superficie Riemann).

En matemáticas, la monodromía es el estudio de cómo los objetos del análisis matemático, la topología algebraica, la geometría algebraica y la geometría diferencial se comportan a medida que "recorren" una singularidad. Como su nombre lo indica, el significado fundamental de monodromía proviene de "correr solo". Está estrechamente asociado con los mapas de cobertura y su degeneración en ramificación; el aspecto que da lugar a los fenómenos de monodromía es que ciertas funciones que deseamos definir no son de un solo valor cuando "recorremos" un camino que rodea una singularidad. El fracaso de la monodromía se puede medir definiendo un grupo de monodromía: un grupo de transformaciones que actúan sobre los datos que codifican lo que sucede mientras "damos vueltas" en una dimensión. La falta de monodromía a veces se denomina polidromía.

Definición

Vamos $X$ ser un espacio topológico conectado y conectado localmente con punto base $x$ , y dejar ${displaystyle p:{tilde {X}}to X}$ ser una cubierta con fibra $F = p^{-1}(x)$ . Para un bucle $γ: [0, 1] \to X$ basado en $x$ , denota un ascensor bajo el mapa de cubierta, comenzando en un punto ${displaystyle {tilde {x}}in F}$ , por $tilde{gamma}$ . Finalmente, denotamos ${displaystyle {tilde {x}}cdot {tilde {gamma }}}$ el punto final $tilde{gamma}(1)$ , que es generalmente diferente de ${tilde {x}}$ . Hay teoremas que declaran que esta construcción da una acción de grupo bien definida del grupo fundamental $π 1 () X, x)$ on $F$ , y que el estabilizador de ${tilde {x}}$ es exactamente ${displaystyle p_{*}left(pi _{1}left({tilde {X}},{tilde {x}}right)right)}$ , es decir, un elemento $[γ]$ fija un punto en $F$ si y sólo si está representado por la imagen de un bucle en ${tilde {X}}$ basado en ${tilde {x}}$ . Esta acción se llama monodromía acción y el homomorfismo correspondiente $π 1 () X, x) \to Aut(H * () F x)$ en el grupo de automorfismo $F$ es monodromia algebraica. La imagen de este homomorfismo es la grupo monodromo. Hay otro mapa $π 1 () X, x) \to Diff(F x)/Is(F x)$ cuya imagen se llama grupo de monodromía topológica.

Ejemplo

Estas ideas se hicieron explícitas por primera vez en un análisis complejo. En el proceso de continuación analítica, una función que es una función analítica $F (z)$ en algún subconjunto abierto $E$ del plano complejo perforado $ℂ {0}$ puede continuar en $E$ , pero con valores diferentes. Por ejemplo, tome

0}end{aligned}}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">F()z)=log⁡ ⁡ ()z)E={}z▪ ▪ C▪ ▪ Re⁡ ⁡ ()z)■0}{displaystyle {begin{aligned}F(z) ventaja=log(z)E paciente={zin mathbb {C} mid operatorname {Re} (z)}end{aligned}}}} {}} {}}}}} {0}end{aligned}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9f2934c3bd33d726bfd83825d1e92b73498f42" style="vertical-align: -2.505ex; width:28.258ex; height:6.176ex;"/>

luego continuación analítica en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del círculo

{displaystyle |z|=1}

dará como resultado la devolución, no a $F (z)$ pero

{displaystyle F(z)+2pi i}

En este caso el grupo monodrómico es cíclico infinito y el espacio de cobertura es la cobertura universal del plano complejo perforado. Esta cubierta se puede visualizar como el helicoide (como se define en el artículo helicoide) restringido a $ρ > 0$ . El mapa de cobertura es una proyección vertical, en cierto sentido colapsando la espiral de la manera obvia para obtener un plano perforado.

Ecuaciones diferenciales en el dominio complejo

Una aplicación importante es para las ecuaciones diferenciales, donde una sola solución puede dar más soluciones linealmente independientes por continuación analítica. Las ecuaciones diferenciales lineales definidas en un conjunto abierto y conexo S en el plano complejo tienen un grupo monodrómico, que (más precisamente) es una representación lineal del grupo fundamental de S, resumiendo todas las continuaciones analíticas alrededor de bucles dentro de S. El problema inverso, de construir la ecuación (con singularidades regulares), dada una representación, se denomina problema de Riemann-Hilbert.

Para un sistema lineal regular (y en particular Fuchsian) uno suele elegir como generadores del grupo monodromo los operadores M_j correspondiente a bucles cada uno de los cuales elude sólo uno de los polos del sistema en sentido contrario. Si los índices j son elegidos de tal manera que aumentan de 1 a 1 p+ 1 cuando se elude el punto base de reloj, entonces la única relación entre los generadores es la igualdad ${displaystyle M_{1}cdots M_{p+1}=operatorname {id} }$ . El problema Deligne-Simpson es el siguiente problema de realización: Para qué tuples de clases de conjugación en GL(n,C) existen tuples irreducibles de matrices M_j de estas clases satisfaciendo la relación anterior? El problema ha sido formulado por Pierre Deligne y Carlos Simpson fue el primero en obtener resultados hacia su resolución. Vladimir Kostov ha formulado y explorado una versión aditiva del problema sobre el residuo de los sistemas Fuchsian. El problema ha sido examinado por otros autores para grupos de matriz distintos de GL(n,CTambién.

Aspectos topológicos y geométricos

En el caso de un mapa de cobertura, lo vemos como un caso especial de fibración y usamos la propiedad de elevación de homotopía para "seguir" caminos en el espacio base X (asumimos que está conectado por caminos por simplicidad) a medida que se elevan hacia la cubierta C. Si seguimos alrededor de un bucle basado en x en X, que levantamos para comenzar en c por encima de x, terminaremos en algún c* de nuevo por encima de x; es muy posible que c ≠ c*, y para codificar esto se considera la acción del grupo fundamental $π$ ₁(X, x) como un grupo de permutación en el conjunto de todos c , como un grupo monodrómico en este contexto.

En la geometría diferencial, el transporte paralelo juega un papel análogo. En un paquete principal B sobre una variedad lisa M, una conexión permite "horizontal" movimiento de las fibras por encima de m en M a las adyacentes. El efecto cuando se aplica a bucles basados en m es definir un grupo holonomy de traslaciones de la fibra en m; si el grupo de estructura de B es G, es un subgrupo de G que mide la desviación de B de el paquete de productos M × G.

Monodromía grupoide y foliaciones

Un camino en la base tiene caminos en el espacio total levantarlo. Empujar a lo largo de estos caminos da la acción de la monodromía del grupo fundamental.

Analogous to the fundamental groupoid it is possible to get rid of the choice of a base point and to define a monodromy groupoid. Aquí consideramos (las clases de Homotopy) ascensores de caminos en el espacio base X de una fibra $p:tilde Xto X$ . El resultado tiene la estructura de un groupoid sobre el espacio base X. La ventaja es que podemos dejar caer la condición de conexión deX.

Además, la construcción también se puede generalizar a las follaciones: Considerar $(M,mathcal{F})$ a (posiblemente singular) follación de M. Entonces por cada camino en una hoja ${mathcal {F}}$ podemos considerar su diffeomorfismo inducido en secciones transversales locales a través de los puntos finales. Dentro de un gráfico simplemente conectado este diffeomorfismo se convierte en único y especialmente canónico entre diferentes secciones transversales si vamos al germen del diffeomorfismo alrededor de los puntos finales. De esta manera también se vuelve independiente del camino (entre puntos finales fijos) dentro de un gráfico simplemente conectado y por lo tanto es invariable bajo la homotopia.

Definición a través de la teoría de Galois

Sea F(x) el campo de las funciones racionales en la variable x sobre el campo F, que es el campo de fracciones del anillo polinomial F[x]. Un elemento y = f(x) de F(x) determina un extensión de campo finito [F(x): F(y)].

Esta extensión generalmente no es Galois pero tiene el cierre de Galois L(f). El grupo de Galois asociado de la extensión [L(f): F(y)] se denomina monodromía grupo de f.

En el caso de F = C entra la teoría de superficies de Riemann y permite la interpretación geométrica dada anteriormente. En el caso de que la extensión [C(x): C(y)] ya sea Galois, la El grupo de monodromía asociado a veces se denomina grupo de transformaciones de mazo.

Esto tiene conexiones con la teoría de Galois de cubrir espacios que lleva al teorema de existencia de Riemann.

Contenido relacionado

Más resultados...