Momento magnético del electrón

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Espina de un electrón

En física atómica, el momento magnético del electrón, o más concretamente el momento dipolar magnético del electrón, es el momento magnético de un electrón resultante de sus propiedades intrínsecas de espín y carga eléctrica. El valor del momento magnético del electrón (símbolo μ_e) es −9.2847647043(28)×10⁻²⁴ J⋅T⁻¹. En unidades del magnetón de Bohr (μ_B), es −1.00115965218059(13) μ_B, un valor que se midió con una precisión relativa de 1,3×10⁻¹³.

Momento magnético de un electrón

El electrón es una partícula cargada con carga − $e$ , donde $e$ es la unidad de carga elemental. Su momento angular proviene de dos tipos de rotación: giro y movimiento orbital. Según la electrodinámica clásica, una distribución giratoria de carga eléctrica produce un dipolo magnético, de modo que se comporta como una pequeña barra magnética. Una consecuencia es que un campo magnético externo ejerce un par sobre el momento magnético del electrón que depende de la orientación de este dipolo con respecto al campo.

Si visualizamos al electrón como un cuerpo rígido clásico en el que la masa y la carga tienen idéntica distribución y movimiento que gira alrededor de un eje con momento angular $L$ , su momento dipolar magnético $μ$ viene dado por:

{displaystyle {boldsymbol {mu }}={frac {-e}{2m_{text{e}}}},mathbf {L} ,,}

m

_eL

g e

{displaystyle {boldsymbol {mu }}=g_{text{e}},{frac {(-e)}{~2m_{text{e}}~}},mathbf {L} ,.}

Es habitual expresar el momento magnético en términos de la constante del Planck reducido $▪$ y el imán Bohr $μ$ _B:

{displaystyle {boldsymbol {mu }}=-g_{text{e}},mu _{text{B}},{frac {mathbf {L} }{hbar }},.}

Desde el momento magnético se cuantifica en unidades $μ$ _B, correspondientemente el impulso angular se cuantifica en unidades de $▪$ .

Definición formal

Nociones clásicas como el centro de carga y masa son, sin embargo, difíciles de hacer precisa para una partícula elemental cuántica. En la práctica la definición utilizada por los experimentalistas proviene de los factores de forma ${displaystyle F_{i}(q^{2})}$ apareciendo en el elemento matriz

{displaystyle langle p_{f}|j^{mu }|p_{i}rangle ={bar {u}}(p_{f})left[F_{1}(q^{2})gamma ^{mu }+{frac {~isigma ^{mu nu }~}{~2,m_{text{e}}~}}q_{nu }F_{2}(q^{2})+iepsilon ^{mu nu rho sigma }sigma _{rho sigma }q_{nu }F_{3}(q^{2})+{frac {1}{~2,m_{text{e}}~}}left(q^{mu }-{frac {q^{2}}{2m}}gamma ^{mu }right)gamma _{5}F_{4}(q^{2})right]u(p_{i})}

del operador de corriente electromagnética entre dos estados en la cabeza. Aquí. ${displaystyle u(p_{i})}$ y ${displaystyle {bar {u}}(p_{f})}$ son 4-spinor solución de la ecuación Dirac normalizada para que ${displaystyle {bar {u}}u=2m_{text{e}}}$ , y ${displaystyle q^{mu }=p_{f}^{mu }-p_{i}^{mu }}$ es la transferencia de impulso de la corriente al electrón. El ${displaystyle q^{2}=0}$ factor de forma ${displaystyle F_{1}(0)=-e}$ es la carga del electrón, ${textstyle mu ={frac {1}{2m_{text{e}}}}(F_{1}(0)+F_{2}(0))}$ es su momento de dipolo magnético estático, y ${textstyle -{frac {1}{2m_{text{e}}}}F_{3}(0)}$ proporciona el definión formal del momento del dipolo eléctrico del electrón. El factor de forma restante ${displaystyle F_{4}(q^{2})}$ Si no fuera cero, sería el momento del anópolo.

Momento dipolar magnético de giro

El momento magnético del espín es intrínseco a un electrón. Es

{displaystyle {boldsymbol {mu }}_{text{s}}=-g_{text{s}},mu _{text{B}},{frac {~mathbf {S} ~}{hbar }},.}

Aquí. $S$ es el impulso angular de giro de electrones. El factor giro g es aproximadamente dos: ${displaystyle g_{text{s}}approx 2}$ . El factor de dos indica que el electrón parece ser dos veces más eficaz en producir un momento magnético como un cuerpo cargado para el cual las distribuciones de masa y carga son idénticas.

El momento de la dipole magnética es aproximadamente uno $μ$ _B porque ${displaystyle g_{text{s}}approx 2}$ y el electron es un spin-1.2 partículas (partículas) $S$ = $▪$ .2):

La componente $z$ del momento magnético del electrón es

{displaystyle ({boldsymbol {mu }}_{text{s}})_{z}=-g_{text{s}},mu _{text{B}},m_{text{s}},,}

m

μ

negativoantiparalelos

El factor g de espín $g$ _s = 2 proviene de la ecuación de Dirac, una ecuación fundamental que conecta el espín del electrón con sus propiedades electromagnéticas. La reducción de la ecuación de Dirac para un electrón en un campo magnético a su límite no relativista produce la ecuación de Schrödinger con un término de corrección, que tiene en cuenta la interacción del momento magnético intrínseco del electrón con el campo magnético dando la ecuación correcta. energía.

Para el espín del electrón, se ha determinado experimentalmente que el valor más preciso para el factor g de espín es el valor

2.00 a 23193043625635).

Tenga en cuenta que esto difiere sólo marginalmente del valor de la ecuación de Dirac. La pequeña corrección se conoce como momento dipolar magnético anómalo del electrón; Surge de la interacción del electrón con fotones virtuales en la electrodinámica cuántica. Un triunfo de la teoría de la electrodinámica cuántica es la predicción precisa del factor g del electrón. El valor CODATA para el momento magnético del electrón es

−9.2847647043(28)×10⁻²⁴⁻ J⋅T⁻¹.

Momento dipolar magnético orbital

La revolución de un electrón alrededor de un eje que pasa por otro objeto, como el núcleo, da lugar al momento dipolar magnético orbital. Supongamos que el momento angular del movimiento orbital es $L$ . Entonces el momento dipolar magnético orbital es

{displaystyle {boldsymbol {mu }}_{L}=-g_{text{L}},mu _{text{B}},{frac {~mathbf {L} ~}{hbar }},.}

Aquí $g$ _L es el factor g del orbital del electrón y $μ$ _B es el magnetón de Bohr. El valor de $g$ _L es exactamente igual a uno, según un argumento mecánico-cuántico análogo al derivación de la relación giromagnética clásica.

Momento dipolar magnético total

El momento dipolar magnético total resultante del momento angular orbital y de espín de un electrón está relacionado con el momento angular total $J$ mediante una ecuación similar :

{displaystyle {boldsymbol {mu }}_{text{J}}=-g_{text{J}},mu _{text{B}},{frac {~mathbf {J} ~}{hbar }},.}

El factor g $g$ _J se conoce como factor g de Landé, que puede estar relacionado con $g$ _L y $g$ _S por la mecánica cuántica. Consulte el factor g de Landé para obtener más detalles.

Ejemplo: átomo de hidrógeno

Para un átomo de hidrógeno, un electrón que ocupa el orbital atómico $Ψ$ _{$n ,ℓ,m$}, el momento dipolar magnético viene dado por

{displaystyle mu _{text{L}}=-g_{text{L}}{frac {mu _{text{B}}}{hbar }}langle Psi _{n,ellm}|L|Psi _{n,ellm}rangle =-mu _{text{B}}{sqrt {ell (ell +1)}}.}

Aquí $L$ es el momento angular orbital, $n$ , $ℓ$ y $m$ son los números cuánticos principal, azimutal y magnético, respectivamente. El componente $z$ del momento dipolar magnético orbital para un electrón con un número cuántico magnético $m$ _ℓ viene dado por

{displaystyle ({boldsymbol {mu }}_{text{L}})_{z}=-mu _{text{B}}m_{ell }.}

Historia

El momento magnético del electrón está intrínsecamente conectado al espín del electrón y se planteó por primera vez la hipótesis durante los primeros modelos del átomo a principios del siglo XX. El primero en introducir la idea del espín del electrón fue Arthur Compton en su artículo de 1921 sobre investigaciones de sustancias ferromagnéticas con rayos X. En el artículo de Compton, escribió: "Quizás la visión más natural, y ciertamente la más generalmente aceptada, de la naturaleza del imán elemental, es que la revolución de los electrones en órbitas dentro del átomo le da al átomo en conjunto, las propiedades de un pequeño imán permanente."

Ese mismo año Otto Stern propuso un experimento llevado a cabo más tarde llamado experimento Stern-Gerlach en el que los átomos de plata en un campo magnético fueron desviados en direcciones opuestas de distribución. Este periodo pre-1925 marcó la vieja teoría cuántica construida sobre el modelo Bohr-Sommerfeld del átomo con sus órbitas elípticas clásicas. Durante el período comprendido entre 1916 y 1925, se estaban haciendo muchos progresos en relación con la disposición de electrones en la tabla periódica. Para explicar el efecto Zeeman en el átomo Bohr, Sommerfeld propuso que los electrones se basarían en tres 'números cuánticos', n, k y m, que describían el tamaño de la órbita, la forma de la órbita, y la dirección en la que la órbita apuntaba. Irving Langmuir había explicado en su documento de 1919 sobre electrones en sus conchas, "Rydberg ha señalado que estos números se obtienen de la serie ${displaystyle N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})}$ . El factor dos sugiere una simetría fundamental doble para todos los átomos estables". Esto ${displaystyle 2n^{2}}$ la configuración fue adoptada por Edmund Stoner, en octubre de 1924 en su documento "La distribución de electrones entre niveles atómicos" publicado en la revista filosófica. Wolfgang Pauli hipotetizó que esto requería un cuarto número cuántico con dos valores.

El giro de los electrones en las teorías de Pauli y Dirac

A partir de aquí la carga del electrón es $e < 0$ . La necesidad de introducir un espín semiintegral se remonta experimentalmente a los resultados del experimento de Stern-Gerlach. Un haz de átomos pasa a través de un fuerte campo magnético no uniforme, que luego se divide en $N$ partes dependiendo del momento angular intrínseco. de los átomos. Se descubrió que para los átomos de plata, el haz se dividía en dos; por lo tanto, el estado fundamental no podía ser integral, porque incluso si el momento angular intrínseco de los átomos fuera lo más pequeño posible, 1, el haz se dividiría en 3 partes. , correspondiente a átomos con $L$ _z = −1, 0 y +1. La conclusión es que los átomos de plata tienen un momento angular intrínseco neto de 1⁄2. Pauli estableció una teoría que explicaba esta división introduciendo una función de onda de dos componentes y un término de corrección correspondiente en el hamiltoniano, que representa un acoplamiento semiclásico de esta función de onda a un campo magnético aplicado, como así:

{displaystyle H={frac {1}{2m}}left[{boldsymbol {sigma }}cdot left(mathbf {p} -{frac {e}{c}}mathbf {A} right)right]^{2}+ephi.}

Aquí. $A$ es el potencial vectorial magnético $φ$ el potencial eléctrico, ambos representando el campo electromagnético, y $σ$ = $σ$ _x, $σ$ _Sí., $σ$ _z) son las matrices Pauli. Al cubrir el primer término, se encuentra una interacción residual con el campo magnético, junto con el habitual Hamiltoniano clásico de una partícula cargada que interactúa con un campo aplicado:

{displaystyle H={frac {1}{2m}}left(mathbf {p} -{frac {e}{c}}mathbf {A} right)^{2}+ephi -{frac {ehbar }{2mc}}{boldsymbol {sigma }}cdot mathbf {B}.}

Este hamiltoniano es ahora una matriz de 2 × 2, por lo que la ecuación de Schrödinger basada en ella debe utilizar una función de onda de dos componentes. Pauli había introducido las matrices sigma de 2 × 2 como pura fenomenología; Dirac ahora tenía un argumento teórico que implicaba que el espín era de alguna manera la consecuencia de incorporar la relatividad a la mecánica cuántica. Al introducir el 4 potencial electromagnético externo en la ecuación de Dirac de manera similar, conocida como acoplamiento mínimo, toma la forma (en unidades naturales $ħ$ = $c$ = 1)

{displaystyle left[-igamma ^{mu }left(partial _{mu }+ieA_{mu }right)+mright]psi =0}

{displaystyle gamma ^{mu }}

i

i

{displaystyle {begin{pmatrix}(mc^{2}-E+ephi)&csigma cdot left(mathbf {p} -{frac {e}{c}}mathbf {A} right)\-c{boldsymbol {sigma }}cdot left(mathbf {p} -{frac {e}{c}}mathbf {A} right)&left(mc^{2}+E-ephi right)end{pmatrix}}{begin{pmatrix}psi _{+}\psi _{-}end{pmatrix}}={begin{pmatrix}0\0end{pmatrix}}.}

{displaystyle {begin{aligned}(E-ephi)psi _{+}-c{boldsymbol {sigma }}cdot left(mathbf {p} -{frac {e}{c}}mathbf {A} right)psi _{-}&=mc^{2}psi _{+}\-(E-ephi)psi _{-}+c{boldsymbol {sigma }}cdot left(mathbf {p} -{frac {e}{c}}mathbf {A} right)psi _{+}&=mc^{2}psi _{-}end{aligned}}}

Suponiendo que el campo es débil y el movimiento del electrón no relativista, tenemos la energía total del electrón aproximadamente igual a su energía en reposo y el impulso se reduce al valor clásico,

{displaystyle {begin{aligned}E-ephi &approx mc^{2}\p&approx mvend{aligned}}}

{displaystyle psi _{-}approx {frac {1}{2mc}}{boldsymbol {sigma }}cdot left(mathbf {p} -{frac {e}{c}}mathbf {A} right)psi _{+}}

que es de orden $v$ ⁄ $c$ - por lo tanto, a energías y velocidades típicas, Los componentes inferiores del espinor de Dirac en la representación estándar están mucho más suprimidos en comparación con los componentes superiores. Al sustituir esta expresión en la primera ecuación se obtiene, después de algún reordenamiento

{displaystyle left(E-mc^{2}right)psi _{+}={frac {1}{2m}}left[{boldsymbol {sigma }}cdot left(mathbf {p} -{frac {e}{c}}mathbf {A} right)right]^{2}psi _{+}+ephi psi _{+}}

El operador de la izquierda representa la energía de la partícula reducida por su energía en reposo, que es solo la energía clásica, por lo que recuperamos la teoría de Pauli si identificamos su 2-espinor con los componentes superiores del espinor de Dirac en la aproximación no relativista. Una mayor aproximación da la ecuación de Schrödinger como límite de la teoría de Pauli. Por lo tanto, la ecuación de Schrödinger puede verse como la aproximación no relativista de la ecuación de Dirac cuando se puede ignorar el espín y trabajar sólo a bajas energías y velocidades. Esto también fue un gran triunfo para la nueva ecuación, ya que rastreaba el misterioso $i$ que aparece en ella, y la necesidad de una función de onda compleja, de vuelta a la geometría del espacio-tiempo a través del álgebra de Dirac. También resalta por qué la ecuación de Schrödinger, aunque superficialmente tiene la forma de una ecuación de difusión, en realidad representa la propagación de ondas.

Se debe enfatizar fuertemente que esta separación del espinor de Dirac en componentes grandes y pequeños depende explícitamente de una aproximación de baja energía. Todo el espinor de Dirac representa un todo irreducible, y los componentes que acabamos de ignorar para llegar a la teoría de Pauli traerán nuevos fenómenos al régimen relativista: la antimateria y la idea de creación y aniquilación de partículas.

En un caso general (si una determinada función lineal del campo electromagnético no desaparece idénticamente), tres de cada cuatro componentes de la función de la espina dorsal en la ecuación Dirac pueden ser eliminados algebraicamente, produciendo una ecuación diferencial parcial equivalente de cuarto orden para un solo componente. Además, este componente restante se puede hacer real mediante una transformación de calibre.

Medición

La existencia del momento magnético anómalo del electrón ha sido detectada experimentalmente mediante el método de resonancia magnética. Esto permite la determinación de la división hiperfina de los niveles de energía de la capa de electrones en átomos de protio y deuterio utilizando la frecuencia de resonancia medida para varias transiciones.

El momento magnético del electrón se ha medido utilizando un ciclotrón cuántico de un electrón y espectroscopía cuántica de no demolición. La frecuencia de espín del electrón está determinada por el factor g.

{displaystyle nu _{s}={frac {g}{2}}nu _{c}}

{displaystyle {frac {g}{2}}={frac {{bar {nu }}_{c}+{bar {nu }}_{a}}{{bar {nu }}_{c}}}}

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